Wykład 13.
Elektryczność i magnetyzm. Prąd elektryczny
1. Energia pola elektrycznego
Pole elektryczne zawiera w sobie energię. Aatwo to wykazać na podstawie
r
Ć(r )
poprzednich rozwa\ań. Aadunek q umieszczony w miejscu o potencjale
U (r) = qĆ(r)
posada energię potencjalną równą . Praca niezbędna do
przemieszczenia ładunku między dwoma punktami o ró\nicy potencjałów
"Ć(r)
jest równa:
W (r1 r2) = q"Ć = q(Ć(r1) -Ć(r2))
(1.1),
Przypadek dwóch ładunków jest prosty. Mo\na uogólnić to na przypadek N
ładunków punktowych, ka\dy qi umieszczony w punkcie ri. Energia potencjalna
takiego układu ładunków jest równa:
N
1
U = V (ri )
(1.2).
"qi
2
i
V (r) = Ć(r)
gdzie potencjał oznaczam tutaj konwencjonalnie przez . Czynnik
występuj we wzorze 1.2, poniewa\ dwukrotnie sumujemy po ka\dym ładunku.
W przypadku, gdy ładunków jest bardzo du\o, gdy mamy ciągły a nie dyskretny
rozkład ładunków, energia potencjalna jest określona przez zale\ność:
1
U = (r)V (r)d3r
(1.3),
+"
2
(r)
gdzie to gęstość ładunku, V(r) potencjał pola elektrycznego w punkcie r,
a całkowanie odbywa się po całej przestrzeni.
Korzystając z prawa Gaussa:
r r
(r)
div E = " E =
(1.4),
mo\na wykazać, \e energia potencjalna ciągłego układu ładunków wynosi:
r
2
1
3
U = E d r
(1.5),
+"
2
1
przypominam całkujemy po całej przestrzeni.
Wielkość występującą pod całką nazywamy gęstością energii pola
elektrycznego (energia na jednostkę objętości):
r
2
1
w = E
(1.5).
2
2. Prąd elektryczny
W pewnej grupie materiałów, zwanych przewodnikami, przyło\one pole
elektryczne wywołuje przepływ elektronów, zgodnie z ró\nicą potencjałów
(przyło\onym napięciem). Zjawisko to opisuje prawo Ohma:
U = I " R (2.1).
U napięcie (ró\nica potencjałów) [V - volt], I natę\enie prądu [A - amper],
R stała, opór w jednostkach [&! - ohm]
Przykład
Układ zmiennoprądowy z kondensatorem. Schemat układu pokazuje rysunek.
yródło jest zmiennoprądowe
Odpowiedz układy (opornika, rezystora) jest następująca:
2
Napięcie i natę\enie prądu płynącego obwodzie są zgodne w fazie. Zwią\ek
między napięciem a natę\eniem prądu podaje prawo Ohma:
U
I =
Z
gdzie Z impedancja równa oporowi (rezystancji):
Z = R
Impedancja (opór) dla tego obwodu jest stały, nie zale\y od kierunku prądu ani
od częstości prądu (napięcia)!
Prąd elektryczny uporządkowany ruch ładunków. Definiujemy go poprzez
wielkość zwaną natę\eniem prądu elektrycznego, który jest równa:
dQ
I =
(2.2),
dt
zmiana w czasie ładunku przepływającego przez powierzchnię prostopadłą do
przewodnika. W przypadku, gdy płynący prąd jest stały równanie 2.2 sprowadza
się do prostego ilorazu:
Q
I =
(2.3),
t
natę\enie prądu jest równe ilorazowi ładunku elektrycznego, jaki przepłynął
przez powierzchnię, do czasu przepływu. W układzie SI jednostki są następujące:
1C
1 A =
(2.4),
s
Równania 2.2 i 2.3 opisują prąd elektryczny makroskopowo, jest to prąd
przepływający przez cały przekrój porzeczny przewodnika. Mikroskopowo
opiszemy prąd definiując wektor gęstości prądu:
r
r
d I
j =
(2.4a),
dS
w jednostkach [A/m2]. Natę\enie prądu jest wektorem o wartości określonej
równaniem 2.3 (lub 2.4) a o zwrocie (i kierunku) płynącego prądu Historycznie
rzecz ujmując, kierunek prądu wyznacza ruch dodatnich ładunków. W metalach,
3
jak miedz, aluminium, złoto, dodatnie jonu są nieruchome, a w przepływie
prądu biorą udział tylko ujemnie naładowane elektrony (płynąc w przeciwnym
kierunku). W wielu materiałach obserwujemy jednoczesny ruch dodatnich i
ujemnych ładunków np.: elektrolity. Prąd w plazmie to przepływ elektronów
oraz dodatnich i ujemnych jonów. Są materiały, półprzewodniki typu p, w
których prąd jest dobrze opisać jako ruch dodatnio naładowanych elektronów,
tzw. dziur ( holes ).
Prąd elektryczny w przewodniku, opisany prawem Ohma zmienia się, gdy
zmienia się temperatura przewodnika. Dzieje się tak dlatego, i\ opór R, nie jest
stały, ale w istocie zmienia się liniowo w funkcji temperatury:
R(T ) = R0(1+ ą (T - T0))
, (2.5),
gdzie R0 to opór materiału w temperaturze T0. Nale\y pamiętać, \e zale\ność 2.5
jest tylko przybli\ona i ma ograniczony zakres stosowalności dla przewodników
jednorodnych, izotropowych i przy niewielkich wahaniach temperatur.
Dla przewodnika o długości l, przekroju poprzecznym S, jego opór R będzie
równy:
l
R =
, (2.6),
S
gdzie to opór właściwy [&! m] wartość charakterystyczna materiału, z którego
wykonano przewodnik.
Ze względu na opór właściwy materiały dzielimy na przewodniki,
półprzewodniki i izolatory.Wartość oporu właściwego dla kilku materiałów
przedstawia tabela.
Tabela. Oporność właściwa niektórych materiałów
[&! m]
miedz (Cu) 1.68 x 10-8
aluminium (Al) 2.65 x 10-8
german (Ge)* 1 500 x 10-3
węgiel, grafit (C)* 3 60 x 10-5
krzem (Si)* 0.1 - 60 x 10-3
szkła 1 10000 x 109
kwarc (SiO2) 7.5 x 1017
* - opór właściwy półprzewodników silnie zale\y od obecności i koncentracji
domieszek. Własność wykorzystywana w fizyce ciała stałego i przemyśle
półprzewodnikowym
4
Warto zwrócić uwagę, \e oporność właściwa dla przewodnika i izolatora ró\nią
się między sobą o 24 rzędy wielkości! Czy istnieją materiały, których opór jest
równy zero?
Tak. Istnieją materiały, które nie mając oporu! Zjawisko nadprzewodnictwa.
Nadprzewodniki wysokotemperaturowe.
Wprowadzają przewodność właściwą, jako odwrotność oporu właściwego
1
=
, oraz pamiętając, \e U = El, zaś gęstość prądu j=I/S otrzymamy
zale\ność:
r
r
j = " E
, (2.7),
lub
r
r
E = " j
, (2.7a).
Jest to ró\niczkowa (mikroskopowa) postać prawa Ohma. Mówi ona, \e gęstość
prądu (pole elektryczne) jest proporcjonalna do pola elektrycznego (gęstości
prądu) a współczynnikiem proporcjonalności jest opór (przewodność) właściwy.
W materiałach anizotropowych zarówno jak i są tensorami (macierzami).
2.1 Praca i moc prądu
Opornik o oporze R przekształca energię elektryczną na ciepło. Praca wykonana
przy przesunięciu ładunku dq przy napięci U wynosi:
dW = U " dq = U " I dt
, (2.8).
Całkowita praca wykonana w czasie t będzie równa:
t t
W = dW = U " I dt = U " I " t
, (2.9).
+" +"
0 0
Praca ta zamienia się w ciepło. Jest to ciepło Joula Lentza. Moc prądu wynosi:
dW
P = = U " I
, (2.9).
dt
5
Jednostką pracy (ciepła) jest 1J (Joul), jednostką mocy jest Wat (kilowat kW,
gigawat GW), 1 W= 1 J/s = 1 V A.
2.2 U\yteczne prawa i zale\ności
Zazwyczaj mamy do czynienia z mniej lub bardziej skomplikowaną siecią
elementów elektrycznych (oporników i innych). Do obliczeń sieci u\yteczne są
dwa prawa Kirchoffa.
I prawo Kirchoffa:
N
= 0
(2.2.1),
"Ii
i
suma prądow wpływających i wypływających z węzła sieci jest równa zero.
II prawo Kirchoffa:
+ " Ri = 0
(2.2.2),
"i "Ii
W oczku sieci suma sił elektromotorycznych i spadków napięć jest równa zero
(zasada zachowania energii)
Związek między siłą elektromotoryczną zródła prądu a napięciem U i
natę\eniem I jest następujący
U = - I " Rw
(2.2.3),
gdzie Rw opór wewnętrzny zródła.
W wielu sieciach mamy do czynienia z wieloma opornikami połączonymi
równolegle lub (i) szeregowo. Często musimy znalezć oporność zastępczą
układu szeregowo lub równolegle połączonych oporników.
Aączenie szeregowe oporników
Opór zastępczy układu N szeregowo połączonych oporników jest równy:
N
R =
(2.2.4),
"Ri
i
Aączenie równolegle oporników
6
Opór zastępczy układu N równolegle połączonych oporników jest równy:
N
1 1
=
(2.2.5),
"
R Ri
i
3. Kondensatory
Najprostszy przykład kondensatora przykład kondensatora płaskiego pokazuje
rys. 3.1
Rys. 3.1 Kondensator płaski
Podłączona bateria transportuje ładunki z jednej płyty kondensatora na drugą,
dopóki napięcie między płytami kondensatora nie zrówna się z napięciem baterii.
Parametr charakteryzujący kondensator to pojemność kondensatora:
Q
C =
(2.2.5),
U
Jednostki 1 F Farad = 1 Coulomb/ V
Kondensatory magazynują energię w postaci pola elektrycznego. Praca przy
umieszczeniu ładunku dq na kondensatorze o napięciu U wynosi:
dW = U dq = CU dU
(2.2.6),
Dlatego energia naładowania kondensatora o pojemności C i napięciu U jest
równa:
7
U
1 1 Q2
2
E = C U dU = CU = QU =
(2.2.7),
+"
0
2 2 2C
Energia kondensatora jest równa pracy wykonanej przy ładowaniu kondensatora.
Przykład:
1. Kondensator płaski (rys. 3.1) o powierzchni okładek S, odległych o d,
wypełniony dielektrykiem dielektrykiem ma pojemność:
S
C = 0
(2.2.5),
d
2. Kondensator kulisty (rys. 3.1) o promieniach R1 i R2, wypełniony
dielektrykiem dielektrykiem ma pojemność:
R1R2
C = 4Ą0
(2.2.5),
R1 - R2
Aączenie równoległe kondensatorów:
Pojemność zastępcza układu N równolegle połączonych kondensatorów jest
równa:
N
C =
(2.2.4),
"Ci
i
Aączenie szeregowe oporników
Opór zastępczy układu N szeregowo połączonych oporników jest równy:
N
1 1
=
(2.2.5),
"
C Ci
i
8
3.1 Układ z kondensatorem
Rozpatrzmy układ składający się ze zródła (zmienne napięcie) i kondensatora
(patrz rysunek).
Odpowiedz kondensatora jest następująca:
Napięcie jest przesunięte w fazie o 900 w stosunku do natę\eni prądu. Związek
między napięciem a natę\eniem prądu jest następujący:
U
I =
(2.1).
XC
gdzie XC impedancja równa:
1
XC =
(2.1).
C
Dla tego obwodu impedancja jest funkcją częstości, nie jest stała!
9
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Wyklad 12 Elektryczność i magnetyzm Prawo GaussaSKRYPT WYKŁAD WŁAŚCIWOŚCI ELEKTRYCZNE I MAGNETYCZNE MATERII ORAZ ORGANIZMÓW ŻYWYCHwyklad5 podpis elektronicznyWyklad 11 ElektrostatykaWykład 20 ElektrycznośćETP wyklad 12 elektroniczne systemy pomiaru katowWyklad 10 Elektrolity, woda, kwasy i zasady PCHN SKP studportBudownictwo Ogolne II zaoczne wyklad 13 ppozwykład 13 24 1 13WDP Wykład 13wykład 13 i 14 stacjonarneWykład 13Wykład 13więcej podobnych podstron