Fale w ośrodkach sprę\ystych
OPIS FAL BIEGNCYCH
Definicja:
Ruchem falowym nazywamy rozchodzenie się zaburzenia w ośrodku
" Do rozchodzenia się fal mechanicznych potrzebny jest ośrodek o własnościach
sprę\ystych (F=-ksx)
" Drgania, dzięki właściwościom sprę\ystym ośrodka, są przekazywane do kolejnych
części ośrodka. W ten sposób zaburzenie przechodzi przez cały ośrodek.
" Podczas rozchodzenia się fali sam ośrodek nie przesuwa się, a jedynie jego
elementy wykonują drgania.
" Właściwości sprę\yste ośrodka decydują o prędkości rozchodzenia się fali
Rodzaje fal
fale poprzeczne
fale podłu\ne
1
Rozchodzenie się fali w przestrzeni równanie kinematyczne fali
t = 0, y = f (x) t, y = f(x - vt)
W czasie t impuls falowy (fala) poruszający się
z prędkością v przesuwa się w prawo wzdłu\
sznura o odcinek równy vt, bez zmiany kształtu
Fala biegnącą w kierunku ujemnym osi x
(w lewo) ma postać:
y = f(x + vt)
fala poprzeczna Jeśli na końcu sznura (sprę\yny) przyło\ymy
drgania harmoniczne (sinusoidalne), to powstanie
fala sinusoidalna.
Dla dowolnej chwili czasu mo\emy zrobić
fotografię fali i opisać ją równaniem:
"y
Umówmy się, \e zaczynamy mierzyć czas w
chwili t0=0 i \e 0 odpowiada fazie
początkowej.
fala poprzeczna:
fala podłu\na
x
y = "y = Asinł 2Ą +0 ł
ł ł
ł łł
dla t=0
2Ą 0
ł ł
= Asin x +
ł ł
2Ą
ł łł
fala podłu\na:
"x
x
"x = Asinł 2Ą +0 ł dla t=0
ł ł
ł łł
2
x
y = Asinł2Ą +0 ł dla t=0 ... a jak będzie wyglądała fala po czasie t ?
ł ł
ł łł
2Ą
y = Asinł (x - vt)+0 łł
ł śł
ł ł
A - amplituda fali
- długość fali
2Ą
(x - vt)+0 faza fali
0 faza początkowa
Czas, w którym fala przebiega odległość równą nazywamy okresem T.
w danej chwili t taka sama faza jest w punktach x,
ł x t łł
ł ł
T =
y = Asinł2Ą - ł
+0 śł x + , x + 2 , itd., oraz, \e w danym miejscu x faza
ł
v
T
ł łł
ł ł
powtarza się w chwilach t, t + T, t + 2T, itd.
....a tak wygląda ruch punktu o
ustalonej współrzędnej w zale\ności
od czasu t.
Napiszmy równanie kinematyczne fali w nieco innej, prostszej postaci :
y = Asin(k x -t +0)
2Ą
k = liczba falowa
v = = f =
2Ą
częstość kątowa
T k
= = 2Ąf
T
Prędkość fazowa i kształt fali
Śledzimy jak przemieszcza się w czasie wybrana część fali czyli określona faza (np.
maks.)
y = f(x - vt)
x - vt = const.
dx dx
prędkość fazowa
= v
- v = 0
dt
dt
3
Powierzchnię łączącą punkty, o takiej samej fazie nazywamy powierzchnią
falową. Powierzchnie falowe poruszają się z prędkością fazową. Ze względu
na kształt powierzchni falowej wyró\niamy fale płaskie i fale kuliste.
fala kulista
fala płaska
Równanie falowe
"2 y
= f ''(x - vt)v2 "2 y 1 "2 y
y = f(x - vt) =
"t2
"x2 v2 "t2
"2 y
= f ''(x - vt)
"x2
Równanie ruchu falowego stosuje się do wszystkich rodzajów fal sprę\ystych.
Przykład: Równanie falowe dla naprę\onego sznura lub struny
Wypadkowa siła działająca na kawałek sznura o
długości dx :
(*)
Fwyp ( y) = F sin2 - F sin1 E" Fd
Z drugiej strony:
(druga zasada dynamiki)
Fwyp ( y) = ma
dla elementu struny o długości dx :
2
d y
Fwyp ( y ) = dx
(**)
dt2
- gęstość liniowa
2 2
d y d d y
Ze wzorów (*) i (**) mamy:
Fd = dx i dalej =
dt2 dx F dt2
dy
2 2
Dla małych katów , czyli ostatecznie:
E"
d y d y
dx
= równanie falowe
dx2 F dt2
4
2 2
d y d y
(*)
= równanie falowe dla struny
dx2 F dt2
F
v =
2 2
d y 1 d y
(**)
= ogólne równanie falowe
dx2 v2 dt2
Sprawdzmy to równanie (*) dla rozwiązania:
y = Asin(kx -t +0)
Wyliczmy pochodne:
Po podstawieniu do
"2 y
2 (*):
= -Ak sin(kx -t)
F
"x2
v = =
k2 = 2
k
F
"2 y
= -A2 sin(kx - t)
"t2
Prędkość v rozchodzenia się fali jest niezale\na od amplitudy i częstotliwości,
dla fal mechanicznych zale\y od sprę\ystości ośrodka i jego bezwładności.
Prędkości fal w ró\nych ośrodkach
1. naprę\ony sznur lub struna F
v =
(poprzeczna)
E
2. pręt F "l
v =
gdzie: = E (E- moduł Younga)
(podłu\na)
S l
K
3. fala akustyczna "V
v =
gdzie: "p = -K (K- moduł sciśliwości objętościowej)
(podłu\na)
V
Fala akustyczna opisuje rozchodzenie się lokalnej zmiany ciśnienia
"p = "pm sin(kx -t +0)
gdzie "pm jest amplitudą zmian ciśnienia
5
INTERFERENCJA FAL
y2 = Asin(kx +t)
y1 = Asin(kx -t)
Fale stojące
ą + ą -
interferencja dwu fal rozchodzących się sin ą + sin = 2sin cos
2 2
w przeciwnych kierunkach na przykład +x i -x
y = y1 + y2 = 2Asin k x cost
y = A'cost
Ruch harmoniczny z amplitudą A'= 2Asin kx
Cząstki ośrodka drgają ruchem harmonicznym prostym ale w przeciwieństwie do fali
biegnącej, ró\ne punkty ośrodka mają ró\ne amplitudy drgań zale\ne od ich poło\enia x.
Punkty, które mają maksymalną amplitudę nazywamy strzałkami, a te które mają zerową
amplitudę i nazywane są węzłami.
Fale stojąca dla struny (pręta) zamocowanej na obu końcach.
n
F
L = n
v =
v = T = f (n = 1,2,3....)
2
Najni\sza częstość częstość podstawowa,
n n F
fn = v =
pozostałe wy\sze harmoniczne (alikwoty)
2L 2L
pręt zamocowany pręt swobodny
na jednym końcu na końcach
n n
L = n L = n
4 2
(n = 1,3,5....) (n = 1,2,3....)
n n
fn = v fn = v
4L 2L
6
Fale stojące w piszczałce
n
n
L = n
L = n
2
4
(n = 1,2,3....)
(n = 1,3,5....)
n
n
fn = v
fn = v
2L
4L
Barwa dzwięku zale\y od amplitud dla harmonicznych
wy\szego rzędu o częstotliwościach fn.
Dudnienia
Fale stojące fale o tej samej częstotliwości, interferencja w przestrzeni .
Dudnienia fale o nieco ró\niącej się częstotliwości, interferencja w czasie .
y1 = Asin1t = Asin 2Ą f1t y2 = Asin2t = Asin 2Ą f2t
ą + ą -
ł f1
ł - f2 łł f1 + f2
ł ł
sin ą + sin = 2sin cos
y = y1 + y2 = 2Ą t sinł 2Ą t
2 2 ł2Acosł 2 łśł ł 2 ł
ł łł ł łł
ł ł
f1 + f2
y = A'sin(t) = A'sin(2Ą f t)
f =
Drgania wypadkowe o częstotliwości
2
f1 - f2
famp =
i amplitudzie zmieniającej się w czasie z częstotliwością
2
7
Je\eli częstotliwości f1 i f2 są bliskie
y
siebie to amplituda zmienia się powoli
(famp jest mała).
f1 - f2
t
famp =
2
y
Mamy do czynienia z modulacją
amplitudy (AM amplitude modulation).
t
Zastosowanie modulacji ma na celu wprowadzenie do fali potrzebnej informacji,
która ma być przesłana.
Modulacja amplitudy jest najstarszym i najbardziej rozpowszechnionym (obok
modulacji częstotliwości FM) sposobem przesyłania informacji za pomocą fal
radiowych
n = 1
drganie wypadkowe
Analiza fal zło\onych
Wypadkowe drganie (chocia\ okresowe)
n = 3
nie musi być harmoniczne (nie daje się
n = 5
opisać funkcją sinus lub cosinus).
t
n = 7
Analiza Fouriera
Dowolne drganie okresowe o okresie T mo\emy przedstawić jako
kombinację liniową (sumę) drgań harmonicznych o okresach danych
wzorem Tn = T/n, gdzie n jest liczbą naturalną.
8
ZJAWISKO DOPPLERA
Zjawisko Dopplera polega na pozornej zmianie częstotliwości fali z powodu
ruchu obserwatora lub zródła fali.
Zjawisko Dopplera występuje dla wszystkich fal.
Przykład: Fale dzwiękowe - ruch zródła i obserwatora wzdłu\ łączącej ich prostej.
Porusza się tylko obserwator:
" dla nieruchomego obserwatora okres (czas miedzy
odebraniem kolejnych powierzchni falowych):
T = / v
gdzie v to prędkość dzwięku.
" je\eli obserwator porusza się z prędkością v0 w
kierunku zródła (wychodzi falom na przeciw) to odbiera
on powierzchnie falowe w odstępie czasu: T '= /(v + v0)
T v
v + vo
T' =
czyli:
f' = f
v + vo
v
" skróceniu ulega długość fali emitowanej ze zródła Z:
Porusza się tylko zródło:
vz v vz
2
= - vzT = - = -
f f f
" rejestrowana przez obserwatora O częstotliwość:
v v v
2
f = = = f
(v-vz )
2
v - vz
f
W sytuacji kiedy porusza się zarówno zródło jak i obserwator
ł ł
v ą vo Znaki "górne" odpowiadają zbli\aniu się zródła
f' = f ł ł
ł ł i obserwatora, a znaki "dolne" ich oddalaniu się.
v m vz
ł łł
" Zmiany częstotliwości zale\ą od tego czy porusza się zródło czy obserwator.
" Powy\sze wzory są słuszne gdy prędkości zródła i obserwatora są mniejsze od prędkości dzwięku.
Dla prędkości zródła większej
od prędkości dzwięku
powstaje sto\ek Macha
9
NATśENIE FALI (na przykładzie fali dzwiękowej)
Natę\enie biegnącej fali płaskiej (czyli moc na jednostkę powierzchni)
wynosi:
P "E
I = =
S "t "S
I ~<"p2 >
Dal fali kulistej mamy:
P P
I = =
Sr 4Ąr2
r
1
I "
r2
CZUAOŚĆ UCHA LUDZKIEGO
Przybli\ony związek między fizycznym
natę\eniem dzwięku (I), a subiektywnym
poziomem dzwięku (L) ujmuje prawo
Webera - Fechnera:
L " log I
Natę\enie dzwięku wyra\amy w
decybelach (dB):
I
IdB = 10 log
I0
gdzie I0 (10-12 W/m2) jest natę\eniem
progu słyszalności dla tonu o
częstotliwości 1000 Hz.
10
Poziom wra\enia dzwięku L zale\y od częstotliwości i wyra\amy go w fonach.
Dzwięk o danym natę\eniu i częstotliwości ma tyle fonów ile decybeli ma dzwięk
o takim samym wra\eniu głośności i o częstotliwości równej 1 kHz.
Rodzaj IdB
dzwięku (dB)
Szelest liści 4
Szept 24
Rozmowa 64
Orkiestra 74
Metro 94
Grzmot 114
Zakres słyszalności ucha ludzkiego rozciąga się od 16 Hz do 20 kHz
11
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
POPRAWIONE RYSUNKI WAŁ A4Dreamer Przebudzenie poprawkipoprawka 14 StockExchangeCwiczenia poprawiajace stabilizacje, równowage i zakres ruchomosciB2 Poprawność GramatycznaSpis hierarchiczny poprawnypytania tele poprawkaTUTORIALE Modelowanie Poprawianie błędów funkcji BOOLEAN w 3ds max214Żurek poprawiony artwięcej podobnych podstron