VI. PRZEDZIAAY UFNOŚCI (ZASTOSOWANIA ROZKADÓW CIGAYCH)
Przedziały ufności wyznacza się najczęściej z rozkładów odpowiednich statystyk
estymatorów tych parametrów
Najczęściej spotykane estymatory:
x
- średnia arytmetyczna z próby - estymator średniej warności m w populacji,
2
s2 - wariancja z próby estymator wariancji
w populacji generalnej,
s
- odchylenie sztandarowe z próby estymator odchylenia standardowego w
populacji generalnej,
dr A.Czech 1
1. Szacowanie wartości średniej w populacji generalnej
A. Rozkład normalny standaryzowany (n> 30) dla dużej liczby obserwacji w próbie
N (m, )
Populacja generalna ma rozkład o nieznanej wartości średniej m i znanym
odchyleniu standardowym
Przedział ufności dla średniej m w populacji otrzymuje się ze wzoru:
ńł ł
kr kr
Płx - uą < m < x + uą =1-ą
żł
n n
ół ł
1
x = xi
"
gdzie: - średnia arytmetyczna obliczona z wyników próby,
n
xi
- wartość i tego elementu w próbie,
1-ą
- poziom ufności (prawdopodobieństwo przyjęte z góry),
ą
- poziom istotności ( w technice i ekonomii najczęściej 0,05),
kr
uą
- wartość zmiennej losowej U mającej standaryzowany rozkład normalny.
kr
Wartość uą odczytuje się z tablic(wartości krytycznych) !!!
kr
Można zastąpić wartość uą przez u1-ą odczytywaną z tablic kwantyli !!!
2
dr A.Czech 2
(u)
1-ą
ą ą
2 2
u
u1-ą - kwantyl
2
uk - wartość krytyczna
ą
Przykład
= 30
Dane: n = 100, , ą = 0,05
Znajdz przedział ufności dla średniej m
x =100
Na podstawie próby wyliczono
kr
u = 1,96
ą
uą = 1,96
Z tablic odczytano: - wartość krytyczna, - kwantyl
1-
2
30 30
kr kr
x - uą < m < x + uą
100 -1,96 100 < m <100 +1,96 100 to
n n
94,1 < m < 105,9
dr A.Czech 3
B. Rozkład t-Studenta (n< 30) dla małej liczby obserwacji w próbie
N (m, )
Populacja ma rozkład o nieznanej wartości średniej m i nieznanym
odchyleniu standardowym
Przedział ufności dla średniej m populacji generalnej otrzymuje się ze wzoru:
Wariant I:
s s
ńł ł
kr kr
Płx - tą < m < x + tą =1-ą
żł
n -1 n -1
ół ł
1
x = xi - średnia arytmetyczna obliczona z wyników próby,
"
gdzie:
n
xi - wartość i tego elementu w próbie,
1-ą
- poziom ufności (prawdopodobieństwo przyjęte z góry),
kr
tą - wartość zmiennej losowej o rozkładzie t-Studenta z r=n-1 stopniami
swobody,
1 v
2
s = - x)
"(xi
- obciążone odchylenie standardowe z próby
n
dr A.Czech 4
kr
tą
Wartość odczytuje się z tablic(wartości krytycznych) dla rozkładu t-Studenta z
r=n-1 stopniami swobody
kr
tą
Można zastąpić wartość poprzez wartość t1-ą odczytywaną z tablic kwantyli
2
rozkładu t-Studenta z r=n-1 stopniami swobody !!!
f (t)
1-ą
ą ą
2 2
t
tkr - wartość krytyczna
ą
t1-ą - kwantyl
2
dr A.Czech 5
Wariant I jest równoważny następującemu wariantowi:
Wariant II:
%5ń %5ń
ńł ł
kr kr
Płx - tą < m < x + tą =1-ą
żł
n n
ół ł
1
x = xi - średnia arytmetyczna obliczona z wyników próby,
"
gdzie:
n
xi - wartość i tego elementu w próbie,
1-ą
- poziom ufności (prawdopodobieństwo przyjęte z góry),
ą
- poziom istotności ( w technice i ekonomii najczęściej 0,05),
kr
tą - wartość zmiennej losowej o rozkładzie t-Studenta z r=n-1 stopniami
swobody,
1 v
2
%5ń =
"(x - x)
i
- nieobciążone odchylenie standardowe z próby
n -1
dr A.Czech 6
2. Szacowanie wariancji w populacji generalnej
A. Rozkład Chi-kwadrat (n<30) ) dla małej liczby obserwacji w próbie
N (m, )
Populacja generalna ma rozkład
o nieznanej wartości średniej m i nieznanym
odchyleniu standardowym
2
Przedział ufności dla wariancji w populacji generalnej otrzymuje się ze wzoru:
Wariant I:
ł ł
ł
ns2 ns2 ł
2
P < < = 1- ą
ł ł
2 2
ł ą ą ł
kr, kr,1-
ł 2 2 łł
gdzie: n liczebność próby,
1 v
2
2
s2 =
"(x - x)
i
- obciążona wariancja z próby (estymator wariancji w
n
populacji generalnej,
1-ą
- współczynnik ufności (prawdopodobieństwo przyjęte z góry),
ą
- poziom istotności ( w technice i ekonomii najczęściej 0,05),
2
2
2
ą
ą
kr, ,
kr,1- - wartości krytyczne rozkładu dla r=n-1 stopni swobody
2 2
dr A.Czech 7
Wariant I jest równoważny następującemu wariantowi:
Wariant II:
ł ł
ł
(n -1)%5ń2 2 (n -1)%5ń2 ł
P < < =1-ą
ł ł
2 2
ł ą ą ł
kr, kr,1-
ł 2 2 łł
gdzie: n liczebność próby,
1 v
2
2
%5ń2 =
"(x - x)
i
- odciążona wariancja z próby (estymator wariancji w
n -1
populacji generalnej,
1-ą
- współczynnik ufności (prawdopodobieństwo przyjęte z góry),
ą
- poziom istotności ( w technice i ekonomii najczęściej 0,05),
2
2
2
ą
ą
kr, ,
kr,1- - wartości krytyczne rozkładu dla r=n-1 stopni swobody
2 2
dr A.Czech 8
2
f ( )
ą
2
ą
2
2 2
ą ą
- wartość krytyczna
kr,1- kr,
2 2
PRZYKAAD
Dane: n=25, ą = 0,05
2
Znalezć przedział ufności dla wariancji w populacji generalnej
s2 = 5
Na podstawie próby obliczono:
Z tablic wartości krytycznych rozkładu Chi-kwadrat odczytano:
2 2
2 2
= kr;24;0,025 = 39,364
= kr;24;0,975 =12,401
0,05
0,05
kr,25-1, kr,25-1,
2 2
dr A.Czech 9
ns2 ns2
2
25" 52 25"52
< <
2
2 2
2
< <
3,175 < < 10,08
to to
ą ą
39,364 12,401
kr, kr,1-
2 2
B. Rozkład normalny (n>30) dla dużej liczby obserwacji w próbie
N (m, )
Populacja generalna ma rozkład lub zbliżony do normalnego o nieznanej
wartości średniej m i nieznanym odchyleniu standardowym
Przybliżony przedział ufności dla odchylenia standardowego w populacji
generalnej otrzymuje się ze wzoru:
ńł ł
ł ł
s s
ł
Pł < < H" 1-ą
ł
kr kr
uą żł
ł1+ uą ł
1-
ł ł
2n 2n
ół ł
dr A.Czech 10
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
wykład VI zagraniczna polityka handlowaWykład VI Przywództwo w zmianachskrót wykładu VI dla studentów2015 wykład VI a cd V od osmozyWyklad VI Planowanie finansoweWykład VI minimalizacja zespołu funkcji, projektowanie układów kombinacyjnychWyklad VI 2008WYKLAD VI 09Rachunek kosztów Wykład VIWykład VI 2WYKŁAD V, VI BELKIPrawo budowlane wykład VIFizjologia i Anatomia wyklad VIErgonomia wykład VIwykład VIwyklad VI2015 wykład VI b ADSORPCJAWykład VI Ekonomika i Zarządzanie Inwestycjiwykład VIwięcej podobnych podstron