DODATEK 4
Pole elektryczne powierzchni kuli z równomiernie rozłożonym na jej powierzchni
Å‚adunkiem powierzchniowym
Powierzchnia kuli (sfera) o promieniu R jest równomiernie naładowana ładunkiem po-
wierzchniowym o stałej gęstości +qs = const. Całkowity ładunek Q na powierzchni kuli wy-
nosi Q = qs S = qs 4ĄR2. Pole elektryczne jest radialne o symetrii centralnej i wektory natęże-
nia pola elektrycznego E na całej powierzchni są prostopadłe do niej, co ilustruje rys. D4.1.
Natężenie pola elektrycznego E i potencjaÅ‚ Õ sÄ… funkcjami tylko jednej zmiennej r promie-
nia, czyli odległości od środka sfery. W rezultacie linie sił pola elektrycznego są również pro-
stopadłe do powierzchni Gaussa SG o promieniu r, a wektory natężenia pola E są wszędzie
jednakowe, czyli wartość natężenia pola elektrycznego jest stała E = En = const. Strumień
wektora natężenia pola elektrycznego Ś przez pole zamkniętej powierzchni Gaussa SG o
promieniu r (r > R) zależy wprost proporcjonalnie do tej powierzchni.
SG
SG
Q V
E
E
qs SS r
r
qv
G
90°
r
O
O
Q
E
R
R
Rys. D4.1. Powierzchnia kuli z równomiernie rozmieszczonym
na niej Å‚adunkiem powierzchniowym i jej pole elektryczne
Powierzchnia Gaussa wynosi
SG = 4Ä„r2 , (D4.1)
gdzie r jest promieniem sferycznej powierzchni Gaussa współśrodkowej z naładowaną ła-
dunkiem powierzchniowym qs powierzchniÄ… kuli o promieniu R.
Na zewnątrz powierzchni kulistej (r > R) strumień Ś wektora natężenia pola E przez po-
wierzchniÄ™ Gaussa SG wynosi
SG
Åš = EdS = EdS =E dS = ESG = E Å"4Ä„r2 . (D4.2)
+"
+" +"
SG SG 0
Z definicji strumień ten jest równy
Q qsS qs
Åš = = = 4Ä„R2 , (D4.3)
µµ0 µµ0 µµ0
gdzie Q jest całkowitym ładunkiem rozłożonym równomiernie na powierzchni kuli.
Porównując wzory (D4.2) i (D4.3) otrzymuje się wzór na natężenie pola elektrycznego na
zewnÄ…trz kuli
Q 1 qs R2
E = = . (D4.4)
4Ä„µµ0 r2 µµ0 r2
Na powierzchni kuli r = R natężenie pola elektrycznego wynosi
Q 1 qs
E = = , (D4.5)
4Ä„µµ0 R2 µµ0
czyli jest równe natężeniu pola między dwoma nieskończenie wielkimi płaszczyznami rów-
nomiernie naładowanymi ładunkiem powierzchniowym wzór (D2.4)
Ponieważ
dÕ
E = -gradÕ i E = - , (D4.6)
dr
zatem potencjaÅ‚ Õ w polu elektrycznym Å‚adunku powierzchniowego qs dla r > R jest caÅ‚kÄ… z
natężenia pola elektrycznego wyrażonego wzorem (D4.4) i wynosi
qs R2 qs 1 qs R2
Õ = - Edr = - dr = - R2 dr = + C (D4.7)
+" +" +"
µµ0 r2 µµ0 r2 µµ0 r
z dokładnością do stałej całkowania C i maleje z odległością. Jeśli się przyjmie, że potencjał
w nieskończoności jest równy zero, to warunek brzegowy jest następujący
Õ = 0 dla r = " i C = 0 , (D4.8)
a zatem wzór (D4.7) przyjmuje postać
qs R2
Õ =
(D4.9a)
µµ0 r
albo
Q 1
Õ =
. (D4.9b)
4Ä„µµ0 r
Wzór (D4.9b) pokazuje, że potencjał na zewnątrz powierzchni kuli od ładunku powierzch-
niowego qs jest taki sam jak potencjał równoważnego ładunku punktowego Q = qs S umiesz-
czonego w środku kuli O i rozpatrywanego dla warunku r > R.
Wewnątrz powierzchni kulistej (r < R) nie ma żadnego ładunku. Strumień Ś wektora natę-
żenia pola E przez powierzchnię Gaussa SG wewnątrz kuli na podstawie wzoru (D4.2) wynosi
SG
Åš = EdS = EdS =E dS = ESG = E Å"4Ä„r2 . (D4.10)
+"
+" +"
SG SG 0
Natomiast ze względu na brak ładunku wewnątrz kuli i według wzoru (D4.3) strumień wekto-
ra natężenia pola elektrycznego wynosi
Q qsSG
Åš = = = 0 . (D4.11)
µµ0 µµ0
Z porównania wzorów (D4.10) i (D4.11) wynika, że wewnątrz kuli naładowanej ładunkiem
powierzchniowym qs nie ma pola elektrycznego i E = 0, bez względu na to, czy ładunek na
powierzchni jest rozmieszczony równomiernie, czy nie. Jest to odwzorowanie sytuacji z peł-
nym przewodnikiem wprowadzonym w zewnętrzne pole elektryczne (patrz: Przewodniki w
polu elektrycznym ).
W związku z powyższym potencjał wewnątrz kuli musi być wszędzie stały, czyli jej wnę-
trze jest ekwipotencjalne. Jest tak, ponieważ
2
dÕ
E = - = 0 (D4.12)
dr
i
Q qs
Õ = = R = const . (D4.13)
4Ä„µµ0R µµ0
Na rys. D4.2 pokazano przebiegi zmian natężenia pola elektrycznego E i potencjaÅ‚u Õ w
funkcji odległości r dla wnętrza i zewnętrza równomiernie naładowanej ładunkiem po-
wierzchniowym qs powierzchni kuli sfery. Na powierzchni kuli natężenie pola zmienia się
skokowo od 0 do wartoÅ›ci qs/µµ0 i warunek ciÄ…gÅ‚oÅ›ci nie jest speÅ‚niony dla r = R.
E
0 r
R
Rys. D4.2. Natężenie pola elektrycznego E i potencjaÅ‚ Õ w funkcji odlegÅ‚oÅ›ci r
od środka równomiernie naładowanej ładunkiem powierzchniowym sfery
3
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
WExample2WExample3WExample1WExample6WExample5Cisco Press CCNP Routing Exam Certification Guide AppendixPrzeliczniki mocy w?cybelach3? EXAM LANGUAGE ELEMENTSfor studentsSytuacja ucznia chorego przewlekle w?ukacji wczesnoszkolnejw sprawiedliwoscWw Pedagogika nauka czy filozofianotatek pl frydman,materia oznawstwo, Podstawy obr Žbki cieplnej stop Žw elazaW?BRYCE HISTONOWW 13więcej podobnych podstron