Mechanika budowli Metoda trzech momentów


MECHANIKA BUDOWLI semestr zimowy
Rozwiązywanie belki statyczne niewyznaczalnej Metodą Trzech Momentów
Polecenie: Narysuj wykres sił wewnętrznych w belce. Zadanie rozwiąż metodą trzech momentów.
2
P=24kN
q=8kN/m
EI 0,5EI 0,5EI
1,5
6 4
Określenie stopnia statycznej niewyznaczalności układu:
5[5` = 5Y5_ - 5Y5] - 3 = 5 - 0 - 3 = 2  układ dwukrotnie statycznie niewyznaczalny.
Schemat podstawowy metody trzech momentów:
X 0 X 1 X 1
X 3
X 2 X 2
I EI 0,5EI 0,5EI
1,5
L*
L =6 L =4
1 2
3
Układ równań metody trzech momentów:

L*'1+2X1(L*'1+L'2 ) + X2 L'2 = -6EI d10
X0 p


X1 L'2+2X2(L'2+L'3 ) + X3 L'3 = -6EI pd20
Wzór na długość sprowadzoną  i-tego elementu:
Li I
p
; gdzie za porównawczy moment bezwładności elementu przyjęto : 5<5] = 5<
L'i =
Ii
Wyznaczenie długości sprowadzonych poszczególnych elementów:
L* I
1
L* I
1
p
L*'1 = = = 0
I1 Ą
L2 I
6 I
p
L'2 = = = 6m
I2 I
L3 I
4 I
p
L'3 = = = 8m
I3 0,5I
1 | S t r o n a mgr inż. Hanna Weber
MECHANIKA BUDOWLI semestr zimowy
Rozwiązanie 1:
Przy ustalaniu lewej strony drugiego równania układu pominięto wpływ obciążenia q na wsporniku, przyjmując
X3=0, natomiast moment od obciążenia uwzględniono przy rysowaniu wykresu M0 i liczeniu 510 i 520.
Układ równań po wprowadzeniu wyznaczonych długości sprowadzonych i momentu X3:
X0 0 + 2X1(0 + 6) + X2 6 = -6EId10

X 6 + 2X2(6 + 8) + 08 = -6EId20
1
Po przekształceniu :
12X1 + 6X2 = -6EId10

6X + 28X2 = -6EId20
1
Wykresy jednostkowe:
X =1
X =1 1
1
stan X1=1
I EI 0,5EI 0,5EI
1,5
L*
L =6 L =4
1 2
3
M1
1
X =1
X =1 2
stan X2=1 2
I EI 0,5EI 0,5EI
1,5
L*
L =6 L =4
1 2
3
M2
1
Wykres M0 (moment zginający od obciążenia zewnętrznego):
P=24kN
2
q=8kN/m
I EI 0,5EI 0,5EI
1,5
L*
L =6 L =4
1 2
3
0kN
40kN
30,25kN
45,75kN
40
24
13,75
12
+
+ +
T
0
-
-
18,25
32
9
M0
64
2 | S t r o n a mgr inż. Hanna Weber
MECHANIKA BUDOWLI semestr zimowy
Podział wykresów momentów do całkowania:
X =1
X =1 1
1
I EI 0,5EI 0,5EI
1,5
L*
L =6 L =4
1 2
3
M1
2
1
3
X =1
X =1 2
2
I EI 0,5EI 0,5EI
1,5
L*
L =6 L =4
1 2
3
M2
1
3
1
P=24kN
2
q=8kN/m
I EI 0,5EI 0,5EI
1,5
L*
L =6 L =4
1 2
3
0kN
40kN
30,25kN
45,75kN
40
24
13,75
12
+
+ +
T
0
-
-
18,25
32
9
M0
64
Współczynniki prawej strony układu równań:
d10- całkujemy wykres M1 z M0

1 1 2 2 1 2 8 22 1 1 2 1 2 2 2 8 42 1 2 376
ł
d10 = 64 2ć + 1 + 2ć 1+ + 64 4ć + 4ć =
ę2 3 3 3 3 8 2 2 3 2 3 3 3 8 2 3 ś 3EI
EI
Ł ł Ł ł Ł ł Ł ł

d20 - całkujemy wykres M2 z M0
ł ć
1 1 2 1 2 8 22 1 1 1 2 1 1 2 842 1 1 1 1 1 1 2 842 1 436

d20 = 642ć + 2 + 644ć + 1 + 4ć + 1ś +

ę2 3 3ł 3 8 2 3 2 3 3 3 3 8 2 3 2 0,5EI 2 9 4 3 1+ 3 8 4 2 1 = 3EI
EI
Ł Ł ł Ł ł -
Ł ł
3 | S t r o n a mgr inż. Hanna Weber
MECHANIKA BUDOWLI semestr zimowy
Układ równań metody trzech momentów:
12x1 + 6x2 = -6EId10


+ 28x2 = -6EId20
6x1
Podstawiając otrzymane wartości do układu równań:
376
12 X1 + 6 X = -6EI
2


3EI

6 X1 + 28 X 2 = -6EI 436

3EI
Rozwiązanie układu równań:
X1 = -52,75kNm


= -19,84kNm
X2
Wyznaczenie wartości momentów w poszczególnych punktach na podstawie wzoru:
5@5V = 5@5V1 " 5K1 + 5@5V2 " 5K2 + 5@5V0
E F G
A
B C
D
EI 0,5EI 0,5EI
1,5
2 4 4
) (-19,84 + 0 = -52,75 5X5A5Z
5@54 = 1 " (-52,75 + 0 " )
2 1
) (-19,84 + 64 = 22,22 5X5A5Z
5@55 = " (-52,75 + " )
3 3
) (-19,84 + 0 = -19,84 5X5A5Z
5@56 = 0 " (-52,75 + 1 " )
) (-19,84 + 0 = -19,84 5X5A5Z
5@57 = 0 " (-52,75 + 1 " )
) (-19,84 - 9 = -9 5X5A5Z
5@58 = 0 " (-52,75 + 0 " )
) (-19,84 - 9 = -9 5X5A5Z
5@59 = 0 " (-52,75 + 0 " )
) (-19,84 + 0 = 0 5X5A5Z
5@5: = 0 " (-52,75 + 0 " )
Wyznaczenie wartości sił tnących przez rozbicie układu na belki proste:
x
1
x
2
P=24kN
q=8kN/m q=8kN/m q=8kN/m
13,29kN
26,52kN 12kN
18,71kN
52,75kNm
9kNm
9kNm
EI 0,5EI 0,5EI
19,84kNm
19,84kNm
1,5
2 4 4
25,29kN
45,23kN
18,71kN
45,48kN 13,29kN 12kN
26,52kN
Wyznaczenie ekstremum (dla skrajnej części belki po lewej stronie):
21,48
T(x1) = 45,48 -8x1 - 24 = 0 x1 = = 2,685m
8
4 | S t r o n a mgr inż. Hanna Weber
MECHANIKA BUDOWLI semestr zimowy
2,6852
M (x1 = 2,685m) = -52,75 + 45,482,685 -8 - 24(2,685 - 2)= 24,09kNm
2
Wyznaczenie ekstremum (dla środkowej belki):
18,71
T(x2) =18,71-8x2 = 0 x1 = = 2,34m
8
2,342
M (x2 = 2,34m) = -19,84 +18,71 2,34 -8 = 2,04kNm
2
Wykresy sił wewnętrznych w belce statycznie niewyznaczalnej:
2
P=24kN
q=8kN/m
EI 0,5EI 0,5EI
1,5
6 4
45,48
29,48
18,71
12
+
5,48
+
+
T -
-
13,29
[kN]
26,52
52,75
19,84
9
M
2,04
[kNm]
22,22
24,09
Rozwiązanie 2:
Przy ustalaniu lewej strony drugiego równania układu przyjęto X3 równe momentowi od obciążenia q na
wsporniku.
q=8kN/m
9kNm
0,5EI
5@ = 8 " 1,5 " 0,75 = 95X5A5Z
!
1,5
5K3 = -95X5A5Z
12kN
X 0
X 1 X 1
X 3
X 2 X 2
I EI 0,5EI 0,5EI
1,5
L*
L =6 L =4
1 2
3
5 | S t r o n a mgr inż. Hanna Weber
MECHANIKA BUDOWLI semestr zimowy
Układ równań metody trzech momentów przyjmuje postać:
X0 0 + 2X1(0 + 6) + X2 6 = -6EId10

X 6 + 2X2(6 + 8) + 9)8 = -6EId20
(-
1
Po przekształceniu :
12X1 + 6X2 = -6EId10

6X + 28X2 = -6EId20 + 72
1
Wykresy jednostkowe:
stan X1=1 X =1
X =1 1
1
I EI 0,5EI 0,5EI
1,5
L*
L =6 L =4
1 2
3
M1
2
1
3
stan X2=1
X =1
X =1 2
2
I EI 0,5EI 0,5EI
1,5
L*
L =6 L =4
1 2
3
M2
1
3
1
Wykres M0 (moment zginający od obciążenia zewnętrznego):
P=24kN
2
q=8kN/m
I EI 0,5EI
1,5
L*
L =6 L =4
1 2
3
M0
2
ql /8=8 4 /8=16kNm
64
Ponieważ do układu równań został już wprowadzony moment od obciążenia q na wsporniku w postaci
5K3 = -95X5A5Z , pominięto wpływ tego obciązenia przy rysowaniu wykresu M0 i w konsekwencji przy liczeniu
delt.
6 | S t r o n a mgr inż. Hanna Weber
MECHANIKA BUDOWLI semestr zimowy
Współczynniki prawej strony układu równań:
d10- całkujemy wykres M1 z M0

1 1 2 2 1 2 8 22 1 1 2 1 2 2 2 8 42 1 2 376
ł
d10 = 64 2ć + 1 + 2ć 1+ + 64 4ć + 4ć =
ę2 3 3 3 3 8 2 2 3 2 3 3 3 8 2 3 ś 3EI
EI
Ł ł Ł ł Ł ł Ł ł

d20 - całkujemy wykres M2 z M0
ł
1 1 2 1 2 822 1 1 1 2 1 1 2 842 1 1 1 1 2 1 472
ć
d20 = 642ć + 2 + 644ć + 1 + 4ć + 1ś + =

ę2 3 3ł 3 8 2 3 2 3 3 3 3 8 2 3 2 0,5EI 3 164 2 1 3EI
EI
Ł Ł ł Ł ł Ł ł

Podstawiając otrzymane wartości do układu równań:
376
12 X1 + 6 X = -6EI
2


3EI

6 X1 + 28 X 2 = -6EI 472 + 72

3EI
Rozwiązanie układu równań:
X1 = -52,75kNm


= -19,84kNm
X2
Dalszy tok obliczeniowy analogiczny jak w rozwiązaniu 1. Należy pamiętać, że moment w pkt. E i F jest równy
X3, ponieważ z sumy wykresów moment ten wychodzi równy 0, gdyż został on uwzględniony wcześniej w
postaci 5K3 = -95X5A5Z.
7 | S t r o n a mgr inż. Hanna Weber


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
cwicz mechanika budowli metoda przemieszczen rama
wykład6 [metoda trzech momentów]
wykl mechanika budowli metoda sil
Mechanika budowli Metoda przemieszczeń
wykl mechanika budowli metoda crossa
cwicz mechanika budowli metoda przemieszczen rama osiadanie
Mechanika budowli Metoda sił belka
06 mechanika budowli wykład 06 metoda ciezarow sprezystych
cwicz mechanika budowli obliczanie ukladow statycznie niewyznaczalnych metoda sil rama
Wykl Mechanika Budowli 13 Metoda Przemieszczen

więcej podobnych podstron