1. Geodezyjna (1.6) -Niech A,B"X. Geodezyjną łączącą punkt A z punktem B nazywamy
funkcję c:[a,b]X, taką, że "(t,t'"[a,b]) d(c(t),c(t'))=|t-t'|; (inaczej geodezyjna jest
zanurzeniem izometrycznym przedziału cR w X). Geodezyjną sprametryzowaną liniowo
nazywamy funkcję c:[a,b]X, taką, że "(K>0) "(t,t'"[a,b]) d(c(t),c(t'))=K|t-t'|
2. Przestrzeń geodezyjna (1.10) - Przestrzenią geodezyjną nazywamy przestrzeń metryczną,
której dowolne dwa punkty można połączyć geodezyjną. Przestrzenią r geodezyjną, gdzie
r>0 nazywamy p.m., której dowolne dwa punkty odległe o mniej niż r można połączyć
geodezyjną.
3. Długość krzywej (1.14) - Niech ł[a,b]X będzie krzywą (czyli funkcją ciągłą). Oznaczmy
l(j)=sup(a=t0
prostowalną a l(j) jej odległością.
4. Odległość euklidesowa (2.1) - Przestrzeń afiniczna En z funkcją daną wzorem d(A,B)=||B-
A|| jest przestrzenią metryczną.
5. Symetria hiperpłaszczyznowa (2.7) -Symetrią hiperpłaszczyznową względem
hiperpłaszczyzny H przechodzącej przez punkt P"H i ortogonalnej do wektora
jednostkowego n nazywamy przekształcenie rn:EnEn dane wzorem rH(z)=z-2n, z"En
6. Kąt wewnętrzny trójkąta euklidwsowego (2.9) -Niech punkty A,B,C"En będą
niewsółliniowe. Oznaczmy a=d(B,C); b=d(C,A); c=d(A,B); ą=n"(B-A,C-A); =n"(A-B,C-B);
ł=n"(A-C,B-C); a, b, c nazywamy dł. boków trójkąta ABC, ą, , ł nazywamy miarami kątów
wewnętrznych trójkąta ABC.; {ą,,ł}"(0, Ą)
7. Odległość sferyczna (3.2) -Sfera Sn z funkcją d:Sn x SnRn określona następująco dla A,B"Sn
d(A,B) spełnia warunek cos d(A,B)= jest przestrzenią metryczną.
8. Kąt wewnętrzny trójkąta sferycznego (3.9) - Dla punktów A,B,C"Sn nie leżących na jednym
okręgu wielkim oznaczmy a=d(B,C); b=d(A,C); c=d(A,B); niech ą=n"(nAB,nAC);
=n"(nBA,nBC); ł=n"(nCA,nCB); Mówimy, że a,b,c i ą, , ł są odpowiednimi dł boków i
miarami kątów wewnętrznych w trójkącie sferycznym ABC.
9. Dwukąt sferyczny (3.16) - Dwukątem na sferze S2 o wierzchołkach A, -A"Sn i bokach
będących geodezyjnymi o początku A i kierunkach u i v, gdzie ||u||-||v||=1, uĄ"AĄ"v
nazywamy obszar ograniczany przez te geodezyjne, zawarty w półsferze.
10. Sferyczna symetria hiperpłaszczyznowa (3.20;3.19) - a)Hiperpłaszczyzną sferyczną na
sferze Sn nazywamy przekrój tej sfery n-wymiarową podprzestrzenią liniową przestrzeni Rn+1
(czyli n- wymiarową przestrzenią afiniczną En+1 przechodzącą przez 0). Zatem
hiperpłaszczyznę sferyczną można przedstawić w postaci hĄ")" Sn h"Sn (h-wektor
jednostkowy)
b) symetrią hiperpłaszczyznową sferyczną względem hiperpłaszczyzny sferycznej H=Sn)" E
nazywamy obcięcie symetri hiperpłaszczyznowej rE: En+1En+1 do sfery Sn. Dla H=hĄ")" Sn to r
(z)=r hĄ"(z)=z-2 dla z"Sn
hĄ")" Sn
11. Inwersja (4.1) - Inwersją względem sfery S(x0,r), gdzie x0"En, r>0 nazywamy przekształcenie:
lx0,r:En\{x0}En dane wzorem lx0,r(x)=r2*[(x-x0)/||x-x0||]+x0 dla x`"x0
12. Forma Lorentza (5.1) - Formą Lorentza na przestrzeni Rn+1 nazywamy funkcję ą=<.|:>: Rn+1 x
Rn+1R daną wzorem =x1y1+...+xnyn-xn+1yn+1
13. Odległość hiperboliczna (5.5) - Niech d:Hn x HnRn będzie funkcją przypisująca dowolnym
A,B"Hn jedyną liczbę nieujemną d(A,B) spełniającą warunek cosh d(A,B)=-. Wówczas
(Hn,d) jest przestrzenią metryczną.
14. Kąt wewnętrzny trójkąta hiperbolicznego (5.12) - Dla punktów A,B,C"Hn nie leżących na
jednej prostej hiperbolicznej liczby a=d(B,C); b=d(C,A); c=d(A,B) nazywamy dł. boków
trójkąta hiperbolicznego ABC, zaś liczby: ą=arcos[()/()1/2*()1/2];
=arcos[()/()1/2*()1/2]; ł=arcos[()/()1/2*(VCB>)1/2], gdzie VPQ=(Q-coshrP)/sinhr, r=d(P,Q)>0, kątami wewnętrznymi trójkąta
hiperbolicznego ABC.
15. Hiperboliczna symetria hiperpłaszczyznowa (5.35;5.34) - a) Hiperpłaszczyzną hiperboliczną
nazywamy niepuste przecięcie przestrzeni Hn podprzestrzenią liniową wymiaru np.l. Rn,1
b) Niech H będzie hiperpłaszczyzną hiperboliczną równą N)"Hn, gdzie Nn będzie (lorentowsko) jednostkowym (lorentowsko) ortogonalnym do N (tzn. =1, N>=0. Hiperboliczną symetrią hiperpłaszczyznową względem H nazywamy przekształcenie
rH: Hn Hn dane wzorem rH(x)=x-2n
16. Brzeg idealny (5.28) - Brzegiem idealnym przestrzenia Hn nazywamy Hn( ")={z"Rn+1; z>=0, z =1}
n+1
17. Uogólniony trójkąt hiperboliczny (5.49) - Uogólnionym trójkątem hiperbolicznym
nazywamy trójkąt o wierzchołkach z Hn*" Hn( "). Bokami są wtedy geodezyjne łączące te
punkty. Trójkąt idealny ma wszystkie wierzchołki w Hn( ")
18. Rozmaitość topologiczna (6.1) Rozmaitością topologiczną n-wymiarową nazywamy
przestrzeń topologiczną Hansdorffa lokalnie homeomorficzną z Rn. Rozmaitości 2
wymiarowe nazywamy powierzchniami.
19. Grupa Liego (6.9) - Grupą Liego nazywamy rozmaitość gładką G, w której wprowadzone jest
działąnie wewnętrzne G x GG takie, że (G,) jest grupą oraz odwzorowanie G x G "
(a,b)a*b-1"G jest klasy C " .
20. Działanie grupy (6.11) - Załóżmy, że grupa G działa na przestrzeni X(G)"X) tzn. istnieje
homomorfizm GAut(x). Mówimy, że G działa na X w sposób:
-przechodni gdy V(x,y"X) "(g"G) gx=y
-wolny gdy V(x"X) V(g"G) (gx=x! g=id)
Stabilizatorem elementu x"X nazywamy podgrupę {g"G; gx=x}
21. Przestrzeń jednopójna (6.4) - przestrzeń topologiczna X jest jednospójna jeśli dla każdego
odwzorowania ciągłeg c:[0,1]X takiego, że c(0)=c(1)=x0 istnieje odwzorowanie ciągłe H,H:
[0,1]x[0,1]X takie, że H(0,t)=c(t), H(1,t)=x0 dla t"[0,1].
22. Nakrycie uniwersalne (6.5) - Nakryciem niwersalnym przestrzeni topologicznej X nazywamy
jednospójną przestrzeń topologiczną X~ o tej własności, że istnieje odwzorowanie ciągłe
":X~X takie, że dla dowolnego x"X istnieje otoczenie v"X spełniające warunek "-
1
(u)=*"(ą"A)*"ą *"ą"X~ oraz "/*"ą:*"ąU jest homeomorfizmem
23. Przestrzeń CAT() (7.2) Przestrzenią CAT () nazywamy geodezyjną przestrzeń metryczną
jeżeli dla dowolnych x, y, z"X oraz x-,y-,z-" 2 takich, że d(x,y)=d(x-,y-), d(x,z)=d(x-,z-),
d(y,z)=d(y-,z-) oraz punktów x',y' leżących odpowiednio na geodezyjnych [y,z]=[x,z] oraz
2
punktów (x')-, (y')-" , x-"[y-,z-], y-"[x-,z-] przy czym d(y, x')=d(y-,(x-)'); d(x,y')=d(x-,(y-)')
spełniony jest warunek d(x',y')d" d(x-)',(y-)').
24. Brzeg idealny przestrzeni CAT(0) (7.6) Niech X będzie przestrzenią CAT (0). Mówimy, że
półproste geodezyjne są asymptotyczne, co zapisujemy ~, gdy istnieje ke" 0 takie, że
"(t"[0,+ " )) d((k),(t))d" K. Przestrzeń klas abstrakcji półprostych geodezyjnych względem
tej relacji nazywamy brzegiem idealnym przestrzeni X.
25. Przestrzeń -hiperboliczna (7.8;7.7) a) Przestrzeń mestryczna jest -hiperboliczna, gdzie
>0, gdy "(x,y,z,w"X) (xy)we"min((xz)w(yz)w)-
b)W przestrzeni metrycznej X iloczynem Gronowa punktów y,z"X względem punktów x" X
nazywamy liczbę (yz)x=(1/2)(d(x,y)+d(x,z)-d(y,z))
26. Graf Cayleya (7.9) Załóżmy, że gr. G jest skończenie generowana, tzn. istnieje G1" G taki,
że G={g1, & , gk;g1, & , gk"G1}. Grafem Cayleya grupy G względem G nazywamy graf, w którym
g,h"G są połączne krawędzią ! "(Gi"G1) g=hgi lub g=gih; Na grafie Cayleya wprowadzam
metrykę słowną d(g,h)=min{n"N*"{0}, gh-1=g1,...,gn gdzie g1,...,gn"G1}.
27. Grupa hiperboliczna (7.10) Grupa jest hiperboliczna , jeżeli jej graf Cayleya jest
przestrzenią -hiperboliczną dla pewnego e"0.
1. Tw. (Postać geodezyjnych w przestrzeni euklidesowej)
Stw.2.2 W przestrzeni En dla n"Rn, %"n%"=1 oraz A"En funkcja c:[0,a]->En dana wzorem
c(t)=A+tn, t"[0,a] jest geodezyjną.
Dowód: d(c(t),c(t ))= %"c(t )-c(t) %"=%"A+t n-(A+tn) %"=%"(t -t)n%"=|t -t|%"n%"=|t-t |
Tw. 2.4 Funkcja c:[0,a]->En, gdzie c(0)=A, c(a)=B a=d(A,B) jest geodezyjną łączącą A z B!
c(t)=A+ (t/a)*(B-A) dla t"[0,a].
Dowód: <= ze stwier. 2.2 po wzięciu n=(1/a)*(B-A), bo wówczas %"n%"=1. Ponadto c(0)=A;
c(a)=A+ (a/a)*(B-A)=B
=>Zał., że c jest geodezyjną, c(a)=B, c(0)=A, a=%"B-A%". wówczas dla t"[0,a]; d(A,B)= %"c(0)-
c(a)%"=|a-0|=a=a-t+t-0=|a-t|+|t-0|=d(c(t),c(a))+d(c(0),c(t))=d(c(t),B)+d(A,c(t)). Stąd i z
lematu o odcinku c(t) "AB. Zatem istnieje funkcja f:[0,a]->[0,1] taka, że c(t)=A+f(t)(B-A). ale
wówczas t=d(A,c(t))= %"A+f(t)(B-A)-A%"=|f(t)| %"B-A%"=a"f(t). stąd f(t)=t/a.
2. Tw.(suma kątów w trójkącie euklidesowym)
2.13. W trójkącie ABC ą++ł=Ą.
Dowód: zał, że 0<ąd"d" ł < Ą. Z tw. Sinusów wynika istnienie liczby D>0 takiej, ze
D=a/siną=b/sin=c/sinł. Podstawiając do tw. Cosinusów otrzymujemy
D2sin2ł= D2sin2ą+ D2sin2-2D2sinąsincosł| D2
cos2ł-2sinąsincosł+ sin2ą+ sin2-1=0. Otrzymaliśmy równanie kwadratowe o niewiadomej
cosł i wyrazniku "=4sin2ąsin2-4sin2ą-4sin2+4=4(1- sin2ą)(1- sin2)=4cos2ą cos2. Zatem
cosł=sinąsin-cosącos lub cosł=sinąsin+cosącos; cosł=-cos(ą+)=cos(Ą-(ą+));
cosł=cos(ą-), ponieważ ą,,ł"(0, Ą) więc | Ą-(ą+)|, |ą-| "(0, Ą). Zatem z
różnowartościowości i parzystości cos na (0, Ą) mamy ł=| Ą-(ą+)| lub ł=|ą-|. Ostatecznie
ą++ł= Ą lub Ą+ł=ą+ lub ł+=ą lub ł+ą=. Ostatecznie 3 warunki są sprzeczne z
założeniem 0<ą d"d"ł<Ą więc ą++ł= Ą.
3. Tw(pole trójkąta euklidesowego)
2.14 pole trójkąta ABC wyraża się wzorami (1) S=1/2 absinł; (2) S= "(p(p-a)(p-b)(p-c)), gdzie
p=(a+b+c)/2
4. Tw.(poprawność określenia odległości sferycznej)
3.2 Sfera Sn z funkcją d:SnxSn->Rn okresloną następująco dla A,B"Sn d(A,B) spełnia warunek
cos d(A,B)= jest p.m.
Dowód: funkcja d jest dobrze określona, bo dla A,B "Sn na mocy nierówności Schwarza
|d"1 a cos na przedziale [0, Ą] jest różnowartościowy i przyjmuje wszystkie wartości z
przedziału [-1,1]. Symetria funkcji d jest oczywista. Ponadto d(A,B)=0! cosd(A,B)=1!
=1! =1= %"A %" %"B %"! "(S>0) B=SA. Ale wówczas 1= %"B %"=s %"A %"=s"1=s stąd B=A
dla dowodu nierówności trójkąta użyjemy lematu.
Lemat 3.3 Dla dowolnych P,Q "Sn takich 0P)/"(1-2). Wówczas %"u%"=1 =0 oraz Q=Pcosr+usinr
Dowód: =<(Q-P)/("(1-2)),P>=(/("(1-2)) - (/("(1-
2)))=0; %"u%"2=(1/(1-2))P,Q-P>=(1/(1-2)) (-
2+2)=1 (wracamy do dowodu nierówności trójkąta w st. 3.2. niech A,B,C"Sn będą parami różne i
niech a=d(B,C), b=d(C,A), c=d(A,B). mamy pokazać, że cd"a+b. jeśli a+b> Ą, to nierówność
jest spełniona. Zał, więc, że a+b< Ą. Wówczas także 0lemat 3.3 uzyskując wektory u=(A-cosbC)/sinb, v=(B-cosaC)/sina. Na mocy lematu 3.3 %"u %"=
%"v %"=1, uĄ"c,v Ą"c oraz A=Ccosb+usinb B=Ccosa+vsina. Zatem
cosc===cosacosb+sinacosb+sinbcosa+v>sinasinb=cosacosb+sinasinb e"cosacosb+sinasinb"(- %"u %" %"v %")=cosacosb-
sinasinb=cos(a+b); cos w [0, Ą] jest malejący, dostajemy więc a+b d"c.
wniosek 3.4 Niech A,B,C "Sn będą parami różnymi punktami takimi, że d(A,C)+d(C,B) d" Ą.
Wówczas d(A,B)=d(A,C)+d(C,B)! B=-A lub "(x,y ) e"0) C=xA+yB.
Dowód: załóżmy, żę d(A,B)=d(A,C)+d(B,C). wówczas cosC==cos(d(A,C)
+d(B,C))=cosd(A,C)"cosd(B,C)-sind(A,C)-sind(B,C)=*; [d(A,B)=c, d(A,C)=b, d(B,C)=a]
(*)=cosacosb-sinasinb. Oznaczmy jak z tw. 3.2 u=(A-cosbc)/sin ; v=(B-cosac)/siną. Tak
samo jak w dowodzie 3.2 cosc=cosacosb+sinasinb. zatem c=a+b! =1. Stąd u %"v,
bo %"u %"= %"v %"=1
5. Tw.(postać geodezyjnych na sferze)
3.5 Dla dowolnego A "Sn, u"Rn+1, %"u%"=1,=0 i dowolnego l"[0, Ą] funkcja c:[0,l]->Sn
dana wzorem c(t)=Acost+usint, jest geodezyjną.
Dowód: dla t,t "[0,l].
cosd(c(t),c(t ))===costcost +costsint +A>sintcost +sintsint =costcost +sintsint =cos(t-t )=cost|t-t |. stąd d(c(t),c(t ))=|t-t |,
bo |t-t |d"ld" Ą, a cos na [0, Ą] jest 1-1.
3.6. 1)Niech A,B"Sn, r=d(A,B) "(0, Ą). Wówczas c:[0,r]->Sn jest geodezyjną łączącą A z B!
c(t)=Acost+usint dla t"[0,r] przy czym u=(B-cosrA)/sinr
2)Funkcja c:[0, Ą]->Sn jest geodezyjną łączącą A"Sn z A! istnieje n"Rn+1 , %"u%"=1, =0
takie, że c(t)=Acost+usint.
Dowód: (1) <= ze stw. 3.5 oraz c(r)=Acosr+((B-cosrA)/sinr )"sinrA=B. <= załóżmy, żę c:[0,r]-
>Sn jest geodezyjną c(0)=A, c(r)=B. wówczas dla t"(0,r) mamy cosd(A,B)=cosr=cos(r+t-
t+0)=cos(d(c(r),c(t))+d(c(t)+c(0))=cos(d(B,c(t))+d(c(t),A) z 1-1 cos na[0, Ą]; d(A,B)=d(B,c(t))
+d(c(t),A) z wniosku do tw. O poprawność określenia odległości sferycznej (B`"-A, bo r<
Ą)c(t)=x(t)A+y(t)+B, gdzie x(t),y(t) e"0. Wówczas cost=cosd(A,c(t))==x(t)+cosry(t);
cos(r-t)=cosd(c(t),B)==cosrx(t)+y(t) ze wzoru Cramera x(t)=(cos(t)-cosrcos(r-
t))/sin2r=(cost-cos2rcost-cosrsinrsint)/sin2r=cost-ctgrsint; y(t)=(cos(r-t)-
costcosr)/sin2r=sint/sinr. Stąd c(t)=(cost-ctgrsint)A+(sint/sinr)B=Acost+((B-
cosrA)/sinr)sint=Acost+usint.
(2)<= ze stw. 3.5 c(Ą)-Acos Ą+usin Ą=-A. <= zał., że c:[0, Ą] jest geodezyjną od A do A. Dla
t"(0, Ą). =d(A,-A)=d(c(0),c(Ą))=d(A,c(t))+d(c(t)-A)< Ą. Z (1) istnieje dokładnie jedna
geodezyjna od A do c(t). jest nią ł:[0,t]->Sn; ł(s)=Acoss+usins, u=(c(t)-costA)/sint. Wystarczy
zauważyć, że wzór ł działa na [0, Ą] i wówczas ł(Ą)=-1.
6. Tw.(sferyczne twierdzenie cosinusów)
3.10 W trójkącie ABC cosł=(cosc-cosacosb)/(sinasinb)! cosc=cosacosb+sinasinbcosł
Dowód: cosł=cos""(u ,u )=(< u ,u >)/(%"u %", %"u %")=<(A-cosbc)/sinb,(B-
CA CB CA CB CA CB
cosac)/sina>=(1/sinasinb)(-cosa-cosb+cosacosb). Stąd
cosacosb+sinasinbcosł=cosc.
7. Tw.(sferyczne twierdzenie sinusów)
3.11 W trójkącie sferycznym ABC sina/siną-sinb/sin=sinc/sinł.
Dowód: sinc/sinł=sinc/"(1-cos2ł)=sinc/"(1-((cosc-cosacosb)/(sinasinb))2)=(sinasinbsinc)/
(sin2asin2b-cos2ccos2acos2b+2cosacosbcosc)=(sinasinbsinc)/ "(1- cos2a-cos2b-
cos2c+2cosacosbcosc) jest niezależne od permutacji a,b,c. stąd
sinc/sinł=sina/siną=sinb/sin.
8. Tw.(II sferyczne twierdzenie cosinusów)
3.12 cosł=-cosącos+sinąsincosc
Dowód: ze sferycznego tw. cos mamy -cosącos+sinąsincosc=((cosa-cosbcosc)/
(sinbsinc))"((cos-cosacosc)/(sinasinc))+ "(1-((cosa-cosbcosc)/(sinbsinc))2) "(1-((cosb-
cosacosc)/(sinasinc)) cosc=- ((cosacosb+cos2acosc+cos2bcosc-cosacosbcos2c)/
(sinasinbsin2c))+( ("(sin2bsin2c-cos2a-cos2bcos2c+2cosacosbcosc)/
(sinasinbsin2c))"cosc""(sin2asin2c-cos2b-cos2acos2c+2cosacosbcosc)=(1/(sinasinbsin2c))(-
cosacosb+cos2acosc+cos2bcosc-cosacosbcos2c+(1-cos2b-cos2c-
cos2a+2cosacosbcosc)cosc)=cosc-cosacosb+cosacosbcos2c-cos3c=(coscsin2c+cosacosb(-
sin2c))/(sinasinbsin2c)=(cosc-cosacosb)/(sinasinb)=cosł
9. Tw.(suma kątów w trójkącie sferycznym)
3.13 W trójkącie sferycznym ABC ą++ł> Ą
Dowód: jeżeli ą+e"Ą, to z uwagi na ł>0 mamy tezę. Jeżeli natomiast ą+< Ą, to z II sf. Tw.
cos mamy cos(ą+)=cosącos-sinąsind"cosącos-sinąsincosc-cosł=cos(Ą-ł). Ponieważ
cos jest malejący na [0, Ą] więc ą+> Ą-ł, co daje tezę.
10. Tw.(pole trójkąta sferycznego)
3.17 Pole dwukątna określonego przez wektory u i v w punkcie A wynosi 2""(u,v)
Dowód: Niech ł:""(u,v) i niech ł będzie granicą ciągu liczb (gn, Ą)neN gdzie gn"Q dla n"N.
Każde gn jest postaci gn /gn gn "N. zatem wystarczy pokazać żę pole dwukątna o kącie
rozwarcia Ą/m wynosi 2 Ą/m. taki dwukąt powstaje przez podział sfery na 2m takich
przystających dwukątów. Zatem pole sfery 4 Ą jest zatem sumą 2m pól dwukątów o kącie
rozwarcia Ą/m. tym samym pole takiego dwukątna wynosi 2 Ą/m.
3.18. Pole trójkąta sferycznego ABC wynosi s=ą++ł- Ą
Dowód: Rozważmy dwukąt D ,D ,D zawierające trójkąt ABC tak, że boki tego dwukąta
A B C
zawierają boki trójkąta a wierzchołkiem DP jest P. rozważmy także półstrefę Hc, która
zawiera c,a jej brzegiem jest okrąg wielki przechodzący przez A i B; 2ą=SDA=SABC+S(-A)BC;
2=SDB=SABC+SA(-B)C; 2ł=SDC=SABC+SAB(-C);2 Ą=SHC=SABC+S(-A)BC+S(-A)(-B)C+SA(-B)C; ze wzoru na pole sfery
SHC=2 Ą, a trójkąt (-A)(-B)C jako obraz trójkąta AB(-C) w izometrii x->-x ma to samo pole w
trójkącie AB(-C). ze stw. 3.17 2 Ą=SABC+2ą-SABC+2ł-SABC+2-SABC; SABC=ą++ą- Ą.
11. Tw.(klasyfikacja izometrii sferycznych)
3.14 Dla dowolnej izometrii f sfery Sn istnieje izometria F przestrzeni euklidesowej En+1 taka,
że f=F/Sn:F()=.
Dowód: Niech f"Isom(Sn). określmy odwzorowanie F:En+1->En+1 wzorem F(x)={( %"x%"f(x/%"x%")
dla x`"; dla x=.z= %"x%"f(x/%"x%"). sprawdzimy, że F jest izometrią przestrzeni euklidesowej
En+1. Dla x,y"En+1\{0}. (d En+1(F(x),F(y))2= %"F(x)-F(y)%"2=%"F(x)%"2+%"F(y)%"2-2=
%"x%"f(x/%"x%")2+%"y%"f(y/%"y%")2-2<%"x%"f(x/%"x%"),%"y%"f(y/%"y%")>=%"x%"%"f(x/%"x%")%"2+%"y%"%"f(y/%"y%")%"2-
2%"x%"%"y%"=(%"f(x/%"x%")%"2 =[bo f(x/%"x%")"Sn; %"f(y/%"y%")%"2=1, bo f(y/%"y%")"Sn]=
%"x%"2+%"y%"2-2%"x%"%"y%""cosdSn(f(x/%"x%"),f(y/%"y%"))=%"x%"2+%"y%"2-2 %"x%"%"y%" cosdSn(x/%"x%",y/%"y%") =%"x%"2+%"y%"2-
2%"x%"%"y%"=%"x%"2+%"y%"2-2=%"x-y%"2=dEn(x,y))2
Przypadek, gdy x= lub y= sprawdza się analogicznie. Zatem F zachowuje odległość.
Ponadto jest ,,na , bo z"En\{0}; z=F(%"z%"f-1(z/%"z%")). Oczywiście dla x"Sn F(x)=1f(x/1)=f(x).
3.15 Isom(Sn)=0(n+1)
Dowód: ze stw. 3.14 wynika, ze izometria Sn jest obcięciem izometrii En+1 przeprowadzającej
na . Ponieważ z odpowiedniego tw. Isom (En+1)=Rn+1x0(n+1), więc izometria
przeprowadzająca na należy do 0(n+1). Na odwrót, jeżeli F"0(n+1), to F zachowuje
iloczyn skalarny skąd dla x,y"Sn. cosdSn(F(x),F(y))===cosdSn(x,y), czyli
F/Sn"Isom(Sn).
12. Tw.(wypukłość kul sferycznych)
3.22 Kula otwarta (odp. Domknięta) na Sn jest wypukła! gdy jej promień d" Ą/2 lub > Ą
Dowód: => gdy r> Ą/2 dla kuli otwartej lub re" Ą/2 dla kuli domkniętej ale są one odp. d" Ą
lub < Ą, to taka kula zawiera pewną parę punktów antypodycznych i nie pokrywa się z całą
strefą. Z drugiej strony geodezyjne łączące dwa ustalone punkty antypodyczne pokrywające
całą sferę. Tym samym taki zbiór nie jest wypukły. Kule o promieniach > Ą(odp e" Ą)
pokrywają całą Sn są więc wypukłe.
<= rozważmy B(A,r), rd" Ą/2 i punkty X,Y"B(A,r). wówczas d(A,X)=d(A,Y)+d(A,Y)<2rd" Ą. Zatem z tw. o postaci geodezyjnych na sferze istnieje dokładnie geodezyjna
leżąca X z Y dana wzorem. Pokażemy, że c(t) "B(A,r) dla t"[0,l]. Dla t"[0,l]
cosd(A,c(t))==(cost-ctgtsint)+(sint/sinl)=sint(ctgt-ctgl)+
(sint/sinl); sint(ctgt-ctgl)cosr+(sint/sinl)cosr=cosr(cost(sintcosl/sinl)+
(sint/sinl))=cosr(cost+(sint/sinl)(l-cosl))=cosr(cost+sinttg(l/2)) oraz cost+sinttg(l/2)e"1!
tg(l/2)e"(1-cost/sint)! tg(l/2)e"tg(t/2)! 0cosr;
d(A,c(t))13. Tw.(odwrotność i punkty stałe inwersji)
4.6 Inwersja względem sfery S(x0,r) ma następujące własności
1)lx0,r jest inwolucją klasy C "; 2)lx0,r(x)=X! x"S(x0,r); 3) lx0,r jest dyfeomorfizmem
konforemnym
Dowód:1) (d,l01)y=(1/%"y%"2)ryĄ"; lx0,r"lx0,r=Ix0=id
2)r2((x-x0)/( %"x-x0%")+x0=x! (x-x0)(1-(r2/%"x-x0%"))=0! %"x-x0%"2=r2!! x"S(x0,r)
14. Tw.(Obrazy sfer i hiperpłaszczyzn w inwersji)
4.8 Niech i=lx ,r. wówczas 1)JeśliH jest hiperpłaszczyzną i x "H=>i(H)
0 0
2)Jeśli H jest hiperpłaszczyzna i x0 "H=>i(H) jest sferą, x0"i(H)
3)Jeśli S jest sferą i x0"S=>i(S) jest hiperpłaszczyzną, x0 "i(S)
4)jeśli S jest sferą i x "S=>i(S) jest sferą, x "i(S)
0 0
5) i jest bijekcją zbioru wszystkich półprzestrzeni i kul otwartych (s) w Rn na siebie
Dowód:Zał, że i=l=l0,1
1)H=hĄ" %"h%"=1 (bo 0"H)
Dla x"H ==1/%"x%"2=0 stąd i(x) "H
2)niech H=h+hĄ", gdzie h"Rn\{0}; dla x"H mamy x-hĄ"h; połóżymy c=h/2%"h%"2, R=1/2%"h%".
wówczas %"l(x)-c%"2=%"(x/%"x%"2)-(h/%"h%"2) %"2=(1/%"x%"2)-(/%"x%"2%"h%"2)+(1/4%"h%"2)=(1/%"x%"2)-(h,h>+%"h%"2)/%"x%"2%"h%"2+(1/4%"h%"2)=1/4%"h%"2 stąd l(x)"S(h/2%"h%"2, 1/2%"h%")
3) Niech S=S(c,R) i 0"S, to %"c%"=R. biorąc h=c/2%"c%"2 i H=h+hĄ" mamy z 2) l(H)=S z
inwolutywności inwersji l(s)=H
4)Niech S=s(c,R), 0 "S więc %"c%"`"R l(x)"S(c,R)! %"(x/%"x%"2)-c%"2=R2! (1/%"x%"2)-(2/%"x%"2)+
%"c%"2=R2! (1-2)/%"x%"2=R2-%"c%"2! (2-1)/( %"c%"2-R2)= %"x%"2! %"x%"2-(2)/( %"c%"2-R2)+(1/
(%"c%"2-R2))=0! %"x-(c/( %"c%"2-R2)) %"2-(%"c%"2/(%"c%"2-R2))2+(1/(%"c%"2-R2))=0! %"x-(c/(%"c%"2-R2))%"2=(R/(%"c%"2-
R2))2! x"S((c/( %"c%"2-R2),( R/( %"c%"2-R2))) "0. Zatem l(S(c/( %"c%"2-R2),( R/( %"c%"2-R2))=S(c,R)
5)z 1)-4) wynika, że l przekształca brzegi tych obszarów na brzegi tych obszarów więc takie
(wnętrza)(zewnętrza) na siebie.
15. Tw.(własności formy Lorentza)
5.4 Dla x,y"Hn. 1)d"-1; 2)=-1! x=y
Dowód: niech x,y"Hn. wówczas -1==-xn+1xn+1=%"x~%"2-x2n+1 i xn+1>0 stąd xn+1
="(1+%"x~%"2)analogicznie yn+1="(1+%"y~%"2)
1)zatem =- x y =-"(1+%"x~%"2) "(1+%"y~%"2) d"%"x~%"%"y~%"-"(1+%"x~%"2) "(1+%"y~%"2)
n+1 n+1
d"1 bo dla a,be"0 ab-"(1+a2) "(1+b2) d"-1! ab+1d""(1+a2) "(1+b2)ó a2
b2+2ab+1d"1+a2+b2+a2b2! 0d"(a-b)2
2)Równość =-1 jest prawdziwa! =%"x~,y~%" oraz %"x~%"=%"y~%" to z kolei jest
równoważne faktowi "(Se"0)(y~=sx~ lub x~=sy~) oraz %"x~%"=%"y~%" i dalej s%"x~%"=%"x~%" lub
s%"y~%"=%"y~%"; s=1 lub (x~= i y~=) warunki te kolejno oznaczają y~=x~ xn+1=1 i yn+1=1 x~= i
y~=; z zalożenia xn+1="(1+%"x~%"2) i yn+1="(1+%"y~%"2) mamy x=y lub x=y=(0,& 0,1)
16. Poprawność określenia odległości hiperbolicznej. (5.6.,5.5.,5.7,)
(5.6.) Niech P, QHn, d(P,Q)=r>0. Jeżeli u=(Q-coshrP)/sinhr, to =0, =1 oraz
Q=coshrP=sinhu.
Dowód: =(1/sinhr)*(-cosht)=0.
= = (1/sinhr)*-(coshr/sinhr)*= (1/sinhr)*<(Q-
coshrP)/sinhr|Q>= (1/sinh2r)(-coshr)= (cosh2r-1)/sinh2r= sinh2r/sinh2r=1.
Ponadto coshrP+sinhru= coshrP+Q-coshrP= Q.
(5.5.) Niech d:HnxHnR będzie funkcją przypisującą dowolnym A,BHn jedyną liczbę
nieujemną d(A,B) spełniającą warunek coshd(A,B)= -. Wówczas (Hn,d) jest
przestrzenią metryczną.
Dowód: Ze stw.5.4.(1) wynika, że -e"1, czyli należy do zbioru wartości cosh więc z
różnowartościowości cosh na [0,+ ") taka liczba d(A,B) jest dokładnie jedna. Zauważmy, że
warunek 5.4.(2) można przepisać w postaci coshd(A,B)=1! A=B dla A,BHn, czyli z
równoważności cosh/[0,+ ") d(A,B)=0! A=B. Symetria funkcji d wynika bezpośrednio z
symetrii formy Lorentza.
(5.7.) Na przestrzeni PĄ"={vRn,1; =0} forma Lorentza obcięta do PĄ" jest iloczynem
skalarnym.
Dowód: Forma <.|.>/PĄ"xPĄ"jest dwuliniowa i symetryczna. Zał., że Rn,1v=(v~,vn+1)`"(Ł,0).
Wówczas <(P~,P )|(v~,v )>=0, P >0, więc v =/P . Ponadto P =(1+P~2)1/2.
n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 n+1
Zatem =-v2n+1=v~2-[/(1+P~2)1/2]2= (v2+v~2P2-2)/
(1+P~2)e" v~2/(1+P~2)e"0. Ponadto =0! v~, P~ są liniowo zależne i v~=0! v~=Ł,
ale wówczas v =/P =0 co daje v=Ł.
n+1 n+1
17. Postać geodezyjnych w przestrzeni hiperbolicznej. (5.9.,5.8.)
(5.9.) Niech A,BHn, d(A,B)=r>0. Wówczas c:[0,r]->Hn jest geodezyjną łączącą A z B !
c(t)=Acosht+usinht, t[0,r], gdzie u=(B-coshrA)/sinhr.
(5.8.) Dla A,B,CHn, A`"B`"C`"A d(A,B)=d(A,C)+d(C,B)! " (x,y>0) C=xA+yB.
18. Hiperboliczne twierdzenie cosinusów. (5.13.)
W trójkącie hiperbolicznym ABC coshc=cosha*coshb-sinha*sinhb*cosc.
Dowód: cosha*coshb-sinha*sinhb*cosc= cosha*coshb-sinha*sinhb* <(A-cosbC)/sinhb|(B-
coshaC)/sinha>=cosha*coshb--cosha*coshb+coshb+cosha=
cosha*coshb+coshc+cosha*coshb-coshb*cosha-cosha*coshb= coshc.
19. Hiperboliczne twierdzenie sinusów. (5.15.)
W trójkącie hiperbolicznym ABC sinha/siną=sinhb/sin=sinhc/sinł.
Dowód: Z tw. Cos. Sinhc/sinł=sinhc/(1-cos2ł)1/2=sinhc/[1-((cohacohb-cohc)/sinhasinhb)2]1/2=
sinhasinhbsinhc/(sinh2asinh2b-cosh2acosh2b-cosh2c+2coshacoshbcoshc)1/2=
sinhasinhbsinhc/(-cosh2acosh2b+1-cosh2c+2coshacoshbcoshc)1/2 symetrycznie ze względu
na a,b,c, stąd teza.
20. II hiperboliczne twierdzenie cosinusów. (5.16.)
W trójkącie hiperbolicznym ABC cosł=-cosą*cos+siną*sin*cosc.
21. Suma kątów w trójkącie hiperbolicznym. (5.17.)
W trójkącie hiperbolicznym ABC ą++ł<Ą.
Dowód: 0<ąd"d"ł<Ą. Z II hiperbolicznego tw. Cosinusów cosł= -cosącos+sinąsincosc>-
cosą*cos+sinąsin= -cos(ą+)=cos(Ą-(ą+)). Stąd i z faktu, że cos/[0,Ą] wynika, że ł<|Ą-
(ą+)|. Zatem ą++ł<Ą lub Ą+ł<ą+ sprzeczność. Zatem ą++ł<Ą.
22. Homomorfizm przestrzeni hiperbolicznej z kulą. (5.18.)
Przekształcenie ĄB: HnRn dane wzorem ĄB(x)=x~/1+xn+1 dla x=(x~, xn+1)Hn jest
homeomorfizmem Hn na kulę jednostkową Bn=B(0,1)" Rn.
23. Odległość w modelu kuli. (5.20.)
Dla y, y Bn d (y,y )=ach(1+ (2y-y 2)/(1-y2)(1-y 2))=2ath((y-y )/(1-
b
2+y2y 2)1/2).
24. Odległość w modelu na półprzestrzeni. (5.25.)
Odległość w modelu na półprzestrzeni wyraża się wzorem d (u,u )=ach(1+(u-
u 2)/2unu n)=2ath((-u 2+(un-u n)2)/( - 2+(un+un')2))1/2.
25. Odległość hiperboliczna w B2 i 2,+. (5.22.,5.26.)
(5.22.) W kole jednostkowym B2 " C odległość hiperboliczna wyraża się wzorem
d(w,z)=2ath|(w-z)/(1-wz)|=ln(|1-wz-|+|w-z|)/(|1-wz-|-|w-z|).
Dowód: Niech w,zB2, czyli |z|<1, |w|<1. Wówczas dB(w,z)=2ath|z-w|/(1-
2(RezRew+ImzImw+|z|2|w|2)1/2=2ath |w-z|/[1-Re(wz-)+|w|2|z-|2]1/2. wz-=(RewRez-
ImwImz-)+i( ). w=w1+w2i; z=z1+z2i |1-wz-|=|1-((w1z1+w2z2)+(w1z2+w2z1)i)|2= (1-w1z1-
w2z2)2+(w1z2-w2z1)2= 1+w12z12+w2z22-2w1z1-2w2z2+2w1w2z1z2+w12z22+w22z12-2w1w2z1z2.
(5.26.) Odległość w 2,+ " C wyraża się wzorem d (z,w)=2ath(|z-w|/|z-w-|)=ln((|z-w-|+|z-
w|)/(|z-w-|-|z-w|)).
Dowód: d (z,w)=2ath[((Rez-Rew)2+(Imz-Imw)2)/((Rez-Rew)2+(Imz+Imw))]1/2= 2ath[(|z-w-|2)/
(|z-w-|2)]1/2= 2ath[(|z-w|)/(|z-w-|)].
26. Postać geodezyjnej przechodzącej przez 0 w module w kuli. (5.33.,5.30.)
Dla A=(0,1)=(0,& ,0,1) to geodezyjna o początku A ma równanie ł(t)=cosht(0,1)+sinhtv, gdzie
=1, =0. v~=1 <= -vn+1=0; ł(t)=(sinhtv~,cosht); ł~(t)=sinhtv~ wystarczy
przyjąć f(t)=sinht i wtedy z~=v~.
Geodezyjna na Hn przechodząca przez punkt (0,1) i o końcu zHn( ") przenosi się przy
pomocy ĄB na średnicę ttanh(t/2)z~.
Dowód: Z przykładu 5.30 ł(t)=cosht(0,1)+sinhtz= (sinhtz~,cosht). Zatem Ą (ł(t))=(ł(t))~/(1+
B
(ł(t))n+1)= sinhtz~/(1+cosht)= 2sinh(t/2)cosh(t/2)z~/2cosh2(t/2)=tanh(t/2)z~.
27. Własności hiperbolicznej symetrii hiperpłaszczyznowej. (5.36.)
Hiperboliczna symetria hiperpłaszczyznowa rH ma następujące własności: 1) rH jest
inwolucją; 2) rH jest izometrią; 3) Fix(rH)=H.
Dowód: Dla x,x Rn,1 = (x-2u|x -2u>= -4+4u>= . Ponadto rH((0,1))=(0,1)-2<(0,1)|u>u= (0,1)+2un+1u=
(2u u~,1+2u2 )Hn to 1+2u2 >0. Z & formy Lorentza wynika, że r całą hiperboloidę n+1 n+1 n+1 H
x>=-1, a ponieważ rH jest ciągłe (w Rn,1), a górna powłoka hiperboloidy jest jej składową
spójności i rH((0,1))Hn, więc rH(Hn)cHn. Dla xHn dow.1)rH(rH(x))=rH(x-2u)= x-2u-
2u|u>u= x-2u-2(-2)u=x. dow.2) z 1) zach <.|.> przez r
H
d(A,B)=ach(-). Dow.3) Dla xHn rH(x)=xó x-2u=xó =0ó xHn)"uĄ"ó xH.
28. Hiperboliczny V postulat. (5.43.)
Dla dowolnej prostej hiperbolicznej l i punktu A " l istnieje nieskończenie wiele prostych
hiperbolicznych zawierających A i równoległych do l.
Dowód: W n,+ rozważmy przestrzeń 2-wymiarową zawierającą l i A (wykonując
odpowiednie symetrie hiperpłaszczyznowe możemy zał.,że l,AcH2 i tym samym sprawdzić
rozważania do 2,+). Rozważmy w 2,+ 2 przypadki: I. lc{zC; Rez=d} dR półprosta; II. lc{zC; |
z-c|=g} cR, g>0 półokrąg. Dow.I. Ponieważ A/l, więc d =ReA`"d, możemy zał.,że d >d/ Do l
równoległa jest prosta hiperboliczna Rez=d zawierająca A. Podany warunek na c tak, aby
prosta l c{|z-c|= } zawierająca A i była równoległa do l. Zarem c- e"d; =|A-C|. Niech
c,
A=d +id . =[(d -c)2+d 2]1/2. c>d. Ostatecznie ce"d+ ; c-de" ; (c-d)2e"(d -c)2+d 2; c2-
2cd+d2e"d 2-2cd +c2+d 2; 2c(d -d)e"d 2-d2+d 2; ce"(d 2-d2+d 2)/2(d -d). Ponadto (d 2-
d2+d 2)/2(d -d)>d, bo (d -d)2+d 2>0. Wszystkie łuki okręgu o środkach ce"(d 2-d2+d 2)/2(d -d),
cR i promieniach =[(d -c)2+d 2]1/2 zawierają A i są rozłączne z l. Dow.II. Niech A=d +id .
Zał.,że |A-c|> i d e"c. Szukamy takich >0, dla których okrąg o środkach c+ i promieniu r>0
będzie rozłączny z lc, . 0<|c+-c|d"r- ; |A-(c+)|=r; d"r- ; + d"r; (+ )2d"(d -c-)2+d 2;
2(+d'-c)d"(d -c)2+d 2-2; 0<d"[(d -c)2+d 2- 2]/2( +d -c). Zatem okręgi o środkach c+,
gdzie (0,[(d -c)2+d 2- 2]/2( +d -c)) i promieniu r=|A-(c+)| są rozłączne z l.
29. Istnienie hiperbolicznej hiperpłaszczyzny symetralnej. (5.37.)
Dla dowolnych różnych punktur A,BHn istnieje dokładnie jedna hiperboliczna
hiperpłaszczyzna H taka, że rH(A)=B.
Dowód: Niech u=(A-B)/[]1/2. Ponieważ =+-2= -2( B>+1). Więc u= (A-B)/[-2(+1)]1/2. Niech H=Hn)"uĄ". Wówczas rH(A)= A-2u= A-2(A-B)/[-2(+1)]1/2>(A-B)/[-2(+1)]1/2= A-2[1/[-2(+1)]](-1-)(B-A)= A+B-
A= B.
30. Klasyfikacja izometrii hiperbolicznych w różnych modelach. (5.44.,5.46.)
(5.44.) Isam(Hn)=0(n,1)+ gdzie 0(n,1)+ składa się z macierzy zachowujących formę Lorentza
(tzn. =) oraz spełniających warunek (Ax)n+1>0 dla xRn,1 takich, że <0 i
x >0.
n+1
(5.46.) 1) Isam(Bn)=Conf(Bn)={Al.; A0(n), i=id lub l jest inwersją względem sfery Ą"Bn}.
2) Isam( n,+)=Conf( n,+).
31. Pole uogólnionego trójkąta hiperbolicznego. (5.50.)
Pole uogólnionego trójkąta hiperbolicznego T(ą) o dwóch wierzchołkach idealnych i kącie
przy wierzchołkach z Hn równym ą wynosi A(T(ą))=Ą-ą.
32. Klasyfikacja orientalnych powierzchni zwartych. (6.3.)
Każda zwarta orientalna jest homeomorficzna z powierzchnią " , gdzie " =S2. " jest sferą z
g 0 g
doklejonymi g rączkami.
33. Geometrie modelowe Thurstona. (6.13.,6.14.)
(6.13.) Strukturę geometryczną na gładkiej rozmaitości M nazywamy dyfeomorfizm Mx/#,
gdzie x jest geometrią modelową, #- dyskretną (każdy punkt ma otoczenie rozłączne z
innymi punktami przestrzeni) podgrupą grupy Liego G działającej na x i # działa w sposób
wolny na X.
(6.14.) Geometria modelowa Thurstona - trójwymiarowa geometria modelowa , dla której
istnieje co najmniej jedna zwarta rozmaitość o strukturze geometrycznej modelowej na x.
34. Hipoteza geometryzacyjna. (6.15.)
Istnieje 8 geometrii modelowych Thurstona E3, S3, H3, S2xR, H2xR, SL(2,R), Nil, Sć%l.
35. Lemat o płaskim trójkącie. (7.4.)
Jeżeli w przestrzeni CAT(0) trójkąt geodezyjny na jeden z trójkątów równy odpowiedniemu
kątowi w trójkącie porównawczym " cE2, to conv(") jest izometryczny z " .
36. Twierdzenie Hadamarda-Cartana. (7.5.)
Jeżeli zupełna przestrzeń metryczna jest lokalnie przestrzenią CAT(), gdzie d"0, to jej
nakrycie uniwersalne jest przestrzenią CAT().
37. Twierdzenie Gromowa o wzroście grupy. (7.12.)
Grupa hiperboliczna wzrostu wymiaru tzn. funkcja G2(t)="(n=0, ")G1(n)tu, gdzie G1(u)=#{g:
d(e,g)=h} w metryce słownej jest funkcją wymierną, czyli ilorazem wielomianów.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Mikoekonomia zagadniania na egzamin tabelka
[ASK] Opracowanie zagadnień na egzamin w trakcie składania
Zagadnienia na egzamin z Historii Polski
Opracowanie Zagadnień na egzamin Mikroprocki
Międzynarodowa polityka społeczna ZAGADNIENIA NA EGZAMIN
marketing miedzynarodowy zagadnienia na egzamin
zagadnienia na egzamin
HPN ZAGADNIENIA NA EGZAMIN (1)
zagadnienia na egzamin
Zagadnienia na egzamin 10
więcej podobnych podstron