Egzamin z Analizy 2, 29 VI 2012 godz. 12.00
1. Zadanie wstępne
Zadanie Odp.
"2f
1. Obliczyć pochodną (P ) , gdzie f(x, y) = x ln(x2 + y) , P = (2, -3) -7
"x"y
RozwiÄ…zanie:
"f 2x 2x2
= ln(x2 + y) + x · = ln(x2 + y) + ·
"x x2 + y x2 + y
"2f 1 -2x2
= + = 1 - 8 = -7
"x"y x2 + y (x2 + y)2
2. Obliczyć gradient pola skalarnego f = arc tg(xy -z) w punkcie P = (2, 1, 2) [1, 2, -1]
RozwiÄ…zanie:
"f "f "f y x -1
grad f = , , = , , =
"x "y "z 1 + (xy - z)2 1 + (xy - z)2 1 + (xy - z)2
[1, 2, -1]
3. Obliczyć całkę iterowaną 4
ëÅ‚ öÅ‚
x2
2
x2
ìÅ‚
íÅ‚ 3 + 3 dy÷Å‚ dx
Å‚Å‚
y2
x
1
RozwiÄ…zanie:
ëÅ‚ öÅ‚
x2
2 2 2
x2
x2 x2
ìÅ‚
íÅ‚ 3 + 3 dy÷Å‚ dx = 3y - 3 dx = (3x2 - 3 - (3x - 3x)) dx =
Å‚Å‚
x
y2 y
x
1 1 1
2
x3 - 3x = 2 - (-2) = 4
1
8
1.4 Obliczyć całkę krzywoliniową skierowaną y dx + 2x dy ;
5
C
C : x = t2 , y = t3 od t = 0 do t = 1
RozwiÄ…zanie:
1 1
1
8 8
y dx + 2x dy = t3 · 2t dt + 2t2 · 3t2 dt = 8t4 dt = t5 =
0
5 5
C 0 0
Å„Å‚
ôÅ‚ 0 Õ 2Ä„
òÅ‚
5. Zapisać zbiór A we współrzędnych walcowych w postaci normalnej: 0 r 2
"
ôÅ‚
ół
A : z x2 + y2 , z 2 r z 2
RozwiÄ…zanie:
"
z x2 + y2 =Ò! z r stożek
z 2 =Ò! r 2
1
2. Znalezć ekstrema lokalne funkcji uwikłanej y(x) określonej równaniem:
1
2xy3 - x2y - = 0
y
RozwiÄ…zanie
1
Oznaczamy f(x, y) = 2xy3 - x2y - . Dziedzina funkcji D = {(x, y) : y = 0} jest
y
zbiorem otwartym, a funkcja jest klasy C2 .
"f
Aby skorzystać z twierdzenia o funkcji uwikłanej, musi być spełniony warunek: = 0
"y
czyli:
1
6xy2 - x2 + = 0
y2
Szukamy punktów stacjonarnych funkcji uwikłanej:
y = 0
"f
"f
"x
y = - = 0 Ð!Ò! = 0
"f
"x
"y
Rozwiązujemy układ równań:
Å„Å‚
"f
òÅ‚
2y3 - 2xy = 0
= 0
=Ò!
"x 1
ół 2xy3 - x2y - = 0
y
f = 0
Z pierwszego równania:
2y3 - 2xy = 0 =Ò! 2y(y2 - x) = 0 =Ò! y = 0 lub x = y2
y = 0 nie należy do D
Dla x = y2 z drugiego równania mamy:
1
y5 - = 0 =Ò! y6 = 1 =Ò! y = Ä…1
y
Punkty stacjonarne: P1(1, -1) , P2(1, 1) .
"f "f
Sprawdzamy: (1, -1) = 6 = 0 , (1, 1) = 6 = 0
"y "y
Obliczamy drugÄ… pochodnÄ…:
"2f
"x2
y = -
"f
"y
"2f
= -2y
"x2
2
y (P1) = - < 0 =Ò! w P1(1, -1) jest maksimum lokalne funkcji uwikÅ‚anej
6
-2
y (P2) = - > 0 =Ò! w P2(1, 1) jest minimum lokalne funkcji uwikÅ‚anej
6
2
3. Znalezć ekstrema lokalne i punkty siodłowe funkcji
f(x, y) = x2 - x2y + 4y2 + 8y
RozwiÄ…zanie
Dziedzina funkcji D : R2
Rozwiązujemy układ równań :
Å„Å‚
"f
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
= 0
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
"x
ôÅ‚
ôÅ‚
"f
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
= 0
ół
"y
Obliczamy pochodne czÄ…stkowe:
"f
= 2x - 2xy
"x
"f
= -x2 + 8y + 8
"y
StÄ…d:
2x - 2xy = 0
-x2 + 8y + 8 = 0
Z pierwszego równania:
2x(1 - y) = 0
Czyli x = 0 lub y = 1
Dla x = 0 z drugiego równania y = -1
Dla y = 1 z drugiego równania x = ą4
Mamy więc trzy punkty stacjonarne:
P1(0, -1) , P2(-4, 1) , P3(4, 1)
Obliczamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu:
"2f "2f "2f
= 2 - 2y ; = 8 ; = -2x
"x2 "y2 "x"y
Badamy macierz drugich pochodnych:
4 0
f (P1) = W1 = 4 > 0 , W2 = 32 > 0 =Ò! w P1 jest minimum lokalne.
0 8
0 8
f (P2) = W1 = 0 , W2 = -64 < 0 =Ò! w P2 nie ma ekstremum.
8 8
0 -8
f (P3) = W1 = 0 , W2 = -64 < 0 =Ò! w P3 nie ma ekstremum.
-8 8
3
4. Obliczyć (x2 +y) dx dy , gdzie obszar D jest ograniczony parabolami y = x2 , y2 = x
D
.
RozwiÄ…zanie:
Zbiór D jest obszarem normalnym:
0 x 1
"
D :
x2 y x
ëÅ‚ öÅ‚
"
x
1
ìÅ‚
I = íÅ‚ x2 + y dy÷Å‚ dx
Å‚Å‚
0
x2
Obliczamy całki:
"
"x
x " "
1 1 1 1 3
(x2 + y) dy = x2y + y2 = x2 x + x - x4 - x4 = x2 x + x - x4
2 2 2 2 2
x2
x2
1
1
"
7
1 3 2 1 3 2 1 3 40+35-42 33
2
I = x2 x + x - x4 dx = x + x2 - x5 = + - = =
2 2 7 4 10 7 4 10 140 140
0
0
Odpowiedz:
33
I =
140
4
5. Znalezć moment bezwładności względem osi Oz bryły &! ograniczonej powierzchniami:
x2 + y2 + z2 = 4
x2 + y2 = z2
jeżeli gÄ™stość Á(x, y, z) = 1, a punkt P (1, 1, 0) " &!
RozwiÄ…zanie:
Iz = Á(x2 + y2) dx dy dz
&!
Pierwsza powierzchnia to sfera, druga to stożek.
Wprowadzamy współrzędne sferyczne:
Iz = r2 sin2 ¸ · r2 sin ¸ dr d¸ dĆ = r4 sin3 ¸ dr d¸ dĆ
&!" &!"
Obszar &!" we współrzędnych sferycznych:
Å„Å‚
ôÅ‚ 0 Ć 2Ä„
òÅ‚
Ä„ 3Ä„
&!" : ¸
4 4
ôÅ‚
ół
0 r 2
Obszar całkowania jest prostopadłościanem, a funkcja podcałkowa jest iloczynem funk-
cji jednej zmiennej, więc zamiast całki iterowanej możemy obliczyć iloczyn całek poje-
dynczych
ëÅ‚ öÅ‚ "
3Ä„ 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
-
2Ä„
4
2
2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
1
íÅ‚ ìÅ‚ íÅ‚
r4 sin3 ¸ dr d¸ dĆ = dĆłł · sin3 ¸ d¸÷Å‚ · r4 drÅ‚Å‚ = [Ć]2Ä„ · r5 -(1 -
íÅ‚ Å‚Å‚ 0
5
0
"
Ä„
&!" 0 0 2
4
2
"
" " " "
- 2
2
64 1 64 2 2 2 2 32Ä„
t2) dt = Ä„ -t + t3 = Ä„( - + - ) =
"
2
5 3 5 2 12 2 12 3
2
Stosujemy podstawienie:
Å„Å‚
ôÅ‚ t = cos ¸
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
dt = - sin ¸ d¸
"
2 Ä„
ôÅ‚
t = dla ¸ =
ôÅ‚
2 4
ôÅ‚ "
ôÅ‚
ół
2 3Ä„
t = - dla ¸ =
2 4
5
"
6. Obliczyć moment bezwładności jednorodnej półsfery z = 1 - x2 - y2 względem osi
Oz.
RozwiÄ…zanie:
Szukany moment bezwładności jest równy:
2 2
"z "z
Iz = Á(x2 + y2) dS = Á (x2 + y2) 1 + + dx dy
"x "y
S D
gdzie D jest rzutem powierzchni na płaszczyznę XY czyli kołem x2 + y2 1
Obliczamy pochodne
"z -x
"
=
"x 1 - x2 - y2
"z -y
"
=
"y 1 - x2 - y2
A więc
2 2
"z "z x2 y2 1
"
1 + + = 1 + + =
"x "y 1 - x2 - y2 1 - x2 - y2 1 - x2 - y2
x2 + y2
"
Iz = Á dx dy
1 - x2 - y2
D
Stosujemy współrzędne biegunowe:
2Ä„
1
r2 r3 r3
" " "
Iz = Á ·r dr dÕ = Á dr dÕ = Á dÕ· dr = Á [Õ]2Ä„ ·
0
1 - r2 1 - r2 1 - r2
D" D" 0 0
0 0
" "
1 - t -1 1 2" 0 4Ä„Á
"
( ) dt = Ä„Á -"
+ t dt = Ä„Á -2 t + t3 =
2 3 3
t t 1
1 1
Stosujemy zmianÄ™ zmiennej: t = 1 - r2 ; dt = -2r dr ; t(0) = 1 ; t(1) = 0
Uwaga: W zadaniu tym obliczamy całkę niewłaściwą, która jest zbieżna.
6
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
SIMR AN2 EGZ 2012 06 29bSIMR AN2 EGZ 2012 06 25b rozwSIMR AN2 EGZ 2012 06 25a rozwSIMR AN2 EGZ 2012 06 25bSIMR AN2 EGZ 2012 06 29aSIMR AN2 EGZ 2012 06 25aSIMR RR EGZ 2012 06 20b rozwSIMR AN2 EGZ 2010 06 29bSIMR AN2 EGZ 2013 06 26 rozwSIMR RR EGZ 2012 06 20a rozwSIMR RR EGZ 2012 06 20a rozwSIMR AN2 EGZ 2012 09 17 rozwSIMR AN2 EGZ 2013 06 21 rozwSIMR AN2 EGZ 2010 06 18bSIMR ALG1 EGZ 2012 02 10b rozwSIMR AN2 EGZ 2010 09 13 rozwSIMR AN2 EGZ 2011 06 30więcej podobnych podstron