Zdroj: http://www.zones.sk
Pou~
ívanie materiálov zo ZONES.SK je povolené bez
obmedzení iba na osobné Å›%0Å„ely a akéko>
vek verejné
publikovanie je bez predchádzajÅ›ceho sÅ›hlasu zakázané.
Autor: Martin Slota
1/4 MATURITNÉ PRÍKLADY Z MATEMATIKY
MATURITNÅ» OKRUH 19: NUMERICKÉ METÓDY
1. príklad (212/Pr. 3)
Zadanie: Vhodnou itera%0Å„nou metódou vypo%0Å„ítajte hodnotu 7 aspoH
na 5 desatinnżch miest.
Riea
enie:
Aby sme mohli pou~
ie
itera%0Å„nÅ› metódu, musíme nájse
vhodnÅ› rovnicu tvaru g(x) = x , ktorej riea
ením
je x = 7 . Takżchto rovníc je ve>
a, my va
ak musíme zvolie
takÅ› funkciu g(x), aby iterácia
x2 + 7
konvergovala. Jednou z takżch vhodnżch rovníc je napríklad x = , ktorá má korene Ä… 7 .
2x
.
ëÅ‚ öÅ‚
Na za%0Å„iatku si zvolíme . 
ala
ie aproximácie dostaneme z rekurentného vze
ahu
x = 2 7 = 2
ìÅ‚ ÷Å‚
0
íÅ‚ Å‚Å‚
2
xn + 7
xn+1 = , a teda:
2xn
4 + 7
x2 = = 2,75
4
x3 = 2,647727273
x4 = 2,645752048
x5 = 2,645751311
x6 = x5 (pri danej presnosti vżpo%0ńtov)
Vypo%0Å„ítali sme teda hodnotu 7 s presnose
ou na 9 desatinnżch miest a táto hodnota je
2,645751311.
2. príklad (215/1)
Zadanie: Metódou polenia intervalov nájdite koreH
rovnice x sin x = 1 v intervale 0; 1,5 .
Riea
enie:
V prvom rade musíme rovnicu x sin x = 1 upravie
do tvaru f (x) = 0 , %0Å„i~
e x sin x - 1 = 0 . Za%0ńiato%0ńnż
interval a,b = 0; 1,5 máme danż (sp:
H
a podmienku f (a)Å" f (b) < 0 ). 
ala
í interval dostaneme tak,
~
e vypo%0Å„ítame funk%0Å„nÅ› hodnotu stredu s1 tohto intervalu a pou~
ijeme ho ako hranicu intervalu spolu
s jednou z pôvodnżch hraníc tak, aby pre hranice nového intervalu a1,b1 platilo f (a1)Å" f (b1)< 0 :
a + b
s1 = = 0,75
2
f (s1) < 0 Ò! a1,b1 = 0,75; 1,5
A tak pokra%0Å„ujeme 
alej:
a1 + b1 a2 + b2
s2 = = 1,125 s3 = = 0,9375
2 2
f (s2 ) > 0 Ò! a2,b2 = 0,75; 1,125 f (s3 ) < 0 Ò! a3,b3 = 0,9375; 1,125
Zdroj: http://www.zones.sk
Pou~
ívanie materiálov zo ZONES.SK je povolené bez
obmedzení iba na osobné Å›%0Å„ely a akéko>
vek verejné
publikovanie je bez predchádzajÅ›ceho sÅ›hlasu zakázané.
Autor: Martin Slota
2/4 MATURITNÉ PRÍKLADY Z MATEMATIKY
MATURITNÅ» OKRUH 19: NUMERICKÉ METÓDY
a3 + b3 a4 + b4
s4 = = 1,03125 s5 = = 1,078125
2 2
f (s4 ) < 0 Ò! a4 ,b4 = 1,03125; 1,125 f (s5 )< 0 Ò! a5 ,b5 = 1,078125; 1,125
a6 ,b6 = 1,1015625 ; 1,125 a7 , b7 = 1,11328125 ; 1,125
a8 ,b8 = 1,11328125 ; 1,119140625 a9 , b9 = 1,11328125 ; 1,116210938
a10 ,b10 = 1,11328125 ; 1,114746094 a11,b11 = 1,114013672 ; 1,114746094
KoreH
om rovnice x sin x = 1 v danom intervale s presnose
ou na 3 desatinné miesta je
a11 + b11
= 1,114379883 .
2
3. príklad (215/3)
Zadanie: Newtonovou metódou nájdite koreH
rovnice x + ln x = 0 .
Riea
enie:
Aby sme mohli pou~
ie
Newtonovu metódu doty%0Å„níc, musíme si zistie
prvÅ› deriváciu funkcie
1
f (x) = x + ln x . Táto prvá derivácia je f '(x) = 1+ . Ako po%0Å„iato%0Å„nÅ› aproximáciu si zvolíme x1 = 1.
x
f (xn )
Ka~
dÅ› 
ala
iu aproximáciu získame z rekurentného vze
ahu xn+1 = xn - . Tak~
e:
f '(xn )
1+ ln1
x2 = 1- = 0,5
1
1+
1
x3 = 0,564382393
x4 = 0,567138987
x5 = 0,567143290
x6 = x5
KoreH
om rovnice x + ln x = 0 s presnose
ou na 9 desatinnżch miest je teda 0,567143290.
4. príklad (216/13)
Zadanie: Odvo
te z Newtonovej metódy doty%0Å„níc spôsob vżpo%0Å„tu tretích odmocnín.
Riea
enie:
Riea
enie predvedieme va
eobecne pre n - tÅ› odmocninu z %0Å„ísla a (a " R+) a potom odvodíme vzorec
pre tretiu odmocninu. Najprv si musíme ur%0Å„ie
funkciu, ktorej korene budeme ur%0Å„ovae
, a taktie~
jej
prvÅ› deriváciu:
n
x = a Ò! f (x) = xn - a = 0
f '(x) = n Å" xn-1
Teraz dostávame rekurentne zadanÅ› postupnose
, ktorá konverguje k n - tej odmocnine z %0Å„ísla
a = x0 :
Zdroj: http://www.zones.sk
Pou~
ívanie materiálov zo ZONES.SK je povolené bez
obmedzení iba na osobné Å›%0Å„ely a akéko>
vek verejné
publikovanie je bez predchádzajÅ›ceho sÅ›hlasu zakázané.
Autor: Martin Slota
3/4 MATURITNÉ PRÍKLADY Z MATEMATIKY
MATURITNÅ» OKRUH 19: NUMERICKÉ METÓDY
n
îÅ‚ Å‚Å‚
xk - a
f (xk ) 1 a 1 a
xk +1 = xk - = xk - = xk - xk + = (n -1)Å" xk +
ïÅ‚ śł
n-1 n-1 n-1
f '(xk ) n n
n Å" xk n Å" xk ðÅ‚ xk ûÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
1 a
ìÅ‚ ÷Å‚
Konkrétne pre tretiu odmocninu je rekurentné vyjadrenie tejto postupnosti xk +1 = 2xk + .
2
ìÅ‚
3
xk ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
5. príklad (216/16)
1
Zadanie: Vypo%0Å„ítajte pribli~
nś hodnotu 10 nasledujścou metódou: vyu~
ite rovnose
10 = 3Å" 1+
9
a Mac Laurinov rad pre funkciu y = 1+ x .
Zdroj: http://www.zones.sk
Pou~
ívanie materiálov zo ZONES.SK je povolené bez
obmedzení iba na osobné Å›%0Å„ely a akéko>
vek verejné
publikovanie je bez predchádzajÅ›ceho sÅ›hlasu zakázané.
Autor: Martin Slota
4/4 MATURITNÉ PRÍKLADY Z MATEMATIKY
MATURITNÅ» OKRUH 19: NUMERICKÉ METÓDY
Riea
enie:
"
xn-1
(n-1)
Va
eobecnż zápis MacLaurinovho radu je: f (x)= f (0)Å" . Aby sme ním vyjadrili funkciu
"
(n -1)!
n=1
f (x) = 1+ x , potrebujeme hodnotu jej derivácií v bode nula:
f (x) = 1+ x Ò! f (0) = 1
1
1 1
-
f '(x) = (1+ x) 2 Ò! f '(0) =
2 2
3
1 1
-
f ''(x) = - (1+ x) 2 Ò! f ''(0) = -
4 4
5
3 3
-
f '''(x) = (1+ x) 2 Ò! f '''(0) =
8 8
7
15 15
- IV
IV
f (x) = - (1+ x) 2 Ò! f (0) = -
16 16
1 1 x2 3 x3 15 x4
SpomínanÅ› funkciu teda mô~
eme vyjadrie
takto: 1+ x = 1+ x - Å" + Å" - Å" +K
2 4 2 8 3! 16 4!
.
1 1 3 15
îÅ‚1+ - 1
Teda platí: 10 = 3 Å" 1 + = 3 Å" + - + KÅ‚Å‚ =3,162276377
ïÅ‚ śł
9 2 Å" 9 4 Å" 2 Å"81 8 Å" 6 Å" 729 16 Å" 24 Å" 6561
ðÅ‚ ûÅ‚


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Metody numeryczne w11
Metody i techniki stosowane w biologii molekularnej
14 EW ZEW Srodowisko do metody Johna
Metody badan Kruczek
ciz poradnik metody rekrutacji
10z2000s21 Metodyka podziału zadań w sekcji ratownictwa chemiczno ekologicznego
Niekonwencjonalne metody leczenia
function is numeric
PO stosuje metody sowieckich zbrodniarzy
metody spawania stali nierdzewnych
BDO metody sporzadzania rachunkow pienieznych
metody nauczania
Metodologia pracy umysłowej Esej na temat Metody uczenia się
2008 Metody obliczeniowe 13 D 2008 11 28 20 56 53

więcej podobnych podstron