Wykład 17
Izolatory i przewodniki
Wszystkie ciała możemy podzielić na przewodniki i izolatory albo dielektryki.
Przewodnikami są wszystkie metale, roztwory kwasów i zasad, roztopione soli, nagrzane gazy
itp. Charakterystyczną cechą przewodników, z punktu widzenia mikroskopowego jest
obecność w nich swobodnych ładunków elektrycznych, które pod wpływem nawet słabego
pola elektrycznego mogą przemieszczać się w ciele na duże odległości. W metalach ładunkami
swobodnymi są elektrony; w roztworach kwasów i zasad swobodnymi ładunkami są dodatnie i
ujemnie naładowane jony - kationy i aniony.
W dielektrykach nie ma ładunków swobodnych, a istniejące ładunki - elektrony i jądra
atomowe, są silnie związane między sobą tak, że działanie zewnętrznego pola elektrycznego
może powodować tylko małe przemieszczenia ładunków względem ich położeń
równowagowych. Izolatorami są bursztyn, szkło, kauczuk itp.
Podział ciał na izolatory i przewodniki jest umowny, ponieważ zdolności ciał do
przewodnictwa elektrycznego silne zależą od warunków zewnętrznych - temperatury, ciśnienia
itd. Ponadto istnieje liczna grupa ciał, zwanych półprzewodnikami, które wykazują zdolności
do przewodnictwa pośrednie między przewodnikami i izolatorami.
Przewodniki w polu elektrycznym
Umieścimy przewodnik w zewnętrznym polu elektrostatycznym. Wskutek działania
pola elektrycznego swobodne ładunki zaczną poruszać się w kierunku przeciwnym do
kierunku pola. Ten ruch uporządkowany ładunków nie może trwać w nieskończoność i po
upływie pewnego czasu nastąpi stan statyczny. W sytuacji statycznej, która powstaje gdy
ładunki po wszystkich przegrupowaniach przestały poruszać się, przewodnik musi mieć
następujące właściwości:
1. Pole elektryczne wewnątrz przewodnika jest równe zeru:
rð
Ewewn = 0 . (17.1)
Jeżeliby pole wewnątrz przewodnika nie było równe zeru, swobodne ładunki doznawałyby
działanie siły, wskutek czego zaczęłyby się poruszać się, a to byłoby sprzeczne z założeniem,
że mamy sytuację statyczną.
211
2. Na powierzchni przewodnika wektor natężenia pola elektrycznego jest prostopadły
do tej powierzchni:
rð rð
E = En ,
rð
EÄ = 0 . (17.2)
Gdyby tak nie było, to pod działaniem składowej pola, stycznej do powierzchni przewodnika
rð
EÄ elektrony przemieszczaÅ‚yby siÄ™ i nie mielibyÅ›my sytuacji statycznej.
3. Każdy punkt objętości przewodnika ma ten sam potencjał. Istotnie, w dowolnym
punkcie wewnÄ…trz przewodnika, zgodnie z (17.1)
rð rð
dÕ = -Ewewn Å" dl = 0 , skÄ…d Õ = const .
4. Powierzchnia przewodnika też jest powierzchnią ekwipotencjalną, ponieważ,
zgodnie (17.2) dla dowolnej linii na powierzchni przewodnika
rð rð rð rð
dÕ = -E Å" dl = -EÄ Å" dl = 0 , skÄ…d Õ = const .
5. Całkowity ładunek wewnątrz przewodnika jest równy zeru. Ta właściwość
przewodnika wynika z prawa Gaussa i wzoru (17.1)
rð rð
Q = µ0 Å" Ewewn Å" dS = 0
.
+"
6. W naładowanym przewodniku w stanie statycznym wszystkie nie skompensowane
ładunki elektryczne rozkładają się wyłącznie na powierzchni przewodnika. Ta właściwość
przewodnika też wynika z prawa Gaussa i wzoru (17.1).
7. Pole elektryczne na powierzchni przewodnika wynosi
212
rð
à (x, y, z) rð
E(x, y, z) = Å" n
µ0 , (17.3)
à (x, y, z) - gÄ™stość powierzchniowa Å‚adunku w punkcie
(x, y, z)
gdzie powierzchni
rð
rð
przewodnika; jest jednostkowy wektor skierowany na zewnÄ…trz powierzchni
n = "S / "S
przewodnika.
Dla udowodnienia (17.3) znajdziemy strumień pola elektrycznego przez powierzchnie
małego walca prostopadłego do powierzchni przewodnika.
Wskutek (17.2) oraz małości walca strumień przez boczne powierzchni walca jest
równy zeru. Przez dolną podstawę walca strumień też jest równy zeru, ponieważ wewnątrz
E = 0
przewodnika . A zatem całkowity strumień pola przez powierzchnie małego walca jest
"S
równy strumieniowi tylko przez górną podstawę :
rð rð
.
Åš = E Å" "S
q
Zgodnie z prawem Gaussa ten strumień jest równy ładunkowi objętemu przez powierzchnie
walca. Ponieważ ładunek ten jest zgromadzony tylko na powierzchni przewodnika,
"S
wprowadzając gęstość powierzchniową ładunku na elemencie powierzchni przewodnika
q
à =
,
"S
otrzymujemy
rð rð
à Å" "S
Åš = E Å" "S =
µ0 .
213
Skąd wynika wzór (17.3):
rð
rð Ã
E = En = (E Å" n) =
µ0 .
à (x, y, z)
8. Gęstość powierzchniowa ładunków elektrycznych zależy od kształtu
powierzchni przewodnika i jest największa na ostrzach i występach.
R1 R2 R1 R2
Rozważmy dwie naładowane kuli metaliczne o promieniach i ( > ),
połączone przewodnikiem. W stanie statycznym potencjały dwóch kul muszą być równe, a
zatem:
1 q1 1 q2
Õ1 = = Õ2 =
4Ä„µ0 R1 4Ä„µ0 R2
SkÄ…d
q1 q2
=
R1 R2 . (17.4)
2
Ponieważ q1 = 4Ä„R12Ã1 i q2 = 4Ä„R2Ã , ze wzoru (17.4) otrzymujemy
2
2
4Ä„R12Ã1 4Ä„R2Ã
2
=
.
R1 R2
StÄ…d
R1Ã1 = R2Ã
. (17.5)
2
Ze wzoru (17.5) wynika, że
R1
à = Ã1 >> Ã1 . (17.6)
2
R2
214
Ã (x, y, z)
A więc gęstość powierzchniowa ładunków elektrycznych jest największa tam gdy
powierzchnia przewodnika jest najbardziej zakrzywiona, czyli na ostrzach i występach.
à = µ0E
Zgodnie z (17.3) , a zatem ze wzoru (17.6) otrzymujemy
R1
E2 = E1 >> E1 . (17.7)
R2
Równanie (17.7) oznacza, że natężenie pola elektrycznego jest największe tam gdy największa
jest gęstość powierzchniowa ładunków, czyli na ostrzach i występach naładowanego
przewodnika.
9. W pozbawionym ładunku obszarze, który jest otoczony przewodnikiem tworzącym
zamkniętą powierzchnią, pole elektryczne znika.
Już wiemy, że w stanie statycznym wewnątrz przewodnika, znajdującym się w polu
elektrycznym, nie ma pola elektrycznego, oraz całkowity ładunek w dowolnej części wewnątrz
przewodnika jest równy zeru. A zatem jeżeli usuniemy jakąś wewnętrzną część przewodnika,
to w powstałym wydrążeniu pole elektryczne w stanie statycznym zawsze będzie równe zeru.
Ta właściwość zamkniętej przewodzącej powłoki ekranowania wewnętrznego obszaru od pola
elektrycznego zewnętrznego znajduje szerokie zastosowanie w praktyce, jako ekran
elektryczny.
Q
10. Jeżeli ładunek elektryczny otoczymy uziemionym ekranem elektrycznym, to pole
Q
elektryczne Å‚adunku znika na zewnÄ…trz ekranu.
Rozważmy wewnątrz przewodnika - ekranu elektrycznego, zamkniętą powierzchnię,
Q
otaczającą ładunek . Ponieważ w stanie statycznym pole wewnątrz przewodnika jest równe
zeru, to strumień pola elektrycznego przez wybraną dowolną powierzchnię wewnątrz
przewodnika musi być równy zeru. Zgodnie z prawem Gaussa, to oznacza, że wewnątrz
objętości otoczoną powierzchnią Gaussa całkowity ładunek jest równy zeru. Wewnątrz
Q
powierzchni Gaussa (w wydrążeniu) znajduje się ładunek , a zatem dla tego, żeby całkowity
ładunek wewnątrz powierzchni Gaussa był równy zeru, w przewodniku musi być indukowany
Å‚adunek - Q
. Ten indukowany ładunek może znajdować się tylko na wewnętrznej ściance
ekranu, ponieważ wewnątrz przewodniku nie mogą istnieć ładunki nie skompensowane.
Ponieważ całkowity ładunek ekranu metalicznego nie może zmienić się, z faktu indukowania
215
Å‚adunku - Q
na wewnętrznej ściance ekranu wynika, że na zewnętrznej ściance ekranu
Q
indukuje siÄ™ Å‚adunek .
Jeżeliby ekran nie był połączony z Ziemią przewodnikiem czyli nie był uziemiony, układ
Q
- (ładunek + ekran), wytwarzałby na zewnątrz układu takie same pole jak ładunek .
Uziemienie ekranu elektrycznego powoduję, że potencjał ekranu wyrównuje się z potencjałem
Õ = 0
Ziemi, czyli potencjał zewnętrznej powłoki ekranu staje się równym . Zerowy potencjał
Õ " Q Q
ekranu ( ) oznacza, że indukowany na zewnętrznej powłoce ekranu ładunek
"przepływa" do Ziemi. Wskutek takiego przemieszczenia się ładunku ekran staje się
naładowany, ale właśnie wskutek takiego naładowania ekranu, całkowity ładunek układu -
(ładunek + ekran) staje się równy zeru, a pole elektryczne wytwarzane przez indukowany na
wewnętrznej powłoce ekranu ładunek - Q
całkowicie kompensuje pole wytwarzane przez
Q
Å‚adunek .
11. Między ładunkami elektrycznymi zgromadzonymi na powierzchni przewodnika
p
działają siły Coulomba, które powodują, że ciśnienie działające na powierzchnię
naładowanego przewodnika jest równe
2
à µ0 2
p = = Å" E
. (17.8)
2µ0 2
"S
Rozważmy na powierzchni naładowanego przewodnika mały element powierzchni ,
(Ã Å" "S)
którego ładunek jest równy . Na wybrany element powierzchni działa siła
216
rð rð
"F = (Ã Å" "S) Å" E0 , (17.9)
rð
gdzie E0 jest natężeniem pola elektrycznego, wytwarzanego przez wszystkie ładunki
elektryczne rozmieszczone na pozostałej powierzchni przewodnika w miejscu gdy znajduje się
wybrany element powierzchni "S .
rð
Oprócz pola o natężeniu E0 w pobliżu elementu powierzchni "S istnieje również pole
rð
elektryczne , pochodzące od ładunków elementu powierzchni "S . Całkowite pole
E1
elektryczne na powierzchni "S , więc wynosi
rð rð rð
E = E0 + E1 . (17.10)
rð
Załóżmy, że element powierzchni "S jest naÅ‚adowany dodatnie (à > 0 ). Wtedy pole
E1
pochodzące od ładunków tego elementu w pobliżu zewnętrznej powierzchni "S ma zwrot na
zewnątrz przewodnika, a pole w pobliżu wewnętrznej powierzchni "S jest skierowane wgłęb
przewodnika. Ponieważ w stanie statycznym pole wewnątrz przewodnika musi być równe zeru
znajdujemy
rð rð rð
Ewew = E0 + E1wew = 0 .
SkÄ…d
rð rð
E0 = -E1wew . (17.11)
217
rð
Na zewnątrz wybranego elementu "S przewodnika pole E0 zachowuje swój kierunek,
rð rð rð
natomiast pole E1 zmienia swój zwrot: E1zew = -E1wew Biorąc pod uwagę (17.11), ze wzoru
(17.10) znajdujemy
rð rð rð rð
E = E0 + E1zew = 2E0 . (17.12)
rð
rð
Pole elektryczne na powierzchni przewodnika określa wzór (17.3). A zatem dla pola E0
E
otrzymujemy
rð
rð
E Ã rð
E0 = = Å" n
. (17.13)
2 2µ0
Po podstawieniu (17.13) do wzoru (17.9) mamy
2
rð rð
à rð
"F = (Ã Å" "S) Å" E0 = "S Å" n
. (17.14)
2µ0
rð
2
"F " Ã
Ponieważ , w niezależności od znaku ładunku elementu "S powierzchni, siła
działająca na ten element jest zawsze zwrócona w kierunku normalnej zewnętrznej. Wynik ten
stanowi następstwo odpychania się ładunków powierzchniowych.
Dla ciśnienia, ze wzoru (17.14) otrzymujemy
rð
2 2
"F
à E
p = = = µ0 . (17.15)
"S 2µ0 2
Pojemność elektryczna
Rozważmy przewodnik o dowolnym kształcie. Po udzieleniu temu przewodnikowi
q
à (x, y, z)
ładunku , ładunek zostaje rozłożony po powierzchni przewodnika z gęstością .
q q
Charakter rozkładu ładunku zależy nie od ładunku całkowitego , lecz jedynie od kształtu
q
przewodnika. Jeżeli przekażemy temu naładowanemu przewodnikowi jeszcze ładunek , to
2q
charakter rozkładu wypadkowego ładunku będzie taki sam jak charakter rozkładu ładunku
q
. Zwiększy się tylko o dwa razy gęstość powierzchniowa ładunku w każdym punkcie
q
à (x, y, z)
powierzchni. Inaczej mówiąc stosunek gęstości powierzchniowej ku ładunkowi
218
Ã (x, y, z)
f (x, y, z) =
(17.16)
q
(x, y, z)
określa pewną funkcję współrzędnych dowolnego punktu
powierzchni przewodnika.
Funkcja ta zależy wyłącznie od kształtu powierzchni przewodnika.
Znajdziemy teraz potencjał pola naładowanego przewodnika w punkcie P . Podzielmy
powierzchnię przewodnika na nieskończenie małe elementy dS . Potencjał pola ładunku (
à Å" dS ) w punkcie P wynosi
1 Ã Å" dS q f (x, y, z) Å" dS
dÕ = =
. (17.17)
4Ä„µ0 r 4Ä„µ0 r
Całkując to wyrażenie względem całej powierzchni przewodnika otrzymujemy dla potencjału
pola naładowanego przewodnika w punkcie P :
îÅ‚ Å‚Å‚
1 f (x, y, z) Å" dS
Õ = q Å"
. (17.18)
ïÅ‚4Ä„µ śł
+"
r
0
ðÅ‚ S ûÅ‚
Wzór (17.18) jest słuszny dla dowolnego punktu P . Niech ten punkt P znajduje się na
powierzchni przewodnika. Ponieważ powierzchnia przewodnika jest powierzchnią
(Õ = const)
ekwipotencjalną , wartość całki we wzorze (17.18) musi nie zależeć od położenia
punktu P na powierzchni przewodnika. Więc całka
îÅ‚ Å‚Å‚
1 f (x, y, z) Å" dS
ïÅ‚4Ä„µ śł
+"
r
0
ðÅ‚ S ûÅ‚
we wzorze (17.18) wyliczona dla dowolnego punktu na powierzchni przewodnika jest
wielkością zależną jedynie od rozmiarów i kształtu powierzchni przewodnika.
Wielkość
219
-1
îÅ‚ Å‚Å‚
1 f (x, y, z) Å" dS
C a" (17.19)
ïÅ‚4Ä„µ śł
+"
r
0
ðÅ‚ S ûÅ‚
nazywa się pojemnością elektryczną przewodnika. Związek (17.18) z uwzględnieniem (17.19)
możemy zapisać w postaci
q
q
C =
Õ =
albo . (17.20)
Õ
C
q
Pojemność elektryczna przewodnika jest równa więc ilości elektryczności ( ), jakiej należy
udzielić nie naładowanemu przewodnikowi w celu zmiany jego potencjału o jednostkę:
Õ = 1 V
.
Korzystając ze wzoru (17.19) obliczmy pojemność elektryczną kuli przewodzącej o
promieniu R . Zgodnie ze wzorem (17.16)
à (x, y, z) à 1
f (x, y, z) = = =
. (17.21)
q (4Ä„R2 ) Å"Ã 4Ä„R2
A zatem
îÅ‚ Å‚Å‚
1 f (x, y, z) Å" dS 1 dS
=
ïÅ‚4Ä„µ śł
+" +"r . (17.22)
r (4Ä„ )2µ0R2 S
0
ðÅ‚ S ûÅ‚
r
We wzorze (17.22) jest odległością elementu powierzchni kuli dS od dowolnie wybranego
punktu na powierzchni kuli.
P
220
Wybierzmy punkt na biegunie północnym kuli. Wtedy biorąc pod uwagę, że
P
¸ ¸
dS = R2 sin¸ Å" d¸ Å" dÕ = 2R2 sin cos Å" d¸ Å" dÕ
,
2 2
¸
r = 2R Å"sin
,
2
znajdujemy
2Ä„ Ä„
1 dS 1 ¸ 1 1
d cos d¸ = Å"
. (17.23)
+"r = +"Õ+"
(4Ä„ )2µ0R2 S (4Ä„ )2µ0 Å" R 2 4Ä„µ0 R
0 0
Po podstawieniu tego wyniku do wzoru (17.19) otrzymujemy
-1
îÅ‚ Å‚Å‚
1 f (x, y, z) Å" dS
C a" = (4Ä„µ0 ) Å" R . (17.24)
ïÅ‚4Ä„µ śł
+"
r
0
ðÅ‚ S ûÅ‚
Oczywiście, że wzór (17.24) również wynika ze wzoru (17.20), jeżeli przypomnimy, że
Õ = q /(4Ä„µ0 Å" R)
potencjał kuli o promieniu jest równy .
R
W układzie SI jednostką pojemności jest farad (F)
1C
1F =
.
1V
Ze wzoru (17.24) otrzymujemy, że pojemność elektryczną równą 1 faradowi posiada
k = 1 4Ä„µ0 9 Å"109
kula przewodzÄ…ca o promieniu ( = Nm2/C2)
C
R = = 9 Å"109 m = 9 Å"106 km.
4Ä„µ0
RZ = 6400
Przypomnimy, że promień Ziemi wynosi km.
µF
W praktyce stosuje się często pochodne jednostki pojemności elektrycznej: 1 mikrofarad ( )
pF
= 10-6 F; 1 pikofarad ( ) = 10-12 F.
Pojemność układu przewodników. Kondensatory
Pojemność odosobnionego naładowanego przewodnika określa wzór (17.20). Jeżeli jednak
w sąsiedztwie tego przewodnika umieścimy drugi nawet nie naładowany przewodnik, to
221
q
pojemność naładowanego przewodnika, czyli stosunek ładunku przewodnika do jego
potencjaÅ‚u Õ , zwiÄ™kszy siÄ™. Istota tego zjawiska polega na tym, że w polu elektrycznym
wytwarzanym przez przewodnik naładowany, nie naładowany przewodnik elektryzuje się, przy
czym najbliższymi do naładowanego przewodnika okazują się ładunki przeciwnego znaku. Te
indukowany ładunki wytwarzają swoje pole elektryczne, które ma przeciwny zwrot niż pole
naładowanego przewodnika. Wskutek nałożenia (superpozycji) tych dwóch pól potencjał
C = q Õ
naładowanego przewodnika zmniejszy się, a pojemność ( ) - zwiększy się.
Ta właściwość przewodnika zwiększać pojemność innych przewodników ze swego
otoczenia, znajduje praktyczne zastosowanie w urządzeniach które nazywamy
kondensatorami. Kondensator składa się z dwóch naładowanych przewodników, które
posiadają taki kształt i są tak względem siebie położone, że wytwarzane przez nie pole
elektrostatyczne jest całkowicie lub niemal całkowicie skupione w ograniczonej przestrzeni.
Pojemność kondensatora określamy wzorem
q
C =
, (17.25)
U
q > 0 U = Õ1 - Õ2 > 0
gdzie - ładunek jednej z okładek i jest różnicą potencjałów między
okładkami kondensatora.
W zależności od kształtu okładek kondensatory dzielą się na płaskie, kuliste i
cylindryczne.
Określimy pojemność płaskiego kondensatora. Różnica potencjałów między okładkami
jest równa
222
d
à q d
U = Õ1 - Õ2 = E Å" dx = Å" d = Å"
,
+"
µ0 µ0 S
0
a zatem
q S
C = = µ0 Å"
.
U d
223


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
alergologia przewodnik
Cin 10HC [ST&D] PM931 17 3
17 Prawne i etyczne aspekty psychiatrii, orzecznictwo lekarskie w zaburzeniach i chorobach psychiczn
17 (30)
przewody sprezonego powietrza
Czarnogóra Przewodnik
przewody ochronnecz1
Fanuc 6M [SM] PM956 17 3

więcej podobnych podstron