Mechanika Budowli (C16) Wykład Marek Krzysztof Jasina 11. Stopień statycznej niewyznaczalności Układ geometrycznie zmienny wykazuje duże (dowolne) przemieszczenia przy pewnym dowolnie małym obciążeniu: a) mechanizm, ... Rys. 11.1 b) chwilowa geometryczna zmienność. ... Rys. 11.2 11.1. Warunek geometrycznej niezmienności układu Dzielimy układ myślowo na tarcze sztywne - otwarte ciągi sztywno-połączonych elementów. Oznaczenia: r - liczba (suma) reakcji zewnętrznych i wewnętrznych (między- elementowych) układu podzielonego myślowo na części zwane tarczami sztywnymi. ciąg otwartych sztywno-połączonych elementów, e - liczba dostępnych równań równowagi. http://www.okno.pg.gda.pl 45 mjasina@pg.gda.pl Mechanika Budowli (C16) Wykład Marek Krzysztof Jasina Statyczna niewyznaczalność: r > e - gdy układ jest statycznie niewyznaczalny, r = e - gdy układ jest statycznie wyznaczalny, r < e - gdy układ jest kinematycznie zmienny. 11.2. Ramy płaskie. Dla każdej tarczy możemy zapisać trzy równania równowagi: "P = 0, ix = 0, (11.1) "Piy "M = 0. io Stopień statycznej niewyznaczalności płaskiego układu ramowego można wyznaczyć ze wzoru n = r - e = r - 3t , (11.2) gdzie t oznacza liczbę tarcz. 11.3. Kratownice płaskie. W każdym węzle kratownicy możemy zapisać dwa równania równowagi "P = 0, ix (11.3) "P = 0. iy Stopień statycznej niewyznaczalności kratownicy płaskiej można wyznaczyć ze wzoru n = le + r - 2lw , (11.4) gdzie le oznacza liczbę prętów, r liczbę reakcji a lw jest liczbą węzłów kratownicy. http://www.okno.pg.gda.pl 46 mjasina@pg.gda.pl Mechanika Budowli (C16) Wykład Marek Krzysztof Jasina 12. Metoda sił Metodę sił zapoczątkowały prace J.C. Maxwella [1864] i O. Mohra [1875] dotyczące obliczeń statycznie niewyznaczalnych kratownic mostowych. U podstaw metody sił leży znany z mechaniki ogólnej aksjomat więzów, który mówi, że: Jeśli układ jest w równowadze, to odrzucenie dowolnego więzu i zastąpienie go reakcją tego więzu nie zmienia stanu równowagi ciała. Statycznie niewyznaczalny, kinematycznie niezmienny układ o stopniu statycznej niewyznaczalności n > 0 możemy przekształcić przez odrzucenie n więzów (zewnętrznych lub wewnętrznych) i zastąpieniem ich nieznanymi reakcjami Xi (i = 1, 2, & , n) . W wyniku tego zabiegu otrzymujemy układ statycznie wyznaczalny (pozbawiony pewnych n więzów), nazywany dalej układem podstawowym metody sił (UPMS), który aby odpowiadał układowi wyjściowemu obciążony być musi (oprócz obciążenia zewnętrznego) dodatkowymi siłami Xi zwanymi nadliczbowymi metody sił. W tak utworzonym, pozbawionym pewnych więzów, układzie podstawowym mogą pojawić się różne od zera przemieszczenia i `" 0 odpowiednio w miejscu i na kierunku odrzuconych więzów. W układzie pierwotnym (wyjściowym), ze względu na istnienie więzów, przemieszczenia te nie występują (równe są zeru) i = 0 . Otrzymane w powyższy sposób niewiadome nadliczbowe siły Xi są niewiadomymi metody sił. Niewiadome te można wyznaczyć z warunków zgodności przemieszczeń układów pierwotnego - statycznie niewyznaczalnego oraz statycznie wyznaczalnego (UPMS), przy założeniu, że układ podstawowy poddany jest łącznemu działaniu danych obciążeń zewnętrznych oraz sił nadliczbowych Xi . Siły nadliczbowe zwane są czasem wielkościami hiperestatycznymi. http://www.okno.pg.gda.pl 47 mjasina@pg.gda.pl Mechanika Budowli (C16) Wykład Marek Krzysztof Jasina Warunki zgodności przemieszczeń można zapisać w poniższej postaci i (X1, X2, & , Xn , p) = 0 , (i = 1, 2, & , n) , (12.1) gdzie p - oznacza wpływ danego obciążenia zewnętrznego. Przedstawiona powyżej idea metody sił oddaje jej nazwę bowiem niewiadomymi metody są właśnie siły reakcji w pewnych usuniętych więzach wewnętrznych bądz zewnętrznych, które odrzucono tworząc statycznie wyznaczalny układ podstawowy metody sił. Poniżej omówimy szczegółowy opis metody sił i zapiszemy jej algorytm. Przemieszczenia i , które wyznaczane będą celem zapisania warunku zgodności przemieszczeń obliczane będą przy zastosowaniu twierdzenia o pracy wirtualnej z uwzględnieniem jedynie wpływu zginania. Zgodnie ze wzorem Maxwella-Mohra poszukiwane sumaryczne przemieszczenie i ze wzoru (12.1) otrzymujemy stosując zależność i = i1 + i2 +& + in + ip = Mi M1 Mi M2 Mi Mn Mi M p = ds + ds +& + ds + ds = (12.2) +"+" +"+" EI EI EI EI MM =Ł ds +" EI gdzie symbol Ł oznacza sumowanie po 1, 2, & , n oraz p czyli od obciążeń X1, X2 , & , Xn oraz p . http://www.okno.pg.gda.pl 48 mjasina@pg.gda.pl Mechanika Budowli (C16) Wykład Marek Krzysztof Jasina Przedmiotem rozważań będzie rama1 przedstawiona na rysunku 12.1. Rys. 12.1 Układ wyjściowy Pierwszym krokiem rozwiązania układu, po określeniu stopnia statycznej niewyznaczalności (w tym przypadku n = 2 ) jest przyjęcie układu podstawowego metody sił (UPMS), który otrzymujemy przez odrzucenie więzów (zob. rys 12.2) w tym przypadku zarówno więzu wewnętrznego (1) jak i zewnętrznego (2) . UPMS utworzono poprzez odrzucenie więzów równoznaczne z wstawieniem przegubów w węzłach (1) i (B) . Na rysunku 12.2 zaznaczono wielkości nadliczbowe: reakcję wewnętrzną w węzle (1) - moment zginający w przekroju (1) - X1 ; reakcję podporową w węzle (B) - moment podporowy w węzle (B) - X2 . Warunek równoważności układu wyjściowego i podstawowego czyli warunek zgodności (12.1) wymaga, by w tym drugim, każde z przemieszczeń uogólnionych i wywołane łącznym działaniem obciążenia zewnętrznego p oraz siły X1 i X2 było równe zeru i = ip + i1 + i2 = 0 (porównać ze wzorem (12.2)). Należy zauważyć, że obciążeniem wirtualnym od którego należy wyznaczyć wykres momentów uwzględniony we wzorze (12.2) są siły X1 = 1, X2 = 1 . 1 Zaczerpnięto z Mechanika Budowli ujęcie komputerowe, Tom 1, Arkady, 1991. http://www.okno.pg.gda.pl 49 mjasina@pg.gda.pl Mechanika Budowli (C16) Wykład Marek Krzysztof Jasina Wystarczy zatem rozparzyć następujące obciążenia UPMS: - stan obciążenia zewnętrznego p wywołującego przemieszczenia ip , - wirtualne stany obciążenia Xk = 1 wywołujące przemieszczenia ik . Rys. 12.2 Układ podstawowy metody sił (UPMS) Rys. 12.3 UPMS - stan obciążenia zewnętrznego p ) Rys. 12.4 UPMS wykres momentów od obciążenia zewnętrznego p http://www.okno.pg.gda.pl 50 mjasina@pg.gda.pl Mechanika Budowli (C16) Wykład Marek Krzysztof Jasina ) Rys 12.5 UPMS - stan obciążenia jednostkową nadliczbową X1 = 1 ) Rys. 12.6 UPMS wykres momentów od obciążenia jednostkową nadliczbową X1 = 1 http://www.okno.pg.gda.pl 51 mjasina@pg.gda.pl Mechanika Budowli (C16) Wykład Marek Krzysztof Jasina Rys. 12.7 UPMS - stan obciążenia jednostkową nadliczbową X2 = 1 Rys. 12.8 UPMS wykres momentów od obciążenia jednostkową nadliczbową X2 = 1 http://www.okno.pg.gda.pl 52 mjasina@pg.gda.pl Mechanika Budowli (C16) Wykład Marek Krzysztof Jasina Zgodnie ze wzorem Maxwella-Mohra (porównaj (12.2)) poszukiwane przemieszczenie Mi Mk i otrzymujemy stosując zależność ik = ds +" EI 243 2 EI11 = ds = & = 1 +"M 54 132 EI12 = EI21 = M2ds = & = 1 +"M 54 202 2 EI22 = ds = & = 2 +"M 54 20520 EI1p = M ds = & = 1 p +"M 54 16380 EI2 p = M ds = & = 2 p +"M 54 Na rysunkach 12.3, 12.5, 12.7 pokazano geometryczną interpretację (przemieszczeń uogólnionych) współczynników 11 , 12 , 21 , 22 , 1p , 2 p . Układ równań zgodności przemieszczeń zbudowany jest na drodze superpozycji wpływów w wyrażeniu na i pochodzących od poszczególnych nadliczbowych i od obciążenia zewnętrznego (zgodnie z (12.1)i (12.2)) można zapisać 1 = X1 "11 + X2 "12 + 1 p = 0 (12.3) 2 = X1 "21 + X2 "22 + 2 p = 0 a w postaci macierzowej, po podstawieniu wartości liczbowych 243 132 X1 20520 0 Ą#ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# += (12.4) ó#132 202Ą# ó#X Ą# ó#16380Ą# ó#0Ą# Ł#Ś# Ł# 2 Ś# Ł# Ś# Ł# Ś# Po rozwiązaniu powyższego otrzymujemy: X1 = -62,63 [kNm] , X2 = -40,16 [kNm] . Wartości wybranych wielkości statycznych obliczamy przez sumowanie (przedstawionych na rysunkach 12.3-12.8) rozwiązań: stanu p + stanu (X1 = 1) i X1 + stanu (X2 = 1) i X2 zgodnie z poniższym przepisem. R = X1 " R1 + X2 " R2 + Rp (12.5) M = X1 " M1 + X2 " M2 + M p http://www.okno.pg.gda.pl 53 mjasina@pg.gda.pl Mechanika Budowli (C16) Wykład Marek Krzysztof Jasina Jeżeli na etapie rozwiązania UPMS od obciążenia zewnętrznego p oraz od po- szczególnych stanów obciążenia X1 = 1, X2 = 1 wyznaczymy wykresy sił normalnych N i sił tnących T to analogicznie można wyznaczyć N = X1 " N1 + X2 " N2 + N p (12.6) T = X1 "T1 + X2 "T2 + Tp I tak na przykład momenty zginające w charakterystycznych przekrojach wynoszą M1 = X1 = -62,63 [kNm] , 2 M2 = 120 +1"(-62,63) + "(-40,16) = 30,60 [kNm] , 3 M = X2 = -40,16 [kNm] . B Ostateczne wykresy sił przekrojowych przedstawiają rysunki 12.9, 12.10, 12.11. Innym sposobem, niż zaproponowanym wcześniej (we wzorach (12.5) i (12.6)), na wyznaczenie reakcji i sił wewnętrznych jest zastosowanie wprost superpozycji wpływów pochodzących od poszczególnych nadliczbowych i od obciążenia zewnętrznego. Można zatem obciążyć UPMS sumarycznym obciążeniem zewnętrznym Ł= p + X1 +X2 i rozwiązać układ wyznaczając reakcje R i wykresy sił Ł wewnętrznych NŁ , MŁ , TŁ od tak przyjętego obciążenia Ł . http://www.okno.pg.gda.pl 54 mjasina@pg.gda.pl Mechanika Budowli (C16) Wykład Marek Krzysztof Jasina Rys. 12.9 Układ wyjściowy wykres momentów Rys. 12.10 Układ wyjściowy wykres sił tnących Rys. 12.11 Układ wyjściowy wykres sił normalnych http://www.okno.pg.gda.pl 55 mjasina@pg.gda.pl Mechanika Budowli (C16) Wykład Marek Krzysztof Jasina 12.1. Algorytm metody sił (1) Obliczyć stopień statycznej niewyznaczalności układu n > 0 . Przekształcić statycznie niewyznaczalny, kinematycznie niezmienny układ o stopniu statycznej niewyznaczalności n w układ podstawowy metody sił (UPMS), przez odrzucenie n więzów (zewnętrznych lub wewnętrznych) i zastąpienie ich nieznanymi reakcjami w usuniętych więzach Xi , (i = 1, 2, & , n) zwanymi nadliczbowymi metody sił. (2) W tak utworzonym, pozbawionym określonych więzów, układzie podstawowym obliczyć różne od zera przemieszczenia i odpowiednio w miejscu i na kierunku odrzuconych więzów. (2a) Przemieszczenia ip od obciążenia zewnętrznego p . (2b) Przemieszczenia ik od poszczególnych obciążeń Xk = 1 przy X = 0 gdy j ( j `" k) dla k = 1, 2, & , n . Przemieszczenia ip i ik można wyznaczyć zgodnie ze wzorem Maxwella-Mohra, przy uwzględnieniu jedynie wpływu momentów zginających, stosując zależność Mi Mk ik = ds (12.7) +" EI co wymaga wyznaczenia wykresów sił wewnętrznych w UPMS od poszczególnych stanów obciążenia Xk = 1 , k = 1, 2, & , n . http://www.okno.pg.gda.pl 56 mjasina@pg.gda.pl Mechanika Budowli (C16) Wykład Marek Krzysztof Jasina (3) Po wyznaczeniu przemieszczeń ip i ik należy rozwiązać kanoniczny układ równań metody sił (układ równań zgodności przemieszczeń) zbudowany na drodze superpozycji wpływów w wyrażeniu na i pochodzących od poszczególnych nadlicz- bowych i od obciążenia zewnętrznego 1 = X1 "11 + X2 "12 +& + Xn "1n + 1p = 0 2 = X1 "21 + X2 "22 +& + Xn "2n + 2 p = 0 (12.8) & & & & & & & & & & & & & & & & & n = X1 "n1 + X2 "n2 +& + Xn "nn + np = 0 (4) Po rozwiązaniu układu równań kanonicznych i wyznaczeniu wartości sił nad- liczbowych Xi można wyznaczyć ostateczne wartości, interesujących wielkości sta- tycznych np. reakcje R i wykresy sił wewnętrznych N , M , T od zadanego obciąże- nia. Wartości wybranych wielkości statycznych oblicza się przez sumowanie wyników po- szczególnych rozwiązań p + (Xk = 1) i Xk k = 1, 2, & , n zgodnie z poniższym przepi- sem. R = X1 " R1 + X2 " R2 + Rp N = X1 " N1 + X2 " N2 + Np (12.9) M = X1 " M1 + X2 " M2 + M p T = X1 "T1 + X2 "T2 + Tp Innym sposobem, niż zaproponowany wyżej, na wyznaczenie reakcji i sił wewnętrz- nych jest zastosowanie wprost superpozycji wpływów pochodzących od poszczegól- nych nadliczbowych i od obciążenia zewnętrznego. Można zatem obciążyć UPMS sumarycznym obciążeniem zewnętrznym Ł= p + X1 + X2 +& + Xn (12.10) a następnie rozwiązać układ wyznaczając reakcje R i wykresy sił wewnętrznych NŁ , Ł MŁ , TŁ od tak przyjętego obciążenia Ł . http://www.okno.pg.gda.pl 57 mjasina@pg.gda.pl Mechanika Budowli (C16) Wykład Marek Krzysztof Jasina 12.2. Uwagi do algorytmu metody sił a) Układ podstawowy metody sił (UPMS) należy dobrać kierując się zasadą minimalizowania obliczeń. b) Przemieszczenia ip i ik najczęściej wyznacza się zgodnie ze wzorem Maxwel- la-Mohra, jednak niekiedy wartości poszukiwanych przemieszczeń można wyzna- czyć bez tego typu obliczeń np. odczytując je z odpowiednich tabel zamieszczonych w literaturze. c) Przy pominięciu odkształceń postaciowych (wpływu sił poprzecznych (T ) ) i przy uwzględnieniu przemieszczeń (osiadania) podpór (") , reakcji podpór sprężystych (S) , obciążeń temperaturą (t) , można zapisać poniższą zależność. Ni N Mi M p p 1i ip + "r = ds + ds + "R EI ri +"+" EA r ll Si Sp ++ (12.11) " ks s ąt + Ni ąt t0 ds + (td - tg ) ds i +"+"M h ll d) Każde z równań (12.8) wyraża warunek zgodności przemieszczeń układu wyjścio- wego i układu podstawowego. Układ równań kanonicznych wygodniej jest przed- stawiać w postaci macierzowej. Uwaga: można, w łatwy sposób, dokonać geometrycznej interpretacji poszczególnych kolumn macierzy podatności D . 1p Ą# ń# 11 12 & 1n X1 Ą# ń# 0 Ą#ń# Ą# ń# ó# Ą# ó# Ą# 2 p ó#0Ą# 21 22 & 2n Ą# ó# X 2 ó# Ą# ó#Ą# ó# Ą# ó# Ą# + = (12.12) ó#Ą# ó# Ą# . ó# Ą# . . . .ó# Ą# . ó# Ą# ó#Ą# ó# Ą# np ó# Ą# n1 n2 & nn Ś# Ł# Xn Ś# ó# Ą# Ł#0Ś# Ł# Ł# Ś# lub w postaci macierzowej DX + Dp = 0 (12.13) gdzie D jest z definicji macierzą podatności układu podstawowego względem zbioru sił Xi (względem wektora X ). Uwaga: jeśli układ obciążony jest kilkoma schematami obciążeń zewnętrznych to w równaniu (12.12) zmienia się jedynie wektor Dp natomiast macierz podatności jest z definicji taka sama. http://www.okno.pg.gda.pl 58 mjasina@pg.gda.pl