Wprowadzenie do klasycznej teorii pola
##########################################################################################
Autor : R. Waligóra ;
data powstania dokumentu : 2008-11-10 ; ostatnie poprawki z dnia: 2012-04-01
##########################################################################################
WPROWADZENIE
Tekst ten wprowadza ogólne pojęcia stosowane w klasycznej teorii pola. Dla jego zrozumienia konieczna jest
znajomość mechaniki analitycznej (aparatu kanonicznego), podstaw STW oraz podstaw rachunku wariacyjnego.
W klasycznej teoria pola stosujemy metody klasycznej tj. nie uwzględniającej przejścia kwantowego.
Czytelnikowi przed zapoznaniem się z tekstem , powinny być znane takie pojęcia jak : współrzędne uogólnione,
prędkości i pędy uogólnione, lagranżjan i hamiltonian - układu mechanicznego, reprezentacja grupy Lorentza
( Poincarego ). Należy również mieć na uwadze, że nie wyczerpuje on tematu i jest tekstem jedynie poglądowym
i może on stanowić pewien wstęp do poruszanych zagadnień.
W pierwszej kolejności wprowadzę wspomniane wyżej wielkości dla przypadku nierelatywistycznego, następnie
pojęcia te zostaną rozszerzone na układy o nieskończonej ( w granicy ) liczbie stopni swobody tj. ośrodki ciągłe.
Dla układów takich współrzędne uogólnione zostają zastąpione (ciągłymi) funkcjami pola, lagranżjan i
hamiltonian zastępujemy odpowiednio gęstością lagranżjanu i gęstością hamiltonianu, przejście to właściwie już
uwzględnia polowy charakter zmiennych działania. Na końcu formalizmowi temu nadam relatywistyczną
niezmienniczość wprowadzając tym samym pojecie pola relatywistycznie niezmienniczego .
W tekście podkreślono kluczową dla teorii pola (zarówno klasycznego jak i kwantowego ) rolę zasad
zachowania wynikających z istnienia odpowiednich grup symetrii równań wariacyjnych.
( twierdzenie E. Noether ). Pojęcie pola i cząstek (cząstki) odpowiadających temu polu jest we współczesnej
fizyce podstawą zrozumienia zasad funkcjonowania wszechświata zarówno w skali makro jak i mikro (tego w
szczególności).
Warto również wspomnieć , że obecnie bardzo duży nacisk kładzie się na pola obdarzone szczególnym rodzajem
symetrii - chodzi o symetrie cechowania, jak również pola, dla których pojecie symetrii (związanej z pewną
niezmienniczością ) zostało rozszerzone, mówię tutaj o tzw. supersymetrii.
Przyjęty schemat postępowania będzie następujący :
Wychodzimy od mechaniki analitycznej i związanego z nią aparatu kanonicznego ( formalizm Lagrange a i
Hamiltona, przekształcenia kanoniczne , nawiasy Poissona , twierdzenie Noether , współrzędne cykliczne )
Następnie przechodzimy do rozpatrzenia formalizmu kanonicznego dla ośrodków ciągłych wprowadzając
pojęcie pola jako zmiennej funkcjonału działania. W wyniku tego przejścia otrzymujemy charakterystyczną
zamianę wielkości dynamicznych na odpowiadające im gęstości. Rozpatrując niezmienniczość równań
polowych ze względu na grupę ich symetrii ( twierdzenie Noether dla teorii pola ) otrzymujemy nowe wielkości
zachowane tj. zachowane prądy i ładunki Noether. Ostatnie uogólnienie polega na takim sformułowaniu równań
pola aby stały się niezmiennicze względem pewnej reprezentacji grupy Lorentza. Otrzymujemy w ten sposób
relatywistyczna teorię pola (klasycznego ).
Zobacz również teks pt. Szkic o fizyce i jej historii, matematyce i filozofii
Teoria pola (teorie pola ) szczególnie pola skwantowanego, jak wspomniałem jest podstawą na której opiera
się cała fizyka teoretyczna. W jej metodach , a zwłaszcza używanych narzędziach matematycznych odbite jest
całe bogactwo i różnorodność fizyki. Należy od razu powiedzieć , że jest to jednak okupione wieloma
trudnościami zarówno natury fizycznej jak i matematycznej. Teoria pola ukazuje w pełni swoje możliwości
kiedy zastosujemy odpowiedni formalizm matematyczny , do arsenału którego nalezą m.in. takie pojęcia jak :
tensor, forma różniczkowa , pochodna kowariantna , pochodna Liego, rozmaitość Riemannowska.
Aby zorientować się nieco w takim wyłożeniu polecam przejrzeć książkę :
W. Thirring Fizyka matematyczna tom 2 klasyczna teoria pola. ; PWN 1985
Początkującym, jednak w pierwszej kolejności proponuje zapoznać się z artykułem pt. :
Teoria pola M. Kupczyńskiego napisanym dla Encyklopedii fizyki współczesnej PWN 1984
W celu dalszego pogłębiania naszkicowanego materiału polecam odwołać się do przytoczonej na końcu
literatury.
1
Rys. 1.1 a) Podstawowa koncepcja pojęcia pola dwa ładunki (zródła pola ) oraz pole jako ośrodek za
pomocą którego realizuje się oddziaływanie między dwoma ładunkami ( tutaj ładunki mają przeciwne znaki )
2
Mamy zatem następujący model
cząstka A ! pole fizyczne ! cząstka B
b) Przykłady linii sił pola dla ładunków o przeciwnych znakach pola wektorowe o zerowej rotacji, dla ładunku
Q pole o niezerowej rotacji. c) Przykłady dwóch podstawowych rodzaii pól skalarnego i wektorowego
d) Podstawowa koncepcja dynamiki ładunku próbnego q ( o niezerowym wektorze prędkości początkowej v ) w
polu ładunku Q ( pole skalarne o zerowej rotacji ).
I. PODSTAWOWE POJCIA
Przypomnijmy pewne standardowe oznaczenia stosowane w mechanice analitycznej :
qi(t) - współrzędne uogólnione punktu materialnego lub układu mechanicznego składającego się z wielu
punktów materialnych . i = 1 ... N ; N liczba stopni swobody układu mechanicznego.
Gdy na układ składający się z n punktów materialnych , nałożono m więzów, to : N = 3n - m
.i(t) prędkości uogólnione.
dqi(t)/dt a" q
Przestrzeń konfiguracyjna układu mechanicznego wyznaczona jest przez współrzędne uogólnione tego układu.
Każdy układ mechaniczny może być scharakteryzowany poprzez pewną funkcję współrzędnych uogólnionych ,
prędkości uogólnionych i czasu.
.i(t) , t )
L = L(qi(t) , q
Funkcje tą nazywamy lagranżjanem ( w niektórych publikacjach spotyka się pisownie lagrangian ) układu
mechanicznego (ogólnie układu fizycznego). Wielkość :
.i = pi(t) - nazywamy pędem uogólnionym.
"L/"q
Rozpatrzmy funkcjonał postaci :
t1
S [ł] = +" L dt (1.1)
t0
S [ł] oznacza zależność funkcjonalną S od ł ; ł - jest pewną krzywą w przestrzeni konfiguracyjnej.
Funkcjonał o takiej postaci nazywamy działaniem .
Do podstawowych zasad mechaniki należy zasada stacjonarnego działania, zwana niesłusznie z matematycznego
punktu widzenia zasadą najmniejszego działania. Głosi ona iż :
Rzeczywisty ruch układu mechanicznego w przestrzeni konfiguracyjnej opisywany jest przez taką krzywą ł , dla
której działanie (1.1) osiąga ekstremum (w szczególności może to być minimum ).
Zgodnie z podstawowym twierdzeniem rachunku wariacyjnego możemy powiedzieć :
warunkiem koniecznym aby działanie S osiągało ekstremum jest spełnienie równania Eulera-Lagrange a :
.i ) - "L/qi = 0 lub p. - fi = 0 lub p. = fi (1.2)
d/dt ("L/"q
gdzie : fi = "L/qi jest siłą uogólnioną.
Równanie to wynika z równania wariacyjnego o postaci :
S = 0 (1.3)
. = fi nazywamy ekstremalnymi funkcjonału S.
Rozwiązania równania : p
Wprowadzając pojęcie pochodnej wariacyjnej (pochodnej Hamiltona ) :
.i ) ( "L/qi ) (1.4)
hL / hqi = d/dt ("L/"q
( literka h symbolizuje różniczkowanie w sensie Hamiltona ) otrzymamy warunek :
hL / hqi = 0
Należy zauważyć, że lagranżjan jest określony niejednoznacznie. Wynika to z tego, że lagranżjan postaci :
L = L + d/dt f (qi , t )
również spełnia równania (1.4).
W ogólności będziemy mieli następującą niejednoznaczność :
ń ń = ń + "F
która nie będzie naruszała działania tj. S = S ( zatem i odpowiednich równań ruchu )
Własność ta jest słuszna dla określonych zależności topologicznych.
3
Asymptotyczna addytywność lagranżjanu.
Jeżeli będziemy rozpatrywali dwa układy mechaniczne znajdujące się w znacznej odległości jeden od drugiego
to jest oczywiste , że procesy zachodzące w jednym układzie nie powinny wpływać na procesy zachodzące w
drugim układzie. Z drugiej strony jednak, nie można zabronić aby rozpatrywać te dwa układy jako jeden układ
złożony z dwóch odległych przestrzennie części I i II.
Jeżeli pewien układ ( I + II ) rozdzielimy na dwa pod układy I i II w taki sposób , że minimalna odległość
między punktami materialnymi układu I i II rI II " , to funkcje Lagrange a układu I + II możemy rozłożyć na
dwie (osobne ) funkcje Lagrange a :
LI + II LI + LII
r I II "
Jest to warunek asymptotycznej addytywności funkcji Lagrange a.
Przykład 1.
Rozważmy układ zachowawczy fizyczny (mechaniczny) składający się z jednego punktu materialnego o jednym
stopniu swobody. Dla takiego układu jak wiadomo lagranżjan ma postać :
L = T U ; gdzie : T to energia kinetyczna , U to energia potencjalna.
I odpowiednio, dla energii tych mamy zależności postaci :
T = mv2 ; U = U(x)
Równanie Eulera Lagrange a przyjmuje postać :
. = fi (jest to uogólniona II zasada dynamiki Newtona )
p
Dla naszego przypadku mamy jednak :
p = "L/"v = mv ; f = "L/"x = "U/"x
zatem :
dp/dt = f ! ma = F ! ma = - "U/"x
Co oczywiście pokrywa się z klasycznie rozumianym II prawem Newtona.
Równania Hamiltona
Jak wiadomo równania mechaniki możemy zapisać ( w formie równoważnej ) w formalizmie Hamiltona.
Funkcje Hamiltona związana jest z funkcją Lagrange a następująco :
.j (p , q , t) L ( q , q. (p , q , t) , t ) (1.5)
H (qi(t) , pi(t) , t ) = Ł pj q
Funkcjonał działania (1.1) możemy zapisać również wykorzystując funkcje Hamiltona :
t1 t1
.j (p, q, t ) L ( q , q. (p, q, t ) , t ) ] (1.6)
S [ł] = +" L dt = +" [ Ł pj q
t0 t0
Wariacja takiego funkcjonału prowadzi do równań kanonicznych Hamiltona postaci :
.j = "H/"pj ; p.j = - "H/"qj ; j = 1 & n - liczba stopni swobody układu. (1.7)
q
Równania (1.7) są równoważne równaniom (1.2).
Dla formalizmu Lagrange a mamy n równań różniczkowych drugiego rzędu, dla formalizmu Hamiltona mamy
2n równań różniczkowych pierwszego rzędu.
II. PRAWA ZACHOWANIA W KLASYCZNEJ TEORII POLA
Jak wspomniano podstawową rolę w teorii pola odgrywa twierdzenie Emmi (ang. Emmy ) Noether.
Dla układu równań różniczkowych , które mogą być otrzymane z zasady wariacyjnej Eulera-Lagrange a,
każdemu jednoparametrycznemu przekształceniu ciągłemu pozostawiającemu funkcjonał wariacyjny
inwariantnym odpowiada jedno różniczkowe prawo zachowania. Jeżeli ciągła grupa przekształceń (grupa Liego)
zawiera m parametrów , to z inwariantności tego funkcjonału względem tej grupy wynika m- różniczkowych
praw zachowania.
Zatem , jeżeli funkcjonał postaci (1.1) jest niezmienniczy względem ciągłej m-parametrycznej grupy
przekształceń to równaniom (1.2) odpowiada m różniczkowych praw zachowania
Przypominam , że różniczkowym prawem zachowania (w ogólności ) nazywamy wielkość :
" T = 0 ; gdzie : " - jest pochodną kowariantną ; T - pewnym tensorem.
Dla naszych celów wystarczy jednak szczególny przypadek tego prawa , mianowicie :
.i(t) ) ] = 0 (2.1)
d/dt [ f ( (qi(t) , q
Z różniczkowego prawa zachowania wynika, że pewna wielkość jest zachowana w czasie tj. :
4
.i(t) ) = const.
f ( (qi(t) , q
Można pokazać , że różniczkowe prawo zachowania dla przypadku funkcjonału postaci (1.1) ma postać :
.i )q.i ] + Ł ("L/"q.i ) i } (2.2)
d/dt { [ L - Ł ("L/"q
Transformacje współrzędnych mają postać :
t ! t = t + (q, t ) ; qi (t) ! q i (t ) = qi (t) + i (q, t) ; - pewien parametr ciągły
Zgodnie z tym :
.i )q.i ] + Ł ("L/"q.i ) i = const. (2.3)
Q = [ L - Ł ("L/"q
.i(t) ) = const.
Zatem wielkość : Q = Q ((qi(t) , q
Zasada zachowania energii.
Aby otrzymać zasadę zachowania całkowitej energii układu mechanicznego zachowawczego przyjmijmy ,
transformacje dla których : (q, t ) = 1 , i (q, t) = 0
Mamy zatem :
t ! t = t + ; qi (t) ! q i (t ) = qi (t)
Jest to jak widać transformacja polegająca jedynie na przesunięciu (translacji) czasu.
Mamy dalej :
.i )q.i ] = 0
d/dt [ L - Ł ("L/"q
czyli :
.i )q.i ] = const. = - E ; E energia całkowita układu zachowawczego
[ L - Ł ("L/"q
Jak wiemy wielkość :
.i )q.i = H ; gdzie : H jest funkcją Hamiltona.
L - Ł ("L/"q
Zatem : dH /dt = 0 => H = const.
Dla układu zachowawczego mamy :
L = T - U
.i )q.i
- E = T U - Ł ("T/"q
.i = vi , T = mv2 , "T/"q. = "T/"v = mv ; U = U(x, y, z)
W układzie kartezjańskim mamy q
- E = T - U - 2T = - ( U + T ) => E = T + U
Zatem dla układu zachowawczego z jednorodności czasu wynika zasada zachowania energii całkowitej układu.
Zasada zachowania pędu.
Aby otrzymać zasadę zachowania pędu przyjmijmy :
(q, t ) = 0 , i (q, t) = 1
Mamy odpowiednio wielkość zachowaną postaci :
.i ) ] = 0
d/dt [ Ł ("L/"q
.i ) = const.
Ł ("L/"q
Przyjmijmy L = T - U
.i ) = Ł "T/"q.i = const. ! p = "T/"v = mv = const.
Ł ("L/"q
Zatem dla układu zachowawczego z przesunięcia w przestrzeni (jednorodności przestrzeni) wynika prawo
zachowania pędu.
Można pokazać ponadto , że z obrotu w przestrzeni ( izotropowość przestrzeni) wynika prawo zachowania
momentu pędu.
III. UKAADY CIGAE OŚRODKI CIGAE.
Do tej pory rozpatrywaliśmy układy mechaniczne składające się z dyskretnie rozłożonych punktów
materialnych. Takich punktów mogło być kilka lub w skrajnych przypadkach nieskończenie wiele. Jednak
zawsze zakładaliśmy, że jest ich przeliczalna ilość. Rozszerzając formalizm kanoniczny możemy rozpatrywać po
pierwsze układy złożone z pewnych podukładów które to mogą znowu składać się z pewnych układów. Funkcja
Lagrange a całego układu będzie oczywiście w myśl zasady addytywności lagranżjanu , sumą wszystkich
składowych (naturalnie, jeśli odległości między poszczególnymi podukładami będą dostatecznie małe )
k
5
Lcałkowity. = Ł Li ; k = liczba pod układów.
i = k
Po drugie, formalizm możemy uogólniać rozpatrując układ składający się z nieprzeliczalnej liczby punktów tj.
możemy rozpatrywać ruch mechaniczny pewnego ośrodka ciągłego.
Rolę współrzędnych uogólnionych dla tego przypadku odgrywają już nie poszczególne współrzędne , ale
funkcje ciągłe współrzędnych przestrzennych ( uogólnionych w klasycznym rozumieniu ) i czasu :
= ( qi , t ) lub dla współrzędnych kartezjańskich = ( x, y ,z , t )
Klasycznym przykładem wprowadzenia takiego formalizmu jest układ liniowy oscylatorów harmonicznych
przy przejściu granicznym układ ten modeluje ruch drgający struny.
Funkcja Lagrange a dla ośrodka ciągłego przyjmuje postać :
L = +" +" +" ń dV (3.1)
V
Wielkość : ń - nazywamy gęstością funkcji Lagrange a
dV = dxdydz - dla przypadku trój wymiarowej przestrzeni Euklidesa.
Dla ogólnego przypadku mamy :
., " /"qi ) ; . = d / dt (3.2)
ń = ń (,
W szczególnym przypadku ; " /"qi ! " /"x , " /"y , " /"z
Równania ruchu ośrodka ciągłego możemy otrzymać podobnie jak dla układów dyskretnych wariując pewne
działanie :
t1
S = +" +" +" +" ń dVdt (3.3)
t0 V
Warunek stacjonarnego działania przyjmuje postać :
S = 0
prowadzi on do równań analogicznych (1.2), dla układu dyskretnego :
. ) - "L/" = 0
d/dt ("L/"
W przypadku jeszcze ogólniejszym lagranżjan może zależeć nie od jednej funkcji ciągłej , a od
s funkcji s = s (qi , t ) , a wtedy :
ń = ń ((qi , t ) , "s /"t , "s /"qi ,qi , t )
Dla tego przypadku równania Eulera- Lagrange a przyjmują postać :
.s ) + Ł d/dqi [ "L/ " ("s /"qi )] - "L/"s = 0
d/dt ("L/"
Jak łatwo można się domyśleć, również metoda Hamiltona może być rozszerzona na ośrodki ciągłe.
Na początku jednak musimy zamienić pęd (uogólniony) na odpowiadającą mu gęstość pędu:
(należy zauważyć że przejście : pewna wielkość gęstość tej wielkości , jest charakterystyczne dla metod teorii
pola )
.
Ą = "L/"
Dla przypadku s = s ( qi , t ) mamy :
.s .
Ąs = "L/"
Wielkość tak określona w teorii pola nazywamy pędem sprzężonym z polem
Gęstość funkcji Hamiltona określona jest następująco :
.s - ń (3.4)
& = Ł Ąs
s
Funkcja Hamiltona będzie miała postać :
H = +" +" +" & dV (3.5)
V
Z wariacji funkcjonału
t1
S = +" +" +" +" & dVdt (3.6)
t0 V
otrzymujemy równania kanoniczne dla ośrodków ciągłych postaci :
6
.s = "H / "Ąs ; Ą. s = - { ("H / "s ) - Ł d/dqi [ "H/ " ("s /"qi )] } (3.7)
Wprowadzając uogólnienie pochodnej wariacyjnej o postaci :
H/s = ("H / "s ) - Ł d/dqi [ "H/ " ("s /"qi )]
otrzymamy :
.s = H / Ąs ; Ą.s = -H/s (3.8)
Równania te przypominają zapis (1.7).
Funkcje s = s ( qi , t ) ( w szczególnym przypadku : s = s ( t, x, y, z ) ) pod względem matematycznym są
funkcjami określającymi pewne pole (pola ). Mogą to być pola : wektorowe, skalarne, tensorowe lub spinorowe.
Mamy zatem następującą odpowiedniość :
Mechanika punktu materialnego lub ich układu pole
xi , i = 1, 2, ... , N (x )
N
L(t) = Ł ń ( xi ) L(t) = +" d3x ń (x )
Ł
Ł
Ł
i=1 przestrzeń
t2
S = +" ń (t ) dt S = +" ń (t )dt = +" d4x ń (x )
t1 czas czaso-przestrzeń
IV POLA W PRZESTRZENI MINKOWSKIEGO.
Rozpatrzmy układ pól zadanych w przestrzeni Minkowskiego : a = a (x ) ; = 0,1,2,3 ; a = 1 ... n
x0 = t ; r = r (x1 , x2 , x3 )
Lagranżjan ma postać :
L = +" +" +" ń ( a (x ), "a (x ) ) dV ; dV = d3x (4.1)
gdzie :
" = ( "/"t , "/"xi ) ; i = 1,2,3
Postać gęstości lagranżjanu ń ( a (x ), "a (x ) ) wybrana jest nie przypadkowo, nakładamy bowiem na
niego pewne warunki wynikające z danych doświadczalnych jak i wynikłych po uwzględnieniu samozgodności
teorii fizycznych.
Zakładamy po pierwsze ,że nie zależy ona jawnie od x - co zapewnia niezmienniczość translacyjną, po drugie
nie zależy ona od pochodnych wyższych niż pierwsza w przeciwnym razie prowadziłaby do równań pola
niezgodnych z doświadczeniem. Po trzecie musi być funkcją lokalną ( pochodne pól brane są w jednym i tym
samym punkcie ) i rzeczywistą.
Wszystkie fundamentalne teorie pola ( teoria oddziaływań elektrosłabych, silnych i grawitacji ) są zbudowane w
oparciu o tak przyjmowaną gęstość lagranżjanu.
Działanie określamy następująco :
t1
S = +" +" +" +" ń dVdt (4.2)
t0 V
Równania wariacyjne otrzymujemy oczywiście wariujac działanie (4.2) : S = 0
Z czego otrzymujemy ( równanie Eulera Lagrange a ) równania pola :
"L/"a - " [ "L / "("a ) ] = 0 (4.3)
Najprostszym przypadkiem pola jest pole skalarne , dla którego : = (x )
V. TWIERDZENIE NOETHER W TEORII POLA.
Rozpatrzmy przekształcenia postaci :
x x = x + A (x) A. (5.1)
a (x) a (x) = a (x) + abAb (x) A. (5.1)
gdzie : A jest pewnym parametrem ciągłym.
7
Można pokazać , że z niezmienniczości równań pola (4.3) względem przekształceń (5.1) wynika różniczkowe
prawo zachowania :
"Ja / "x = 0 ( lub " Ja = 0 ) (5.2)
Wielkość :
Ja = T A + [ "L/ "("a )] b abA (5.3)
nazywamy prądem Noether .
Równanie (5.2) stwierdza zatem, że prąd Noether jest zachowany.
Wielkość
T = L - [ "L / "("a )] a (5.4)
- delta Kroneckera
nazywamy kanonicznym tensorem energii-pędu . W przypadku kiedy lagranżjan nie zależy jawnie od x ,
zachowanym prądem jest kanoniczny tensor energii-pędu.
" T = 0 (5.5)
Uwaga. Równość (5.5) jest w istocie stwierdza ,że 4-dywergencja tensora energii-pędu jest równa zeru. W
ogólności tensor ten nie musi być symetryczny, jednak w wielu teoriach pola np. w teorii grawitacji żądamy aby
był on symetryczny. Oczywiście, równość (5.5) jest szczególnym przypadkiem równości (5.2) - zatem
kanoniczny tensor energii-pędu jest szczególną postacią prądu Noether.
Całkując (5.2) względem dowolnej 4-objętości ( pamiętajmy , że rozważamy pole w przestrzeni Minkowskiego )
oraz stosując twierdzenie Gaussa otrzymujemy, że 4-strumień wektora Ja przez ograniczającą tą 4-objetość
hiperpowierzchnię jest równy zeru. W szczególności dochodzimy do równania :
Qa (t) = +" J0a (x) dx3 = 0 (5.6)
t=const.
Wielkość : Qa nazywamy ładunkami Noether . Równanie (5.6) stwierdza zatem , że ładunek Noether jest
stały w czasie. (są one całkami ruchu w teorii pola ).
Jest to również tzw. całkowe wyrażenie twierdzenia Noether.
(całkowe prawo zachowania ). Można pokazać , że w szczególności, ładunki zachowane są to składowe 4-pędu :
P = +" T0 dx3 = 0 (5.7)
VI. KLASYCZNE POLA SWOBODNE.
Poprzez pole swobodne rozumiemy pole które nie oddziałuje z innymi polami. Przykładem takiego pola jest pole
elektromagnetyczne w próżni.
Opis każdego pola rozpoczynamy od zapostulowania gęstości funkcji Lagrange a. Kształt tej funkcji (jej
matematyczna postać ) wybierana jest zgodnie z pewnymi przepisami . Do najważniejszych z nich należą :
a) Relatywistyczna niezmienniczość. Działanie powinno być inwariantem grupy Poincarego.
b) Lokalność. Funkcje pola od których zależy jest funkcjonał działania , powinny zależeć od jednego i tego
samego punktu x ( w przestrzeni Minkowskiego zatem x a" x , = 0, 1, 2, 3 ).
c) Rzeczywistość. W działanie powinny wchodzić tylko rzeczywiste kombinacje funkcji pola i ich pochodne.
d). Do lagranżjanu powinny wchodzić pochodne funkcji pola nie wyższe niż pierwsze.
Pola skalarne.
Jak już wspominałem najprostszym polem jest pole skalarne (rzeczywiste). Pole skalarne (x) lub
= ( x0, x1, x2, x3 ) transformuje się przy przekształceniach Lorentza jak skalar lub pseudoskalar tj.
(x) = (x ). Pole to odpowiada cząstkom neutralnym o spinie 0.
Gęstość funkcji Lagrange a dla takiego pola jest następująca :
ń = { ["(x)/"x ]2 - m22(x) } (6.1)
lub
ń = "(x)"(x) m22(x) (6.1a)
m jest pewną stałą. ( możemy ją związać z masą kwantów pola )
Równanie pola skalarnego to równanie Kleina-Gordona , postaci (przyjmujemy układ jednostek w którym c=1 ):
( + m2 ) (x) = 0 (6.2)
gdzie : a" " " = c-2 "t2 - " 2 jest operatorem d Alamberta
Równanie Kleina Gordona uzyskujemy z równań wariacyjnych postaci :
8
"L/" - " [ "L / "(" )] = 0
Równanie (6.2) jest dobrze znane z relatywistycznej mechaniki kwantowej. Było ono pierwszym
relatywistycznym równaniem falowym, uzyskanym w mechanice kwantowej i zostało ono otrzymane w wyniku
relatywistycznego uogólnienia równania Schrdingera.
Tensor gęstości energii-pędu dla pola skalarnego ma postać :
T = (" /"x )(" /"x) - g L (6.3)
Gdzie : g - jest tensorem metrycznym w przestrzeni Minkowskiego.
Z równania tego otrzymujemy, że gęstość energii pola skalarnego jest równa :
T00 = [ (" /"t )2 + (" )2 + m22 ] (6.4)
Rozwiązaniem szczególnym równania (6.2) jest fala płaska :
(x) = A e -ipx (6.5)
gdzie : p2 a" (p0 )2 p2 = m2 .
Oprócz pól skalarnych w dalszej kolejności rozważać możemy pola wektorowe, pola z ładunkiem, pola ze
spinem ( pola spinorowe, bispinorowe ). Za każdym razem przyjmując odpowiednią postać lagranżajnu
(kierując się raczej metodą heurystyczną , nie ma bowiem jednej i ustalonej metody budowy funkcji Lagrange a)
a następnie wyznaczając ( o ile jest to możliwe ) rozwiązanie równań pola.
Pola wektorowe.
a) masywne pole wektorowe (pole wektorowe z masą ).
Pole wektorowe A składa się z czterech składowych transformujących się przy przekształceniu Lorentza jak
wektor :
A (x) = A (x) , - macierz Lorentza.
Lagranżjan pola wektorowego możemy zadać jako sumę czterech lagranżjanów swobodnych pól skalarnych A0
, A1, A2 , A3 , po jego wariowaniu dostaniemy cztery niezależne równania Kleina-Gordona, przypadek ten nie
wnosi niczego interesującego z fizycznego punktu widzenia. Pole o nowych własnościach otrzymamy nakładając
na pole A dodatkowy warunek, zmniejszający liczbę niezależnych składowych ( do trzech ) :
" A = 0
Te trzy niezależne składowe będą odpowiadać trzem wewnętrznym stopniom swobody cząstki o spinie równym
1 i masie różnej od zera. ( pole skalarne reprezentuje cząstkę o spinie zero, pole wektorowe reprezentuje cząstkę
o spinie jeden )
Lagranżjan dla pola wektorowego możemy wybrać np. w postaci :
Ł = - ź F F + m2 A A
gdzie : F = "A - " A
Równanie pola wynikające z tego lagranżjanu ma postać :
A - " ( " A ) + m2 A = 0
Zespolone pole skalarne.
Zespolone pole skalarne posiada dwie niezależne składowe : Ć(x) oraz sprzężoną do niej składową Ć*(x). Może
być ono jednak rozpatrywane jako pole o dwóch niezależnych składowych rzeczywistych Ć1(x), Ć2(x)
związanych z polem zespolonym następująco :
Ć(x) = Ć1(x) + iĆ2(x) lub Ć(x) = (1/ "2) ( Ć1(x) + iĆ2(x) )
Ć*(x) = Ć1(x) - iĆ2(x) Ć*(x) = (1/ "2) ( Ć1(x) - iĆ2(x) )
Lagranżjan takiego pola ma postać :
Ł = " Ć* "Ć m2Ć*Ć
Obie składowe pola spełniają równanie Kleina-Gordona :
( + m2 ) Ć(x) = 0 ( + m2 ) Ć*(x) = 0
Tensor energii-pędu pola zespolonego jest dany następująco :
T =[ ("Ć*/"x ) ("Ć/"x ) + ("Ć*/"x ) ("Ć/"x ) ] - g Ł
Ze wzoru tego otrzymujemy następującą zależność na gęstość energii zespolonego pola skalarnego :
T00 = Ł [ ("Ć*/"xk ) ("Ć/"xk ) ] + m2 Ć*Ć
Ł
Ł
Ł
oraz dla gęstości pędu :
T0i = - [ ("Ć*/"x0 ) ("Ć/"xi ) - ("Ć*/"xi ) ("Ć/"x0 ) ]
9
Wprowadzony lagranżjan posiada bardzo ważną symetrie, związaną z globalną transformacją cechowania jest
on mianowicie niezmienniczy względem następującego przekształcenia składowych pola :
Ć (x) = e+ią Ć(x)
Ć* (x) = e-ią Ć(x)
gdzie : ą stała (rzeczywista), niezależna od współrzędnych czasoprzestrzennych.
Dla małych ą możemy zapisać infinitezymalne przekształcenia cechowania :
Ć = iąĆ
Ć* = -iąĆ
Ponieważ ą nie zależy od współrzędnych czasoprzestrzennych infinitezymalne przekształcenia pochodnych pola
maja następującą postać :
( "Ć ) = ią "Ć
("Ć* ) = -ią"Ć*
Rozpatrując dwa równoważne podejście, z zastosowaniem dwóch pól rzeczywistych transformację tą możemy
zapisać następująco ( zapis macierzowy ) :
( Ć1 ) = ( cosą -siną ) ( Ć1 )
( Ć2 ) = ( siną cosą ) ( Ć2 )
( jest to oczywiście transformacja polegająca na obrocie o kąt ą )
Jest to przekształcenie zadawane przez elementy grupy Liego, konkretnie grupy U(1)
Wprowadzony lagranżjan charakteryzuje się również prądem zachowanym o postaci :
j = - i (Ć*"Ć - Ć" Ć* ) ; "j a" ( "j0/"t ) + div j = 0
Obecność takiego prądu zgodnie z twierdzeniem Noether związane jest z wskazaną globalną transformacją
cechowania.
Równanie "j = 0 pociąga za sobą istnienie ładunku zachowanego :
Q = +" j0 d4x
Rozważmy teraz lokalne przekształcenie cechowania
Ć (x) e-ią(x) Ć(x)
Zauważmy dalej, że "Ć pod działaniem globalnego przekształcenia cechowania przekształca się jak samo pole
tj. Ć(x)
Jednak pod działaniem lokalnego przekształcenia cechowania pojawia się dodatkowy człon
"Ć (x) e-ią(x) "Ć(x) + Ć(x) "e-ią(x)
Widać więc, że gęstość Ł ( Ć, "Ć ) nie jest inwariantna względem lokalnych przekształceń cechowania. Aby
uczynić ją inwariantną należy zamienić "Ć(x) na wyrażenie przekształcające się jak samo pole tj. Ć(x). W tym
celu wprowadzimy pole wektorowe A(x) ( pole cechowania ), które przekształca się pod działaniem lokalnego
przekształcenia cechowania w następujący sposób :
A(x) A(x) + (1/e) "ą(x) ; e pewna stała rzeczywista ( skalująca )
Wtedy pochodna kowariantna :
DĆ(x) a" [ " + ieA(x) ] Ć(x)
Będzie przekształcała się już jak samo pole tj. :
DĆ(x) e-ią(x) DĆ(x)
Gęstość Ł ( Ć, DĆ ) będzie zatem inwariantna względem lokalnego przekształcenia cechowania, zawiera on
jednak pole wektorowe A(x ) jako pole zewnętrzne, nie wynikające z teorii. Aby sprawić aby teoria była pełna
należy dodać do lagranżjanu człon kwadratowy względem "A(x) :
Ł = - ź F F + Ł0( Ć, DĆ ) gdzie : F = "A - " A jest to tensor pola EM
Sytuacja jest zatem następująca : wprowadzony lagranżjan Ł = " Ć* "Ć m2Ć*Ć posiada globalną symetrię
cechowania U(1) ( odpowiadającą pewnemu przesunięciu fazy ). Ponieważ z fizycznego punktu widzenia
bardziej interesuje nas lokalna symetria cechowania ( co wynika m.in. z wymogu relatywistycznej postaci teorii
fizycznych, który globalna symetria cechowania łamie ) chcielibyśmy aby lagranżjan ten był niezmienniczy
względem właśnie takiej symetrii. Ponieważ występują dodatkowe człony ( nie inwariantne względem lokalnej
symetrii cechowania ) musimy zamienić zwykłą pochodną na pochodną innego typu pochodną kowariantną.
Poprzez tą modyfikacje wprowadzamy jednak dodatkowe pole wektorowe pole cechowania A ,o
własnościach transformacyjnych :
10
A (x) A = A (x) + q "ą (x) ; q- pewna stała
Pole cechowania należy teraz wpasować do wejściowego lagranżjanu tak aby stało się ono pewną immanentną
składową naszej teorii musimy dodać do lagranżjanu człon z jego pochodnymi członem takim jest człon F
F , stała
Zatem nasz całkowity lagranżjan ma teraz postać :
Ł = ( "Ć + ieAĆ ) ( " Ć* - ieAĆ* ) m2Ć*Ć ź F F ; e - ma oczywiście sens ładunku elektrycznego
Widać więc, że pole EM pojawia się naturalnie w naszym lagranżjanie ( teorii zespolonego pola skalarnego )
jako wymóg inwariantności działania względem lokalnego przekształcenia cechowania. Pole EM jest zatem
polem cechowania, które należy wprowadzić aby zagwarantować inwariantność działania względem lokalnych
U(1)-przekształceń cechowania. Warto zauważyć, że równania Maxwella wynikają z wariowania powyższego
lagranżjanu ( wariując względem potencjałów A ).
Mamy również nową interpretacje bezmasowości pola EM pole EM jest polem bezmasowym ponieważ
wymaga tego inwariantność względem U(1)-cechowania.
Widać więc, że elektrodynamika jest teorią z U(1)-cechowaniem.
Pola spinorowe.
Dla pól spinorowych lagranżjan ma postać :
Ł = -(x) ił "(x) m-(x )(x)
wariowanie tego lagranżjanu prowadzi do równania ruchu nazywanego równaniem Diraca :
( i"^ m )(x) = 0
"^ a" ł" , ł - macierz Diraca ( zobacz tekst pt. Wprowadzenie do mechaniki kwantowej )
Pole spinorowe a(x ) ma postać kolumny ( spinor Diraca ) :
LITERATURA.
1) Droga do rzeczywistości - R. Penrose. Prószyński i S-ka 2004
2) Klasyczna teoria pola - K. Meissner. WN-PWN 2002
3) Teoria pola - L. D. Landau, E. M. Lifszyc PWN 1977
4) Elementy klasycznej i kwantowej teorii pola - J. Karaśkiwewicz. UMCS Lublin 2003
5) Wprowadzenie w teorię pól klasycznych - A.A. Bogusz, L. G. Moroz
Mińsk 1968 (język rosyjski)
6) Podstawy fizyki teoretycznej - B. W. Medwedew.
Moskwa Nauka 1977 (język rosyjski)
7) Podstawowe zasady mechaniki klasycznej i - E. Schmutzer
klasycznej teorii pola Moskwa Mir 1976 (język rosyjski)
8) Teoria pola - część I - J. Rzewuski. PWN 1964
(język angielski)
9) Współczesna geometria - B.A. Dubrownin, S. P. Nowikow
metody i zastosowania A. T. Fomenko
Moskwa Nauka 1986 (język rosyjski )
10) Mechanika klasyczna - J. Leech
Moskwa 1961 (język rosyjski )
11) Elektrodynamika i klasyczna teoria pola - A. O. Barut
oraz cząstek New York 1980 (język angielski )
12) Encyklopedia fizyki matematycznej - red. L. D. Faddeew.
( hasło : Twierdzenie Noether ) Moskwa 1988 (język rosyjski)
13) Rachunek wariacyjny - I. M. Gelfand, S. W. Fomin PWN 1972
14) Pola klasyczne - D. W. Galcow, Ju. W. Grac , W, C. Żukowskij
( przekład własny )
15) Wprowadzenie do symetrii i supersymetrii -- Jan Aopuszański
w kwantowej teorii pola World Scientific
(język angielski)
16) Wstęp do teorii pól kwantowych -- Iwo Białynicki-Birula
PWN 1971
11
17) Kwantowa teoria pola -- Lewis H. Ryder ( przekład własny )
18) Teoria pola. Współczesne wprowadzenie -- Pierre Ramond ( przekład własny )
12
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Medycyna manualna Wprowadzenie do teorii, rozpoznawanie i leczenie01 wprowadzenie do teorii eksploatacji statkow powietrznych podstawowe pojecia i definicjeid)90Wprowadzenie do teorii queerwięcej podobnych podstron