Rachunek różniczkowy funkcji
dwóch zmiennych
Pojęcie funkcji dwóch zmiennych
Odwzorowanie f, przyporządkowujące każdemu punktowi (x, y) A R2 dokładnie jedną
liczbę rzeczywistą f (x, y), nazywamy funkcją rzeczywistą dwóch zmiennych. Zbiór A
nazywamy dziedziną funkcji f.
Jeżeli funkcja zadana jest tylko przy pomocy wzoru (bez podania dziedziny), to dziedziną
naturalną Df funkcji jest zbiór tych punktów R2 , dla których wzór ma sens ( f (x, y) R ).
Przykład 1
Wyznaczyć dziedzinę naturalną funkcji:
f (x, y) = 4 - x2 - y2 .
Rozwiązanie:
Dziedziną naturalną funkcji jest zbiór tych par (x, y), dla których wyrażenie pod
pierwiastkiem jest nieujemne, czyli dla których
2 2
4 - x - y ł 0 .
Przepisując tę nierówność w postaci
2 2
x + y Ł 4
otrzymujemy
Df = {(x, y) R2 : x2 + y2 Ł 4}
.
Dziedziną naturalną funkcji jest zatem wnętrze koła o promieniu 2 i środku w punkcie (0,0).
Pochodne cząstkowe funkcji dwóch zmiennych
Niech funkcja f (x, y) będzie określona w otoczeniu punktu (x , y ) D . Pochodną
0 0 f
cząstkową pierwszego rzędu funkcji f względem x w (x0, y0) definiujemy wzorem
f (x + h, y )- f (x , y )
śf
0 0 0 0
(x , y )= lim .
0 0
h0
śx h
Analogicznie określamy pochodną cząstkową pierwszego rzędu względem y:
śf f (x , y + h)- f (x , y ).
0 0 0 0
(x , y ) = lim
0 0
h0
śy h
Stosujemy też nazwy pierwsze pochodne cząstkowe po x i y i oznaczenia:
' '
f , f .
x y
Przykład 2
Obliczyć obie pochodne cząstkowe funkcji
f (x, y) = xy2
w punkcie (2,1).
Rozwiązanie:
2 2
śf f (2 + h,1)- f (2,1) (2 + h)1 - 2 1 h
(2,1) = lim = lim = lim = 1,
h0 h0 h0
śx h h h
2
2
śf f (2,1+ h)- f (2,1) 2 (1+ h) - 2 1
(2,1) = lim = lim =
h0 h0
śy h h
2
2 + 4h + 2h - 2
= lim = lim(4 + 2h) = 4.
h0 h0
h
Pochodne cząstkowe względem danej zmiennej liczymy zgodnie z zasadami
różniczkowania funkcji jednej zmiennej, traktując drugą zmienną jako stałą.
Przykład 3
Obliczyć pierwsze pochodne cząstkowe funkcji:
2 2
f (x, y)= 2x y + y + xy + 4
w punktach (0,0) i (1,2).
Rozwiązanie:
Traktując zmienną y jako stałą znajdujemy
'
f (x, y)= 4xy + y .
x
Podobnie, traktując zmienną x jako stałą znajdujemy
' 2
f (x, y)= 2x + 2y + x .
y
Stąd
' '
f (0,0) = 0 , f (0,0) = 0
x y
' ' 2
f (1,2)= 412 + 2 =10 , f (1,2)= 2 1 + 2 2 +1 = 7 .
x y
Przykład 4
Obliczyć pierwsze pochodne cząstkowe funkcji:
f (x, y)= x3 y2 - xsin y .
Rozwiązanie:
Nie ma tu podanego punktu, w którym miałaby być obliczona wartość pochodnych
cząstkowych, a zatem chodzi o pochodne cząstkowe jako funkcje:
fx'(x, y)= 3x2 y2 - sin y ,
fy'(x, y)= 2x3 y - xcos y .
Przykład 5
Obliczyć pierwsze pochodne cząstkowe funkcji:
2 2
z = ln(x + y ).
Rozwiązanie:
2 2
Zróżniczkujemy z jako funkcję złożoną z = lnu , gdzie u = x + y .
1 ' 2x
' 2 2
z = (x + y ) = ,
x x
2 2 2 2
x + y x + y
1 , 2y
' 2 2
z = (x + y ) = .
y y
2 2 2 2
x + y x + y
Pochodne cząstkowe wyższych rzędów
'
Pochodne cząstkowe funkcji dwóch zmiennych (x, y) i fy'(x, y), są także funkcjami
f
x
dwóch zmiennych. Możemy je różniczkować względem x i y i otrzymywać w ten sposób
pochodne wyższych rzędów funkcji f (x, y). W odróżnieniu jednak od funkcji jednej
zmiennej, gdzie mieliśmy tylko jedną pochodną drugiego rzędu, teraz otrzymujemy aż
cztery takie pochodne, gdyż każda z pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu może
mieć pochodną względem x i względem y. Stąd mamy:
ś2 f ś śf
ć
''
fxx(x, y) = = ,
śx2 śx śx
Ł ł
2
ć
ś f ś śf
''
f (x, y) = = ,
yy
2
śy śy śy
Ł ł
2
ć
ś f ś śf
''
f (x, y) = = ,
xy
śxśy śx śy
Ł ł
ś2 f ś śf
ć
''
fyx(x, y) = = .
śyśx śy śx
Ł ł
'' '' '' ''
Pochodne cząstkowe fxx i f nazywamy pochodnymi czystymi, a pochodne fxy i f
yy yx
nazywamy pochodnymi mieszanymi. Dla wszystkich funkcji dwóch zmiennych zawartych
w tej książce prawdziwa będzie równość:
'' ''
f (x, y) = f (x, y),
xy yx
gdyż rozważać tu będziemy tylko funkcje, które mają pochodne cząstkowe drugiego rzędu
w pewnym otoczeniu punktu (x, y)
i są w tym punkcie ciągłe.
Przykład 6
Obliczyć pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji
2 2 2
f (x, y)= x y + 3xy - 2x .
Rozwiązanie:
Obliczamy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu
' 2
f (x, y)= 2xy + 3y - 4x ,
x
fy'(x, y)= x2 + 6xy .
Stąd pochodne cząstkowe drugiego rzędu
''
fxx(x, y) = 2y - 4 ,
''
fyy(x, y) = 6y ,
''
fxy(x, y)= 2x + 6y ,
''
fyx(x, y)= 2x + 6y .
Jak widać pochodne cząstkowe mieszane drugiego rzędu są sobie równe.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
,analiza matematyczna 1, rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennejRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennychAnaliza Matematyczna Rachunek Różniczkowy Funkcji Jednej Zmiennej 02Rachunek rozniczkowy funkcji wielu zmiennych5 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennejAnaliza Matematyczna Rachunek Różniczkowy Funkcji Jednej Zmiennej 01Rachunek różniczkowy funkcji 2 i 3 zmiennychfunkcje dwoch zmiennychstreszczenie funkcje dwoch zmiennychzadania funkcje dwóch zmiennych 2Konspekt wykładu r różniczkowy funkcji jednej zmiennej(1)AM23 w08 Ekstrema funkcji dwóch zmiennychwięcej podobnych podstron