plik

��Zadania do rozdziaBu 2. Zad.2.1. Samoch�d na autostradzie porusza si ruchem jednostajnym prostoliniowym z prdko[ci �=100 km/godz. W jakim czasie t przebdzie on drog s=50 km? Rozwizanie: s = � �" t s 50 km / godz t = = = 0.5godz. � 100 km / godz Zad.2.2. Z miejscowo[ci A oddalonej w linii prostej o 90 km od miejscowo[ci B, wyje|d|a pocig pospieszny jadc w kierunku B z prdko[ci 54 km/godz. Po 10 minutach z miejscowo[ci B wyje|d|a pocig osobowy jadcy w kierunku A z prdko[ci 36 km/godz. Obliczy po jakim czasie i w jakiej odlegBo[ci od miejscowo[ci A nastpiBo spotkanie pocig�w? Rozwizanie: Oznaczamy: a=AB=90 km = 90000 m Poszukujemy w jakiej odlegBo[ci s od A le|y punkt C spotkania pocig�w oraz po jakim �1=54 km/godz = 15 m/s czasie t nastpiBo spotkanie pocig�w �2=36 km/godz = 10 m/s t1=10 min = 600 s Po czasie t1 gdy pocig jadcy z A do B przejechaB drog so = �1 �" t1 wyrusza pocig z B do A. 38 Pocig z B do A do chwili spotkania przebdzie drog: s2 = a - s = �2 �" (t - t1) Pocig z A do B do chwili spotkania przebdzie drog: s = �1 �" t Ale a = s + s2 = �2 �" (t - t1)+ �1 �" t a = �2 �" t - �2t1 + �1 �" t a + �2 �" t1 90000 m + 10 m / s�"10 s t = = = 3840 s �1 + �2 15 m / s + 10 m / s a + �2 �" t1 s = �1 �" t = �1 = 15 m / s �" 3840 s = 57600 m = 57.6 km �1 + �2 Zadanie to mo|na zilustrowa Zad.2.3. Samoch�d jadcy z prdko[ci �o=54 km/godz w pewnej chwili zaczyna hamowa (czyli porusza si ruchem jednostajnie op�znionym). Po upBywie czasu t1=5 s od chwili rozpoczcia hamowania prdko[ samochodu wynosi �=18 km/godz. Obliczy op�znienie samochodu, drog hamowania i czas po jakim si zatrzyma? 39 m �o = 54 km / godz = 15 s m � = 18 km / godz = 5 s � = �o - at1 �o - � 54 km / godz - 18 km / godz 15 m / s - 5 m / s m a = = = = 2 t1 5s 5s s2 m Op�znienie a wynosi: a = 2 s2 t czas hamowania Na koDcu drogi hamowania �=0 Zatem � = �o - at 0 = �o - at �o t = a 15 m / s t = = 7.5s 2 m / s2 Czas hamowania t wynosi: t=7.5 s s droga hamowania 2 at s = �o �" t - 2 2 m / s2 �" (7.5)2 s2 s = 15 m / s�" 7.5s - = (112.50 - 56.25)m 2 s = 56.25 m Droga hamowania s wynosi: s=56.25 m. Zad.2.4. Z balonu unoszcego si na wysoko[ci h=1960 m zrzucono woreczek z piaskiem. Oblicz czas spadania t woreczka z piaskiem na ziemi oraz prdko[ � w chwili upadku. m Przyspieszenie ziemskie g = 9.81 s2 40 Rozwizanie: Woreczek bdzie poruszaB si ruchem jednostajnie przyspieszonym z zerow prdko[ci pocztkow. 2 gt h = 2 2h t = g 2 �"1960 m t = E" 20s 9.81m / s2 Czas spadania t wynosi: t=20 s. 2h � = g �" t = g = 2hg g � = 9.81m / s2 �" 20s =196 m / s Prdko[ upadku � wynosi: �=196 m/s. Zad.2.5. Z karabinka wystrzelono pocisk pionowo w g�r z prdko[ci �o=490 m/s. Oblicz wysoko[ h na jak wzbije si pocisk oraz czas wznoszenia t i prdko[ koDcow upadku pocisku? Rozwizanie: � = �o + at �=0 ; a = -g 0 = �o - g �" t �o t = g 490 m t = E" 50 s 9.81m / s Czas wznoszenia pocisku t wynosi: t=50 s. 2 2 gt �o �� o �� o 2 1 h = �o �" t - = �o �" - g �� = �� 2 g 2 g 2g �� 41 (490)2 m2 s2 h = =12237 m m 2 �" 9.81 s2 Wysoko[ h, na kt�r wzbiB si pocisk wynosi: h=12237 m. Oznaczmy przez ts czas spadania pocisku z wysoko[ci h gts 2 h = 2 �o 2 2h ts = ale h = g 2g Zatem 2�o 2 �o ts = = g �" 2g g ts=50 s Widzimy, |e czas spadania pocisku ts jest taki sam jak czas t jego wznoszenia. Oznaczmy przez �u - prdko[ upadku pocisku �o �u = gts ale ts = g Zatem �o �u = g �" = �o g �u = 490 m / s Widzimy, |e prdko[ upadku pocisku �u jest taka sama jak prdko[ �o jego wystrzelenia. Zad.2.5. Z wysoko[ci h=1.5 m wystrzelono z karabinu poziomo pocisk z prdko[ci �o=730 m/s. Znalez r�wnanie toru pocisku (y=f(x)). Okre[li odlegBo[ s w jakiej pocisk upadnie na ziemi oraz czas t ruchu pocisku. Op�r powietrza pomin. 42 Rozwizanie: Ruch pocisku jest wypadkowym dw�ch ruch�w: - w kierunku poziomym (osi 0x) - jednostajnego prostoliniowego z prdko[ci �o - w kierunku pionowym (osi 0y) - jednostajnie przyspieszonego (z przyspieszeniem ziemskim g) z prdko[ci pocztkow r�wn zero W chwili t pocisk w punkcie P toru ma wsp�Brzdne: jest to r�wnanie toru w postaci x = �o �" t �� 2 parametrycznej, gdzie parametrem �� t y = g �� 2 �� jest czas t. Obliczajc z pierwszego r�wnania t x t = i podstawiajc do drugiego �o 2 �� x g 2 �� y = g �" = x �� o �o2 �� g 2 y = �" x otrzymujemy r�wnanie toru w postaci jawnej. �o2 Krzyw t nazywamy parabol. Czas lotu pocisku t jest r�wny czasowi swobodnego spadku tego pocisku z wysoko[ci h. 2 gt h = 2 2h t = g 2 �"1.5 m t = = 0.55s 9.81m / s2 43 Czas lotu pocisku t wynosi: t=55 s. W tym czasie pocisk przeleci w kierunku osi 0x drog s s = �o �" t 2�o 2h 2h s = �o �" = g g 2 �" (730)2 �"1.5 m2 / s2 �" m s = E" 400 m 9.81m / s2 Zasig pocisku s wynosi: s=400 m. Zad.2.6. Z mozdzierza wystrzelono pocisk z prdko[ci �o=200 m/s pod ktem �=60o do poziomu. Znalez r�wnanie toru (y=f(x)). Obliczy odlegBo[ s w jakiej pocisk upadnie na ziemi od miejsca wystrzaBu oraz czas t lotu pocisku. Op�r powietrza pomin. Rozwizanie: Wektor prdko[ci � rozkBadamy na dwie skBadowe: �x = �o �"cos � i �y = �o �"sin � . o Teraz ruch pocisku mo|emy uwa|a za wypadkow dw�ch ruch�w; - w kierunku poziomym (osi 0x) - jednostajnego, prostoliniowego z �x - rzutu w g�r (w kierunku osi 0y) z prdko[ci pocztkow �y. W chwili t pocisk znajduje si w punkcie P toru o wsp�Brzdnych x = �x �" t = �o �" cos � �" t �� 2 2 �� gt gt y = �y �" t - = �o sin � �" t - �� 2 2 �� Powy|sze dwa r�wnania opisuj tor i stanowi r�wnanie toru w postaci parametrycznej, gdzie parametrem jest czas t. 44 Eliminujc czas t x t = �o cos� formujemy r�wnanie toru w postaci jawnej x g x2 sin � g y = �o �"sin � �" - = �" x - �" x2 �o cos� 2 cos� �o2 cos2 � 2�o2 cos2 � Poniewa| jest to r�wnanie kwadratowe wzgldem x, a wic torem rzutu uko[nego jest parabola. Zasig pocisku (x=s) otrzymamy podstawiajc do toru pocisku wsp�Brzdn y=0 upadku pocisku sin � g 0 = �" x - �" x2 cos� 2�o2 cos2 � 2 2�o2(sin � cos �)x - gx = 0 2�o2 cos � x(2�o2 sin � cos� - gx)= 0 x=0 - to jest punkt startu (nie upadku) wic rozwa|my 2�o2 sin � cos� - gx = 0 . Wiemy, |e 2sin � cos � = sin 2� �o2 sin2 � = gx �o2 sin2 � x = g (200)2 m2 / s2 �" sin120o (200)2 �" cos 30o x = = m ; poniewa| sin(90o + �)= cos � 9.81 9.81m / s2 x=3531 m Zasig pocisku wynosi s =3531 m. Zad.2.7. Punkt P porusza si ruchem jednostajnym po okrgu o promieniu R z prdko[ci ktow �. Oblicz prdko[ liniow � ruchu oraz przyspieszenie do[rodkowe an. Wykaza, |e wektory � i a s ortogonalne (wzajemnie prostopadBe). n 45 Rozwizanie: Ruch P jest jednoznacznie opisany promieniem wodzcym r(t)= x(t)�" i + y(t)j Czas t liczymy od chwili gdy �=0. Droga ktowa �=��"t x(t)= R cos � = R cos �t y(t)= R sin � = R sin �t dr(t) dx(t), dy(t) �� Prdko[ �(t)= = �� dt dt dt �� dx dy = -R�sin �t = R�cos �t dt dt �(t)= [- R�sin �t, R�cos �t] 2 2 2 � = �(t) = R �2 sin �t + R �2 cos2 �t = R �" � Przyspieszenie d� d d �� a (t)= = (- R�sin �t), (- R�cos �t)�� n ��dt �� dt dt �� a (t)=[- R�2 cos �t - R�2 sin �t ] n �2 2 2 2 a = a (t) = R �4 cos2 �t + R �2 sin �t = R�2 = n n R Aby sprawdzi czy wektory � i a s ortogonalne obliczamy ich iloczyn skalarny n �(t)�" a (t)= [- R�sin �t, R�cos �t]�"[- R�2 cos �t, - R�2 sin �t]= n 2 2 = R �3 sin �t cos �t - R �3 cos �t sin �t = 0 Iloczyn skalarny � �" a = 0 , czyli wektory s ortogonalne. n 46

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Analiza Matematyczna 2 Zadania
ZARZĄDZANIE FINANSAMI cwiczenia zadania rozwiazaneE
ZADANIE (11)
zadanie domowe zestaw
Zadania 1
W 4 zadanie wartswa 2013
Sprawdzian 5 kl 2 matematyka zadania
zadania1
Zadania 2015 9
Logika W8 zadania
Logika troch teorii zadania
06 Zadania z rozwiązaniamiidd47
zadania4
zadania 1 5 10

więcej podobnych podstron