automatyka i sterowanie wyklad 17


Jacek Kabziński
Automatyka i sterowanie
                                       
Częstotliwość próbkowania  wpływ na pracę układu dyskretnego
2T 10T
20T
*
f (t) f (t) x(t)
T = 0.5
2
Automatyka i sterowanie 17 Częstotliwość próbkowania
*
f (t) f (t) x(t)
T = 0.5
1
1 f(u)
x(t)
f(t)
Ekstrapolator
IMPULSATOR
T
Filtr??
Czy częstotliwości z wejścia są
zniekształcane przez impulsowanie?
Czy będą na wyjściu?
x(t) = f (kT ) kT d" t < kT + T
"
x(t) = f (kT )[1(t - kT ) -1(t - kT - T )]
"
k =0
"
1 1 1- e-Ts "
*
x(s) = f (kT )Ą# e-kTs - e-(k +1)Ts ń# = f (kT )e-kTs = E(s) f (s)
" "
ó#s Ą#
s s
Ł# Ś#
k =0 k =0
3
Automatyka i sterowanie 17 Częstotliwość próbkowania
" "
*
f (t) = f (kT ) (t - kT ) = f (t)  (t - kT )
" "
k =0 k =-"
Przeprowadzimy analizę częstotliwościową tej funkcji.
Podstawy częstotliwościowej analizy sygnałów:
Okresową funkcję f(t) o okresie T , spełniającą warunki Dirichleta można przedstawić w postaci sumy
szeregu Fouriera
"
2Ą
f ( t ) = a0 + an cosnAt + bn sinnAt ) A =
"(
T
n=1
t0 +T t0 +T
t0 +T
1 2
2
bm = f ( t )sinmAtdt
a0 = f ( t )dt am = f ( t )cosmAtdt
+" , +" , +" , m=1,2,....
T T T
t0 t0 t0
lub:
4
Automatyka i sterowanie 17 Częstotliwość próbkowania
" "
jnAt
f ( t ) = a0 + an cosnAt + bn sinnAt )
"( "c e
n
= ,
n=1 n=-"
T
bn 2
T
- j tan-1
an - jbn 1 1 1
2 2 an
f ( t )e- jnAtdt = f ( t )e- jnAtdt
cn = = an + bn e
+" +"
=
T T
2 2
T
0
-
2
Transformatę Fouriera (nieokresowej) funkcji x(t) określa:
"
!{x( t )}= X ( j ) = x( t )e- jtdt
+"
-"
a transformatę odwrotną
"
1
jt
!-1{X ( j )}= x( t ) = X ( j )e d
+"
2Ą
-"
"
X ( j ) = x( t )e- jtdt = X ( s )
gdy x(t)=0 dla t<0 to +"
s= j
0
5
Automatyka i sterowanie 17 Częstotliwość próbkowania
Gdy x(t) jest okresowa, to ma rozwinięcie w szereg Fouriera
"
jnAt
x( t ) =
"c e
n
n=-"
wtedy:
"
" "
" "
jnAt jt jnAt jt
!{x( t )}= X ( j ) = x( t )e- jtdt
"c e e- dt = "c e e- dt =
n n
+" +" +"
=
n=-" n=-"
-" -" -"
"
"
jnAt
()= "c
2Ą  ( - nA )
"c ! e
n
n
=
n=-" n=-"
6
Automatyka i sterowanie 17 Częstotliwość próbkowania
" "
*
f (t) = f (kT ) (t - kT ) = f (t)  (t - kT )
" "
Zastosujmy to do funkcji
k =0 k =-"
"
 ( t - kT ) jest okresowa o kresie T .
"
Funkcja
k=-"
Współczynniki jej szeregu Fouriera:
T
2
1 1
cn =  ( t )e- jnAtdt =
+"
T T
T n=1,2,..
-
2
czyli
" "
1 2Ą
 ( t - kT ) = e- jkAt , A =
" "
T T
k =-" k=-"
7
Automatyka i sterowanie 17 Częstotliwość próbkowania
"
1
*
f ( t ) = f ( t ) e- jkAt
"
T
k =-"
"
* *
{}
! f ( t ) = F*( j ) = f ( t )e- jtdt
+"
-"
" "
" "
1 1
- jkAt jt
F*( j ) = f ( t ) e- dt = f ( t )e- j(kA +)tdt
"e "
+" +"
T T
k =-" k=-"
-" -"
"
"
1
F*( j ) = F(j(kA + )) gdzie !{f ( t )}= F( j ) = f ( t )e- jtdt
"
+"
T
k=-"
-"
2Ą
A
przesunięte o wielokrotność  = T transformaty Fouriera funkcji f(t)
F( j ) = 0  > 1
A > 21
Załóżmy, że dla
8
Automatyka i sterowanie 17 Częstotliwość próbkowania
F( j )
F( j ) = 0 dla  > 1 i A > 21
- 1 1
F*( j )
k = 1
k = -1 k = -2
A
2
A
- 2A -A - 1 1 2A
G( j )
k = 1
k = -1 k = -2
A
2
9
- 2A -A - 1 1 A 2A
Automatyka i sterowanie 17 Częstotliwość próbkowania
Stosujemy filtr idealny o transmitancji widmowej
A
ż#1 dla  <
T
#
2
G( j ) =
#
A
#
0 dla  <
# 2
2T
jego odpowiedz impulsowa:
A
"
2
1
jt 1
jt
!-1{G( j )}= g( t ) =
e d
+"G( j )e d = =
+"
2Ą 2Ą
A
-"
-
2
A A
j t - j t ś#
#ś#
1 1 A = 1 sin# A t 1 sin# A t ś#
ś# ź#
ś#
2
# #
= = sin# t ś#ź#
=
ś#e 2 - e 2 ź#
ś#ź#
A
2
2Ą jt T
Ą t 2
# # T t# # A t
# #
2
2
10
Automatyka i sterowanie 17 Częstotliwość próbkowania
Tw. Shannona
F( j ) = 0  > 1
Jeżeli dla to F(j) jest jednoznacznie określona przez ciąg f(kT) i f(t) jest dana
przez
A( t - kT )
sin
"
2
f ( t ) = f ( kT )
"
A( t - kT )
k =-"
2
11
Automatyka i sterowanie 17 Częstotliwość próbkowania
Moduł transmitancji widmowej
ekstrapolatora zerowego rzędu
0,637
A A 2A
2
12
Automatyka i sterowanie 17 Częstotliwość próbkowania
F( j ) = 0  > 1
dla
F( j )
ale  < 21
A
1
- 1
F*( j )
k =1
k = -1 k = -2
1 A
- 2A -A- 1 2A
2 A
2
F( j(2 ) F( j(A - 2 )
alias 2
13
Automatyka i sterowanie 17 Częstotliwość próbkowania
Środki zaradcze:
1. Podnieść  tak by  > 21 czyli zmniejszyć T. W praktyce > 5 101
A A A
A
2. Obciąć widmo f(t) do przez filtr dolnoprzepustowy przed próbkowaniem
2
14
Automatyka i sterowanie 17 Częstotliwość próbkowania
15
Automatyka i sterowanie 17 Częstotliwość próbkowania
16
Automatyka i sterowanie 17 Częstotliwość próbkowania
Wolne próbkowanie (undersampling) może być stosowane świadomie. Przetwornik A/C może
przetwarzać informację zakodowana w modulowanym sygnale nośnym o dużej częstotliwości i
wytwarzać sygnał o częstotliwości niższej.
Stosowanie przetwornika próbkującego poniżej częstotliwości Nyquista może być opłacalne finansowo.
Np. Sygnał nośny 10MHz jest modulowany sygnałem o paśmie 100kHz (ą50kHz ośrodku 10MHz).
Próbkowanie z częstotliwością 4MHz daje składniki (f1+f2 i f1-f2) o częstotliwości 14MHz i 6Mz, i
składniki (2f1, 2f2, 2f1+f2, f1+2f2, | 2f1-f2 |, | f1-2f2) | o częstotliwości 8MHz, 20MHz, 18MHz, 2MHz,
24MHz i 16MHz. Sygnał o częstotliwości 2MHz jest tym, o który chodzi. Z sygnału 10MHz przez
próbkowanie wytworzono  alias 2MHz. W sposób cyfrowy można teraz  odzyskać sygnał o
częstotliwości 50kHz. Nie wymaga to kosztownej obróbki analogowej, wystarczy odpowiednie
oprogramowanie.
Szybkie próbkowanie (oversampling) może być używane do redukcji szumów w przypadku zakłócenia
szumem białym. Zbieramy więcej próbek, niż to konieczne do odtworzenia sygnału, potem filtrując dane
redukujemy poziom zakłóceń.
17
Automatyka i sterowanie 17 Częstotliwość próbkowania
Transmisja sygnałów w układzie regulacji
A
W układzie regulacji tor główny od sygnału uchybu powinien tłumić częstotliwości  > 2 i widmo
sygnału wyjściowego powinno być takie jak wejściowego. Jeżeli widmo to jest ograniczone przez 1,
to trzeba wybrać  > 21 , a w praktyce  > 5 101
A A
Okres próbkowania wpływa na model układu dyskretnego  na transmitancje dyskretne i na macierze
opisu w przestrzeni stanów
t T
Ac ((k +1)T - ) Ac
c
A = eA T , B = d Bc = d Bc

+"e +"e
t0 0
T
Ac -1
c
B = [eA T - I]Bc
det Ac `" 0
gdy +"e d Bc = Ac 
0
ma więc wpływ na dynamikę układu dyskretnego i nawet na jego stabilność.
18
Automatyka i sterowanie 17 Częstotliwość próbkowania
Sterowalność:
Jeżeli wartościami własnymi układu ciągłego są si, to wartościami własnymi układu po dyskretyzacji są
i
es T . Jeżeli dwie różne wartości własne przejdą na tą samą wartość własną układu dyskretnego, to układ
dyskretny nie będzie sterowalny, mimo że układ ciągły jest całkowicie sterowalny.
s1 =  + j1, s2 =  + j2
Jeżeli wartości sterowania są ograniczone to
istotny jest  zakres sterowalności =obszar w
e( + j1 )T = e( + j2 )T
przestrzeni stanów osiągalny z 0 w N krokach
j(1 -2 )T
e = 1
przy ograniczonym sterowaniu. Dla zwiększenia
2Ą
 zakresu sterowalności zaleca się wybierać
T = ąq , q = 1,2,
1 - 2
częstotliwość próbkowania 3 do 6 razy większą
od częstotliwości dla której następuje utrata
1 = -2 =  > 0
gdy
Ą Ą
Ą
< T <
sterowalności czyli .
T = ąq , q = 1,2,
6 3

19
Automatyka i sterowanie 17 Częstotliwość próbkowania


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
automatyka i sterowanie wyklad
automatyka i sterowanie wyklad
automatyka i sterowanie wyklad 7
automatyka i sterowanie wyklad
automatyka i sterowanie wyklad
automatyka i sterowanie wyklad 6
automatyka i sterowanie wyklad
automatyka i sterowanie wyklad
automatyka i sterowanie wyklad
automatyka i sterowanie wyklad 5
automatyka i sterowanie wyklad 9
automatyka i sterowanie wyklad
automatyka i sterowanie wyklad
Wykład 1 Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
14 Stosowanie układów automatyki i sterowaniaid557
USM Automatyka w IS (wyklad 3) regulatory ppt [tryb zgodnosci]
Automatyka i sterowanie
USM Automatyka w IS (wyklad 5) Zawory reg ppt [tryb zgodnosci]

więcej podobnych podstron