ÿþM o d e l e o d p o w i e d z i d o a r k u s z a P r ó b n e j M a t u r y z O P E R O N E M
M a t e m a t y k a
P o z i o m p o d s t a w o w y
L i s t o p a d 2 0 0 8
N u m e r L i c z b a
M o d e l o w e e t a p y r o z w i à z y w a n i a z a d a n i a
z a d a n i a p u n k t ó w
1 . Z a s t o s o w a n i e t w i e r d z e n i a o p o t ´ g o w a n i u p o t ´ g i d o z a p i s a n i a w y r a Ýe n i a 1
J 8 2 N 6
3 3
K b - 2 $ a $ b $ a O
w p o s t a c i : .
K
K O
a $ a 2 O
L P
Z a s t o s o w a n i e t w i e r d z e n i a o m n o Ýe n i u p o t ´ g o t y c h s a m y c h p o d s t a w a c h 1
J 1 0 N 6
3
K b - 1 $ a O
d o z a p i s a n i a w y r a Ýe n i a w p o s t a c i : .
K
K O
a 3 O
L P
Z a s t o s o w a n i e t w i e r d z e n i a o d z i e l e n i u p o t ´ g o t y c h s a m y c h p o d s t a w a c h 1
6
1
3
d o z a p i s a n i a w y r a Ýe n i a w p o s t a c i : b - 1 $ a .
d n
Z a p i s a n i e w y r a Ýe n i a w p o s t a c i i l o c z y n u p o t ´ g o w y k "a d n i k a c h c a "k o w i t y c h : 1
b - 6 $ a 2 .
O b l i c z e n i e w a r t o Ê c i w y r a Ýe n i a i s t w i e r d z e n i e , Ýe p o d a n a l i c z b a j e s t 1
3
n i e w y m i e r n a : 3 2 = 3 3 .
2 . W y k o r z y s t a n i e z a l e Ýn o Ê c i f ( x - 2 ) = 3 x - 5 d o o b l i c z e n i a w a r t o Ê c i 1
w s p ó "c z y n n i k a b : b = 1 .
N a r y s o w a n i e w y k r e s u f u n k c j i f : 1
Y
3
2
f ( x ) = 3 x + 1
1
4 3 2 1 1 2 3 4 X
1
2
3
w w w . o p e r o n . p l
1
M a t e m a t y k a . P o z i o m p o d s t a w o w y
P r ó b n a M a t u r a z O P E R O N E M i G a z e t à W y b o r c z à
N u m e r L i c z b a
M o d e l o w e e t a p y r o z w i à z y w a n i a z a d a n i a
z a d a n i a p u n k t ó w
P r z e s u n i ´ c i e w y k r e s u f u n k c j i f o 2 j e d n o s t k i w g ó r ´ w z d "u Ý o s i O Y : 1
Y
5
4
g ( x ) = 3 x + 3
3
2
1
6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 X
1
P o d a n i e a r g u m e n t ó w , d l a k t ó r y c h w a r t o Ê c i f u n k c j i g s à u j e m n e : x ! _ - 3 , - 1 i . 1
3 . W y k o r z y s t a n i e w z o r u n a s z e Ê c i a n s u m y d o z a p i s a n i a n i e r ó w n o Ê c i w p o s t a c i : 1
x 3 + 6 x 2 + 1 2 x + 8 - 4 ( x + 2 ) + 1 > x 3 + 1 2 x 2 + 4 8 x + 6 4 - 4 ( x + 4 ) + 1 .
D o p r o w a d z e n i e n i e r ó w n o Ê c i d o p o s t a c i : x 2 + 6 x + 8 < 0 . 1
R o z w i à z a n i e n i e r ó w n o Ê c i : x ! _ - 4 , - 2 i . 1
4 . W y k o n a n i e r y s u n k u p o m o c n i c z e g o z u w z g l ´ d n i e n i e m m i a r k à t ó w 1
w e w n ´ t r z n y c h w r ó w n o l e g "o b o k u :
a
6 0 °
h 2
b
h 1
6 0 °
a
W y k o r z y s t a n i e z w i à z k ó w m i a r o w y c h w t r ó j k à c i e o k à t a c h 3 0 c , 6 0 c , 9 0 c 1
d o z a p i s a n i a p o d s t a w r ó w n o l e g "o b o k u w z a l e Ýn o Ê c i o d o d p o w i a d a j à c y c h
i m w y s o k o Ê c i :
2 h 2 2 h 1
a = , b = .
3 3
2
Z a p i s a n i e z a l e Ýn o Ê c i m i ´ d z y w y s o k o Ê c i a m i t r ó j k à t a : h 1 = h 2 . 1
3
Z a p i s a n i e r ó w n a n i a z j e d n à n i e w i a d o m à p o z w a l a j à c e g o o b l i c z y ç d "u g o Ê ç 1
2 5 3
2
w y s o k o Ê c i h 2 : h 2 + h 2 = .
3 2
1 5 3
R o z w i à z a n i e r ó w n a n i a : h 2 = . 1
2
w w w . o p e r o n . p l
2
M a t e m a t y k a . P o z i o m p o d s t a w o w y
P r ó b n a M a t u r a z O P E R O N E M i G a z e t à W y b o r c z à
N u m e r L i c z b a
M o d e l o w e e t a p y r o z w i à z y w a n i a z a d a n i a
z a d a n i a p u n k t ó w
O b l i c z e n i e d r u g i e j w y s o k o Ê c i i d "u g o Ê c i b o k ó w r ó w n o l e g "o b o k u : 1
h 1 = 5 3 , a = 1 5 , b = 1 0 .
5 . P r z e k s z t a "c e n i e z a l e Ýn o Ê c i t g x = 2 1
d o p o s t a c i : s i n x = 2 c o s x , c o s x ! 0 .
2 c o s x + c o s x
Z a p i s a n i e w y r a Ýe n i a w p o s t a c i : . 1
4 c o s x - 3 c o s x
O b l i c z e n i e w a r t o Ê c i w y r a Ýe n i a : 3 . 1
6 . Z a p i s a n i e d z i e d z i n y f u n k c j i f : D = _ - 4 , 4 . 1
P o d a n i e z b i o r u w a r t o Ê c i f u n k c j i f : Z = - 2 , 3 . 1
f
O d c z y t a n i e m i e j s c z e r o w y c h f u n k c j i f : x = 0 , x = 3 . 1
P o d a n i e p r z e d z i a "ó w , w k t ó r y c h f u n k c j a f j e s t s t a "a : ` - 4 , - 2 , _ 3 , 4 . 1
7 . A n a l i z a z a d a n i a i w p r o w a d z e n i e o z n a c z e ’: a 1 = 2 , r = 4 , a = x , S = 2 0 0 . 1
n n
W y k o r z y s t a n i e w z o r u n a s u m ´ n - p o c z à t k o w y c h w y r a z ó w c i à g u
2 $ 2 + ( n - 1 ) $ 4
a r y t m e t y c z n e g o d o z a p i s a n i a r ó w n a n i a : 2 0 0 = $ n , g d z i e n ! N . 1
2
P r z e k s z t a "c e n i e r ó w n a n i a d o p o s t a c i : n 2 = 1 0 0 . 1
R o z w i à z a n i e r ó w n a n i a : n = 1 0 . 1
P o d a n i e r o z w i à z a n i a r ó w n a n i a : x = a 1 0 = 2 + 9 $ 4 = 3 8 . 1
1 1
8 . Z a p i s a n i e r ó w n a n i a p r o s t e j A W : y = x +
2 2 . 1
Z a p i s a n i e r ó w n a n i a p r o s t e j B W : y = 2 x - 1 . 1
1 5
Z a p i s a n i e r ó w n a n i a p r o s t e j A C p r o s t o p a d "e j d o p r o s t e j B W : y = - x -
2 2 . 1
Z a p i s a n i e r ó w n a n i a p r o s t e j B C p r o s t o p a d "e j d o p r o s t e j A W : y = - 2 x + 1 1 . 1
1 5
x -
R o z w i à z a n i e u k "a d u r ó w n a ’: 1
* y = - 2 2
y = - 2 x + 1 1
i w y z n a c z e n i e w s p ó "r z ´ d n y c h p u n k t u C : C = _ 9 , - 7 i .
9 . Z a p i s a n i e w y r ó Ýn i k a f u n k c j i k w a d r a t o w e j ” = 8 1 - 1 2 c . 1
W y z n a c z e n i e w s z y s t k i c h w a r t o Ê c i w s p ó "c z y n n i k a c , d l a k t ó r y c h f u n k c j a f
n i e m a m i e j s c z e r o w y c h : c > 6 , 7 5 . 1
Z a p i s a n i e f u n k c j i f w p o s t a c i i l o c z y n o w e j : f ( x ) = 3 ( x - 2 ) ( x - d ) . 1
W y z n a c z e n i e w s z y s t k i c h w a r t o Ê c i w s p ó "c z y n n i k a c , d l a k t ó r y c h j e d n y m
z m i e j s c z e r o w y c h f u n k c j i f j e s t l i c z b a 2 : c = 6 . 1
w w w . o p e r o n . p l
3
M a t e m a t y k a . P o z i o m p o d s t a w o w y
P r ó b n a M a t u r a z O P E R O N E M i G a z e t à W y b o r c z à
N u m e r L i c z b a
M o d e l o w e e t a p y r o z w i à z y w a n i a z a d a n i a
z a d a n i a p u n k t ó w
Z a p i s a n i e r ó w n a n i a p o z w a l a j à c e g o w y z n a c z y ç w s z y s t k i e w a r t o Ê c i 1
w s p ó "c z y n n i k a c t a k i e , d l a k t ó r y c h w i e r z c h o "e k p a r a b o l i n a l e Ýy d o p r o s t e j
- b - D
o r ó w n a n i u y = x : = .
2 a 4 a
W y z n a c z e n i e w s z y s t k i c h w a r t o Ê c i w s p ó "c z y n n i k a c t a k i c h , d l a k t ó r y c h 1
w i e r z c h o "e k p a r a b o l i , k t ó r a j e s t w y k r e s e m f u n k c j i f , n a l e Ýy d o p r o s t e j
o r ó w n a n i u y = x : c = 8 , 2 5 .
1 0 . S k o n s t r u o w a n i e t a b e l i w s z y s t k i c h m o Ýl i w y c h w y n i k ó w d o Ê w i a d c z e n i a : 1
+ 1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
Z a p i s a n i e , Ýe w d a n y m d o Ê w i a d c z e n i u j e s t 1 6 z d a r z e ’ e l e m e n t a r n y c h . 1
Z a p i s a n i e , Ýe 6 z d a r z e ’ e l e m e n t a r n y c h s p r z y j a z d a r z e n i u A s u m a 1
w y r z u c o n y c h c y f r j e s t m n i e j s z a o d 5 .
3
O b l i c z e n i e p r a w d o p o d o b i e ’s t w a z d a r z e n i a A : P ( A ) =
8 . 1
1 1 . S p o r z à d z e n i e r y s u n k u p o m o c n i c z e g o o s t r o s "u p a w r a z z o z n a c z e n i a m i . 1
O b l i c z e n i e d "u g o Ê c i w y s o k o Ê c i Ê c i a n y b o c z n e j : h = 4 c m . 1
4 3
O b l i c z e n i e d "u g o Ê c i k r a w ´ d z i p o d s t a w y : a = c m . 1
3
O b l i c z e n i e o b j ´ t o Ê c i : V = 1 6 c m 3 . 1
O b l i c z e n i e p o l a p o w i e r z c h n i b o c z n e j : P b = 1 6 3 c m 2 . 1
w w w . o p e r o n . p l
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