Wykład 21
Siła AmpŁre'a
Oddziaływanie pola magnetycznego na przewodniki z prądem zostało wykryte przez
H.Ch.Oersteda i A.M.AmpŁre'a. Znajdziemy wzór na siłę, z którą pole magnetyczne oddziałuje
na przewodnik z prądem.
Element przewodnika z prądem o objętości dV posiada ładunek elektryczny
q = ne " dV n e
, gdzie - koncentracja elektronów przewodnictwa w jednostce objętości; -
r
ładunek elektronu. A zatem magnetyczna składowa siły Lorentza dFm , działającej na element
dV przewodnika wynosi
r r r
r r
dFm = q "[ u B] = ne "[ u B]" dV
, (21.1)
r
u
gdzie - prędkość średnia uporządkowanego ruchu elektronów.
r
r
j = ne u
Ponieważ wektor gęstości prądu , ze wzoru (21.1) znajdujemy
r r r r
r
dFm = ne "[ u B] = [ j B]" dV
. (21.2)
W przypadku przewodnika prostoliniowego: dV = dS " dl , gdzie dl - długość odcinka
przewodnika, a dS - pole powierzchni przekroju przewodnika. Wprowadzając wektor
r
r
dl = dl " ( j / j) , ze wzoru (21.2) otrzymujemy
r r r r r r r r r
j
dFm = [ j B]" dV = [dl B]" dS " dl = ( jdS) "[dl B] = I "[dl B]
. (21.3)
dl
jdS = I
Tu uwzględniliśmy, że jest natężeniem prądu płynącego przez przewodnik.
Równania (21.2) i (21.3) umożliwiają określanie siły działającej na przewodnik z
r
prądem, znajdujący się w polu magnetycznym. Siłę dFm , określoną wzorami (21.2) i (21.3),
nazywamy siłą AmpŁre'a.
266
Moment sił działających na zamknięty obwód z prądem.
Magnetyczny moment dipolowy
I
Rozważmy zamknięty obwód z prądem w postaci prostokątnej ramki. Wybierzmy
r r
jednostkowy wektor n prostopadły do płaszczyzny ramki. Kierunek wektora n jest związany
z kierunkiem prądu w ramce "prawem korkociągu". Umieścimy prostokątną ramkę ABCD w
jednorodnym polu magnetycznym tak aby boki AB i CD były prostopadłe do kierunku wektora
r r
r
indukcji pola magnetycznego . Oznaczmy kąt między wektorem n i wektorem jako ą .
B B
r r r r
Oznaczmy przez F1, F2, F3, F4 siły AmpŁre'a działające na strony ramki. Znajdziemy
wypadkowy moment tych sił względem centrum ramki (punkt O ).
r r
F3
Siły i F4 mają wartości liczbowe równe
F3 = F4 = I " bBsin(900 -ą) = IbB cosą .
r r
F3
i skierowane są wzdłuż osi pionowej ramki. Dzięki temu momenty sił i F4 względem
punktu O są równe zeru:
r r
r
M = [r3,4 F3,4 ] = 0
,
3,4
r r r
r
F3,4 || r3,4 F3
ponieważ ( ). Siły i F4 wywołują deformację ramki w kierunku osi pionowej.
267
r r r
r r r
Siły F1 i F2 znajdują się w płaszczyznie, w której znajdują się wektory r1,r2 , B i n . Wektory
r r r
r r
r1
F1 i F2 są prostopadłe do wektora , a zatem kąt miedzy wektorami F1 i będzie równy
B
r r r
r
r2
kątowi między wektorami F2 i i jest równy ą . Wartość liczbowa sił F1 i F2 wynosi
F1 = F2 = IaB
,
r r
a zatem moment pary sił F1 i F2 względem punktu O jest równy
r r r
r r b b
M = [r1 F1] + [r2 F2 ] = " (IaB) " siną + " (IaB) " siną = IabB "siną ,
2 2
lub
r
M = IS " Bsiną , (21.4)
gdzie S = ab oznacza powierzchnię ramki.
Iloczyn prądu płynącego w obwodzie i pola S powierzchni tego obwodu nazywa się
I
pm
momentem magnetycznym obwodu z prądem
pm = IS
. (21.5)
r
pm
Moment magnetyczny jest wielkością wektorową. Wektor jest prostopadły do płaszczyzny
r
pm
obwodu z prądem a kierunek i kierunek prądu związane między sobą regułą
prawoskrętnego śruba:
r r
pm = IS " n
. (21.6)
r
r
r
r
[ pm B] = pmB "siną = IS " B "siną , a kierunek wektora [ pm B]
Aatwo sprawdzić, że
r
pokrywa się z kierunkiem wektora . A zatem w postaci wektorowej wzór (21.4) możemy
M
zapisać w postaci
r r
r
M = [ pm B] . (21.7)
Można pokazać, że wzór (21.7) jest prawdziwy dla dowolnego płaskiego obwodu z prądem
niezależnie od jego kształtu.
Ze wzoru (21.7) wynika, że istnieją dwa położenia ramki ą = 0 i ą = 1800
dla których
moment sił AmpŁre'a równa się zeru. We wszystkich pozostałych przypadkach niezerowy
268
moment sił ramki powoduję, że ramka będzie obracać się i zajmuje położenie dla którego
ą = 0 (położenie równowagi trwałej) lub ą = 1800
(położenie równowagi nie trwałej).
Praca wykonana przy przemieszczeniu przewodnika z prądem w polu magnetycznym
r
r
Praca A wykonana siłą AmpŁre'a przy przemieszczaniu o dr elementu obwodu z
dl
r
prądem I w polu magnetycznym wynosi
B
r r r r r
r r r
A = (dFm " dr) = I "([dl B]" dr) = I "([dr dl ]" B)
. (21.8)
r r
r r r r
Tu skorzystaliśmy z następującego wzoru na iloczyn mieszany [a b]" c = [b c]" a =
r
r r
[c a]" b .
r
r
[dr dl ] = dr " dl " siną jest polem powierzchni, opisanej przez
Iloczyn wektorowy
r
element przy jego przemieszczeniu o dr . A zatem
dl
r r
r
dS = [dr dl ] . (21.9)
Po podstawieniu (21.9) do (21.8) otrzymujemy
r r r r r r
r
A = I "([dr dl ]" B) = I "(dS " B) a" I "(B " dS) . (21.10)
r r
Ponieważ B " dS = dŚm równa się strumieniowi magnetycznemu przez powierzchnie dS ,
wzór (21.10) można przepisać w postaci
r r
A = I "(B " dS) = I " dŚm . (21.11)
Zakładając, że natężenie prądu jest stałe i całkując wzór (21.11) uzyskujemy
2 2
A = I dŚm = I " d = I " (Ś2 - Ś1) = I " "Ś
. (21.12)
m
+"" +"Ś
1 1
269
Praca wykonywana przez siły AmpŁre'a przy przemieszczeniu w polu magnetycznym
elementu obwodu zamkniętego albo całego obwodu w którym płynie prąd stały, równa się
iloczynowi natężeniu prądu i zmiany strumienia magnetycznego przechodzącego przez
powierzchnie ograniczoną obwodem. Praca przemieszczania przewodników z prądem w polu
magnetycznym wykonywana jest kosztem energii zródeł siły elektromotorycznej (ogniw
galwanicznych, akumulatorów itp.); zródła te wytwarzają w nich prąd elektryczny.
Pole magnetyczne w materii. Namagnesowanie. Wektor natężenia pola magnetycznego
W nauce o magnetyzmie ważną rolę odegrała hipoteza AmpŁre a , według której
właściwości magnetyczne materii jest uwarunkowane momentami magnetycznymi cząstek,
czyli zamkniętymi prądami płynącymi w cząstkach materii - atomach, molekułach.
r
W zewnętrznym polu magnetycznym B0 wszystkie ciała uzyskują makroskopowy
moment magnetyczny. Mówimy, że ciało zostało namagnesowane. Indukowany
makroskopowy moment magnetyczny ciała wytwarza we wnętrzu ciała dodatkowe pole
r
r
magnetyczne , które razem z polem zewnętrznym B0 tworzą w substancji wypadkowe pole
B/
r
magnetyczne :
B
r r r
B = B0 + B/ . (21.13)
r
yródłem pola B0 są prądy zewnętrzne, czyli prądy, które płyną w przewodnikach
r
umieszczonych na zewnątrz ciała. Natomiast zródłem pola dodatkowego są prądy
B/
molekularne, które tworzą makroskopowy moment magnetyczny substancji. A zatem prawo
AmpŁre'a albo prawo przepływu prądu (patrz wzór (20.22)) dla cyrkulacji pola
magnetycznego we wnętrzu ciała przyjmuje postać
r r r r r r
/
B " dl a" B0 " dl + B/ " dl = (4Ą " k ) " (I + Imol )
+" +" +" . (21.14)
L L L
Imol
Tu jest sumą algebraiczną prądów przewodzenia (prądów swobodnych), a jest sumą
I
algebraiczną prądów molekularnych (prądów związanych), które obejmują obwód .
L
W celu scharakteryzowania stanu namagnesowania ciała wprowadzamy wielkość
fizyczną, zwaną namagnesowaniem J :
270
N
ł r ł
pim
ł ł
"
r
J = limł i=1 ł , (21.15)
N "ł ł
"V
ł ł
ł łł
r
pim
gdzie N oznacza liczbę cząstek, zawartych w objętości "V , a - moment magnetyczny
i - tej cząstki z objętości "V .
Imol
Znajdziemy związek pomiędzy i namagnesowaniem J . Załóżmy, że momenty
magnetyczne prądów molekularnych zorientowany jednakowo i niech ą jest kątem miedzy
r r
pm
wektorem zamkniętego obwodu i wektorem . Objętość walca pokazanego na
L
dl
rysunku jest równa
dV = dl " Smol " cosą .
n
Jeżeli oznaczmy, przez koncentrację momentów magnetycznych w jednostce
imol
objętości, a przez - prąd molekularny płynący w cząstce, wtedy dla wypadkowego prądu
r
molekularnego owijającego element obwodu wynosi
L
dl
r r
dImol = imol " (n " Smoldl cosą) = npm " dl cosą = (J " dl ) . (21.16)
r
r
pm = imol " S
Tu uwzględniliśmy, że i J = npm .
Całkując wzór (21.16) wzdłuż zamkniętego obwodu L otrzymujemy sumę
algebraiczną prądów molekularnych (prądów związanych), które obejmuje obwód L :
271
r r
Imol = J " dl
+" . (21.17)
L
Można wykazać, że wzór (21.17) jest słuszny również w przypadku chaotycznej orientacji
molekularnych momentów magnetycznych. A zatem, cyrkulacja wektora namagnesowania J
wzdłuż dowolnego zamkniętego obwodu równa się sumie algebraicznej prądów
L
molekularnych, które obejmują ten obwód.
Zgodnie z prawem AmpŁre'a (21.14)
r r
B/ " dl = 0Imol . (21.18)
+"
L
r
A zatem, biorąc pod uwagę (21.19), dla pola magnetycznego , które wytwarzają prądy
B/
molekularne uzyskujemy
r r
B/ = 0 J . (21.19)
Biorąc pod uwagę wzór (21.17), ze wzoru (21.14) otrzymujemy
r
r r
ł ł
B
ł
+" - J ł " dl = I . (21.20)
ł ł
L ł 0 łł
/
0 = 4Ą " k
Tu - przenikalność magnetyczna próżni.
Wektor
r
r r
B
H = - J
(21.21)
0
nosi nazwę wektora natężenia pola magnetycznego.
Zgodnie z (21.20) cyrkulacja wektora natężenia pola magnetycznego wzdłuż
dowolnego obwodu zamkniętego równa się sumie algebraicznej prądów przewodzenia,
L
które obejmuje ten obwód:
r r
H " dl = I
+" . (21.22)
L
Korzystając z twierdzenia Stokes (20.35) i wzoru (21.22)
272
r r r r r
r
H " dl = rotH " dS = " dS
+" +" +"j
,
L S S
otrzymujemy
r r
rotH = j . (21.23)
Z doświadczeń wynika, że dla wielu substancji namagnesowanie jest wprost
r r r
proporcjonalne do ( ). Wtedy zgodnie z (21.21) namagnesowanie jest wprost
B J " B
r
proporcjonalne do wektora :
H
r r
J = m " H , (21.24)
m
gdzie współczynnik nazywa się podatnością magnetycznej substancji.
Uwzględniając (21.24) ze wzoru (21.21) znajdujemy
r r r r r
B = 0 " (H + J ) = 0 (1+ m ) " H = 0 " H , (21.25)
gdzie wielkość
= 1+ m
(21.26)
nazywa się przenikalnością magnetyczną danej substancji.
r r r r r
Biorąc pod uwagę wzór (21.13) ( B = B0 + B/ ) oraz wzór (21.19) ( B/ = 0 J ), ze
wzoru (21.25) znajdujemy
r
r
B0
H =
. (21.27)
0
Podstawiając wyrażenie (21.27) do wzoru (21.25) otrzymujemy
r r r
B = 0 " H = " B0 . (21.28)
Ze wzoru (21.22) widzimy, że natężenie pola magnetycznego jest podobne do wektora
r
indukcji elektrycznej . Wektor indukcji elektrycznej określają tylko ładunki swobodne.
D
r r
Wektor określają tylko prądy swobodne. Wektor ma taką samą wartość w jednorodnym
H D
r
polu elektrycznym na zewnątrz oraz wewnątrz dielektryka. Wektor tak same ma taką sama
H
273
wartość w jednorodnym polu magnetycznym na zewnątrz oraz wewnątrz ciała (patrz wzór
(21.27)).
Z doświadczeń wynika, że dla większości ciał przenikalność magnetyczne nie zależy
r
od i nie znacznie różni się od jedynki. Takie ciała zostały podzielone na paramagnetyki i
B
diamagnetyki.
> 1 > 0
Dla paramagnetyków ( ), a zatem zgodnie z (21.28) pole magnetyczne
B > B0 ).
wewnątrz ciała będzie większe od pola zewnętrznego (
< 1, < 0
Diamagnetyki ( ) są to substancje, które magnetyzują się w kierunku
r
przeciwnym do kierunku pola magnetycznego , a zatem pole magnetyczne wewnątrz ciała
B
B < B0 ). Istnieje też liczna grupa ciał, które nawet w
będzie mniejsze od pola zewnętrznego (
zerowym polu magnetycznym posiadają niezerowe namagnesowanie. To są substancje
(H ) >> 1.
uporządkowane magnetycznie, dla których
r r
Warunki graniczne dla wektorów i na powierzchni styku dwóch ciał
B H
Załóżmy, że na granice styku dwóch ciał przez powierzchnie ograniczoną konturem L
r r
nie płyną żadne prądy swobodne. Zachowanie wektora i na powierzchni styku dwóch
H B
r
ciał znajdziemy korzystając z twierdzenia (21.22) o cyrkulacji wektora i prawa Gaussa dla
H
r r
I = 0
wektora . W przypadku, gdy , twierdzenie o cyrkulacji wektora ma postać
B H
r r
H " dl = 0
+" . (21.29)
L
"h "h 0
Dla dość małego ( ), ze wzoru (21.29) otrzymujemy
r r
H " dl = (H1 - H2 ) " "l
+" .
L
Skąd mamy
274
H1 = H2
. (21.30)
r r
Biorąc pod uwagę, że H = B / 0 ze wzoru (21.30) uzyskujemy
B1 B2
=
. (21.31)
1 2
r r
r
B " dS = 0
+"
Z twierdzenia Gaussa dla wektora indukcji pola magnetycznego ( ) dla
B
S
dość małego "h ( "h 0 ) znajdujemy
(B2n - B1n ) " "S = 0
.
Skąd wynika, że
275
B1n = B2n
. (21.32)
Biorąc pod uwagę wzór (21.25) ze wzoru (21.32) mamy
1H1n = 2H
. (21.33)
2n
r
Na zakończenie wypiszemy różniczkowe równania dla stałego (
"B / "t = 0) pola
r
magnetycznego i pola elektrostatycznego ( ) w materii:
"D / "t = 0
r r r r r
(" " D) a" divD = , ; (21.34)
[" E] = 0
r r r r r r
(" " B) a" divB = 0 , . (21.35)
[" H ] = j
Podkreślimy, że podstawowymi charakterystykami pola elektrycznego i magnetycznego są
r r
wektor natężenia pola elektrycznego i wektor indukcji magnetycznej . Wektor indukcji
E B
r r
elektrycznej i wektor natężenia pola magnetycznego są pomocnicze wektory, które
D H
wprowadzamy w celu uproszczenia opisu pola elektromagnetycznego w różnych ośrodkach.
r r
Przypomnijmy, że między podstawowymi wektorami i wektorami pomocniczymi
E, B
r r
D, H istnieją, w przypadku izotropowej substancji, związki
r r r r
D = 0 " E , B = 0 " H . (21.36)
W przypadku ośrodków anizotropowych zamiast wzorów (21.36) mamy
Di = 0 " E Bi = 0 " H
"ij j "ij j
, . (21.37)
j=1,2,3 j=1,2,3
Indukcja elektromagnetyczna. Prawo indukcji Faradaya i reguła Lenza
Dotychczas rozważaliśmy statyczne pole elektryczne i magnetyczne. Dla tych pól, jak
widać ze wzorów (21.34) i (21.35), pole elektryczne i pole magnetyczne istnieją niezależnie od
siebie. Okazało się jednak, że w przypadku pól zmiennych w czasie pole magnetyczne i pole
elektryczne nie są niezależne od siebie i tworzą jedyne pole elektromagnetyczne.
Po raz pierwszy związek między elektrycznymi i magnetycznymi polami wykrył w 1832
roku Faraday. Zjawisko, które odkrył Faraday nosi nazwę indukcji elektromagnetycznej i
polega ono na powstawaniu prądów elektrycznych w zamkniętym obwodzie podczas
przemieszczania się względem siebie zródła pola magnetycznego i tego zamkniętego obwodu.
276
Mówimy, że w obwodzie jest indukowana siła elektromotoryczna (SEM indukcji), która
wywołuje przepływ prądu indukcyjnego.
Prawo indukcji Faradaya stosuje się do trzech różnych sytuacji fizycznych:
" Nieruchoma pętla, względem której porusza się zródło pola magnetycznego (mamy tzw.
elektryczną SEM).
" Przewód w kształcie pętli porusza się w obszarze pola magnetycznego (magnetyczna
SEM).
" Nieruchoma pętla i nieruchome zródło pola magnetycznego, lecz zmienia się prąd, który
jest zródłem pola magnetycznego (także elektryczna SEM).
Na podstawie obserwacji Faraday doszedł do wniosku, że indukowana w obwodzie siła
Ei
elektromotoryczna jest wziętej ze znakiem ujemnym szybkość, z jaką zmienia się strumień
Śm
przechodzący przez ten obwód:
dŚm
Ei = - . (21.38)
dt
v
S N
I
v
S N
I
277
Znak minus w prawie Faradaya wyraża tak zwaną regułę Lenza: prąd indukowany w obwodzie
ma zawsze taki kierunek, że wywołane przez niego pole magnetyczne przeciwdziała zmianom,
które wywołują jego powstanie. Kierunek prądu indukowanego w pętli (rysunek) zależy od
tego czy strumień rośnie czy maleje (zbliżamy czy oddalamy magnes).
Jeżeli mamy obwód złożony z N zwojów to
dŚm
Ei = -N " . (21.39)
dt
W układzie SI jako jednostkę strumienia magnetycznego przyjmuje się 1 weber (Wb): 1 Wb = 1
T 1 m2.
278
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Analiza Wykład 3 (21 10 10)wyklad 21Wykład 4 21 03 2013Metodyka WF studia I stopnia wyklad 2121 mechanika budowli wykład 21 drgania wymuszone nietlumioneWykład 8 (21 XI 2011) zagadnieniaKPC Wykład (21) 26 03 2013(Komentarz do wykładu 21)FM wyklad 3 21 10 2010Wyklad 21Wytrzymało¶ć materiałów Wykład 21Wykład 8 21,4,12więcej podobnych podstron