Kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu Algebra liniowa
WETI, kierunki EiT, 1 sem., r. ak. 2011/2012
1. [7p.] a) Wiadomo, że
îÅ‚ Å‚Å‚
0 1 2
ïÅ‚ śł
B-1 · AT = 0 3 5 .
ðÅ‚ ûÅ‚
-1 1 1
Znalezć takÄ… macierz X, aby speÅ‚niaÅ‚a ona równanie AT · X · B-1 = 2I.
[2p.] b) Dana jest macierz A wymiaru 3 × 2 i macierz nieosobliwa B stopnia 3.
Które z iloczynów: B2AT , AAT B-1, B-1ABT , (AAT )2 istnieją? Odpowiedz uzasadnić.
2. [7p.] Rozwiązać nierówność
0 -1 -1 -1 2
x x x 0 1
1 2 x -1 1 < 3 - 6x2
1 2 0 1 1
2 1 1 1 0
3. [7p.] a) W zależności od parametru podać liczbę rozwiązań układu równań
Å„Å‚
ôÅ‚ x + y + z = 1
òÅ‚
2x + y + z =
ôÅ‚
ół
x + y + z = 2
[2p.] b) Wyznaczyć rozwiązanie jednorodnego układu Cramera n równań z n niewiadomymi,
gdzie n jest dowolnie ustaloną liczbą naturalną. Odpowiedz uzasadnić.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. [7p.] a) Wykazać, że proste l1 i l2
Å„Å‚
ôÅ‚ x = 2 + 4t
òÅ‚
x - 7 y - 2 z
l1 : y = -6t , t " R, i l2 : = =
ôÅ‚
-6 9 12
ół
z = -1 - 8t
są równoległe. Obliczyć odległość między nimi i wyznaczyć równanie płaszczyzny, w której one
leżą.
[2p.] b) Sprawdzić, czy punkty A(1, 3, 0), B(2, 4, 5), C(3, 5, 9) i D(0, 1, 2) należą do jednej
płaszczyzny.
(i - 1)6
"
5. [4p.] a) Niech z = . Obliczyć |z| oraz Argz.
(1 + 3i)8
[3p.] b) Korzystając ze wzoru całkowego Cauchy ego lub jego uogólnienia obliczyć całkę
dz
,
(z2 + 1)2
C
gdzie C jest okręgiem |z + i| = 1 zorientowanym dodatnio.
-s3 + 5s2 + 6s + 15
6. [7p.] a) Znalezć oryginał, gdy dana jest transformata Laplace a F (s) = .
s4 + 2s3 + 5s2
[2p.] b) Wyprowadzić wzór na transformatę Laplace a funkcji potęgowej f(t) = tn.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [5p.] Znalezć wartości własne i wektor własny odpowiadający najmniejszej
dodatniej z wyznaczonych wartości własnych macierzy
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 0
ïÅ‚ śł
A = 2 2 0 .
ðÅ‚ ûÅ‚
-1 -1 -1
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
kol zal algebra ETI EiT 10 11kol zal algebra ETI AiR 10 11kol zal algebra ETI IBM 10 11kol zal sem2 ETI IBM 11 2012kol zal sem2 ETI AiR 11 2012egz pol ETI EiT 11 12kol zal pop sem2 EiT 12 2013kol zal pop sem2 AiR IBM 12 2013kol zal pop algebra ETI 12 13kol zal dod pop algebra ETI 12 13kol dod pop zal sem2 ETI 12 2013kol zal sem2 EiT 12 2013kol zal sem2 EiT 13 2014egz ME ETI EiT 12 13egz pol ETI AiR IBM 11 1211 12 02 wyklad algebra11 12 09 wyklad algebraid337kol pop sem2 ETI 11egz pol ETI EiT 10 11więcej podobnych podstron