Opracował: Lesław Dereń
Instytut Telekomunikacji,
Teleinformatyki i Akustyki
Prawa autorskie zastrzeżone
Rozdział 8.
Przekształcenie Laplace a i jego zastosowania
8.1. Obliczanie transformat Laplace a i transformat odwrotnych
Najwa\
niejsze własności przekształcenia Laplace a zostały zestawione w Tablicy 8.1.
Własności te wynikają bezpośrednio z definicji przekształcenia. W tablicy przyjęto
następujące oznaczenia: L {f(t)} = F(s), L {g(t)} = G(s).
Tablica 8.1. Własności przekształcenia Laplace a
L.p. Oryginał Transformata Komentarz
Liniowość przekształcenia,
1.
a1 f (t) + a2g(t) a1F(s) + a2G(s) a1, a2  liczby rzeczywiste lub
zespolone
Przesunięcie w dziedzinie s.
F(s -¾ )
2. e¾t f (t)
¾  liczba rzeczywista lub zespolona
d
Ró\
niczkowanie (dystrybucyjne)
3.
sF(s) - f (0-)
f (t)
w dziedzinie t
dt
t
4.
1
Całkowanie (dystrybucyjne)
f (Ä ) dÄ
F(s)
w dziedzinie t
+"
s
0-
0
f (t - t0 )1(t - t0 ) Przesunięcie w dziedzinie t
F(s) e-st
5.
d
6.
tf (t) - F(s) Ró\
niczkowanie w dziedzinie s
d s
1 s
7.
f (at), a > 0 FëÅ‚ öÅ‚ Skalowanie
ìÅ‚ ÷Å‚
a a
íÅ‚ Å‚Å‚
t
8.
f (t) " g(t) = f (Ä )g(t -Ä ) dÄ
F(s)G(s) Splot w dziedzinie t
+"
0-
c+ j"
9.
1
F( )G(s -  ) d 
f (t)g(t) Mno\
enie funkcji w dziedzinie t
+"
2 Ä„j
c- j"
W dalszej części tego rozdziału będziemy u\
ywać równie\
uproszczonych oznaczeń
f t = F s i F s = f t ,
Ć Ć
( ) ( ) ( ) ( )
równowa\
nych odpowiednio z
L f t = F s i L-1 F s = f t .
( ) ( ) ( ) ( )
{ } { }
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 2
Zad. 8.1.
Obliczyć transformaty Laplace a następujących funkcji (dystrybucji):
f t = ´ t , f t = 1 t ,
( ) ( ) ( ) ( )
f t = e-at1 t , f t = t 1 t ,
( ) ( ) ( ) ( )
tn-1
f t = t e-at1 t , f t = 1 t ,
( ) ( ) ( ) ( )
n )
( -1 !
f t = sinÉ0t1 t , f t = cosÉ0t 1 t ,
( ) ( ) ( ) ( )
f t = e-at sinÉ0t 1 t , f t = e-at cosÉ0t 1 t ,
( ) ( ) ( ) ( )
f t = t sinÉ0t 1 t , f t = t cosÉ0t 1 t .
( ) ( ) ( ) ( )
Wynik:
Transformaty zostały zestawione w tablicy 8.2.
Tablica 8.2. Transformaty elementarnych funkcji (dystrybucji)
f t F s
( ) ( )
´ t 1
( )
1
1 t
( )
s
1
e-at1 t
( )
s + a
1
t1 t
( )
s2
1
t e-at1 t
( )
2
s + a
( )
1
tn-1
1 t
( )
n )
( -1 ! sn
É0
sinÉ0t1 t
( )
2
s2 +É0
s
cosÉ0t 1 t
( )
2
s2 +É0
É0
e-at sinÉ0t 1 t
( )
2
2
s + a +É0
( )
s + a
e-at cosÉ0t 1 t
( )
2
2
s + a +É0
( )
2É0s
t sinÉ0t1 t 2
( )
2
s2 +É0
( )
2
s2 -É0
t cosÉ0t 1 t
( ) 2
2
s2 +É0
( )
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 3
Znajomość transformat zestawionych w tablicy 8.2. będzie potrzebna przy rozwiązywaniu
wielu zadań z tego rozdziału, i byłoby rzeczą ze wszech miar po\
ądaną ich zapamiętanie.
Zad. 8.2.
Obliczyć transformatę Laplace a funkcji f t = 5e-3tt cos5t - 2sin2 t 1 t .
( ) ( )
( )
RozwiÄ…zanie:
Poniewa\
f t = 5 f1 t 2 f2 t , gdzie f1 t = e-3tt cos5t 1 t , f2 t = sin2 t 1 t , to na
( ) ( )- ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
podstawie własności (1) F s = 5L f1 t - 2L f2 t . Transformaty f1(t) i f2(t) oblicza
( ) ( ) ( )
{ } { }
się korzystając z odpowiednich własności przekształcenia. I tak kolejno:
składnik 1:
s
cos5t1 t = ,
( ) Ć
s2 + 25
d s s2
îÅ‚ Å‚Å‚ - 25
t cos5t1 t = - = , (własność (6))
Ć
( )
ïÅ‚ śł 2
ds
s2 + 25
ðÅ‚ ûÅ‚
s2 + 25
( )
s + 3
( )2 - 25
e-3tt cos5t1 t = . (własność (2))
( ) Ć
2
îÅ‚
s + 3 + 25Å‚Å‚
( )2 ûÅ‚
ðÅ‚
składnik 2:
1 1
s
1 1 2 2
sin2 t 1 t = 1 t cos 2t 1 t = - . (własność (1))
( ) ( )- Ć
( )
2 2
s
s2 + 4
Ostatecznie:
2
s + 3
( ) - 25
1 s
F s = 5 - - =
( )
2
2
s
s2 + 4
îÅ‚ Å‚Å‚
s + 3 + 25
( )
ðÅ‚ ûÅ‚
2s6 +19s5 +182s4 + 924s3 + 2608s2 +1952s + 4624
= - .
2
s s2 + 6s + 34 s2 + 4
( ) ( )
Zad. 8.3.
Obliczyć transformaty Laplace a następujących funkcji:
a) f t = t2e-11t1 t , b) f t = 3e-2t 2cos 2t - sin 2t 1 t ,
( ) ( ) ( ) ( )
( )
c) f t = t sin 2t 1 t , d) f t = e-5t ch 2t 1 t ,
( ) ( )2 ( ) ( ) ( )
e) f t = 1- 2e-t 2 + 2t cos3t 1 t , f) f t = t - 2 e-Ä„t1 t ,
( ) ( ) ( ) ( )3 ( )
( )
g) f t = sin É0t +Õ 1 t , h) f t = cos É0t +Õ 1 t
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Wynik:
2 2s + 4 - 2
a) F s = , b) F s = 3 ,
( ) ( )
3
s2 + 4s + 6
s +11
( )
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 4
32 3s4 + 24s2 +128
( )
s + 5
c) F s = , d) F s = ,
( ) ( )
3
s2 +10s + 21
s3 s2 +16
( )
-s5 + 2 + 2 s4 - 2 9 - 2 s3 -18 1- 2 s2 - 9 9 + 2 2 s + 81 2
( ) ( ) ( ) ( )
e) F s = ,
( )
2
s s + 2 s2 + 9
( )( )
-8s3 -12 2Ä„ -1 s2 -12 2Ä„2 - 2Ä„ +1 s - 2 4Ä„3 - 6Ä„2 + 6Ä„ - 3
( )
( ) ( )
f) F s = ,
( )
s + Ä„
( )4
ssinÕ +É0 cosÕ s cosÕ -É0 sinÕ
g) F s = , h) F s = .
( ) ( )
2 2
s2 +É0 s2 +É0
Zad. 8.4.
Wyznaczyć transformaty Laplace a funkcji impulsowych, których wykresy przedstawiono na
rys. 8.4a i 8.4b.
f(t)
f(t)
Fragment sinusoidy
2
A
1
1 2 3 4 5 t
T t
Rys. 8.4a Rys. 8.4b
RozwiÄ…zanie:
FunkcjÄ™ z rys. 8.4a mo\
na analitycznie zapisać jako:
1 1
f t = t 1 t t - 2 1 t - 2 t - 3 t - 3 1 t - 3 + t - 5 1 t - 5 .
( ) ( )-( ) ( )-1
( )- ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
Transformata Laplace a tej funkcji jest równa
1 1
1- e-2s -( )
s + e-3s + e-5s
2 2
F s = .
( )
s2
Z kolei funkcjÄ™ z rys. 8.4b mo\
na zapisać jako
Ä„ Ä„
îÅ‚sin
f t = A t 1 t + sin t -T 1 t -T ,
( ) ( ) ( ) ( )Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
T T
ðÅ‚ ûÅ‚
a jej transformata jest równa
Ä„
A 1+ e-sT
( )
T
F s = .
( )
2
Ä„
ëÅ‚ öÅ‚
s2 +
ìÅ‚ ÷Å‚
T
íÅ‚ Å‚Å‚
W obu przypadkach wykorzystujemy własności (1) i (5) z tablicy 8.1.
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 5
Zad. 8.5.
Obliczyć transformaty Laplace a funkcji impulsowych, których wykresy przedstawiono na
rys. 8.5.
(a) (b)
f(t) f(t)
2 10
1 5
1 2 t
t
3 4 5 8 12 15 20
(c) (d)
f(t)
f(t)
A
5
t1
3
t
2
t t
1 2 4 7
 5
 A
(e)  ćwiartki sinusoidy
f(t) (f)
f(t)
 ćwiartka sinusoidy
1
1
2 4 0,1 0,2
t t
(g) (h)
f(t)
f(t)
2
 połówka sinusoidy
fragmenty sinusoidy
1
Ä„ 3Ä„
2Ä„
2 2 2
Ä„
t t
1 4
3
 1
 1
Rys. 8.5.
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 6
Wynik:
2s - e-s + 2e-2s - 3e-3s + 2e-4s
a) F s = ,
( )
s2
2 - 2e-5s - 5se-8s + 5se-12s - 2e-15s + 2e-20s
b) F s = ,
( )
s2
2t1 - t2 t1
1 1 2
1- 2t1se-st + e-st - e-st
A t2 - t1 t2 - t1
c) F s = ,
( )
t1
s2
35 5
5 - 5e-s -10e-2s + 20e-3s - e-4s + e-7s
3 3
d) F s = ,
( )
s2
Ä„
s + e-2s - se-4s
2
e) F s = ,
( )
2
Ä„
s2 +
( )
4
Ä„ s2 + 5Ä„2s - 2s2 - 50Ä„2 e-0,1s + 2s2 + 50Ä„2 e-0,2s
( ) ( )
f) F s = 5 ,
( )
s2 s2 + 25Ä„2
( )
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
- s + e-s + s - e-3s + e-4s
( ) ( )
2 2 2 2
g) F s = ,
( )
2
Ä„
s2 +
( )
2
1 3
- Ä„s Ä„s
2 2
-2 s2 +1 1+ e-2Ä„s + 3Ä„s2 + 2s2 + 2
( )( ) ( )(e + e- ).
h) F s =
( )
Ä„ s2 s2 +1
( )
Zad. 8.6.
Obliczyć transformaty Laplace a funkcji okresowych, których wykresy przedstawiono na
rys. 8.6.
Wynik:
A 1- e-Ts
( ),
a) F s =
( )
s 1- e-Ts
( )
A 1-  - e-Ts + e-Ts
b) F s = ,
( )
 1-  T
( )
s2 1- e-Ts
( )
1-( )
s +1 e-s
c) F s = ,
( )
s2 1+ e-s
( )
2
10s 1- e-3s -15e-s 1- e-s 10
( ) ( )
1- e-s
d) F s = = -15e-s ,
( )
s
1+ e-s + e-2s
s2 1- e-3s
( )
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 7
f(t) f(t)
(a) (b)
A
A
T+T
T T 2T t T T+T
T 2T t
0 <  < 1 0 <  < 1
f(t) f(t)
(c) (d)
10
1
4
2
2 5 8
1 3 4 6 7 9 10
3
1
t
t
 5
 1
f(t)
f(t)
(e)
(f)
 połówki sinusoidy  ćwiartki sinusoidy
1
1
1 3 5 7
Ä„ 2Ä„ 3Ä„ 4Ä„
t
t
f(t)
(g) f(t)
(h)
fragmenty sinusoidy
 ćwiartki sinusoidy
1
1
6
2 3
1 4 5 t
 1
¸ Ä„ Ä„ +¸ 2Ä„ t
0 < ¸ < Ä„
Rys. 8.6.
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 8
2s + Ä„e-s + Ä„e-3s - 2se-4s
e) F s = 2 ,
( )
4s2 + Ä„2 1- e-4s
( )( )
1
- se-Ä„s
2
f) F s = ,
( )
1
s2 + 1- e-2Ä„s
( )( )
4
1-( )
cos¸ + s sin¸
g) F s = ,
( )
s2 +1 1- e-Ä„s
( )( )
Ä„ - 2se-s
h) F s = 2 .
( )
4s2 + Ä„2 1+ e-2s
( )( )
Zad. 8.7.
Obliczyć odwrotną transformatę Laplace a funkcji
s3 +16s2 + 33s + 42
F s = .
( )
s s +1 s + 3 s + 7
( )( )( )
RozwiÄ…zanie:
Funkcja F(s) jest funkcją wymierną. Ponadto stopień licznika jest mniejszy od stopnia
mianownika, a pierwiastki mianownika (bieguny funkcji) sÄ… jednokrotne. FunkcjÄ™ takÄ… mo\
na
rozło\
yć na ułamki proste, czyli przedstawić ją w postaci następującej sumy:
c1 c2 c3 c4
F s = + + + .
( )
s s +1 s + 3 s + 7
Współczynniki ck, występujące w tym rozwinięciu obliczamy z następujących zale\
ności:
s3 +16s2 + 33s + 42
c1 = sF s = = 2 ,
( )
s=0
s +1 s + 3 s + 7
( )( )( )
s=0
s3 +16s2 + 33s + 42
c2 = s +1 F s = = -2 ,
( ) ( )
s=-1
s s + 3 s + 7
( )( )
s=-1
s3 +16s2 + 33s + 42 5
c3 = s + 3 F s = = ,
( ) ( )
s=-3
s s +1 s + 7 2
( )( )
s=-3
s3 +16s2 + 33s + 42 3
c4 = s + 7 F s = = - .
( ) ( )
s=-7
s s +1 s + 3 2
( )( )
s=-7
FunkcjÄ™ F(s) mo\
emy więc zapisać w postaci:
5 3
2 2
2 2
F s = - + - .
( )
s s +1 s + 3 s + 7
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 9
Transformaty odwrotne poszczególnych składników tej funkcji zostały ju\
obliczone
w zad. 8.1. (mo\
na je znalez
ć w tablicy 8.2.). Ostatecznie więc otrzymujemy:
5 3
f t = 2 - 2e-t + e-3t - e-7t 1 t .
( ) ( )
( )
2 2
Zad. 8.8.
Obliczyć odwrotną transformatę Laplace a funkcji
3s2 +19s + 65
F s = .
( )
s s2 + 4s +13
( )
RozwiÄ…zanie:
Metoda 1 (nie zalecana)
Funkcja F(s) spełnia takie same zało\
enia jak funkcja w zad. 8.7. Ma jednak parÄ™
zespolonych sprzÄ™\
onych biegunów. Rozkład na ułamki proste będzie więc miał postać:
3s2 +19s + 65 c1 c2 c3
F s = = + + .
( )
s s + 2 + j3 s + 2 - j3 s s + 2 + j3 s + 2 - j3
( )( )
Współczynniki rozwinięcia obliczamy z następujących zale\
ności:
3s2 +19s + 65
c1 = sF s = = 5,
( )
s=0
s2 + 4s +13
s=0
3s2 +19s + 65
1
c2 = s + 2 + j3 F s = = -1+ j ,
( ) ( )
2
s=-2- j3
s s + 2 - j3
( )
s=-2- j3
3s2 +19s + 65
"
1
c3 = s + 2 - j3 F s = = -1- j = c2 .
( ) ( )
2
s=-2+ j3
s s + 2 + j3
( )
s=-2+ j3
Funkcja F(s) ma więc postać
1 1
5 -1+ j -1- j
2 2
F s = + + ,
( )
s s + 2 + j3 s + 2 - j3
a jej transformata odwrotna
1 1
îÅ‚5
f t = + -1+ j e-(2+ j3)t + -1- j e-(2- j3)t Å‚Å‚1 t =
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
ðÅ‚ ûÅ‚
1 1
îÅ‚5
= + e-2t -e- j3t + j e- j3t - ej3t - j ej3t ûÅ‚1 t =
( )
( )Å‚Å‚
2 2
ðÅ‚
îÅ‚5
= - e-2t 2cos3t - sin 3t t .
( )Å‚Å‚ ( )
ðÅ‚ ûÅ‚1
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 10
Metoda 2
Funkcję F(s) rozkładamy na następujące ułamki:
3s2 +19s + 65 c1 k1s + k0 c1s2 + 4c1s +13c1 + k1s2 + k0s
F s = = + = . (")
( )
s
s2 + 4s +13
s s2 + 4s +13 s s2 + 4s +13
( ) ( )
Z porównania współczynników wielomianów liczników przy jednakowych potęgach s
otrzymujemy następujący układ równań:
s2 : c1 + k1 = 3,
s1 : 4c1 + k0 = 19,
s0 : 13c1 = 65,
z którego po rozwiązaniu uzyskujemy c1 = 5, k1 = -2, k0 = -1. Ostatecznie
3
s + 2 - 5 s + 2
5 2s +1 5 3
2
F s = - = - 2 = - 2 + ,
( )
2 2 2
s s s
s2 + 4s +13
s + 2 + 9 s + 2 + 9 s + 2 + 9
( ) ( ) ( )
a transformata odwrotna (w razie wątpliwości warto zajrzeć do tabeli 8.2.)
îÅ‚5
f t = - e-2t 2cos3t - sin 3t t .
( ) ( )Å‚Å‚ ( )
ðÅ‚ ûÅ‚1
Współczynniki rozkładu na ułamki mo\
na równie\
policzyć inaczej. Poniewa\

równość (") jest to\
samościowa (obowiązuje dla wszystkich s, które nie są pierwiastkami
mianownika), to podstawiając za s ró\
ne wartości liczbowe mo\
na otrzymać odpowiednią
liczbę równań, z których wyznaczymy poszukiwane współczynniki. I tak
3 +19 + 65 c1 k1 + k0
s = 1: = + Ò! 18c1 + k1 + k0 = 87
1× 1+ 4 +13 1 1+ 4 +13
( )
3 -19 + 65 c1 -k1 + k0
s = -1: = + Ò! 10c1 + k1 - k0 = 49
-1× 1- 4 +13 -1 1- 4 +13
( )
12 - 38 + 65 c1 -2k1 + k0
s = -2 : = + Ò! 9c1 + 4k1 - 2k0 = 39
-2× 4 - 8 +13 -2 4 - 8 +13
( )
Z równań tych, po rozwiązaniu, otrzymujemy c1, k1, k0 .
Metoda 3
Metoda ta jest modyfikacją podejścia zastosowanego poprzednio. Postuluje się
następujący rozkład funkcji F(s):
3s2 +19s + 65 c1 s + 2 3
F s = = +Ä…1 2 +Ä…0 2 .
( )
s
s s2 + 4s +13
s + 2 + 9 s + 2 + 9
( ) ( )
( )
Wówczas
îÅ‚c1
f t = + e-2t cos3t +Ä…0 sin 3t t .
( ) (Ä…1
)Å‚Å‚ ( )
ðÅ‚ ûÅ‚1
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 11
Współczynniki c1, ą1, ą0 mo\
na obliczyć jednym z omawianych poprzednio
sposobów. Otrzymuje się oczywiście c1 = 5, ą1 = -2, ą0 = 1.
Warto tu zauwa\
yć, \
e mo\
liwe są metody  mieszane . W omawianym przykładzie
wygodnym wydaje się wyliczenie współczynnika c1 ze wzoru, tak jak w metodzie 1,
natomiast k1 i k0 (ą1 i ą0) jednym ze sposobów opisanych w metodzie 2. Zmniejsza się
wówczas liczba równań, które nale\
y rozwiązać.
Zad. 8.9.
Obliczyć odwrotne transformaty Laplace a następujących funkcji:
4s2 + 21s + 23
a) F s = ,
( )
s + 2 s + 3 s + 5
( )( )( )
5s3 + 35s2 +108s + 60
b) F s = ,
( )
s s +10 s2 + 4s + 3
( )
( )
1
c) F s = ,
( )
1
s + s2 +11s +10
( )
( )
2
10 s +1
( )
d) F s = ,
( )
s3 + 7s2 +10s
s2 - 8s - 30
e) F s = ,
( )
s +10 s2 + 6s +10
( )
( )
s2 + 4s +16
f) F s = ,
( )
s3 + 4s2 + 8s
2s4 - 3s3 + 22s2 -12s + 36
g) F s = ,
( )
s s2 + 4 s2 + 9
( )( )
3s5 +14s4 + 23s3 + 30s2 + 52s + 24
h) F s = ,
( )
s4 + 6s3 +11s2 + 6s s2 + 4
( )( )
s5 +14s4 + 82s3 + 248s2 + 424s +160
i) F s = ,
( )
s s +1 s2 + 4s + 8 s2 + 4s + 20
( )
( )( )
s5 - 7s3 - 60s2 - 88s -194
j) F s = ,
( )
s2 + 4 s2 + 2s + 5 s2 + 4s +13
( )( )( )
2 + Ä„ s + 4 + Ä„2
( )
k) F s = .
( )
s s2 + 4s + 4 + Ä„2
( )
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 12
Wynik:
a) f t = -e-2t + 2e-3t + 3e-5t 1 t ,
( ) ( )
( )
b) f t = 2 + e-t - 2e-3t + 4e-10t 1 t ,
( ) ( )
( )
1
2 2 4
2
c) f t = e-10t - e-t + e- t 1 t ,
( ) ( )
( )
171 9 19
5 8
d) f t = 1+ e-2t - e-5t 1 t ,
( ) ( )
( )
3 3
e) f t = 3e-10t - 2e-3t cost 1 t ,
( ) ( )
( )
îÅ‚2
f) f t = - e-2t cos 2t + 2sin 2t t ,
( ) ( )Å‚Å‚ ( )
ðÅ‚ ûÅ‚1
g) f t = 1+ cos 2t - sin 3t 1 t ,
( ) ( ) ( )
h) f t = 1+ e-t - e-2t + e-3t + cos 2t - sin 2t 1 t ,
( ) ( )
( )
îÅ‚1+
i) f t = e-t - e-2t cos 2t - sin 4t t ,
( ) ( )Å‚Å‚ ( )
ðÅ‚ ûÅ‚1
îÅ‚
j) f t = 1+ e-t sin 2t - e-2t cos3tłł1 t ,
( ) ( )
( )
ðÅ‚ ûÅ‚
îÅ‚1-
k) f t = e-2t cos Ä„t - sin Ä„t t .
( ) ( )Å‚Å‚ ( )
ðÅ‚ ûÅ‚1
Zad. 8.10.
Obliczyć odwrotną transformatę Laplace a funkcji
s4 + 2s3 - 4s2 -19s -16
F s = .
( )
4
s s +1 s + 2
( )( )
RozwiÄ…zanie:
Rozkład funkcji F(s) ma następującą postać:
c11 c21 c31 c32 c33 c34
F s = + + + + + , (")
( )
2 3 4
s s +1 s + 2
s + 2 s + 2 s + 2
( ) ( ) ( )
na podstawie której mo\
na natychmiast wypisać transformatę odwrotną
îÅ‚ c33 c34 Å‚Å‚
ëÅ‚
f t = - c21e-t + c31 + c32t + t2 + t3 öÅ‚e-2t śł1 t .
( ) ( )
11
ïÅ‚c ìÅ‚ ÷Å‚
2! 3!
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
(Skąd się to wzięło? A no trzeba wyszukać odpowiednią funkcję w tablicy 8.2. i skorzystać
z własności (2) z tablicy 8.1.).
Jak widać jedynym problemem rachunkowym jest wyznaczenie współczynników
rozkładu ckl. Mo\
na tego dokonać kilkoma ró\
nymi metodami.
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 13
Metoda 1.
Korzystamy z ogólnej postaci rozkładu funkcji wymiernej na ułamki proste
m Ä…k
ckl
F s = ,
( )
""
l
s
k =1 l=1 ( - sk
)
gdzie m jest liczbą ró\
nych pierwiastków mianownika funkcji F(s), natomiast ąk jest
krotnością pierwiastka k. Wówczas współczynniki rozkładu mo\
na wyliczyć z zale\
ności:
k
1 dÄ… -l îÅ‚ Ä…k
ckl = s
( - sk F s .
) ( )Å‚Å‚
k ûÅ‚
(Ä…k - l !
) dsÄ… -l ðÅ‚
s=sk
Kolejno więc wyliczamy:
s4 + 2s3 - 4s2 -19s -16
c11 = sF s = = -1, (k = 1, Ä…k = 1, l = 1)
( )
4
s=0
s +1 s + 2
( )( )
s=0
s4 + 2s3 - 4s2 -19s -16
c21 = s +1 F s = = 2 , (k = 2, Ä…k = 1, l = 1)
( ) ( )
4
s=-1
s s + 2
( )
s=-1
s4 + 2s3 - 4s2 -19s -16
c34 = s + 2 F s = = 3, (k = 3, Ä…k = 4, l = 4)
( )4 ( )
s=-2 s s +1
( )
s=-2
îÅ‚ Å‚Å‚
1 d 4 d -
îÅ‚
c33 = s + 2 F s = =
( ) ( )Å‚Å‚ ds s4 + 2s3 s 4s2 -19s -16
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
1! ds s +1
( )
ïÅ‚ śł
s=-2
ðÅ‚ ûÅ‚
s=-2
2s5 + 5s4 + 4s3 +15s2 + 32s +16
= = -1,
2
s2 s +1
( )
s=-2
(k = 3, Ä…k = 4, l = 3)
îÅ‚ Å‚Å‚
1 d2 îÅ‚ 4 d
c32 = s + 2 F s = ïÅ‚ śł =
( ) ( )Å‚Å‚ 1 ds 2s5 + 5s4 + 4s3 +15s2 + 32s +16
2
ûÅ‚
2! 2
ds2 ðÅ‚
ïÅ‚ s2 s +1 śł
( )
s=-2
ðÅ‚ ûÅ‚
s=-2
s6 + 3s5 + 3s4 -13s3 - 48s2 - 48s -16
= = 1,
3
s3 s +1
( )
s=-2
(k = 3, Ä…k = 4, l = 2)
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 14
îÅ‚
1 d3 îÅ‚ d
c31 = s + 2 F s = ïÅ‚ śł =
( )4 ( )Å‚Å‚ 1 ds s6 + 3s5 + 3s4 -13s3 - 48s2 - 48s -16Å‚Å‚
ûÅ‚
3! 3
ds3 ðÅ‚
ïÅ‚ śł
s3 s +1
( )3
s=-2
ðÅ‚ ûÅ‚
s=-2
2 7s4 + 32s3 + 48s2 + 32s + 8
( )
= = -1.
s4 s +1
( )4
s=-2
(k = 3, Ä…k = 4, l = 1)
Rozkład funkcji F(s) na ułamki proste wygląda więc następująco:
1 2 1 1 1 3
F s = - + - + - + ,
( )
s s +1 s + 2
s + 2 s + 2 s + 2
( )2 ( )3 ( )4
a jej transformatÄ… odwrotnÄ… jest:
1 1
îÅ‚-1+
f t = 2e-t + -1+ t - t2 + t3 e-2t Å‚Å‚1 t .
( ) ( )
( )
2 2
ðÅ‚ ûÅ‚
Metoda 2.
Po sprowadzeniu wyra\
enia (") do wspólnego mianownika i porównaniu liczników lewej
i prawej strony otrzymujemy następującą to\
samość:
s4 + 2s3 - 4s2 -19s -16 a" c11 + c21 + c31 s5 +
( )
+ 9c11 + 8c21 + 7c31 + c32 s4 +
( )
+ 32c11 + 24c21 +18c31 + 5c32 + c33 s3 +
( )
+ 56c11 + 32c21 + 20c31 + 8c32 + 3c33 + c34 s2 +
( )
+ 48c11 +16c21 + 8c31 + 4c32 + 2c33 + c34 s +
( )
+16c11.
Po przyrównaniu współczynników przy jednakowych potęgach s otrzymujemy
następujący układ równań liniowych
1 1 1 0 0 0 c11 0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
9 8 7 1 0 0śł ïÅ‚c21 śł ïÅ‚ 1śł
ïÅ‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
2śł
31
ïÅ‚32 24 18 5 1 0śł ïÅ‚c śł ïÅ‚
= ,
ïÅ‚56 32 20 8 3 1śł ïÅ‚c śł ïÅ‚
-4śł
32
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚48 16 8 4 2 1śł ïÅ‚c śł ïÅ‚-19śł
33
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚
0 0 0 0 0 16śł ïÅ‚c34 śł ïÅ‚-16śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
z którego wyznaczamy poszukiwane współczynniki rozkładu na ułamki proste.
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 15
Metoda 3.
Postulujemy następującą postać rozkładu na ułamki proste
s4 + 2s3 - 4s2 -19s -16 c11 c21 c31 c32 c33 c34
a" + + + + + ,
s s +1 s + 2
s s +1 s + 2 s + 2 s + 2 s + 2
( )( )4 ( )2 ( )3 ( )4
a następnie postawiamy za s ró\
ne wartości liczbowe (ale takie, które nie są biegunami
funkcji F(s)!). Otrzymamy wówczas układ równań liniowych, w których niewiadomymi będą
poszukiwane współczynniki. W omawianym przykładzie potrzebne będzie sześć równań,
a więc nale\
y podstawić za s sześć ró\
nych wartości. I tak, przykładowo:
s =  5:
59 c11 c21 c31 c32 c33 c34
= - - - + - +
270 5 4 3 9 27 81
s =  4:
31 c11 c21 c31 c32 c33 c34
= - - - + - + ,
48 4 3 2 4 8 16
s =  3:
16 c11 c21
= - - - c31 + c32 - c33 + c34 ,
3 3 2
1
s = - :
2
164 2c31 4c32 8c33 16c34
= -2c11 + 2c21 + + + + ,
27 3 9 27 81
s = 1:
2 c21 c31 c32 c33 c34
- = c11 + + + + + ,
9 2 3 9 27 81
s = 2:
19 c11 c21 c31 c32 c33 c34
- = + + + + + .
768 2 3 4 16 64 256
Z otrzymanych równań wyliczamy poszukiwane współczynniki rozkładu na ułamki proste.
Podstawową trudnością przy stosowaniu metod 2 i 3 jest, jak widać, konieczność
rozwiązania układu równań liniowych. Je\
eli mamy takÄ… mo\
liwość, to warto skorzystać
z któregoś z dostępnych programów numerycznych.
Obliczenia mo\
na dosyć znacznie uprościć, je\
eli zastosować kombinację
przedstawianych metod, tzn, wyliczyć współczynniki c11, c21, c33 metodą 1 (nie liczy się
wtedy pochodnych), a pozostałe współczynniki metodą 2 lub 3.
W przypadku gdy funkcja F(s) ma jeden lub więcej biegunów o du\
ych krotnościach,
wówczas najbardziej efektywną metodą rozkładu jej na ułamki proste jest metoda
Goldstone a.
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 16
Metoda 4. (Goldstone a)
Dokonujemy następującej zamiany zmiennych: p = s + 2 , czyli s = p - 2 . Wówczas
p
( - 2 + 2 p - 2 - 4 p - 2 -19 p - 2 -16
)4 ( )3 ( )2 ( )
F p - 2 = =
( )
p
( - 2 p -1 p4
)( )
p4 - 6 p3 + 8p2 -11p + 6
= ,
p
( - 2 p -1 p4
)( )
czyli, po obustronnym przemno\
eniu przez p4
p4 - 6 p3 + 8 p2 -11p + 6
p4F p - 2 = .
( )
p2 - 3p + 2
Teraz nale\
y zacząć dzielić wielomian licznika przez wielomian mianownika, zaczynając
dzielenie od najni\
szych potęg p.
6  11p + 8p2  6p3 + p4 | 2  3p + p2 = 3  p + p2  p3
6  9p +3p2
 2p + 5p2  6p3 + p4
 2p + 3p2  p3
2p2  5p3 + p4
2p2  3p3 + p4
 2p3
 2p3 + 3p4  p5
 3p4 + p5
Dzielenie kończymy w momencie gdy w wyniku pojawi się p3 (potęga o 1 ni\
sza ni\

krotność bieguna). Ostatecznie mo\
emy zapisać
p5 - 3p4
p4F p - 2 = 3- p + p2 - p3 + ,
( )
p
( -1 p - 2
)( )
Po obustronnym podzieleniu przez p4 i podstawieniu p = s + 2 otrzymujemy
3 1 1 1 s -1
F s = - + - + .
( )
s + 2 s + 2 s + 2
( )4 ( )3 ( )2 s + 2 s(s +1)
Ostatni składnik ma ju\
tylko jednokrotne bieguny i po jego rozło\
eniu na ułamki proste
otrzymujemy poszukiwaną postać funkcji F(s).
Zad. 8.11.
Obliczyć odwrotne transformaty Laplace a następujących funkcji:
3s3 + 24s2 + 67s + 62
a) F s = ,
( )
s +1 s + 3
( )( )3
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 17
s4 + 4s3 + 9s2 +10s + 2
b) F s = ,
( )
s s + 2 s +1
( )( )3
2s5 +11s4 + 22s3 + 44s2 + 20s +1
c) F s = ,
( )
s 2s +1 s +1
( )( )4
s3 +11s2 + 44s + 56
d) F s = ,
( )
s + 2 s + 4
( )2 ( )2
6s3 + 51s2 +144s +136
e) F s = ,
( )
s + 2 s + 3 s + 4
( )2 ( )2 ( )2
64
f) F s = ,
( )
s +1 s + 5
( )( )4
s5 +10s4 + 40s3 + 32s2 -16s - 64
g) F s = ,
( )
s + 2 s2 + 2s + 2
( )5
( )
25s +100
h) F s = ,
( )
s + 2 s2 + 2s + 5
( )5
( )
s + 32
i) F s = ,
( )
s s + 2
( )6
2s4 + 9s3 +17s2 +11s + 4
j) F s = ,
( )
s + 2 s2 +1
( )3
( )
5s4 + 20s3 + 54s2 + 20s +101
k) F s = .
( )
s +1 s2 + 4
( )5
( )
Wynik:
îÅ‚2e-t
a) f t = + t2 - t +1 e-3t Å‚Å‚1 t ,
( ) ( )
( )
ðÅ‚ ûÅ‚
îÅ‚1+
b) f t = e-2t + t2 -1 e-t Å‚Å‚1 t ,
( ) ( )
( )
ðÅ‚ ûÅ‚
1
2
îÅ‚1+
c) f t = 2e- t + 2 t3 -1 e-t Å‚Å‚1 t ,
( ) ( )
( )
ðÅ‚ ûÅ‚
îÅ‚
d) f t = t + 2 e-2t -( ) ( )
2t +1 e-4t Å‚Å‚1 t ,
( ) ( )
ðÅ‚ ûÅ‚
e) f t = t e-2t + e-3t - 2e-4t 1 t ,
( ) ( )
( )
1
îÅ‚1 8
f) f t = e-t - t3 + 2t2 + t + e-5t Å‚Å‚1 t ,
( ) ( )
( )
4 3 4
ðÅ‚ ûÅ‚
g) f t = e-t sin t - 2t4e-2t 1 t ,
( ) ( )
( )
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 18
5 3 4 29 98 47 98
îÅ‚
h) f t = t4 + t3 + t2 - t - e-2t + sin 2t + cos 2t e-t Å‚Å‚1 t ,
( ) ( )
( ) ( )
12 2 5 25 125 250 125
ðÅ‚ ûÅ‚
1
îÅ‚1 1 1 2
i) f t = - t5 + t4 + t3 + t2 + t + e-2t Å‚Å‚1 t ,
( ) ( )
( )
2 8 3 3 2
ðÅ‚ ûÅ‚
îÅ‚
j) f t = t2 - t +1 e-2t + costłł1 t ,
( ) ( )
( )
ðÅ‚ ûÅ‚
1
îÅ‚
k) f t = t4 +1 e-t - cos 2t + sin 2tłł1 t .
( ) ( )
( )
2
ðÅ‚ ûÅ‚
Zad. 8.12.
Obliczyć odwrotną transformatę Laplace a funkcji
s3 +11s2 + 3s + 25
F s = .
( )
2
s s2 + 2s + 5
( )
RozwiÄ…zanie:
Funkcja F(s) ma jeden biegun pojedynczy i dwie pary podwójnych biegunów
zespolonych sprzÄ™\
onych. Mo\
na ją więc rozło\
yć na ułamki proste, korzystając z jednej
z metod przedstawionych w zad. 8.10. Prowadzi to jednak do dosyć zło\
onych obliczeń na
liczbach zespolonych. Postać mianownika funkcji F(s) sugeruje, \
e jej transformata odwrotna
będzie zawierać składniki o postaci te-t cos 2t, te-t sin 2t, e-t cos 2t, e-t sin 2t . Mo\
emy
więc zało\
yć następujący rozkład na ułamki:
2
s +1
( ) - 4 4 s +1
( )
1 s +1 2
F s = + Ä…12 + Ä…11 2 + Ä…02 + Ä…01 2 .
( )
2 2
s 2 2
s +1 + 4 s +1 + 4
îÅ‚ ( ) îÅ‚ ( )
s +1 + 4Å‚Å‚ s +1 + 4Å‚Å‚
( ) ( )
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
(W razie wątpliwości, dlaczego akurat tak, warto zajrzeć do tablic 8.1. i 8.2.)
Po sprowadzeniu prawej strony do wspólnego mianownika i przyrównaniu liczników
otrzymamy następującą to\
samość:
s3 +11s2 + 3s + 25 a" +1 s4 +
(Ä…11
)
+ + 3Ä…11 + 2Ä…01 + 4 s3 +
(Ä…12
)
+ 2Ä…12 + 7Ä…11 + 4Ä…02 + 4Ä…01 +14 s2 +
( )
+
(-3Ä…12 + 5Ä…11 + 4Ä…02 +10Ä…01 + 20 s + 25.
)
z której, po przyrównaniu współczynników przy jednakowych potęgach s, dostajemy układ
równań
0 1 0 0
Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚Ä…12 -1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
1 3 0 2śł ïÅ‚Ä…11 śł ïÅ‚ -3śł
ïÅ‚
= .
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
2 7 4 4śł ïÅ‚Ä…02 śł ïÅ‚ -3śł
ïÅ‚
ïÅ‚-3 5 4 10śł ïÅ‚Ä… śł ïÅ‚-17śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ 01 ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 19
Z równań tych, po rozwiązaniu, otrzymujemy:
Ä…12 = 2,
Ä…11 = -1,
Ä…02 = 1,
Ä…01 = -1.
Ostatecznie więc funkcję F(s) mo\
na zapisać jako
2
s +1
( ) - 4 4 s +1
( )
1 s +1 2
F s = + 2 - + - ,
( )
2 2 2 2
s 2 2
îÅ‚ ( ) ( )
s +1 + 4Å‚Å‚ s +1 + 4 îÅ‚ s +1 + 4Å‚Å‚ s +1 + 4
( ) ( )
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
a jej transformatÄ… odwrotnÄ… jest
f t = 1+ e-t îÅ‚ 2t -1 cos 2t + t -1 sin 2tÅ‚Å‚ 1 t .
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
ðÅ‚ ûÅ‚
Zad. 8.13.
Obliczyć odwrotne transformaty Laplace a następujących funkcji:
1
a) F s = ,
( )
2
2
s2 +É0
( )
2
b) F s = ,
( )
2
s2 + 2s + 2
( )
80 s + 3
( )
c) F s = ,
( )
2
s +1 s2 + 6s + 25
( )
( )
s2 + 6s +1
d) F s = ,
( )
2
s2 + 2s + 5
( )
s6 - 6s5 - 28s4 - 56s3 -12s2 + 56s - 48
e) F s = ,
( )
2 2
s2 + 2s + 2 s2 + 2s +10
( ) ( )
3s4 + 7s3 +10s2 + 8s + 4
f) F s = ,
( )
2
s s2 + 2s + 2
( )
s4 + 6s3 +16s2 + 20s +10
g) F s = ,
( )
2
s +1 s2 + 2s + 2
( )
( )
s4 + s3 - 21s2 -109s -196
h) F s = ,
( )
2
s + 5 s2 + 4s +13
( )
( )
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 20
s5 + 4s4 +19s3 + 68s2 + 90s + 218
i) F s = ,
( )
2
s2 + 2s +10 s2 +1
( ) ( )
100 s +1
( )4 .
j) F s =
( )
2
s s2 + 2s +10
( )
Wynik:
1
a) f t = sinÉ0t -É0t cosÉ0t 1 t ,
( ) ( ) ( )
3
2É0
b) f t = e-t sin t - t cost 1 t ,
( ) ( ) ( )
2 2 3
îÅ‚ Å‚Å‚
c) f t = e-t - e-3t ðÅ‚ 2t + cos 4t + t - sin 4tûÅ‚ 1 t ,
( ) ( )
( ) ( )
{ }
5 5 10
d) f t = te-t cos 2t + sin 2t 1 t ,
( ) ( ) ( )
e) f t = te-t cost - 2sin 3t 1 t ,
( ) ( ) ( )
f) f t = 1- e-2t îÅ‚2sin t + t - 2 costÅ‚Å‚ 1 t
( ) ( ) ( )
{ }
ðÅ‚ ûÅ‚
g) f t = e-t îÅ‚ t - 2 sin t +1Å‚Å‚1 t ,
( ) ( ) ( )
ðÅ‚ ûÅ‚
îÅ‚e-5t
h) f t = - e-2t t cos3t + 2sin 3t t ,
( ) ( )Å‚Å‚ ( )
ðÅ‚ ûÅ‚1
îÅ‚2sin
i) f t = t - e-t t -1 cos3tłł1 t ,
( ) ( ) ( )
ðÅ‚ ûÅ‚
j) f t = 1+ e-t îÅ‚9 5t +11 cos3t - 3 45t - 6 sin 3tÅ‚Å‚ 1 t .
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
ðÅ‚ ûÅ‚
Zad. 8.14.
Obliczyć odwrotną transformatę Laplace a funkcji
s4 + s2 - 2s - 44
F s = .
( )
2 s +1 s + 3 s2 + 4
( )( )
( )
RozwiÄ…zanie:
Poniewa\
stopień licznika funkcji F(s) jest równy stopniowi jej mianownika, to
w pierwszym etapie nale\
y podzielić wielomian licznika przez wielomian mianownika:
1
s4 +s2 -2s -44 2s4 + 8s3 +14s2 + 32s + 24 =
2
s4 + 4s3 +7s2 +16s +12
-4s3 -6s2 -18s -56
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 21
FunkcjÄ™ F(s) zapisujemy jako
1 -4s3 - 6s2 -18s - 56 1
F s = + = + F1 s ,
( ) ( )
2 2
2 s +1 s + 3 s2 + 4
( )( )
( )
a jej transformatÄ… odwrotnÄ… jest
1 1
f t = ´ t + L-1 F1 s = ´ t + cos 2t - 2e-t - e-3t 1 t .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
( )
2 2
Zad. 8.15.
Obliczyć odwrotną transformatę Laplace a funkcji
s + 4 + se-2s - s2e-3s
F s = .
( )
s s +1
( )3
RozwiÄ…zanie:
Funkcja F(s) nie jest funkcjÄ… wymiernÄ… i w zwiÄ…zku z tym nie mo\
emy jej rozło\
yć na
ułamki proste. Mo\
emy ją jednak przedstawić w postaci
s + 4 1 -s
F s = + e-2s + e-3s = Åš1 s +Åš2 s e-2s +Åš3 s e-3s .
( ) ( ) ( ) ( )
s s +1 s +1 s +1
( )3 ( )3 ( )3
Funkcje Åš1 s , Åš2 s , Åš3 s sÄ… funkcjami wymiernymi i ich transformaty odwrotne
( ) ( ) ( )
są odpowiednio równe:
îÅ‚4 3
L-1 Åš1 s = Õ1 t = - t2 + 4t + 4 e-t Å‚Å‚1 t ,
( ) ( ) ( )
{ }
( )
2
ðÅ‚ ûÅ‚
1
L-1 Åš2 s = Õ2 t = t2e-t1 t ,
( ) ( ) ( )
{ }
2
1
L-1 Åš3 s = Õ3 t = t2 - t e-t1 t .
( ) ( ) ( )
{ }
( )
2
Transformata odwrotna funkcji F(s), zgodnie z własnością (5) z tablicy 8.1., jest więc
równa:
f t = Õ1 t + Õ2 t - 2 + Õ3 t - 3 =
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
îÅ‚
îÅ‚4 3
= - t2 + 4t + 4 e-t Å‚Å‚1 t + t - 2 e-(t-2)1 t - 2 + t - 3 - ( - 3 e-(t-3)1 t - 3 .
t
( ) ( )2 ( ) ( )2 )Å‚Å‚ ( )
( )
2 2 2
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Zad. 8.16.
Obliczyć odwrotne transformaty Laplace a następujących funkcji:
s3 +12s2 + 42s + 47
a) F s = ,
( )
s +1 s + 5
( )( )2
2s2 + 7s + 20
b) F s = - ,
( )
s2 + 8s + 8
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 22
1- e-s + 2e-2s
c) F s = ,
( )
s +1 s2 + 2s + 5
( )2
( )
s3e-s + s2e-s + 3s 1+ 3e-s + 6 + 9e-s
( )
d) F s = ,
( )
s2 + 9 s + 2
( )
( )
s5e-s + s4 + 21s3e-s + 6s2 3 + e-s +108se-s + 81
( )
e) F s = ,
( )
2
s s2 + 9
( )
1- 2e-s + e-4s s
( )
f) F s = .
( )
s + 2
Wynik:
a) f t = ´ t + e-t - 3e-5t 1 t ,
( ) ( ) ( )
( )
b) f t = -2´ t + e-2t cos 2t - 3sin 2t 1 t ,
( ) ( ) ( ) ( )
1
c)
f t = e-t 2t - sin 2t 1 t +
( ) ( ) ( )
8
1
- e-(t-1) îÅ‚2 t -1 sin 2 t -1 Å‚Å‚1 t -1 +
( )- ( )ûÅ‚ ( )
8 ðÅ‚
1
+ e-(t-2) îÅ‚2 t - 2 sin 2 t - 2 Å‚Å‚1 t - 2 ,
( )- ( )ûÅ‚ ( )
4 ðÅ‚
d) f t = sin 3t1 t + ´ t -1 e-2(t-1)1 t -1 ,
( ) ( ) ( )-
( )
e) f t = 1 t + t sin 3 t -1 1 t -1 + ´ t -1 ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f) f t = ´ t 2e-2t1 t - 2´ t -1 + 4e-2(t-1)1 t -1 + ´ t - 4 - 2e-2(t-4)1 t - 4 .
( ) ( )- ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zad. 8.17.
Obliczyć odwrotną transformatę Laplace a funkcji
1- e-s
F s = .
( )
s2 1+ e-s + e-2s
( )
RozwiÄ…zanie:
Po przemno\
eniu licznika i mianownika funkcji F(s) przez czynnik 1- e-s
( )
otrzymujemy
2
1- e-s
( ) Åš s
1- 2e-s + e-2s ( )
F s = = = ,
( )
1- e-3s
s2 1+ e-s + e-2s 1- e-s s2 1- e-3s
( )( ) ( )
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 23
gdzie
1- 2e-s + e-2s
Åš s = .
( )
s2
Postać funkcji F(s) sugeruje, \
e mo\
e być ona transformatą funkcji okresowej o okresie
T = 3. Poniewa\

Õ t = L-1 Åš s = t1 t 2 t -1 1 t -1 + t - 2 1 t - 2
( ) ( ) ( )- ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
speÅ‚nia warunek Õ t a" 0 dla t e" 3, wiÄ™c f t = L-1 F s jest funkcjÄ… okresowÄ… o okresie
( ) ( ) ( )
{ }
T = 3, która w pierwszym okresie jest równa Õ t , czyli
( )
"
f t = t - 3k .
( ) ( )
"Õ
k=0
Wykres tej funkcji przedstawiono na rys. 8.17.
f(t)
1
1 2 3 4 5 6 7
t
Rys. 8.17.
Zad. 8.18.
Obliczyć odwrotną transformatę Laplace a funkcji
3
F s = .
( )
3s +1 1- e-s
( )
( )
RozwiÄ…zanie:
Funkcja F(s), podobnie jak funkcja z zad. 8.18., ma postać
Åš s
( )
F s = ,
( )
1- e-s
gdzie
3
Åš s = .
( )
3s +1
Poniewa\
jednak
1
3
Õ t = L-1 Åš s = e- t1 t `" 0 dla t e" 0 ,
( ) { } ( )
( )
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 24
to
" "
-1 t-k
3
f t = L-1 F s = t - k =
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
"Õ "e ( )1 t - k
k =0 k=0
nie jest funkcjÄ… okresowÄ…. Wykres tej funkcji przedstawiono na rys. 8.18.
f(t)
3
2
1
t
1 2 3 4
Rys. 8.18.
Zad. 8.19.
Obliczyć odwrotne transformaty Laplace a następujących funkcji:
1
a) F s = ,
( )
s 1- e-2s
( )
1
s + e-Ä„s
2
b) F s = ,
( )
1
s2 + 1- e-2Ä„s
( )( )
4
1- e-s - 2se-s + e-3s - e-4s
c) F s = ,
( )
s2 1- e-4s
( )
5 1+ e-s 1- e-2s
( )( ),
d) F s =
( )
s2 1+ e-s + e-2s
( )
Wskazówka: pomno\
yć licznik i mianownik przez 1- e-s
( )
1
2
10Ä„ e- s
(1+ )
e) F s = ,
( )
s2 + 4Ä„2 1+ e-s
( )( )
Wskazówka: pomno\
yć licznik i mianownik przez 1- e-s
( )
4
f) F s = .
( )
s s + 4 1- e-2s)
( )
( )
Które z tych funkcji są transformatami funkcji okresowych?
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 25
Wynik:
Wykresy funkcji, które są poszukiwanymi transformatami odwrotnymi, przedstawiono na
rys. 8.19.
f(t) f(t)
(a) (b)
6
1
5
4
3
2
1
Ä„ 2Ä„ 3Ä„ 4Ä„ 5Ä„ 6Ä„
2 4 6 8 10 t
t
f(t) f(t)
(c) (d)
1
10
1 3 5 7 t 5
 1
t
1 2 3 4 5 6 7 8
f(t) f(t)
(e)
(f)
5
4
3
1
3
2 4 t 2
1
 5
2 4 6 t
8
Rys. 8.19.
Funkcjami okresowymi sÄ… funkcje (b), (c), (e).
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 26
8.2. Stany nieustalone w obwodach RLCM
Zad. 8.20.
W obwodzie przedstawionym na rys. 8.20a. klucz K w czasie t < 0 był rozwarty i w obwodzie
panował stan ustalony. W chwili t = 0 klucz został zwarty. Obliczyć prąd i(t) dla t e" 0.
R1 R2
Dane:
t = 0
K
R1 = R2 =1&!,
L =1H,
e(t)
C
C = 1F,
L
e t = E0 =10 V = const.
( )
i(t)
Rys. 8.20a.
RozwiÄ…zanie:
Przy rozwiązywaniu tego typu zadań nale\
y w pierwszej kolejności wyznaczyć warunki
początkowe, tzn. napięcia na kondensatorach i prądy płynące przez induktory w chwili t = 0
(moment tu\
przed przełączeniem klucza). Korzystamy z zało\
enia, \
e w układzie panował
stan ustalony. Poniewa\
jedyne pobudzenie w układzie jest pobudzeniem stałym, więc
w stanie ustalonym w obwodzie nie płynął prąd, a kondensator był naładowany do napięcia
równego sile elektromotorycznej
R1 R2
z
ródła, czyli
uC 0- )
= E0 =10V .
(
C
E0
Z kolei, z oczywistego powodu,
Im2(s)
L
Im1(s)
uC 0- )
(
s
iL 0- )
= 0 .
(
s
I (s)
Mo\
emy teraz skonstruować
operatorowy schemat zastępczy
obwodu dla t > 0. Schemat ten został
Rys. 8.20b
przedstawiony na rys. 8.20b.
Przy wyborze zbioru oczek liniowo niezale\
nych takim jak zaznaczono na rysunku
mo\
emy uło\
yć następujący układ równań na prądy oczkowe:
E0
îÅ‚ Å‚Å‚
sL + R1 R1
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
îÅ‚Im1 s Å‚Å‚
( )
s
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
= ,
ïÅ‚ 1 śł
R1 R1 + R2 +
ïÅ‚
( )śł ïÅ‚ - uC 0- )śł
ïÅ‚ śł E0 (
m2
ðÅ‚I s ûÅ‚
sC
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ s s ûÅ‚
lub, po podstawieniu danych liczbowych
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 27
s +1 1
îÅ‚ Å‚Å‚
(s)Å‚Å‚ ïÅ‚10 śł
îÅ‚Im1 îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
s
ïÅ‚ śł = .
ïÅ‚ 1śł
(s)ûÅ‚ ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
1 2 +
ðÅ‚Im2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0
ðÅ‚ s ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
(s) (s)
Poszukiwany prÄ…d I = Im2 i po jego wyliczeniu otrzymujemy
2s +1
(s)
I = 10 ,
(2s2 )
s + 2s +1
i ostatecznie, po obliczeniu transformaty odwrotnej,
1
1 1
2
îÅ‚1-
(t)
i = 10 e- t cos t - sin t t A.
( )Å‚Å‚ ( )
2 2
ðÅ‚ ûÅ‚1
Zad. 8.21.
W obwodzie przedstawionym na rys. 8.21. panował stan ustalony do chwili t = 0. Wtedy
klucz K został otwarty. Wyznaczyć napięcie u(t) dla t e" 0.
R2
Dane:
R1 = 3&!,
K
R2 = 1&!,
u(t)
iz(t)
R1 C
t = 0 1
C = F,
6
(t)
iz = Iz0 = 4 A = const.
Rys. 8.21.
Wynik:
(t ) (12 )1
u = - 9e-2t t V.
( )
Zad. 8.22.
Wyznaczyć napięcie u(t) dla t e" 0 w układzie przedstawionym na rys. 8.22. Zakładamy, \
e do
chwili t = 0 klucz K był zwarty, a w obwodzie panował stan ustalony.
R1 L
Dane:
R1 = R2 = 1&!,
K
L = 1H,
e(t) u(t)
R2 C
C = 1F,
t = 0
(t)
e = E0 = 2 V = const.
Rys. 8.22.
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 28
Wynik:
(t) [ (cost )
]
u = 1- e-t + sin t 1 t V.
( )
Zad. 8.23.
W obwodzie przedstawionym na rys. 8.23. w czasie gdy klucz K był rozwarty panował stan
ustalony. W chwili t = 0 klucz ten został zwarty. Wyznaczyć napięcie u(t) dla t e" 0.
K
R1 L
Dane:
R1 = 4&!,
t = 0
R2 =1&!,
e(t)
R2 C u(t)
L = 2H,
1
C = F.
2
Rys. 8.23.
Rozpatrzyć przypadki:
(t)
a) e = 10 V = const ,
(t)
b) e = 10sin 5t V .
Wynik:
(t ) [ (cost )
]
a) u = 2 1- e-2t + 2sin t 1 t V,
( )
1
(t ) [ (cost ) ]
b) u = e-2t + 7sin t - cos5t - sin 5t 1 t V.
( )
4
Zad. 8.24.
W obwodzie przedstawionym na rys. 8.24. panował stan ustalony gdy klucz K był zwarty.
W chwili t = 0 klucz ten został rozwarty. Wyznaczyć prądy i1(t) i i2(t) dla t e" 0.
R1 R2
i1(t) i2(t)
Dane:
R1 = R2 = 1&!, R3 = 2&!,
K
t = 0 L = 2 H,
e(t)
R3 C L
1
C = F,
2
(t)
e = E0 = 10 V = const.
Rys. 8.24.
Wynik:
(t) (1- )1
i1 = 5 te-t t A,
( )
(t) [ (t )e-t ]
i2 = 5 1- +1 1 t A.
( )
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 29
Zad. 8.25.
W obwodzie przedstawionym na rys. 8.25. w czasie gdy klucz K był zwarty panował stan
ustalony. W chwili t = 0 klucz ten został rozwarty. Wyznaczyć prąd i(t) dla t e" 0.
L R2
i(t)
Dane:
R1 = R2 = 1&!,
1
K
L = H,
2
iz(t) R1 C
1
t = 0
C = F,
2
(t)
iz = Iz0 = 2 A = const.
Rys. 8.25.
Wynik:
(t) (2t )e-2t1
i = +1 t A.
( )
Zad. 8.26.
W układzie przedstawionym na rys. 8.26. wyznaczyć napięcie u(t), które pojawi się na kluczu
K po jego rozwarciu. Klucz został rozwarty w chwili t = 0, a przed jego rozwarciem
w obwodzie panował stan ustalony.
R2
Dane:
C
L
R1 = R2 = 1 &!,
L = 1 H,
K
C = 1 F,
e(t) u(t)
R1
t = 0
(t)
e = E0 = 2 V = const .
Rys. 8.26.
Wynik:
1
1 1
2
îÅ‚2
(t )
u = - e- t cos t + sin t t V.
( )Å‚Å‚ ( )
2 2
ðÅ‚ ûÅ‚1
Zad. 8.27.
W obwodzie przedstawionym na rys. 8.27. w czasie gdy klucz K był rozwarty panował stan
ustalony. W chwili t = 0 klucz ten został zwarty. Wyznaczyć napięcia u1(t) i u2(t) dla t e" 0.
K
R1 L
Dane:
R1 = R2 = 1 &!,
t = 0
C1 = C2 = 1 F,
e(t) u1(t)
C1 u2(t) C2 R2
L = 2 H,
(t )
e = E0 = 2 V = const.
Rys. 8.27.
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 30
Wynik:
1
3
2
îÅ‚1- 2 33
(t)
u1 = e-t + e- t sin tłł1 t V,
( )
ðÅ‚ 2 ûÅ‚
1
3
2
îÅ‚1- 2 33
(t)
u2 = e-t - e- t sin tłł1 t V.
( )
ðÅ‚ 2 ûÅ‚
Zad. 8.28.
W obwodzie przedstawionym na rys. 8.28a panował stan ustalony do momentu t = 0, kiedy to
klucz K został zwarty. Wyznaczyć napięcie u(t) dla t e" 0.
C
Dane:
R1 R2
1
R1 = 1 &!, R2 = &!, R3 = 4 &!,
2
M
1
L1 = H, L2 = 4 H, M = 1 H,
2
K
u(t)
e(t) L1 L2 R3
C = 2 F,
t = 0
(t)
e = E0 = 3 V = const.
Rys. 8.28a
RozwiÄ…zanie:
Warunki początkowe w obwodzie obliczamy korzystając z zało\
enia, \
e w czasie gdy
klucz był rozwarty w obwodzie panował stan ustalony. Poniewa\
pobudzenie jest stałe,
otrzymujemy:
R2
uC 0- )
= E0 = 1 V,
(
R1 + R2
E0
iL 0- )
= = 2 A,
(
1
R1 + R2
iL 0- )
= 0.
(
2
Operatorowy schemat zastępczy obwodu, dla czasów t > 0 przedstawiono na rys. 8.28b.
L1 L2
Im1(s) Im2(s)
sMIm2(s) sMIm1(s)
CuC 0- ) C R2 R3 U(s)
(
L1iL1(0- )
M iL1(0- )
Rys. 8.28b
Przy wyborze oczek liniowo niezale\
nych (i ich orientacji) tak, jak to zaznaczono na
rysunku, obwód ten mo\
na opisać następującym układem równań na prądy oczkowe:
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 31
Å‚Å‚
1 îÅ‚ CuC 0- )
îÅ‚sL + Å‚Å‚ (
sM
( )śł
1
ïÅ‚- 1 + L1iL 0-
ïÅ‚ śł
1
1
(s)
îÅ‚ Im1 Å‚Å‚
sC + ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł sC +
ïÅ‚ śł = ,
R1
R2
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
(s)ûÅ‚ ïÅ‚
ïÅ‚ śł
śł
ïÅ‚ śł ðÅ‚Im2
sM sL2 + R3 śł
ïÅ‚ M iL 0- )
śł
ïÅ‚ (
1
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
a po podstawieniu danych liczbowych
1 1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚- 1
s + s +1Å‚Å‚
îÅ‚ Im1 s Å‚Å‚
( )
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
2 2s + 2
ïÅ‚I = ïÅ‚ s +1 śł .
ïÅ‚ śł
( )śł
s 4s + 4śł ðÅ‚ m2 s ûÅ‚ ïÅ‚ 2
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Z równań tych wyznaczamy Im2 s , następnie
( )
1
(s) (s)
U = R3Im2 = 4 ,
s2 + 2s + 2
a po obliczeniu transformaty odwrotnej
(t)
u = 4e-t sin t1 t V.
( )
Zad. 8.29.
W obwodzie przedstawionym na rys. 8.29. klucz K był rozwarty i w obwodzie panował stan
ustalony. W chwili t = 0 klucz został zwarty. Obliczyć prąd i(t) dla t e" 0.
M
i(t)
Dane:
7
L1 = 2 H, L2 = H, M = 2 H,
L1 L2
2
K
1
C = F, R = 3 &!,
iz(t) C R
3
t = 0
(t)
iz = Iz0 =1 A = const.
Rys. 8.29.
Wynik:
1
47 37 47 47
îÅ‚1- 4 1
4
(t)
i = e-t - e- t 3cos t - sin t t A.
( )Å‚Å‚ ( )
7 7 4 47 4
ðÅ‚ ûÅ‚1
Zad. 8.30.
W obwodzie przedstawionym na rys. 8.30a do chwili t = 0 panował stan ustalony. Obliczyć
napięcie uK(t) na kluczu K dla czasów t e" 0, je\
eli w chwili t = 0 klucz ten został rozwarty.
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 32
M
R1
L1 L2
K
uK(t)
Dane:
t = 0
1
R3
e(t)
R1 = &!, R2 = 1 &!, R3 = 4 &!,
2
R2 L1 = 1 H, L2 = 4 H,
(t)
e = E0 = 13 V = const.
Rys. 8.30a
Obliczenia wykonać dla następujących wartości M:
a) M = 0,
b) M = 0,5 H,
c) M = 2 H,
d) M =  0,5 H,
e) M =  2 H.
Uwaga: ujemna wartość M oznacza, \
e końcówki jednego z induktorów zostały zamienione
(na schemacie odpowiada to przeniesieniu  kropki przy jednym z induktorów na drugą z jego
końcówek).
RozwiÄ…zanie:
Warunki początkowe wyliczamy korzystając z zało\
enia, \
e przed rozwarciem klucza
w obwodzie panował stan ustalony. Poniewa\
e(t) = E0 = const, otrzymujemy:
E0
iL 0- )
= = 10 A,
(
1
1
R1 +
1 1
+
R2 R3
R2
iL 0- ) (
= iL 0- )
= 2 A.
(
2 1
R2 + R3
Operatorowy schemat zastępczy obwodu dla czasów t e" 0 przedstawiono na rys. 8.30b.
MiL2 0- ) MiL1 0- )
( (
sMI(s)
R1 L1 L2 sMI(s)
I(s)
L1iL1 0- ) L2iL2 0- )
( (
E0
R3
UK(s)
s
Rys. 8.30b
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 33
PrÄ…d I(s) wyznaczamy z zale\
ności:
E0
+ L1iL 0- ) ( ) ( ) ( )
+ MiL 0- + L2iL 0- + MiL 0-
(
1 2 2 1
s
(s)
I = ,
s L1 + L2 + 2M + R1 + R3
( )
a poszukiwane napięcie
(s) (s)
UK = îÅ‚s L2 + M + R3 Å‚Å‚ I - L2iL 0- )- MiL 0- )
.
( ) ( (
ðÅ‚ ûÅ‚
2 1
Po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy odpowiednio:
64s2 +176s +104
(s)
a) UK = ,
(10s )
s + 9
9
32 104 64
10
(t) (t)
uK = ´ + + e- t 1 t V,
( ) ( )
5 9 225
60s2 +192s +104
(s)
b) UK = ,
(4s )
3s + 3
3
104 25
4
(t) (t)
uK = 5´ + + e- t 1 t V,
( ) ( )
9 36
240s +104
(s)
c) UK = ,
(2s )
9s +1
1
104 16
2
(t)
uK = + e- t 1 t V,
( ) ( )
9 9
60s2 +160s +104
(s)
d) UK = ,
(8s )
s + 9
9
15 104 1
8
(t) (t)
uK = ´ + + e- t 1 t V,
( ) ( )
2 9 144
112s +104
(s)
e) UK = ,
(2s )
s + 9
9
104 400
2
(t)
uK = + e- t 1 t V.
( ) ( )
9 9
Zad. 8.31.
W obwodzie pokazanym na rys. 8.31. panował stan ustalony. W chwili t = 0 klucz K został
zwarty. Obliczyć napięcie u(t) i prąd i(t) dla t e" 0.
C1
R1
i(t)
Dane:
R1 = 3 &!, R2 = 2 &!, R3 = 1 &!,
L
K
1 1
C1 = F, C2 = F,
3 3
C2 u(t)
e(t) R2
t = 0
1
L = H,
R3
6
(t)
e = E0 = 5 V = const.
Rys. 8.31.
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 34
Wynik:
(t) (3t )e-3t1
u = - +1 t V,
( )
1
(t) (t)
i = - ´ + 3te-3t1 t A .
( )
3
Zad. 8.32.
W obwodzie przedstawionym na rys. 8.32. do chwili t = 0 panował stan ustalony. Obliczyć
napięcie u(t) dla t e" 0, je\
eli w chwili t = 0 klucz K został rozwarty.
L1
C
L2 Dane:
R2
1
R1 = 2 &!, R2 = &!,
2
u(t)
L1 = 1 H, L2 = 3 H,
K
iz(t)
R1
C = 1 F,
t = 0
(t)
iz = Iz0 = 5 A = const.
Rys. 8.32.
Wynik:
1 1
(t ) (t)
u = 3´ + 10 + sin t 1 t V.
( )
( )
2 2
Zad. 8.33.
W obwodzie przedstawionym na rys. 8.33a panował stan ustalony do momentu zwarcia
klucza K w chwili t = 0. Obliczyć prąd i(t) i napięcie u(t) dla t e" 0.
Dane:
M
C
R1 = 2 &!, R2 = 1&!, R3 =1&!,
R1
1
L1 = 2 H, L2 =1 H, M = H,
L1 i(t) L2 2
1
K
C = F,
4
e(t) R3 R2 u(t)
t = 0 Ä„
ëÅ‚É öÅ‚
(t)
e = 6 2 sin t - V,
ìÅ‚ ÷Å‚
0
íÅ‚ 4 Å‚Å‚
rad
É0 = 2 .
s
Rys. 8.33a
RozwiÄ…zanie:
Poniewa\
, zgodnie z zało\
eniem, do chwili t = 0 w obwodzie panował stan ustalony,
a pobudzenie jest przebiegiem sinusoidalnym, to warunki początkowe najwygodniej będzie
wyliczyć stosując metodę symboliczną. Symboliczny schemat zastępczy obwodu dla t < 0
przedstawiono na rys. 8.33b.
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 35
jÉ0M I jÉ0M I
m2 m1
C
L1 L2
R1 I I
L1 L2
UC
E
I R3 I R2
m1 m2
E = 2 3- j3
( )
Rys. 8.33b
Symboliczne równania na prądy oczkowe, opisujące ten obwód, mają postać:
îÅ‚ Å‚Å‚
R1 + R3 + jÉ0L1 -R3 - jÉ0M
ïÅ‚ śł
I
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚-E
Å‚Å‚
m1
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
= ,
ïÅ‚ śł
1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ 0 śł
ïÅ‚ śł ðÅ‚I m2 ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
-R3 - jÉ0M R2 + R3 + jÉ0L2 +
ïÅ‚ jÉ0C śł
ðÅ‚ ûÅ‚
a po podstawieniu danych liczbowych
3 + j4 -1- j I îÅ‚-3 2 + j3 2 Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
m1
ïÅ‚ śł
= .
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚-1- j 2 śł ïÅ‚I śł
0
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ m2 ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Z równań tych, po rozwiązaniu, otrzymujemy:
I = I = j 2 ,
L1 m1
2 2
I = I = - + j ,
L2 m2
2 2
1
U = I = 2 + j 2 ,
C m2
jÉ0C
a odpowiednie przebiegi czasowe są równe:
(t)
iL = 2cos 2t A ,
1
3
(t )
iL = 2 sin 2t + Ä„ A ,
( )
4
2
1
(t )
uC = 2 2 sin 2t + Ä„ V .
( )
4
Po podstawieniu do powy\
szych zale\
ności t = 0 otrzymujemy:
iL 0- )
= 2 A ,
(
1
iL 0- )
= 1 A ,
(
2
= 2 V .
uC 0- )
(
Operatorowy schemat zastępczy obwodu dla czasów t > 0 przedstawiono na rys. 8.33c.
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 36
uC 0- )
(
( )
s s
sMIm2 ( )
L1iL1 0- ) L2iL2 0- ) sMIm1 s
( (
L2
R1 L1
C
MiL2 0- ) MiL1 0- )
( (
E(s)
I(s) R2 U(s)
Im1(s) Im2(s)
Rys. 8.33c
Równania na prądy oczkowe, opisujące ten obwód, mają postać:
îÅ‚ Å‚Å‚
sL1 + R1 -sM
(s)
îÅ‚ E - L1iL 0- ) ( )
+ MiL 0- Å‚Å‚
(
ïÅ‚ śł
1 2
(s)
îÅ‚ Im1 Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł =
ïÅ‚
ïÅ‚ śł ( )śł ,
1
(s)ûÅ‚ ïÅ‚-L2iL 0- + MiL 0- + uC 0- śł
ïÅ‚ śł
( ) ( )
ðÅ‚Im2
ïÅ‚ -sM sL2 + R2 +
śł
2 1
ðÅ‚ s ûÅ‚
sC
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
-6s +12
(s) (t)
a po podstawieniu wartości liczbowych oraz E = L e = otrzymujemy
{ }
s2 + 4
îÅ‚ Å‚Å‚
1 îÅ‚ -6s +12 7
Å‚Å‚
2s + 2 - s
-
ïÅ‚ 2 śł
(s)Å‚Å‚
îÅ‚ Im1 ïÅ‚ s2 + 4 2 śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł = .
ïÅ‚ śł
4
(s)ûÅ‚ ïÅ‚ 2 śł
ïÅ‚ śł
1
ðÅ‚Im2
ïÅ‚ - s s +1+
śł
ïÅ‚ śł
2
s
ïÅ‚ śł ðÅ‚ s ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Z równań tych wyliczamy prądy oczkowe
-14s4 - 34s3 - 88s2 - 88s - 32
(s)
Im1 = ,
(s2 + 4)(7s3 +16s2 + 40s + 32)
-7s4 + 4s3 +12s2 + 64s + 64
(s)
Im2 = ,
(s2 + 4)(7s3 +16s2 + 40s + 32)
a następnie poszukiwane wielkości
7s4 + 38s3 +100s2 +152s + 96
(s) (s) (s)
I = Im1 - Im2 = - ,
(s2 + 4)(7s3 +16s2 + 40s + 32)
-7s4 + 4s3 +12s2 + 64s + 64
(s) (s)
U = R2Im2 = .
(s2 + 4)(7s3 +16s2 + 40s + 32)
Po obliczeniu transformat odwrotnych otrzymujemy ostatecznie:
(t) îÅ‚e-0,62572t
i = (0,51880cos 2,0071t + 0, 46848sin 2,0071t) - 0,078788e-1,0343t Å‚Å‚1 t +
( )
ðÅ‚ ûÅ‚
+ 2, 4sin(2t - 2, 4981)1 t A,
( )
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 37
(t) îÅ‚-e-0.6257t
u = (0,74796cos 2,0071t + 0, 48992sin 2,0071t) - 0,012038e-1,0343t Å‚Å‚1 t +
( )
ðÅ‚ ûÅ‚
+ 1,6971sin(2t - 0,1419)1 t V.
( )
Zad. 8.34.
W obwodzie przedstawionym na rys. 8.34. panował stan ustalony. W chwili t = 0 klucz K
został przełączony z pozycji A do pozycji B. Obliczyć prąd i(t) i napięcie u(t) dla t e" 0.
K
A
Dane:
R1 R2
R1 =1 &!, R2 = 4 &!,
B
i(t)
t = 0
L =1 H,
e(t)
C L u(t)
1
C = F,
4
(t)
e = 2cos 2t V.
Rys. 8.34.
Wynik:
1
(t) (7 )1
i = - e-4t cos 2t + sin 2t t A ,
( )
4
1
(t) (cos )1
u = e-4t 2t - 7sin 2t t V .
( )
2
Zad. 8.35.
W obwodzie przedstawionym na rys. 8.35. panował stan ustalony gdy klucz K znajdował się
w pozycji A. W chwili t = 0 klucz ten został przełączony do pozycji B. Obliczyć prąd i(t) dla
t e" 0.
K
A Dane:
R1
i(t)
R1 = 2 &!, R2 = 1&!,
B
2
t = 0
L = H,
C
3
L C = 1 F,
e1(t) e2(t)
R2
(t)
e1 = 4cost V,
(t)
e2 = 5sin 5t V.
Rys. 8.35.
Wynik:
2
t
5 5463 5 5
5613 1425 105
îÅ‚e- 3
(t)
i = cos t + sin t cos5t + sin 5tłł1 t H"
( )
( )-
2792 3 13960 3 2792 2792
ðÅ‚ ûÅ‚
îÅ‚2,1926e-0,6667t sin(0,7454t +1,1603) + 0,5118sin(5t -1, 4972)ûÅ‚1 t A.
Å‚Å‚
H"
( )
ðÅ‚
Zad. 8.36.
W obwodzie przedstawionym na rys. 8.36. do chwili t = 0 panował stan ustalony, a klucz K
był zwarty. W chwili t = 0 klucz ten został rozwarty. Obliczyć prąd i(t) dla t e" 0.
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 38
t = 0
Dane:
R1 R2
R1 = 2 &!, R2 = 6 &!,
i(t)
K
L =1 H,
C
C =1 F,
e1(t) e2(t)
(t)
e1 = 6cost V,
L
(t)
e2 =12sin 2t V.
Rys. 8.36.
Wynik:
3
(t) îÅ‚
i = t -1 e-t + 3costłł1 t A.
( ) ( )
2
ðÅ‚ ûÅ‚
Zad. 8.37.
W obwodzie przedstawionym na rys. 8.37. panował stan ustalony gdy klucz K znajdował się
w pozycji A. W chwili t = 0 klucz ten został przełączony do pozycji B. Obliczyć prąd i(t)
i napięcie u(t) dla t e" 0.
R1 R2 R3
Dane:
A B
R1 = 1 &!, R2 = 4 &!, R3 = 1 &!,
K
t = 0
3
C = F,
e1(t) e2(t)
5
i(t)
(t)
e1 = 2cos 2t V,
C
u(t)
(t)
e2 = 6sin 2t V.
Rys. 8.37.
Wynik:
2
(t)
i = (-8e-2t + 8cos 2t + 7sin 2t)1 t A ,
( )
5
1
(t) (8e-2t - 7 cos 2t + 8sin 2t)1 t V .
u =
( )
3
Zad. 8.38.
W obwodzie przedstawionym na rys. 8.38. klucz K został zwarty w chwili t = 0.Wyznaczyć
napięcie u(t) dla t e" 0. Zakłada się, \
e do chwili zwarcia klucza w obwodzie panował stan
ustalony.
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 39
L2
Dane:
1
K
R1 = 1 &!, R2 = 2 &!, R3 = &!,
C
2
R1 R2
1
L1 = H, L2 = 1 H,
2
t = 0
1
C = F,
2
L1 R3 u(t)
e(t) iz (t)
(t)
iz = 5cos 2t A,
(t)
e = E0 = 5 V = const.
Rys. 8.38.
Wynik:
(t ) îÅ‚1,887e-0,3021t +1, 4275e-0,9323t sin(0, 484t - 2, 296) +1,8875sin(2t + 2,0431)ûÅ‚1 t V .
Å‚Å‚
u =
( )
ðÅ‚
Zad. 8.39.
W obwodzie przedstawionym na rys. 8.39. panował stan ustalony. W chwili t = 0 klucz K
został przełączony z pozycji A do pozycji B. Wyznaczyć napięcia na kondensatorach
(t) (t)
uC i uC dla t e" 0. Wyró\
nić składowe przejściowe i ustalone tych napięć.
1 2
R2 R3
Dane:
R1 = 1 &!, R2 = 2 &!,
uC1( )
t
C1
R3 = 1 &!,
t = 0
B
uC2 ( )
t
C2
R1 e(t)
iz (t) 1
C1 = 1 F, C2 = F,
2
K
A
(t)
iz = 9cos 2t A,
(t)
e = E0 = 4 V = const .
Rys. 8.39.
Wynik:
11+ 57 11- 57
329 57 329 57
îÅ‚ 37 37 18 18
4 4
(t)
uC = - ) ( ) ( )
e- t + + e- t + cos 2t + sin 2t - 2Å‚Å‚1 t H"
(
2 114 2 114 11 11
1 ðÅ‚ ûÅ‚
îÅ‚-3,
H" 29e-4,638t + 40, 29e-0,8625t + 2,314sin(2t + 0,7854) - 2Å‚Å‚1 t V,
( )
ðÅ‚ ûÅ‚
Składowa przejściowa
Składowa ustalona
11+ 57 11- 57
58 57 58 57
îÅ‚ 18 18 36 9
4 4
(t)
uC = + e- t + - ) ( )
(- e- t + cos 2t + sin 2t + 3Å‚Å‚1 t H"
) (-
11 627 11 627 11 11
2 ðÅ‚ ûÅ‚
îÅ‚-0,9376e-4,638t - 2,334e-0,8625t + 3,3735sin(2t +1,326) + 3Å‚Å‚1 t V.
H"
( )
ðÅ‚ ûÅ‚
Składowa przejściowa
Składowa ustalona
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 40
Zad. 8.40.
W obwodzie przedstawionym na rys. 8.40. dla czasów t < 0 panował stan ustalony. W chwili
(t)
t = 0 klucz K1 został rozwarty, a klucz K2 zwarty. Obliczyć napięcie uK , jakie wystąpi na
1
L1 R1
t = 0 Dane:
K1
R1 = 3 &!, R2 =1 &!,
L2 R2
( )
iK2 t
( ) L1 =1 H, L2 = 2 H,
uK1 t
t = 0
C = 1 F,
iz (t)
e(t)
C
(t)
K2 e = 5cost V,
(t)
iz = Iz0 = 4 A = const.
Rys. 8.40.
(t)
kluczu K1 po jego rozwarciu i prąd iK , jaki popłynie przez klucz K2 po jego zwarciu.
2
Wynik:
4
2 5
3
(t) (t)
uK = ´ + e- t + 5cost 1 t V ,
(-
) ( )
3 9
1
(t) (t)
iK = 3´ + 4Å"1 t A .
( )
2
Zad. 8.41.
Wyznaczyć napięcie u(t) w obwodzie przedstawionym na rys. 8.41a, je\
eli pobudzenie e(t)
jest przebiegiem impulsowym, którego wykres przedstawiono na rys. 8. 41b.
Dane:
e(t )
R1 L
[V]
R1 = 3 &!,
1
R2 = 1 &!,
3 4
t
e(t) u(t)
R2 C
L = 1 H,
1 2
[s]
 1
C = 1 F.
Rys. 8.41a Rys. 8.41b
RozwiÄ…zanie:
Pobudzenie e(t) a" 0 dla t < 0, więc
R1 L
warunki początkowe w układzie są zerowe.
Operatorowy schemat zastępczy obwodu dla
t e" 0 przedstawiono na rys. 8.41c. Napięcie
E(s) U(s)
R2 C
U(s) mo\
emy wyliczyć z dzielnika napięcia,
czyli
1 Rys. 8.41c
(s) (s)
U = E .
1
ëÅ‚ öÅ‚
+ sC R1 + sL +1
( )
ìÅ‚
R2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 41
Po podstawieniu wartości liczbowych oraz
1- e-s - 2se-2s + e-3s - e-4s
(s) (t)
E = L e =
{ }
s2
otrzymujemy
1- e-s - 2se-2s + e-3s - e-4s
(s)
U = ,
(s )2
s2 + 2
a po obliczeniu transformaty odwrotnej
1 1
[t ]1(t )
(t) [ (t )e-2t ]
u = t -1+ +1 1 t - 2 + te-2(t-1) -1 +
( )-
4 4
1
îÅ‚1- (2t - 3)e-2(t-2) ûÅ‚ t - 2 + 1 ðÅ‚ - 4 + (t - 2)e-2(t-3) ûÅ‚ t - 3 +
Å‚Å‚1 îÅ‚t Å‚Å‚1
+
ðÅ‚ ( ) ( )
4 4
1
îÅ‚t Å‚Å‚1
(t )e-2(t-4) ûÅ‚ t - 4 V.
- ðÅ‚ - 5 + - 3
( )
4
Zad. 8.42.
Wyznaczyć napięcie u(t) w obwodzie przedstawionym na rys. 8.42a. Pobudzenie iz(t) jest
przebiegiem impulsowym, którego wykres przedstawiono na rys. 8. 42b.
iz (t)
[A]
Dane:
L
1
R1 = 2 &!,
u(t)
R1
iz (t)
1 2 t
R2 = 1 &!,
[s]
R2
 1 L = 2 H.
Rys. 8.42a Rys. 8.42b
Wynik:
3 3 3
(t-1)
(t-2)
2 4 2
2
]1(t -1)+ [1+ 2e- 2
]1(t - 2).
(t) [1+ ]1(t)- [1+ 2e- 2
u = 2e- t
3 3 3
Zad. 8.43.
Wyznaczyć prąd i(t) w obwodzie pokazanym na rys. 8.43a, je\
eli pobudzeniem jest impuls
prądowy, którego wykres pokazano na rys. 8.43b.
iz (t)
[A]
Dane:
i(t)
1
R1 = &!,
R2
2
0,3
iz (t) R1
R2 =1 &!,
C
0,1
C = 2 F.
t
0,2 0,3 0,4 0,6
[s]
Rys. 8.43a Rys. 8.43b
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 42
Wynik:
1 1 1
(t-0,3)
îÅ‚1- (t-0,2) Å‚Å‚1 t - 0, 2 4 îÅ‚1- e-3
Å‚Å‚1 t - 0,3 +
(1- 3
)1(t)+1,5 ðÅ‚ e-3
(t)
i = 0,5 e- t ûÅ‚ ûÅ‚
( )- ðÅ‚
( )
1 1
îÅ‚1- 3
îÅ‚1- 3
+1,5 ðÅ‚ e- (t-0,4) Å‚Å‚1 t - 0,4 + 0,5 ðÅ‚ e- (t-0,6) Å‚Å‚1 t - 0,6 A.
ûÅ‚ ûÅ‚
( ) ( )
Zad. 8.44.
Wyznaczyć napięcie u(t) w obwodzie przedstawionym na rys. 8.44a, je\
eli pobudzenie e(t)
jest przebiegiem impulsowym, którego wykres przedstawiono na rys. 8. 44b.
e(t )
R1
C1
[V]
L
Dane:
1
R1 = R2 = 1 &!,
u(t)
e(t) C2
t
1 2 [s]
C1 = C2 = 1 F,
R2
 1
L =1 H.
Rys. 8.44a Rys. 8.44b
Wynik:
îÅ‚1- Å‚Å‚1
(t) (t )e-t ] (t )e-(t-1)1 t -1 ðÅ‚ (t -1)e-(t-2) ûÅ‚ t - 2 V .
[
u = 1- +1 1 t 2 -1
( )-
( )-
( )
Zad. 8.45.
Wyznaczyć napięcie u(t) w obwodzie przedstawionym na rys. 8.45a. Pobudzeniem jest
impuls e(t), którego wykres przedstawiono na rys. 8. 45b.
e(t )
C
R1
[V]
 Połówka sinusoidy
Dane:
1
R1 = R2 =1&!,
e(t) R2 u(t)
L
L = 2 H,
t
C = 2 F.
[s]
Ä„ 2Ä„
Rys. 8.45a Rys. 8.45a
Wynik:
1
1 1 1
4
îÅ‚2cos t + sin t - e- t 2cos 1 t - sin 1 t t +
(t)
u =
( )Å‚Å‚ ( )
5 2 2 4 4
ðÅ‚ ûÅ‚1
1
1 1 1 1 1
4
(t ) (t ) (t ) (t )ûÅ‚
+ 2cos - 2Ä„ + sin - 2Ä„ - e- (t-2Ä„) îÅ‚2cos - 2Ä„ - sin - 2Ä„ Å‚Å‚ 1 t - 2Ä„ V.
( )
{ }
5 2 2 ðÅ‚ 4 4
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 43
Zad. 8.46.
Wyznaczyć napięcie u(t) w obwodzie przedstawionym na rys. 8.46a. Naszkicować wykres
tego napięcia.
R1
Dane:
Å„Å‚sin2 t dla 0 d" t d" Ä„
ôÅ‚
(t)
e =
òÅ‚
e(t)
L C R2 u(t)
ôÅ‚0 dla t < 0 i t > Ä„
ół
R1 = R2 = 1 &!, L = 1 H, C = 1 F.
Rys. 8.46a
Wynik:
1
2
2
îÅ‚
(t) (34t + 8)e- t - 8cos 2t -15sin 2tłł1 t +
u =
ðÅ‚ ûÅ‚ ( )
289
1
2
2
îÅ‚
(34t )e- (t-Ą) - 8cos 2t -15sin 2tłł1 t - Ą V.
- ðÅ‚ - 34Ä„ + 8
ûÅ‚ ( )
289
u(t )
[V]
Wykres napięcia u(t) przed-
stawiono na rys. 8.46b. Pro- 0,3
ponujemy wykreślić równie\

0,2
przebieg pobudzenia e(t).
0,1
2 4 6 8 10 12 14 16
t
[s]
 0,1
Rys. 8.46b
Zad. 8.47.
Obliczyć napięcia u1(t) i u2(t) oraz prąd i(t) w obwodzie przedstawionym na rys. 8.47a.
Dane:
R1 L
i(t) R1 = R2 = 1 &!,
1
C1 = C2 = F, L = 2 H,
2
u2(t)
C1 C2 R2 iz (t)
e(t)
(t)
e = 2e-t sin t Å"1 t V,
( )
u1(t)
(t)
iz = 2te-2t1 t A.
( )
Rys. 8.47a
RozwiÄ…zanie:
Poniewa\
do chwili t = 0 oba pobudzenia w układzie były równe zero, więc warunki
początkowe w układzie są zerowe. Operatorowy schemat zastępczy dla czasów t e" 0
przedstawiono na rys. 8.47.b, gdzie
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 44
2 2
(s) (t) (s) (t)
E = L e = , Iz = L iz = .
{ } { }
(s +1)2 +1 (s + 2)2
R1 L I(s)
Przy oznaczeniach takich
jak na rysunku, równania
Un1(s) Un2(s)
na napięcia węzłowe,
E(s) C1 C2 R2 Iz(s)
opisujące ten obwód mają
postać:
Rys. 8.47b
1 1 1
îÅ‚ Å‚Å‚
(s)
îÅ‚ E Å‚Å‚
sC1 + + -
ïÅ‚ śł
R1 sL sL
(s)Å‚Å‚ ïÅ‚ śł
R1
îÅ‚Un1 ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł = .
ïÅ‚ śł
1 1 1
(s)ûÅ‚ ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚Un2
- sC2 + + ïÅ‚I
(s)śł
z
ïÅ‚ sL R2 sL śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Po podstawieniu danych liczbowych z równań tych wyliczamy:
(s4 )
4 + 6s3 +14s2 +14s + 6
(s)
Un1 = ,
(s2 + 2s + 2)2 + 2
(s )3
(s4 )
4 + 4s3 + 8s2 +10s + 6
(s)
Un2 = .
(s2 + 2s + 2)2 + 2
(s )3
Poszukiwane wielkości są odpowiednio równe:
(s) (s), U2 (s) (s),
U1 = Un1 = Un2
(s) (s) (s )
Un1 -Un2 4 +1
(s)
I = = .
sL
(s2 + 2s + 2)2 + 2
(s )2
Po obliczeniu transformat odwrotnych ostatecznie otrzymujemy:
(t2 )e-2t
(t) (t )cost (t )sin
{[ ] }
u1 = - 2 + -1 t e-t + + 2t + 2 1 t V ,
( )
(t2 )e-2t
(t) (t )sin
{-[ ] }
u2 = t cost + - 3 t e-t + - 2t 1 t V ,
( )
(t) (-t )cost (t )e-2t
{[ ] }
i = +1 + sin t e-t - +1 1 t A .
( )
Warto zauwa\
yć, \
e w rozwiÄ…zaniach tych nie mo\
na wyró\
nić składowej swobodnej
i wymuszonej, jako \
e bieguny transformat pobudzeń pokrywają się z zerami wyznacznika
macierzy admitancji węzłowych (częstotliwościami własnymi obwodu).
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 45
Zad. 8.48.
Wyznaczyć prąd i(t), t e" 0, jaki popłynie w obwodzie przedstawionym na rys. 8.48. Czy
mo\
liwe jest rozró\
nienie składowej swobodnej i wymuszonej?
M
Dane:
L1 L2
R1 R2
R1 = R2 = R3 =1 &!,
i(t)
L1 = L2 = 2 H, M =1 H,
C
C = 3 F,
e1(t) e2(t)
1
2
(t)
e1 = 2t2e- t1 t V,
( )
R3
(t)
e2 = 2 îÅ‚1 t -1 t - 4 Å‚Å‚ V.
( ) ( )ûÅ‚
ðÅ‚
Rys. 8.48.
Wynik:
1 1 2
-2(t-4) 1(t-4)
2 3 3 3 3
îÅ‚ )e- t [e - e- ]1(t - 4) A.
(6t2
(t)
i = 2 - 24t + 432 -143e- t - 289e- t Å‚Å‚1 t + 2
ðÅ‚ ûÅ‚ ( )
Rozró\
nienie składowej swobodnej i wymuszonej nie jest mo\
liwe.
Zad. 8.49.
Wyznaczyć napięcie u(t) i prąd i(t), t e" 0, w układzie przedstawionym na rys. 8.49. Je\
eli to
mo\
liwe, wyró\
nić w otrzymanych rozwiązaniach składowe swobodne i wymuszone.
L
i(t)
Dane:
R1 = R2 = R3 = 1 &!,
C1 C2
1
C1 = C2 = F,
2
L = 2 H,
iz1(t) R1 u(t) R2 R3 iz2(t)
(t)
iz1 = 1 t ,
( )
(t)
iz2 = sin t Å"1 t .
( )
Rys. 8.49.
Wynik:
2
7 1
3
îÅ‚39 Å‚Å‚
(t) (2cost + 3sin t)ûÅ‚1 t V ,
u = e- t +
( )
ðÅ‚ 13
Składowa Składowa
swobodna wymuszona
1 1
(t) îÅ‚- 10 (9cost - 7sin t)e-t + 1 (2cost - sin t) Å‚Å‚1 t A .
i = +
( )
ðÅ‚ 5 2 ûÅ‚
Składowa swobodna Składowa wymuszona
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 46
Zad. 8.50.
Wyznaczyć prąd i(t), t e" 0, w układzie przedstawionym na rys. 8.50. Je\
eli to mo\
liwe,
wyró\
nić w otrzymanym rozwiązaniu składową swobodną i wymuszoną.
R4
i(t)
Dane:
R1 = 1 &!, R2 = 1 &!, R3 = 2 &!,
C
L1 L2
R3
R4 = 1 &!, C = 2 F,
1
L1 = H, L2 = 1 H,
2
e1(t) e2(t)
R1 R2
(t)
e1 = 18t2e-t1 t V,
( )
(t)
e2 = 9e-t cost Å"1 t V.
( )
Rys. 8.50.
Wynik:
8 115 99 27
îÅ‚
(t)
i = 4t3 + 7t2 + t - - cost + sin t e-t +
( )
3 9 26 26
ðÅ‚
7
26 4477 26 26
22955
3
+ cos t - sin t e- t Å‚Å‚1 t A.
( ) ( )
1638 7 1638 7
ûÅ‚
Rozró\
nienie składowej swobodnej i wymuszonej nie jest mo\
liwe, poniewa\
zera
wyznacznika macierzy admitancji węzłowych (częstotliwości własne obwodu) i bieguny
transformaty pobudzenia pokrywajÄ… siÄ™.
Zad. 8.51.
Wyznaczyć napięcie u(t), t e" 0, w układzie przedstawionym na rys. 8.51. Je\
eli to mo\
liwe,
wyró\
nić w otrzymanym rozwiązaniu składową swobodną i wymuszoną.
R5
Dane:
C1 C2 R2
R1
R1 = 2 &!, R2 = 1 &!, R3 = 1 &!,
R4 = 1 &!, R5 = 1 &!,
C1 = 1 F, C2 = 1 F,
iz(t)
e(t) R3 u(t) R4
(t)
e = sin 2t Å"1 t V,
( )
(t)
iz = sin t Å"1 t A.
( )
Rys. 8.51.
Wynik:
1
99 2 1
4
îÅ‚- 1105 Å‚Å‚
(t) (cos ) (cost + 4sin t)ûÅ‚1 t .
u = e- t + 2t + 8sin 2t +
( )
ðÅ‚ 65 17
Składowa
Składowa
swobodna
wymuszona
(przejściowa)
(ustalona)
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 47
Zad. 8.52.
Wyznaczyć prąd i(t), t e" 0, w układzie przedstawionym na rys. 8.52. Wyró\
nić w uzyskanym
rozwiązaniu składową swobodną i wymuszoną. Przy rozwiązywaniu zadania proponujemy
skorzystać z twierdzenia Thévenina.
R1 R3
Dane:
i(t)
1
R1 = 1 &!, R2 = &!, R3 = 2 &!,
3
R2
1
C = F, L = 1 H,
3
e(t) iz(t)
C
(t)
e = 12Å"1 t V,
( )
L
(t)
iz = 8te-2t1 t A.
( )
Rys. 8.52.
Wynik:
3 3
îÅ‚2
(t) (6t )e-2t Å‚Å‚1 t A.
i =
(-9cos t + 3 sin t e-t + 9 + + 9
) ( )
3 3
ðÅ‚ ûÅ‚
Składowa
Składowa
wymuszona
swobodna
Zad. 8.53.
Wyznaczyć prąd i(t), t e" 0, w układzie przedstawionym na rys. 8.53. Przy rozwiązywaniu
zadania proponujemy skorzystać z twierdzenia Thévenina. Czy mo\
liwe jest rozró\
nienie
składowej swobodnej i wymuszonej?
R1 L
Dane:
i(t)
C R1 = 10 &!, R2 = 20 &!, R0 = 20 &!,
e(t) R0
C = 5Å"10-3 F,
R2
L = 1 H,
(t)
e = 6t2e-15t1 t V.
( )
Rys. 8.53.
Wynik:
(t)
i = t3e-15t1 t A.
( )
Rozró\
nienie składowej swobodnej i wymuszonej nie jest mo\
liwe, poniewa\

częstotliwości własne obwodu i bieguny transformaty pobudzenia pokrywają się.
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 48
Zad. 8.54.
Wyznaczyć napięcie u(t), t e" 0, w układzie przedstawionym na rys. 8.54. Je\
eli to mo\
liwe,
wyró\
nić w otrzymanym rozwiązaniu składową swobodną i wymuszoną. Proponujemy
wykorzystać twierdzenie o superpozycji.
L2 R
Dane:
R = 1 &!,
C1 iz(t)
L1 = 2 H, L2 = 1 H,
1
C1 = F, C2 = 2 F,
3
e(t) u(t)
L1 C2 (t)
e = 5cost Å"1 t V,
( )
(t)
iz = 5t sin t Å"1 t A.
( )
Rys. 8.54
Wynik:
1
1 1 1 1
2
(t ) (5t )cost (10t )sin
[ ]
u = - 7 cos t + 31sin t e- t + +12 + + 9 t e-t - cost + 2sin t 1 t V.
( )
{ ( ) }
5 2 2 5
Składowa swobodna Składowa wymuszona
Zad. 8.55.
W obwodzie przedstawionym na rys. 8.55a klucz K został zwarty w chwili t = 0.
Pobudzeniem e(t) jest przebieg okresowy, którego wykres przedstawiono na rys. 8.55b.
Wyznaczyć przebieg napięcia u(t) na rezystorze R dla czasów t e" 0. Wyró\
nić w rozwiązaniu
składową przejściową i ustaloną. Zakładamy, \
e przed zwarciem klucza kondensator C nie
był naładowany (warunek początkowy jest zerowy).
K
e(t)
[V]
t = 0 C
Dane:
1
u(t)
e(t) R = 2 &!,
R
t
C = 1 F.
1 2 3 4 5 6 7 [s]
Rys. 8.55a Rys. 8.55b
RozwiÄ…zanie:
Poniewa\
warunki początkowe w układzie są zerowe, transformatę napięcia u(t) mo\
emy
wyliczyć z prostego dzielnika, czyli
sCR s
(s) (s) (s)
U = E = E .
1
sCR +1 s +
2
Pobudzenie e(t) jest funkcją okresową o okresie T = 3, zatem jego transformata ma postać:
(s)
ET s - e-s + e-2s
(s) (s)
E = , gdzie ET = .
1- e-3s s2
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 49
Ostatecznie, po podstawieniu, otrzymujemy
s - e-s + e-2s
(s) (s) (s)
U = = Up +Uu ,
1
(1- )
s + s e-3s
( )
2
gdzie Up(s) i Uu(s) są odpowiednio transformatami składowej przejściowej i ustalonej
poszukiwanego napięcia. W celu rozdzielenia tych składowych dokonamy następujących
przekształceń. Wychodzimy z następującej oczywistej to\
samości, prawdziwej dla dowolnej
wartości A:
(1-
A s - e-s + e-2s A A s A) - e-s + e-2s + sAe-3s
(s)
U = + - = + .
1
1 1
s + (1- ) (1- )
s + s e-3s s + 1 s + 1 s + s e-3s
( ) ( )
2 2 2
2 2
Podstawmy
1
2
1
îÅ‚ (s)ûÅ‚ 1+ 2e - 2e
Å‚Å‚
A = lim s + U = (")
( )
3
ðÅ‚
2
s-1 2
2 1- e
i wówczas
1
2
(s)
2e - 2e -1 U1
(s)
U = + , ("")
3
1
2
(e -1) 1- e-3s
s +
( )
2
1 3 3 3 1
-s -2s -3s
2 2 2 2 2
(2e ) (e )e (e )e (2e )e
-s - 2e - e - -1 + -1 + s - 2e -1
(s)
gdzie U1 = .
3
2 1
(e -1)s s +
( )
2
Obliczmy u1(t), transformatÄ™ odwrotnÄ… funkcji U1(s).
1 3
2 2
1 1
2e - 2e - e
2
[1- 2
]1(t )
(t) (s)
u1 = L-1 U1 = - e- t1 t 2 e- (t-1) -1 +
{ } ( )-
3
2
e -1
1
2
1 1
(t-3
)
2 2
[1- ]1(t ) 2e - 2e -1 e- 1(t - 3).
+ 2 e- (t-2) - 2 +
3
2
e -1
Wykres funkcji u1(t) przedstawiono na rys. 8.55c. Jak widać, jest ona ró\
na od zera jedynie
w przedziale 0 d" t d" 3, a więc drugi
u1(t)
składnik w wyra\
eniu ("") jest
e3 2 + 2e1 2 - 2e
transformatÄ… funkcji okresowej.
Poniewa\
transformata odwrotna e3 2 -1
pierwszego składnika zanika do
zera przy rosnącym t, więc
e + 2 - 2e1 2
pierwszy składnik wyra\
enia ("")
e3 2 -1
jest składową przejściową reakcji,
a drugi  składową ustaloną. Rea-
2e - 2e1 2 -1
1 2 3 t
-
sumując  pokazaliśmy, \
e dla A
e3 2 -1
określonego zale\
nością (") mamy:
A
(s)
Up = ,
2e3 2 - 2e - e1 2
1
s +
-
2
e3 2 -1
(s)
UuT
(s) Rys. 8.55c
Uu = ,
1- e-3s
gdzie:
(s) (s)
UuT = U1 .
Tak więc wykres na rys. 8.55c jest wykresem pierwszego okresu składowej ustalonej reakcji,
czyli u1(t) = uuT(t).
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 50
Składowa ustalona uu(t) jest funkcją okresową o okresie T = 3, więc znajomość jej
przebiegu w przedziale 0 d" t d" 3 wystarcza do jej jednoznacznego wyznaczenia na całej półosi
czasu t e" 0. Rozpatrzmy przypadek, kiedy układ jest pobudzany pojedynczym impulsem,
równym pobudzeniu e(t) w pierwszym okresie. Transformata Laplace a tego impulsu jest
równa ET(s), a transformata reakcji układu
sCR s s - e-s + e-2s s - e-s + e-2s
(s) (s)
2
U = ET = = .
1 1
sCR +1 s + s s +
s2
( )
2 2
(t) (s) (t)
2 2
Jest oczywiste, \
e u = L-1 U a" u w przedziale czasu 0 d" t d" 3 (ale nie poza tym
{ }
przedziałem!), co wynika bezpośrednio z warunku przyczynowości układu. Tak więc
(t) (t) (t)
2
u = up + uuT ,
Å„Å‚ üÅ‚
A
ôÅ‚
(t) (t) (t) (s)
2 2
czyli uuT = u - up = L-1 ôÅ‚U - , dla 0 d" t d" 3,
òÅ‚ żł
1
s +
ôÅ‚ ôÅ‚
ół 2 þÅ‚
gdzie A jest określone wzorem ("). Po podstawieniu odpowiednich zale\
ności otrzymujemy:
1
2
A s - e-s + e-2s 1+ 2e - 2e
(s)
2
U - = - =
3
1 1
1
2
s + s s + (1- e )
( )
s +
( )
2 2
2
3 1
2 2
e + 2e - 2e 1 e-s e-2s
= - + ,
3
1 1 1
2
s + s s + s s +
e -1 ( ) ( )
2 2 2
a po obliczeniu transformaty odwrotnej
3 1
2 2
Å„Å‚e + 2e - 2e t
1 1 1
2
[1- 2
]1(t ) [1- 2
]1(t )
e- 1 t 2 e- (t-1) -1 + 2 e- (t-2) - 2 , dla t d" 3
( )-
ôÅ‚
3
2
(t)
uuT = e -1
òÅ‚
ôÅ‚
ół0, dla t > 3.
Jak mo\
na się łatwo przekonać otrzymana funkcja jest identyczna z wyliczoną
(t ),
poprzednio funkcją u1 której wykres przedstawiono na rys. 8.55c. Przedstawiony wariant
metody wyznaczania składowej ustalonej jest prostszy rachunkowo, jednak otrzymana postać
(t)
funkcji uuT nie zawsze jest wygodna, gdy\
wymaga  ręcznego jej ograniczenia do
przedziału t d" 3. Wykresy napięcia u(t) oraz jego składowych up(t) i uu(t) przedstawiono na
rys. 8.55d.
u(t)
[V]
u(t)
uu(t)
up(t)
1
0,5
t
[s]
1 2 3 4 5 6 7 8
 0,5
Rys. 8.55d
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 51
Zad. 8.56.
W obwodzie przedstawionym na rys. 8.56a klucz K został zwarty w chwili t = 0.
Pobudzeniem e(t) jest przebieg okresowy, którego wykres przedstawiono na rys. 8.56b.
Wyznaczyć składową przejściową i ustaloną napięcia u(t) dla czasów t e" 0. Zakładamy, \
e
przed zwarciem klucza w obwodzie panował stan ustalony.
K
R1 e(t)
Dane:
[V]
R1 = R2 = 2 &!,
t = 0
1
C = 2 F.
e(t)
C R2 u(t)
t
1 2 3 4 5 6 7 8
[s]
Rys. 8.56a Rys. 8.56b
Wynik:
1
3
2
e - 1
2
2
(t)
up = - e- t1 t V,
( )
e2 -1
natomiast uu(t) jest przebiegiem okresowym, który w pierwszym okresie jest równy
1
3
Å„Å‚ 2
ëÅ‚ öÅ‚
e2 - e 1 1
1 3 2 1
2 2
îÅ‚
(t )
ôÅ‚ - t + - e- t 1 t + -1 -1+ e- (t-1) Å‚Å‚1 t -1 V, dla t d" 4,
÷Å‚ ( ) ( )
ôÅ‚ìÅ‚ 2 2
ðÅ‚ 2 ûÅ‚
(t)
uuT = e2 -1 Å‚Å‚
òÅ‚íÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół0, dla t > 4.
uu(t)
[V]
Wykres składowej ustalonej
poszukiwanego napięcia uu(t)
0,1102
przedstawiono na rys. 8.56c.
0,02327
t
[s]
0,7796 4 8
Rys. 8.56c
Zad. 8.57.
W obwodzie przedstawionym na rys. 8.57a klucz K został rozwarty w chwili t = 0.
Pobudzeniem iz(t) jest przebieg okresowy, którego wykres przedstawiono na rys. 8.57b.
Wyznaczyć składową przejściową i ustaloną napięcia u(t) dla czasów t e" 0. Zakładamy, \
e
przed zwarciem klucza w obwodzie panował stan ustalony.
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 52
iz(t)
[A]
L Dane:
1
K
R1 = 4 &!,
R1
iz(t) u(t)
t = 0
R2 = 1 &!,
R2
t
L = 1 H.
[s]
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Rys. 8.57a Rys. 8.57b
Wynik:
1
2
16 e -1
(t)
up = e-5t1 t V,
( )
5 e -1
natomiast uu(t) jest przebiegiem okresowym, który w pierwszym okresie jest równy
1
Å„Å‚
îÅ‚ 2 Å‚Å‚
(e )
4 4 - e 4
[1+ ]1(t )
ôÅ‚ 1+ e-5t 1 t
śł ( )- 4e-5(t-0,1) - 0,1 V, dla t d" 0, 2,
ôÅ‚5 ïÅ‚
(t)
uu = ðÅ‚ e -1 ûÅ‚ 5
òÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół0, dla t > 0, 2.
uu(t)
[V]
2,792
Wykres składowej ustalonej
poszukiwanego napięcia uu(t)
2,008
przedstawiono na rys. 8.57c
t
[s]
0,4
0,1 0,2 0,3
 1,208
 1,992
Rys. 8.57c
Zad. 8.58.
W obwodzie przedstawionym na rys. 8.58a pobudzeniem jest przebieg okresowy e(t), którego
wykres przedstawiono na rys. 8.58b. Zakładamy, \
e klucz K został zwarty w chwili t = 0,
a przed jego zwarciem w obwodzie panował stan ustalony. Wyznaczyć składową przejściową
i ustaloną prądu i(t) dla czasów t e" 0.
K
R1 Dane:
i(t)
e(t)
R1 =1&!,
[V]
t = 0
1
R2 = 2 &!,
e(t)
R2 C
1
C = F.
2
t
[s]
1 2 3 4 5 6 7
Rys. 8.58a
Rys. 8.58b
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 53
Wynik:
1- 2e3 + e6
(t)
ip = e-3t ,
(e9 )
3 -1
natomiast składowa ustalona iu(t) jest przebiegiem okresowym, który w pierwszym okresie
jest równy
Å„Å‚1 e9 + e6 - 2e3
ëÅ‚ öÅ‚
2 1
[1- ]1(t ) [1- ]1(t )
e-3t ÷Å‚1 t
( )- e-3(t-1) -1 + e-3(t-2) - 2 A, dla t d" 3,
ôÅ‚3 ìÅ‚1-
3 3
(t)
iuT = íÅ‚ e9 -1 Å‚Å‚
òÅ‚
ôÅ‚
ół0, dla t > 3.
iu(t)
[A]
0,316
Wykres składowej ustalonej
1,222
poszukiwanego prÄ…du iu(t)
przedstawiono na rys. 8.58c.
2 5
t
[s]
1
4 7
 0,015 3 6
0,0147
 0,301
Rys. 8.58c
Zad. 8.59.
W obwodzie przedstawionym na rys. 8.59a klucz K został zwarty w chwili t = 0.
Pobudzeniem e(t) jest wyprostowany jednopołówkowo przebieg sinusoidalny, którego wykres
przedstawiono na rys. 8.59b. Wyznaczyć składową przejściową i ustaloną napięcia u(t) dla
czasów t e" 0. Zakładamy, \
e przed zwarciem klucza w obwodzie panował stan ustalony.
e(t)
K
R1
[V]
1
Dane:
t = 0
R1 = 1 &!,
e(t) u(t)
R2 C
R2 = 2 &!,
t
C = 4 F.
Ä„ 2Ä„ 3Ä„ 4Ä„ [s]
Rys. 8.59a Rys. 8.59b
Wynik:
3
16 1
8
(t)
up = - e- t1 t V,
( )
3
Ä„
8
73
e -1
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 54
natomiast składowa ustalona uu(t) jest przebiegiem okresowym, który w pierwszym okresie
jest równy
3
Ä„
Å„Å‚ 8
ëÅ‚ öÅ‚
3
2 8e
8
e- t - 8cost + 3sin t t +
ôÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚1
( )
3
Ä„
8
íÅ‚ Å‚Å‚
ôÅ‚73 e -1
ôÅ‚
(t)
uuT = 3
(t-Ä„
)
òÅ‚+ 2 îÅ‚8e-8 - 8cos - Ä„ + 3sin - Ä„ Å‚Å‚ t - Ä„ V, dla t d" 2Ä„,
(t ) (t )ûÅ‚1
ðÅ‚ ( )
ôÅ‚
73
ôÅ‚
ôÅ‚0, dla t > 2Ä„.
ół
uu(t)
[V]
0,3496
Wykres składowej ustalonej
poszukiwanego napięcia uu(t)
przedstawiono na rys. 8.57c
0,0975
0,0949
t
2Ä„ 4Ä„ [s]
0,1428 2,5895
Rys. 8.59c
Zad. 8.60.
W obwodzie przedstawionym na rys. 8.60a klucz K został zwarty w chwili t = 0.
Pobudzeniem jest przebieg okresowy iz (t), którego wykres przedstawiono na rys. 8.60b.
Obliczyć, jakie powinno być początkowe napięcie na kondensatorze uC(0 ) aby składowa
przejściowa napięcia u(t) była równa zero.
uC(0 )
iz(t)
[A]
Dane:
1
R1 = 1 &!,
C
iz(t)
R1 R2 u(t)
R2 =1 &!,
t
1
[s]
1 2 3 4 5 C = F.
2
Rys. 8.60a Rys. 8.60b
Wynik:
e -1
uC 0- )
= H" 0, 4621 V.
(
e +1
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 55
8.3. Analiza obwodów SLS
Zad. 8.61.
W obwodzie przedstawionym na rys. 8.61. klucz K znajdował się przez nieskończenie długi
czas w pozycji A. W chwili t = 0 klucz ten został przełączony do pozycji B, a następnie,
w chwili t = 1 z powrotem do pozycji A. Wyznaczyć napięcie u(t) dla czasów t e" 0.
Ä… i1(t)
Dane:
t = 0
B
R1 R2
R1 = 2 &!, R2 = 2 &!,
K
i1(t)
A L1 = 4 H, L2 = 3 H, M = 2 H,
M
t = 1
E0
u(t) Ä… = 2,
L1 L2
E0 = 5 V = const.
Rys. 8.61a
RozwiÄ…zanie:
Z analizy działania klucza wynika, \
e pobudzeniem układu jest przebieg
(t )
e = E0 îÅ‚1 t -1 t -1 Å‚Å‚ ,
( ) ( )ûÅ‚
ðÅ‚
którego transformatą jest
1- e-s
(s)
E = E0 .
s
Wyznaczenie warunków początkowych w obwodzie SLS jest nieco bardziej
skomplikowane ni\
w układach nie zawierających z
ródeł sterowanych. Wprawdzie do chwili
t = 0 pobudzenie obwodu było zerowe, ale nie gwarantuje to, w odró\
nieniu od układów
zło\
onych tylko z elementów
Ä… R2I1(s)
RLC, \
e prądy i napięcia
R1 R2
w układzie będą zerowe. Ma to
I1(s) I2(s)
związek ze ścisłą stabilnością
układu. Zagadnieniem tym
L1 L2
zajmiemy siÄ™ bardziej
E(s)
U(s)
Im2(s)
szczegółowo w rozdziale 8.4.
Im1(s)
Obecnie zało\
ymy, \
e warunki sMI1(s)
sMI2(s)
poczÄ…tkowe sÄ… zerowe (czyli
zało\
ymy ścisłą stabilność
układu), a prawdziwość tego
Rys. 8.61b
zało\
enia trzeba będzie
zweryfikować po rozwiązaniu
obwodu.
Operatorowy schemat zstępczy obwodu dla czasów t e" 0 przedstawiono na rys. 8.61b.
Przy wyborze zbioru oczek liniowo niezale\
nych (i ich orientacji) takim, jak pokazano na
rysunku, obwód ten mo\
na opisać następującym układem równań na prądy oczkowe:
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 56
(s)Å‚Å‚ (s)Å‚Å‚
sL1 + R1 -sM + R1 îÅ‚Im1 îÅ‚E
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł = ïÅ‚ śł ,
(s)ûÅ‚ (s)ûÅ‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚-sM + R1 -Ä… R2 sL2 + R1 + R2 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚Im2 ðÅ‚E
a po podstawieniu danych
îÅ‚
1- e-s Å‚Å‚
ïÅ‚5 s śł
(s)
4s + 2 -2s + 2 îÅ‚Im1 Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł = .
ïÅ‚ śł
(s)ûÅ‚ ïÅ‚ e-s śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚-2s - 2 3s + 4 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚Im2
ïÅ‚51- śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ s ûÅ‚
Z równań tych wyliczamy prądy oczkowe Im1(s) i Im2(s), a następnie
5s + 5
(s) (s) (s) (1- e-s )
U = sL2Im2 - sMIm1 = .
3
(s + 2)
s +
( )
4
Po obliczeniu transformaty odwrotnej otrzymujemy:
3
-2(t-1) 3(t-1)
4
(4e-2t )1(t) [4e + e- 4
]1(t -1) V.
(t)
u = + e- t -
Na zakończenie nale\
y jeszcze zweryfikować poczynione zało\
enie dotyczące warunków
3
początkowych. Częstotliwościami własnymi obwodu są s1 = -2 i s2 = - , czyli liczby
4
le\
ące w lewej półpłaszczyz
nie s, co oznacza, \
e rozpatrywany układ jest stabilny w sensie
BIBO, a to oznacza, \
e przy zerowym pobudzeniu po dostatecznie długim czasie wszystkie
prądy i napięcia w obwodzie są równe zero. Tak więc zało\
enie, \
e warunki poczÄ…tkowe dla
t = 0 były zerowe było zało\
eniem poprawnym. Do podobnego wniosku mo\
na równie\

dojść na podstawie otrzymanego rozwiązania  wszystkie składniki u(t), w miarę upływu
czasu, zanikajÄ… do zera.
Zad. 8.62.
Wyznaczyć napięcie u(t) dla czasów t e" 0, występujące w obwodzie przedstawionym na
rys. 8.62.
Ái(t) Dane:
R1 R2
i(t)
R1 =1 &!, R2 = 2 &!,
R3 =1 &!, Á = 2 &!,
C1 =1 F, C2 =1 F,
iz(t)
C1 L C2 R3 u(t)
1
L = H,
2
(t)
iz = 1 t A.
( )
Rys. 8.62.
Wynik:
6 1
3 3
65 1 2
îÅ‚ 5 2 Å‚Å‚1 t V.
(t)
u = e- t - e- t cos t -17 3 sin t
( )- ( )
93 31 2 2 3
ðÅ‚ ûÅ‚
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 57
Zad. 8.63.
Wyznaczyć napięcie u0(t), t e" 0, występujące w obwodzie przedstawionym na rys. 8.63.
Á i(t)
L
Dane:
Å‚u(t)
R1
i(t) 1
R1 = 1 &!, R2 = &!,
2
C = 1 F, L = 1 H,
e(t) u(t) C R2 u0(t)
Å‚ = 2 S, Á = 6 &!,
(t)
e = 5te-t1 t V.
( )
Rys. 8.63.
Wynik:
1
2
îÅ‚42e- t + 3e-3t -15 + 3 Å‚Å‚1 t V.
(t) (t )e-t ûÅ‚
u0 =
ðÅ‚ ( )
Zad. 8.64.
Wyznaczyć napięcie u0(t), t e" 0, w obwodzie przedstawionym na rys. 8.64a, je\
eli
pobudzeniem jest przebieg impulsowy e(t), którego wykres przedstawiono na rys. 8.64b.
R3
e(t)
C1 C3
R2
[V]
Dane:
1
3
R1 = 2 &!, R2 = &!,
2
C2
t
R3 = 1&!, R4 =1 &!,
1 2
² u(t) [s]
e(t)
R4 u0(t)
u(t) R1
C1 = C2 = C3 =1 F,
 3
² =1.
Rys. 8.64a
Rys. 8.64a
Wynik:
6 6
(t)
u0 = e-t 1+ 2cos t - 6 sin t 1 t +
( ) ( )
2 2
6 6
Å‚Å‚
(t ) (t )ûÅ‚1
- 2e-(t-1) îÅ‚1+ 2cos -1 - 6 sin -1 t -1 +
( )
ðÅ‚ 2 2
6 6
Å‚Å‚
(t ) (t )ûÅ‚1
+ e-(t-2) îÅ‚1+ 2cos - 2 - 6 sin - 2 t - 2 V.
( )
ðÅ‚ 2 2
Zad. 8.65.
W obwodzie przedstawionym na rys. 8.65. klucze K1 i K2 przez nieskończenie długi czas
znajdowały się w poło\
eniu A. W chwili t = 0 klucz K1 został przełączony do pozycji B.
Następnie w chwili t = 1 klucz K1 został z powrotem przełączony do pozycji A, natomiast
klucz K2 został przełączony do pozycji B. Wyznaczyć prąd i(t) oraz napięcie u(t) dla czasów
t e" 0.
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 58
L
i(t)
t = 0 t = 1
B
B
Dane:
K1 K2
R = 5 &!, Á = 3 &!,
A A
C1 C2
t = 1
1 1
C1 = F, C2 = F,
2 5
e0(t)
L = 1 H,
iz0(t)
Ái(t)
R u(t)
(t)
e0 = sin Ä„t V,
(t)
iz0 = cos 2Ä„t A.
Rys. 8.65.
Wynik:
(t) îÅ‚e-2t
i = (0,1534cost - 0, 2918sin t) - 0,1534cos Ąt + 0,1906sin Ątłł1 t +
( )
ðÅ‚ ûÅ‚
(t ) (t ) (t ) (t )
+{e-2(t-1) [0, 2481cos -1 - 0,5361sin -1 ]- 0,1534cos Ä„ -1 + 0,1906sin Ä„ -1 +
(t ) (t )
-0,09470cos 2Ä„ -1 + 0,06903sin 2Ä„ -1 }1 t -1 A,
( )
(t) îÅ‚e-2t
u = (0,5986cost - 0, 4302sin t) - 0,5986cos Ąt + 0,5180sin Ątłł1 t +
( )
ðÅ‚ ûÅ‚
(t ) (t ) (t ) (t )
+{e-2(t-1) [1,032cos -1 - 0,8238sin -1 ]- 0,5986cos Ä„ -1 + 0,5180sin Ä„ -1 +
(t ) (t )
-0, 4337 cos 2Ä„ -1 - 0,5950sin 2Ä„ -1 }1 t -1 V.
( )
Zad. 8.66.
W obwodzie pokazanym na rys. 8.66. klucz K znajdował się przez nieskończenie długi czas
w pozycji A. W chwili t = 0 klucz ten został przełączony do pozycji B, a następnie, w chwili
t = 3, z powrotem do pozycji A. Wyznaczyć przebieg napięcia u(t) dla czasów t e" 0.
t = 0 Dane:
B R2
i(t) R1
L1 = 3 H, L2 = 6 H,
K
A
M = 4 H, R1 = 3 &!,
t = 3
M
E0
R2 = 2 &!, R3 = 4 &!,
L1 L2 Ä… i(t) R3 u(t)
Ä… = 2,
E0 = 3 V = const.
Rys. 8.66.
Wynik:
1
îÅ‚8
(t)
u = - e-t (8cos 2 2 t - 34sin 2 2 t)Å‚Å‚1 t +
( )
3 ðÅ‚ ûÅ‚
1
(t ) (t )Å‚Å‚
- { - e-(t-3) îÅ‚8cos 2 2 - 3 - 34sin 2 2 - 3 1 t - 3 V.
8 } ( )
ðÅ‚ ûÅ‚
3
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 59
Zad. 8.67.
W obwodzie przedstawionym na rys. 8.67. klucz K znajdował się przez nieskończenie długi
czas w poło\
eniu A. W chwili t = 0 klucz ten został przełączony do pozycji B, a następnie,
w chwili t = 2Ą, z powrotem do pozycji A. Obliczyć przebieg napięcia u(t) dla czasów t e" 0.
C
i1(t)
Dane:
1 3
t = 0
R1 = &!, R2 = &!,
2 2
B
R1 i2(t) R2
1
K
C = F,
3
e0(t) A
t = 2Ä„
Ä… = 2, Á = 3 &!,
Á i2(t)
u(t)
Ä… i1(t)
(t)
e0 = 13sin t V.
Rys. 8.67.
Wynik:
-5(t-2Ä„)
(-e-5t )1 [-e + cost + 8sin t]1(t - 2Ä„) V.
(t)
u = + cost + 8sin t t
( )-
Zad. 8.68.
W obwodzie przedstawionym na rys. 8.68. klucz K znajdował się przez nieskończenie długi
czas w poło\
eniu A. W chwili t = 0 klucz ten został przełączony do pozycji B, a następnie,
w chwili t = 1, z powrotem do pozycji A. Obliczyć przebieg prądu i(t) dla czasów t e" 0. Czy
do rozwiÄ…zania tego zadania mo\
na zastosować twierdzenie Thévenina lub Nortona?
C
R2
i(t)
L
R1
Dane:
B
t = 0
R1 = 2 &!, R2 = 1 &!,
K
1
C = F, L = 2 H,
A
t = 1
Á i(t)
Å‚ u(t) 2
u(t)
1
Å‚ = S, Á = 3 &!,
iz0(t)
4
(t)
iz0 = t A.
Rys. 8.68.
Wynik:
(1- )1 îÅ‚1+ Å‚Å‚
(t) (t )ûÅ‚1
i = 2 e-t cost t 2 e-(t-1) sin -1 t -1 A.
( )-
ðÅ‚ ( )
Twierdzenia Thévenina (Nortona) w tym przypadku nie mo\
na zastosować, poniewa\
nie
istnieje układ równowa\
ny Thévenina (Nortona) obwodu z odÅ‚Ä…czonÄ… gaÅ‚Ä™ziÄ… R2C
(dlaczego?).
Zad. 8.69.
W obwodzie przedstawionym na rys. 8.69. klucz K znajdował się przez nieskończenie długi
czas w poło\
eniu A. W chwili t = 0 klucz ten został przełączony do pozycji B. Obliczyć
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 60
przebieg napiÄ™cia u(t) dla czasów t e" 0. Proponujemy zastosować twierdzenie Thévenina lub
Nortona.
Á i(t)
t = 0
L
B
R1
K
Dane:
A
i(t)
R1 = 10 &!, R2 = 2 &!,
e0(t)
1
L = 1 H, C = F,
C R2 u(t)
20
Á = 2 &!,
(t)
e0 = 50cos 2t V.
Rys. 8.69.
Wynik:
(t ) [-e-2t cos 4t + 24sin 4t + 47 cos 2t +11sin 2t 1 t V.
(7 ) ]
u =
( )
Zad. 8.70.
W obwodzie przedstawionym na rys. 8.70. klucz K znajdował się przez nieskończenie długi
czas w poło\
eniu A. W chwili t = 0 klucz ten został przełączony do pozycji B. Wyznaczyć
napięcie u(t) dla czasów t e" 0. Proponujemy rozwa\
yć mo\
liwość zastosowania twierdzenia
Thévenina lub Nortona.
A
iz0(t)
K
Dane:
t = 0
B
R1 = 1 &!, R2 = 2 &!,
C
R2
1
L = 2 H, C = F,
2
i(t)
Á = 2 &!,
Á i(t)
R1 L u(t)
(t)
iz0 = 4sin t A.
Rys. 8.70.
Wynik:
1
3
(e-t )1(t)
(t)
u = - 3e- t + 2cost + 8sin t V.
Zad. 8.71.
W obwodzie przedstawionym na rys. 8.71. klucz K znajdował się przez nieskończenie długi
czas w poło\
eniu A. W chwili t = 0 klucz ten został przełączony do pozycji B. Wyznaczyć
prądy i1(t) i i2(t) dla czasów t e" 0.
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 61
² u(t)
C2
i1(t)
M
R1
Dane:
R1 = 2 &!, R2 = 2 &!,
t = 0 L1 L2 i2(t)
A
L1 = 3 H, L2 = 1 H, M = 1 H,
K
B C1 = 1 F, C2 = 1 F,
u(t)
C1 R2
Iz0
² = 3,
Iz0 = 1 A = const.
Rys. 8.71.
Wynik:
1
1 1
2
îÅ‚6
(t) (t )e-t
i1 = + 2 - e- t 11cos t - sin t t A,
( )Å‚Å‚ ( )
2 2
ðÅ‚ ûÅ‚1
(t ) (1- )1
i2 = 2te-t t A.
( )
Zad. 8.72.
W obwodzie przedstawionym na rys. 8.72a klucz K był zwarty przez nieskończenie długi
czas. W chwili t = 0 klucz ten został rozwarty. Wyznaczyć napięcie u(t) dla czasów t e" 0.
L
Dane:
R1 = 1 &!, R2 = 1 &!,
i(t)
L = 1 H, C = 1 F,
K
iz0(t)
R1 C Ä… i(t)
R2 u(t)
Ä… = 1,
t = 0
(t)
iz0 = 20sin t A.
Rys. 8.72a.
RozwiÄ…zanie:
Rozwiązanie rozpoczynamy od wyznaczenia warunków początkowych. Poniewa\
do
chwili t = 0 pobudzenie w układzie jest zerowe, to warunki te będą zerowe. W układzie
wprawdzie znajduje siÄ™ z
ródło
L
sterowane, ale w czasie gdy klucz K
I(s)
jest zwarty, prÄ…d sterujÄ…cy to z
ródło
Un1(s)
jest równy zero, czyli jest ono
Un2(s)
Ä… I(s)
Iz(s) R1 R2
U(s)
wyłączone z układu. Operatorowy
C
schemat zastępczy obwodu dla czasów
t e" 0 przedstawiono na rys. 8.72b.
Rys. 8.72b
Układ równań na napięcia węzłowe,
opisujący ten obwód (przy wyborze napięć węzłowych tak, jak zaznaczono na rysunku oraz
20
(s) (t)1
Iz = L iz0 t = ) ma postać:
( )
{ }
s2 +1
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 62
1 1 1
îÅ‚ Å‚Å‚
+ -
ïÅ‚ śł
(s)Å‚Å‚ (s)Å‚Å‚
R1 sL sL îÅ‚Un1 îÅ‚Iz
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł = ïÅ‚ śł ,
ïÅ‚ śł
(s)ûÅ‚ 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
Ä… 1 1 1
ðÅ‚Un2 ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚ śł
- - sC + +
ïÅ‚ R1 sL R2 sL śł
ðÅ‚ ûÅ‚
a po podstawieniu danych
20
1 1 îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
1+ -
ïÅ‚
ïÅ‚ śł
(s)
îÅ‚Un1 Å‚Å‚
s s s2 +1śł
ïÅ‚ śł.
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł =
ïÅ‚
(s)ûÅ‚
ïÅ‚ śł
1 1śł ðÅ‚Un2 ïÅ‚ śł
0
ïÅ‚ -5 - s +1+ ïÅ‚ śł
śł
ðÅ‚ s s ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Z równań tych, po rozwiązaniu, otrzymujemy
(5s )
20 +1
(s) (s)
U = Un2 =
(s2 +1),
(s -1)(s + 3)
a po obliczeniu transformaty odwrotnej
(t) (15et )1
u = + 7e-3t - 22cost + 6sin t t V.
( )
Zwracamy uwagę na pierwszy ze składników otrzymanego rozwiązania, który nie zanika
do zera w miarę upływu czasu, ale nieograniczenie rośnie. W związku z tym w obwodzie nie
wystÄ…pi stan ustalony. Do podobnego wniosku mo\
na dojść na podstawie postaci
transformaty rozwiązania  jedną z częstotliwości własnych obwodu jest s = +1, a więc
wartość z prawej półpłaszczyzny zmiennej s, czyli układ nie jest stabilny w sensie BIBO.
Proponujemy zastanowić się jak będzie się zachowywał taki układ, je\
eli będzie zbudowany
z rzeczywistych elementów.
Uwa\
ny Czytelnik mo\
e mieć w tym momencie wątpliwości, czy, wobec niestabilności
układu, poprawne było zało\
enie zerowych warunków początkowych w chwili t = 0 .
Zwracamy jednak uwagÄ™, \
e przed rozwarciem klucza mieliśmy do czynienia z innym
układem (węzeł 1 i węzeł odniesienia były zwarte), który jest stabilny z powodów
wyjaśnionych na wstępie.
Zad. 8.73.
W obwodzie przedstawionym na rys. 8.73a klucz K był zwarty przez nieskończenie długi
czas. W chwili t = 0 klucz ten został rozwarty. Wyznaczyć napięcie u(t) dla czasów t e" 0.
Á i(t)
K
Dane:
L
R1
R1 = 1 &!, R2 = 4 &!,
i(t)
1
t = 0
L = 1 H, C = F,
4
e0(t)
C R2 u(t)
Á = 6 &!,
(t)
e0 = E0 = 10 V = const.
Rys. 8.73a
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 63
RozwiÄ…zanie:
W celu wyznaczenia warunków początkowych w obwodzie nale\
y zbadać, czy przy
rozwartym kluczu K wystąpi w obwodzie stan ustalony, czyli czy składowa przejściowa
zaniknie do zera. Inaczej mówiąc nale\
y zbadać, czy taki
Á I(s)
układ jest stabilny w sensie BIBO. Operatorowy schemat
zastępczy obwodu przed zwarciem klucza K
przedstawiono na rys. 8.73b (mo\
emy zało\
yć zerowe
Im2(s)
warunki poczÄ…tkowe, gdy\
nie mają one wpływu na
stabilność obwodu). Macierz impedancji oczkowych
L
R1
tego obwodu, przy wyborze oczek i ich orientacji takim
I(s)
jak pokazano na rysunku, ma postać:
R2
C
Im1(s)
1
îÅ‚sL + R2 + Å‚Å‚
-sL
ïÅ‚ śł
sC
(s)
Zm = ,
ïÅ‚ śł
Rys. 8.73b
ïÅ‚
-sL - Á sL + R1 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
a jej wyznacznik
LC R1 + R2 - Á s2 + R1R2C + L s + R1 -s2 + 8s + 4
( ) ( )
(s) (s)
" = det Zm = = .
sC s
Częstotliwościami własnymi obwodu są pierwiastki "(s), czyli s1 = 4 - 2 5 i s2 = 4 + 2 5 .
Układ nie jest stabilny w sensie BIBO, poniewa\
s2 > 0, a więc w układzie tym składowa
swobodna (wywołana dowolnymi niezerowymi warunkami początkowymi) nie będzie
zanikać do zera, czyli nie będzie
Á i(t)
w nim stanu ustalonego. Nie jest więc
mo\
liwe, przy tak sformułowanym
zadaniu, wyznaczenie warunków
K
L poczÄ…tkowych, czyli nie mo\
na
R1
t = 0
znalez
ć jednoznacznego rozwiązania
B
zadania. Nie oznacza to jednak, \
e
t = 0 K1
A
mamy do czynienia z układem
i(t)
e0(t) R2 u(t)
C nierozwiÄ…zalnym. Rozwa\
my układ
przedstawiony na rys. 8.73c. Dodano
w nim klucz K1, który synchronicznie
z kluczem K w chwili t = 0 został
Rys. 8.73c
przełączony z pozycji A do pozycji B.
Dla czasów t e" 0 obwody z rys. 8.73a i 8.73c są identyczne, ale dodatkowy klucz spowodował
wymuszenie zerowych warunków początkowych. W układzie tym rozwiązaniem jest
îÅ‚-
(t) ( ) ( )
u = 21+ 4 21 e-(5+ 21)t - 21- 4 21 e-(5- 21)t + 7Å‚Å‚1 t V.
( )
ðÅ‚ ûÅ‚
Warto tu zauwa\
yć, \
e składowa swobodna otrzymanego rozwiązania zanika do zera
w miarę upływu czasu, czyli układ o strukturze po przełączeniu kluczy jest układem
stabilnym w sensie BIBO.
Proponujemy znalez
ć inne modyfikacje układu z rys. 8.73a, które pozwolą wyznaczyć
jednoznacznie warunki początkowe (niekoniecznie zerowe). Na początek warto przyjrzeć się
układowi z zad. 8.69.
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 64
Zad. 8.74.
W obwodzie przedstawionym na rys. 8.74. klucz K był rozwarty przez nieskończenie długi
czas. W chwili t = 0 klucz ten został zwarty. Wyznaczyć napięcie u(t) dla czasów t e" 0.
Á i(t)
L1 Dane:
K
R1
i(t) R1 = 6 &!, R2 = 3 &!,
M
R2 u(t)
L1 = 5 H, L2 = 1 H, M = 2 H,
t = 0
e0(t) L2 Á = 9 &!,
(t)
e0 = 2sin 2t V.
Rys. 8.74.
Wynik:
3
(t ) [ (-8cos3t + 2sin 3t ) ]
u = e-3t + 8cos 2t -15sin 2t 1 t V.
( )
17
Zad. 8.75.
W obwodzie przedstawionym na rys. 8.75. klucz K był rozwarty przez nieskończenie długi
czas. W chwili t = 0 klucz ten został zwarty. Wyznaczyć napięcie u(t) dla czasów t e" 0.
C2
Dane:
K
1
R4 R3
R1 = &!, R2 = 2 &!,
2
1
R3 = 4 &!, R4 = &!,
t = 0
6
Å‚ u1(t) ² u2(t)
Iz0 R1 u1(t) R2 C1 u2(t) u(t)
C1 = C2 =1 F,
² = 3, Å‚ = 2 S,
I = 1 A = const.
Rys. 8.75.
Wynik:
47 2
t
117126 7696 24
2 9
(t)
u = e + e- t - 1 t V.
( )
( )
20069 1281 47
Warto zauwa\
yć, \
e układ nie jest stabilny  pierwszy składnik rozwiązania rośnie
nieograniczenie w miarę upływu czasu. Natomiast przed zwarciem klucza układ był stabilny.
Warto to sprawdzić przy okazji wyznaczania warunków początkowych.
Zad. 8.76.
W obwodzie przedstawionym na rys. 8.76. klucz K był rozwarty przez nieskończenie długi
czas. W chwili t = 0 klucz ten został zwarty. Wyznaczyć przebieg napięcia u(t) i prądu i(t)
dla czasów t e" 0.
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 65
K
R2 L
Dane:
t = 0 i(t)
R1 = 1 &!, R2 = 3 &!,
C
R1
1
C = F, L = 1 H,
2
Ä… = 3,
Ä… i(t)
E0 iz0(t) u(t)
E0 = 2 V = const,
(t)
iz0 = sin t A.
Rys. 8.76.
Wynik:
1 1
(t) îÅ‚- 13 (55cos 2t + 28sin 2t) (3cost +11sin t)
u = e-2t + + 2Å‚Å‚1 t V,
( )
ðÅ‚ 13 ûÅ‚
1
(t) [ (- ) ]
i = e-2t cos 2t +138sin 2t + cost -18sin t 1 t A.
( )
65
Zad. 8.77.
W obwodzie przedstawionym na rys. 8.77. klucz K był rozwarty przez nieskończenie długi
czas. W chwili t = 0 klucz ten został zwarty. Wyznaczyć przebieg napięcia u0(t) i prądu i(t)
dla czasów t e" 0.
Dane:
R4 L
i(t)
R1 = 2 &!, R2 = 1 &!,
K
R1 R2 R3
R3 = 1 &!, R4 = 4 &!,
1 1
C1 = F, C2 = F,
t = 0 4 4
Å‚ u(t)
e0(t) u(t) C1 C2 u0(t)
L = 1 H, Å‚ = 1S,
(t)
e0 = 13sin 2t V.
Rys. 8.77.
Wynik:
10 3
îÅ‚e-3t
(t)
u0 = 6cos 3t + sin 3t 6cos 2t + 4sin 2tłł1 t V,
( )-
( )
3
ðÅ‚ ûÅ‚
7 3
îÅ‚e-3t
(t)
i = cos 3t - sin 3t cos 2t + 5sin 2tłł1 t A.
( )-
( )
3
ðÅ‚ ûÅ‚
Zad. 8.78.
W obwodzie przedstawionym na rys. 8.78. klucz K był rozwarty przez nieskończenie długi
czas. W chwili t = 0 klucz ten został zwarty. Wyznaczyć napięcie u(t) dla czasów t e" 0.
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 66
K Dane:
R1 R2
i(t)
R1 = 2 &!, R2 = 3 &!,
1
M
R3 = 4 &!, C = F,
t = 0
2
L1 = 1 H, L2 = 5 H,
Ä… i(t)
e0(t) L1 L2 R3 u(t)
C
M = 2 H, Ä… = 10,
(t)
e0 = 10sin 5t V.
Rys. 8.78.
Wynik:
10 37 62 325
îÅ‚ Å‚Å‚
(t ) (4cos5t + sin 5t )ûÅ‚1 t V.
u = cost + sin t + e-20t 10
( )
( )-
401 3 3 17 51
ðÅ‚
Zwracamy uwagÄ™, \
e układ nie jest stabilny w sensie BIBO  składowa swobodna nie
zanika do zera w miarę upływu czasu.
Zad. 8.79.
W obwodzie przedstawionym na rys. 8.79. klucz K był zwarty przez nieskończenie długi
czas. W chwili t = 0 klucz ten został rozwarty. Wyznaczyć napięcie u(t), jakie wystąpi na
kluczu po jego rozwarciu.
Ä… i2(t)
Dane:
R1 = 2 &!, R2 = 1 &!,
R1 R2
R3 = 5 &!,
1 1
i1(t) i2(t) C1 = F, C2 = F,
10 5
K
Ái1(t)
iz0(t) R3 u(t)
C1 C2
Ä… = 5, Á = 3 &!,
t = 0
(t)
iz0 = 6cos 2t V.
Rys. 8.79.
Wynik:
3
t
7 5 7 7
îÅ‚e- 4
(t)
u = cos t + sin t cos 2t - sin 2tłł1 t V.
( )-
( )
4 7 4
ðÅ‚ ûÅ‚
Zad. 8.80.
W obwodzie przedstawionym na rys. 8.80. klucz K był rozwarty przez nieskończenie długi
czas. W chwili t = 0 klucz ten został zwarty. Wyznaczyć napięcie u0(t) dla czasów t e" 0.
² u(t)
Dane:
K
R1 L
R1 = 5 &!, R2 = 10 &!,
1
L = 2 H, C = F, ² = 1,
t = 0
10
e0(t) u(t) C Iz0 R2 u0(t)
Iz0 = 2 A = const,
(t)
e0 = 25sin 4t V.
Rys. 8.80.
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 67
Wynik:
33
(t) îÅ‚6(-7 )e-t
u0 = cos3t + 4sin 3t + 40 + 22cos 4t + sin 4tłł1 t V.
( )
ðÅ‚ 2 ûÅ‚
Zad. 8.81.
W obwodzie przedstawionym na rys. 8.81. klucz K był rozwarty przez nieskończenie długi
czas. W chwili t = 0 klucz ten został zwarty. Wyznaczyć przebieg prądu i0(t), który popłynie
przez kondensator C2 po zwarciu klucza.
Ái(t)
Dane:
R = 2 &!, Á = 2 &!,
K
C1
R
1 1
C1 = F, C2 = F,
2 2
i(t)
i0(t)
L =1 H,
t = 0
E0 C2 L iz0(t)
(t)
iz0 = 5sin 2t A,
E0 = 5 V = const.
Rys. 8.81.
Wynik:
1
11 13 35
2
(t) (t)
i0 = ´ + e-2t - e- t 1 t A.
( ) ( )
4 3 24
Zad. 8.82.
W obwodzie przedstawionym na rys. 8.82. klucz K był zwarty przez nieskończenie długi
czas. W chwili t = 0 klucz ten został rozwarty. Wyznaczyć przebieg prądu i0(t), który
popłynie przez induktor L1 po rozwarciu klucza.
Ái(t)
i0(t) L1
Dane:
M
R1
i(t)
R1 = 7 &!, R2 = 1 &!, Á = 3 &!,
L2
L1 = 1 H, L2 = 3 H, M = 1 H,
K C
1
C = F,
t = 0
2
iz0(t)
R2
E0 = 8 V = const,
E0
(t)
iz0 = 4sin 2t A.
Rys. 8.82.
Wynik:
(t) îÅ‚3 1
i0 = t +1 e-t + 4sin 2tłł1 t A.
( )
( )
2
ðÅ‚ ûÅ‚
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 68
8.4. Operatorowe funkcje układów SLS
Zad. 8.83.
Obliczyć operatorowe impedancje dwójników przedstawionych na rys. 8.83. Zbadać gdzie
poło\
one sÄ… zera i bieguny tych funkcji.
(a)
C1 C2
Dane:
L1 L2
L1 = 2 H, L2 = 1 H, L3 =1 H,
C4 C3 L3
1
C1 = F, C2 =1 F, C3 = 2 F, C4 = 1 F.
2
(b)
R4 R5
Dane:
R1 = 2 &!, R2 = 1 &!, R3 = 3 &!,
R1 R2 R3 R4 = 1 &!, R5 = 1 &!,
C4
1
C1 = F, C2 = 2 F,
2
C1 C2 C3
1
C3 = F, C4 = 1 F.
3
(c)
L1 L2 R2
R3
Dane:
R1 = 2 &!, R2 = 2 &!, R3 =1 &!,
1
L1 =1 H, L2 = H,
R1 L3 L4
2
L3 = 2 H, L4 =1 H.
(d)
C3
R1 R2 L1
Dane:
R1 = 2 &!, R2 =1 &!,
L1
R3 =1 &!, R4 =1 &!,
C2 R3 R4
L1 = 1 H, L2 = 2 H,
C1
1
C1 =1 F, C2 = F, C3 = 1 F.
2
Rys. 8.83.
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 69
Wynik:
1 1 6s6 +17s4 +12s2 + 2
(s)
a) Z = + = ,
1 1 1
4s7 +18s5 + 22s3 + 8s
sL1 + sC4 + +
1 1
sC1
sL2 + sL3 +
sC2 sC3
zera i bieguny sÄ… liczbami urojonymi i sÄ… jednokrotne, a ponadto funkcja ma jednokrotne zero
w nieskończoności;
1 36s4 +120s3 +130s2 +52s + 6
(s)
b) Z = = ,
1 1
42s4 +116s3 +93s2 + 23s
+
1 1
R1 + R4 +
1 1
sC1
+
1 1
R2 + R5 +
1
sC2
+ sC4
1
R3 +
sC3
zera i bieguny sÄ… liczbami rzeczywistymi niedodatnimi i sÄ… jednokrotne;
1 7s3 + 43s2 + 42s + 8
c) Z (s) = sL1 + = ,
1 1
7s2 + 29s + 8
+
R1 sL2 + R2 + 1
1 1
+
sL3 sL4 + R3
zera i bieguny sÄ… ujemnymi liczbami rzeczywistymi i sÄ… jednokrotne, a ponadto funkcja ma
jednokrotny biegun w nieskończoności;
d)
1
Z (s) = R1 + =
1 1
+
1 1
sL1 + R2 +
1
sC1
sC2 +
1
sL2 +
1 1
+
R3 R4 + 1
sC3
12s5 + 25s4 + 55s3 + 47s2 + 29s + 8
= ,
4s5 + 7s4 + 20s3 +16s2 + 9s + 2
zera i bieguny le\
ą w lewej półpłaszczyz
nie zmiennej s.
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 70
Zad. 8.84.
Obliczyć operatorowe funkcje immitancji dwójników przedstawionych na rys. 8.84.
(a)
C1
R2
M
R1
Dane:
L1 L2
1
R1 =1 &!, R2 = &!, R3 = 2 &!,
2
R3 C2
C1 = 2 F, C2 =1 F,
L1 = 3 H, L2 = 2 H, M = 1 H.
C2
(b)
i(t)
R1 R2
Dane:
1
R1 = 1&!, R2 = 1&!, R3 = &!,
2
C1
Ä… i(t)
C1 = 1F, C2 = 2 F,
R3 L
1
L = H, Ä… = 4.
2
Rys. 8.84.
RozwiÄ…zanie:
a)
Po dołączeniu do zacisków dwójnika z
ródła napięciowego otrzymujemy układ, którego
operatorowy schemat zastępczy
C1
R2
pokazano na rys. 8.84a .
Zgodnie z definicjÄ…, operato-
rowa impedancja dwójnika jest
Im3(s)
E (s)
równa Z (s) = , czyli
I1(s) I2(s)
I (s)
I (s)
R1 L1 L2
w celu jej wyznaczenia nale\
y
sM I2(s) sM I1(s)
wyliczyć prąd I(s). Przy
E (s)
R3 Im2(s) C2
wyborze oczek, takim jak
Im1(s)
zaznaczono na rysunku, układ
mo\
na opisać następującymi
równaniami:
Rys.8.84a
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 71
îÅ‚ Å‚Å‚
sL1 + R1 + R3 -sM - R3 -sL1 + sM - R1
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
Im1 (s) E (s)
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
1 ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
-sM - R3 sL2 + R3 + -sL2 + sM
ïÅ‚Im2 (s)śł = ïÅ‚ 0 śł .
ïÅ‚ sC2 śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
(s)ûÅ‚ 0
ðÅ‚Im3 ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚ śł
1
+ sM - R1 -sL2 + sM sL1 + sL2 - 2sM + R1 + R2 +
ïÅ‚-sL1
sC1 śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Z równań tych wyliczamy
"m11E (s)
I (s) = Im1 (s) = ,
"m
a stÄ…d
E (s) "m
Z (s) = = .
I (s) "m11
W powy\
szych zale\
nościach wprowadziliśmy następujące oznaczenia:
"m  wyznacznik macierzy impedancji oczkowych (wyznacznik główny układu
równań),
"m11  dopełnienie algebraiczne elementu (1,1) macierzy impedancji oczkowych.
Warto tutaj zauwa\
yć, \
e wyprowadzona zale\
ność na Z(s) będzie prawdziwa dla
dowolnego układu, pod warunkiem, \
e oczka zostaną wybrane w taki sposób, aby dołączona
gałąz
(ze z
ródłem napięciowym) nale\
ała tylko do pierwszego oczka, i oczko to zostanie
zorientowane zgodnie z kierunkiem E(s).
Po podstawieniu danych liczbowych i obliczeniu odpowiednich wyznaczników
otrzymujemy:
5s4 + 23s3 + 29s2 +12s + 3
Z (s) = .
10s4 +18s3 +14s2 + 5s +1
b)
Do zacisków dwójnika dołączamy z
ródło prądowe. Operatorowy schemat zastępczy
powstałego układu przedstawiono na rys. 8.84b .
 Rozdział 8. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A I JEGO ZASTOSOWANIA 72
C2
I(s)
R1 R2
Un3(s)
Un2(s)
Iz0 (s)
C1 Ä… I(s)
Un1(s)
R3 L
Rys. 8.84b
Iz0 s
( )
Zgodnie z definicją, funkcja admitancji dwójnika Y s = . Równania na napięcia
( )
Un1 s
( )
węzłowe, opisujące układ z rys. 8.84b mają postać:
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1
ïÅ‚ sC2 + - -sC2 śł
R1 R1
ïÅ‚ śł
îÅ‚Un1 s Å‚Å‚ îÅ‚Iz0 s Å‚Å‚
( ) ( )
ïÅ‚ śł
1 1 1 1
ïÅ‚U s = ïÅ‚ śł
ïÅ‚ -
śł
sC1 + + - 0 .
( )śł
n 2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
R1 R1 R2 R2
ïÅ‚ śł
ïÅ‚Un3 s ïÅ‚ śł
0
( )śł
ïÅ‚ śł ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
1 1 1
ïÅ‚-s 1+Ä… C2 - 1 śł
s 1+Ä… )
C2 + + +
( ) (
R2 R2 R3 sL
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Poniewa\

"n11Iz0 s
( )
Un1 s = ,
( )
"n
to
Iz0 s
( )
"n
Y s = = ,
( )
Un1 s "n11
( )
gdzie "n  wyznacznik macierzy admitancji węzłowych,
"n11  dopełnienie algebraiczne elementu (1,1) macierzy admitancji węzłowych.
Po podstawieniu danych liczbowych i obliczeniu odpowiednich wyznaczników otrzymujemy:
16s3 +15s2 +12s + 2
Y s = .
( )
10s3 + 23s2 + 7s + 4


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Tablice transformat Laplace a
Transformaty Laplace a
wzory transformata Laplacea
Transformata Laplace a
Transformaty Laplace a
jurlewicz,rachunek prawdopodobieństwa,transformata Laplace a zadania
1 1 2 Transformata Laplaca
transformacja Laplace a
wyklad4 transformata Laplace a
Transformacja Laplace a
zadania4 transformata Laplacea
R Pr MAEW104 przyklady transformata Laplace a lista3

więcej podobnych podstron