KINEMATYKA MANIPULATORÓW
WPROWADZENIE
1. Manipulator
Robot można podzielić na część sterującą i mechaniczną. Część mechaniczna nazywana jest
manipulatorem. Z punktu widzenia Mechaniki ta część jest najbardziej interesująca.
Manipulator zasadniczo można podzielić na dwie części: na człony i na pary kinematyczne.
Pary kinematyczne można podzielić na:
" pary kinematyczne obrotowe
" pary przesuwne (pryzmatyczne).
2. Pozycja i orientacja
Żeby znalez
ć położenie jednego członu manipulatora względem drugiego należy określić
pozycję i orientację. Z obydwoma członami związujemy lokalne układy współrzędnych.
Pozycja związana jest bezpośrednio z położeniem jednego układu względem drugiego.
Orientacja zaś określa pod jakim kątem dany układ jest obrócony względem drugiego.
3. Kinematyka manipulatora
Kinematyka jest nauką, która zajmuje się badaniem ruchu bez uwzględniania sił
wywołujących ten ruch. Badane są zmiany położenia, prędkości i przyspieszeń każdego
członu, a co za tym idzie  każdego punktu leżącego na danym członie (w szczególności
chwytaka).
Liczbą stopni swobody nazywamy liczbę niezależnych zmiennych położenia, które należy
podać w celu jednoznacznego określenia położenia wszystkich składowych manipulatora.
4. Proste zadanie kinematyki
Proste zadanie kinematyki jest to zadanie statyczno-geometryczne polegające na obliczaniu
pozycji i orientacji członu roboczego manipulatora. Mając dane wszystkie współrzędne
konfiguracyjne należy obliczyć pozycję danego punktu związanego z robotem (w
szczególności chwytaka) względem globalnego układu współrzędnych. Zadanie to czasem
traktujemy jako zadanie odwzorowania opisu położenia manipulatora w przestrzeni
współrzędnych konfiguracyjnych na opis w przestrzeni współrzędnych kartezjańskich.
5 Odwrotne zadanie kinematyki
Dane są pozycja i orientacja członu roboczego manipulatora, należy obliczyć wszystkie
możliwe zbiory współrzędnych konfiguracyjnych, umożliwiające uzyskanie zadanych pozycji
i orientacji. Jest to zadanie trudniejsze ze względu na wielokrotność rozwiązań i nieliniowość.
KINEMATYKA MANIPULATORÓW
ODWZOROWANIE PRZESUNI
Ć I OBROTÓW
1. Odwzorowanie przesunięć układów współrzędnych
{B}
�B
B
P
A
{A}
�A
P
v
B
A
PBORG X
Ć
B
v
A
Ć
X
A
Rys.1. Położenie punktu danego w układzie {B} względem układu {A}. Układy {A} i {B} są równoległe.
Dany jest wektor położenia początku układu {B} względem układu {A}:
A
�ł łł
pxBORG
�ł śł
A A
PBORG = pyBORG śł .
�ł
A
�ł
pzBORG śł
�ł �ł
Dane jest również położenie wybranego punktu w układzie {B}:
B
�ł łł
px
�ł śł
B B
P = py śł .
�ł
B
�ł śł
pz
�ł �ł
Położenie tego punktu względem układu {A} dane jest następującym równaniem
wektorowym:
A A
P=BP+ PBORG .
W rezultacie uzyskamy:
B A
�ł łł
px + pxBORG
�ł śł
A B A
P = py + pyBORG śł .
�ł
B A
�ł
pz + pzBORG śł
�ł �ł
2. Odwzorowanie obrotów układów współrzędnych.
{A}
�A
{B}
�B
B
P
v
B
v
A
Ć Ć
X X
A B
Rys.2. Położenie punktu danego w układzie {B} względem układu {A}. Układy {A} i {B} mają wspólny
początek.
Załóżmy, że układ {B} oraz {A} mają wspólny początek. Dana jest macierz obrotu układu {B}
względem układu {A}:
Ć Ć Ć Ć
�łX B �" X A v
B �" X A � B �" X A łł
�ł śł
A A A A
Ć Ć
R = [ X v
B �B]= X �"v
A v
B �"v
A � �"v
A śł .
B B �ł B B
�ł Ć śł
X �" � v
B �" � �B �" �
B A A A
�ł �ł
Elementy przedstawionej macierzy stanowią iloczyny skalarne poszczególnych wersorów.
Otrzymaliśmy zatem macierz cosinusów kierunkowych.
Położenie wybranego punktu danego w układzie {B} względem układu {A} jest zatem dana
następującym rachunkiem macierzowym:
A A B
P=B R P .
B A A
Uwaga. Zauważmy, że zachodzi zależność: R=B R-1=B RT
A
3. Uogólniony przypadek odwzorowywania układów.
{B}
�B
B
P
A
{A}
�A
P
Ć
X v
B
A
PBORG B
v
A
Ć
X
A
Rys.3. Położenie punktu danego w układzie {B} względem układu {A}. Układy {A} i {B} nie są równoległe i
nie mają wspólnego początku.
W praktyce potrzebujemy uwzględnienia obu przypadków: położenia i orientacji
równocześnie. Rozpatrywany przypadek będzie opisany przez następujące równanie:
A A B A
P=B R P+ PBORG
Powyższe równanie można zapisać w prostszej postaci:
A A B
P" = T P" , czyli:
B
A A A
�ł łł �ł łł �ł łł
P R PBORG B P
B
=
�ł śł �ł0 0 0 1 śł �ł śł
1 1
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
A A
�ł łł
R PBORG
A B
Macierz: T = zwana jest przekształceniem jednorodnym (lub macierzą
B �ł0 0 0 1 śł
�ł �ł
przekształcenia jednorodnego).
Przykład
{B}
�B
B
P
A
{A}
�A
P
Ć
X v
B
A
PBORG B
v
A
Ć
X
A
Dane są:
T
B
" Współrzędna punktu: P = [1 1 0]
T
A
" Współrzędne środka układu {B} wzgl. układu {A}: PBORG = [1 2 0]
" Kąt obrotu pomiędzy osiami xB i xA : ą = 30�
Macierz rotacji w powyższym przypadku wynosi:
Ć Ć Ć Ć
�łX B �" X A v
B �" X A �B �" X A łł
cosą cos(90 +ą) 0
�ł łł
�ł śł
A �łcos
Ć
R = X �"v
A v
B �"v
A �B �"v
A śł = (90 -ą) cosą 0śł
B �ł B
�ł śł
�ł Ć śł
�ł śł
X �" � v
B �" � �B �" � 0 0 1�ł
B A A A �ł
�ł �ł
A A
�ł łł
R PBORG
A B
Ponieważ T = zatem:
B �ł0 0 0 1 śł
�ł �ł
cosą cos(90 +ą) 0 1 0.866 - 0.5 0 1
�ł łł �ł łł
�łcos -ą) cosą 0 2śł �ł
(90 0.5 0.866 0 2śł
A
�ł śł �ł śł
T = =
B
�ł śł �ł śł
0 0 1 1 0 0 1 1
�ł
0 0 0 1śł �ł 0 0 0 1śł
�ł �ł �ł �ł
Współrzędne punktu P wynoszą:
0.866 - 0.5 0 1 1 1.336
�ł łł �ł łł �ł łł
�ł
0.5 0.866 0 2śł �ł1śł �ł3.336śł
A B
�ł śł �ł śł �ł śł
P" =AT P" = �" =
B
�ł śł �ł śł �ł śł
0 0 1 0 0 0
�ł śł
0 0 0 1śł �ł1śł �ł 1
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
KINEMATYKA MANIPULATORÓW
LOKALNE UKA
ADY
WSPÓA
RZ
DNYCH
Pary niższego rzędu  takie pary obrotowe, których względny ruch opisują dwie
współpracujące ze sobą powierzchnie.
1. Rodzaje par
2. Wielkości charakterystyczne
oś { i }
człon i
oś {i-1} człon i-1
zi
yi
zi -1
Oi xi
yi -1
di
xi -1
Oi -1 �i
ą
i -1
ai-1
ąi-1  kąt skręcenia członu; kąt pomiędzy osią i-1 a osią i, mierzony zgodnie z
regułą prawej dłoni w kierunku i-tego elementu (wokół prostej ai-1),
ai-1  długość członu; prosta obustronnie prostopadła do osi członów,
di  odsunięcie członu; odległość ai-1 od ai wzdłuż osi i.
�i  kąt konfiguracji członów połączenia ruchomego; kąt zawarty między
przedłużeniem ai-1 oraz ai mierzony wokół osi połączenia i.
3. Pierwszy i ostatni człon w łańcuchu
a1, , an-1
�ł
według powyższej konwencji,
ą1, ,ąn-1żł
�ł
a0 = an = 0, ą0 = ą = 0
n
d2 , , dn-1
�ł
według powyższej konwencji,
żł
�2 , ,�n-1 �ł
Para 1  para obrotowa: �1  dowolna; d1 = 0
Para 1  para postępowa: d1  dowolne; �1 = 0.
4. Przywiązywanie układów współrzędnych do członów
a) Pośrednie człony łańcucha
�i pokrywa się z osią {i} (para obrotowa).
Początek układu {i} jest usytuowany w miejscu przecięcia osi {i} z prostopadłą do
niej ai.
Ć
X pokrywa się z ai i skierowana jest z i do i + 1.
i
Ć
Gdy ai = 0, Xi jest normalną do płaszczyzny �i i �i+1
Ć
Wartość kąta ąi mierzona jest wokół osi X (reguła prawej dłoni). Oś v
i określona
i
jest zgodnie z prawoskrętnym układem współrzędnych.
a) Pierwszy i ostatni człon
Układ {0} przywiązany jest z bazą i byłoby najlepiej, jakby oś �0 pokrywała się z �1
(a0 = 0, ą0 = 0 , d1 = 0  para obrotowa, �1 = 0  para przesuwna). Dla n-tej pary
Ć Ć
obrotowej kierunek X jest wzdłuż X o ile �n = 0 a początek {N} leży w punkcie
n n-1
Ć
przecięcia X z osią połączenia n, gdy dn = 0.
n-1
5. Reasumując.
Ć
ai  odległość od osi �i do �i+1 , wzdłuż osi X ,
i
Ć
ąi  kąt pomiędzy osiami �i i �i+1 wokół Xi ,
Ć Ć
di  odległość od osi Xi-1 do Xi , wzdłuż �i ,
Ć Ć
�i  kąt między osiami Xi-1 i Xi , wokół �i .
UWAGA!!! Zawsze ai e" 0 .
6. Algorytm postępowania.
1. Zidentyfikuj osie połączeń i wyobraz
sobie (lub narysuj) odzwierciedlające je proste,
2. Znajdz
prostą obustronnie prostopadłą do nich lub punkt ich przecięcia. W punkcie ich
przecięcia lub punkcie przecięcia i-tej osi z prostą obustronnie prostopadłą przyjmij
początek układu współrzędnych członu,
3. Wybierz oś �i w osi i-tego połączenia,
Ć
4. Wybierz oś Xi wzdłuż prostej obustronnie prostopadłej lub jeśli osie przecinają się,
Ć
przyjmij Xi jako normalną do płaszczyzny zawierającej te dwie osie,
5. Wybierz oś v
i tak, aby uzupełniała prawoskrętny układ współrzędnych,
6. Przyjmij, że układ {0} pokrywa się z układem {1}, gdy zmienna pierwszego
połączenia jest równa zero. Wybierz dowolnie usytuowania układu {N} i zwrot osi
Ć
X , tak aby spowodować zerowanie się możliwie największej liczby parametrów.
N
7. Transformacja układów
Położenie układu {i} względem układu poprzedniego {i  1} można opisać za pomocą
równania macierzowego:
i-1 i
P=i-1T P .
i
i-1
Macierz T nazywana jest potocznie macierzą Denavita-Hartenberga (macierzą DH;
i
macierzą 4x4) i ma postać:
c�i - s�i 0 ai-1
�ł łł
�łs� cąi-1 c�icąi-1 - sąi-1 - sąi-1di śł
i-1 i
�ł śł
T = ,
i
�ł śł
s�isąi-1 c�isąi-1 cąi-1 cąi-1di
�ł śł
0 0 0 1
�ł �ł
gdzie:
c�i = cos�i ; s�i = sin�i ;
cąi-1 = cosąi-1 ; sąi-1 = sinąi-1
Położenie układu {N} względem układu {0} związanego z podłożem opisane jest zależnością:
0 0 N
P=NT P , gdzie:
0 1 N -1
T=0 T T T .
N 1 2 N


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Kinematyka i Dynamika Układów Mechatronicznych
ATH zalecana literatura(2)
Mrs Malory and Any Man s?ath
He Lover of?ath
Labolatorium obróbki skrawaniem szlifowanie (ATH)
kinematyka
Wyklad 9 Kinematyka relatywistyczna
C03 Kinematyka PM (01 08)
Biomechanics of the cervical spine I Normal kinematics
KINEMATYKA CIECZY
Kinematyka
Przemieszczenia model kinematyczny sem I mgr stud

więcej podobnych podstron