Uwaga: tekst jest wierna kopia, z uwzgle dnieniem erraty, stron 68 80 ze skryptu
PK Ustroje powierzchniowe autorstwa Marii Radwańskiej i Zenona Waszczyszyna
3.10. METODA ENERGETYCZNA (RITZA)
Metoda ta opiera sie na tzw. zasadzie minimum energii potencjalnej ustroju, kt ra
m wi: spośr d kinematycznie dopuszczalnych p l przemieszczeń (spelniajacych
kinematyczne warunki brzegowe) rozwiazaniem spelniajacym warunki r wnowagi
ustroju bedzie pole przemieszczeń, dla kt rego energia potencjalna osiaga min-
imum. Warunkiem koniecznym minimum funkcjonalu energii jest zerowanie sie
jego pierwszej wariacji:
´ = 0. (3.24)
Wykorzystanie praktyczne zasady minimum energii pokażemy w odniesieniu do
zginania plyt, dla kt rych polu przemieszczeń odpowiada funkcja ugiecia w(x, y).
Rozwiazania przybliżonego poszukujemy w postaci:
N
w(x, y) = wi¨i(x, y), (3.25)
i=1
gdzie wi sa wsp lczynnikami, a ¨i(x, y) znanymi funkcjami, spelniajacymi kine-
matyczne warunki brzegowe. W odniesieniu do tych funkcji przyjmujemy ponadto,
że sa one liniowo niezależne, a wiec rozwiazaniem (3.24) bedzie liniowa kombinacja
funkcji ¨i.
Warunek (3.24) piszemy w postaci
"
´ = ´wi = 0,
"wi
i
gdzie wariacje ´wi wynikaja z wirtualnego przemieszczenia:
´w = ´wi · ¨i(x, y).
i
1
Warunek ´ = 0 ma być spelniony dla dowolnej wariacji ´wi, a wiec zamiast
(3.24) możemy rozpatrywać r wnoważny uklad r wnań:
"
= 0 dla i = 1, . . . , N (3.24a)
"wi
Jeśli do funkcjonalu energii (2.57) podstawimy funkcje w(x, y), to energia
spre żysta (2.61) bedzie forma kwadratowa, a praca obcia żeń powierzchniowych
forma liniowa wzgledem wsp lczynnik w wi:
Å„Å‚ üÅ‚
2
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ wj"2¨j - ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ żł
j
D
îÅ‚ Å‚Å‚
= dxdy -
2
2 ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚
ðÅ‚
A -2 (1 - ½) wj¨j,xx wj¨j,yy - wj¨j,xy ûÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół þÅ‚
j j j
- wj p¨j dxdy.
j
A
Po zr żniczkowaniu wzgledem kolejnych wsp lczynnik w wi możemy napisać
(3.24a) w postaci ukladu r wnań liniowych:
N
aijwj = bi dla i = 1, . . . , N , (3.26)
j=1
gdzie wsp lczynniki aij i bi wynosza:
aij = D "2¨i · "2¨j - (1 - ½) (¨i,xx¨j,yy + ¨j,xx¨i,yy - 2¨i,xy¨j,xy) dxdy,
A
bi = p(x, y)¨i dxdy.
A
(3.27)
Tak samo wyprowadzamy wzory dla ukladu wsp lrzednych biegunowych. Tutaj
2
przytaczamy je tylko dla przypadku kolowej symetrii:
a
1 1 1
aij = D ¨i,rr + ¨i,r ¨j,rr + ¨j,r - (1 - ½) (¨i,rr¨j,r + ¨j,rr¨i,r) r dr,
r r r
b
a
bi = p(r)¨i r dr.
b
(3.27a)
Opisana metoda jest przybliżona. Jej dokladność zależy od doboru funkcji
dopuszczalnych ¨i(x, y). W zależnoÅ›ci od warunk w podparcia funkcjami do-
puszczalnymi moga być funkcje trygonometryczne, wielomiany lub funkcje odpowiada-
jace postaciom wyboczenia albo drgań wlasnych. w ustrojach powierzchniowych
najcze ściej przyjmuje sie funkcje z rozdzielonymi zmiennymi:
¨i(x, y) = Xk(x)Ym(y). (3.28)
k(i) m(i)
Przykladowo funkcjami ¨i moga być nastepujace kombinacje Xk i Ym :
¨1 = X1Y1, ¨2 = X1Y2 + X2Y1, ¨3 = X2Y2, . . . (3.28a)
Przyk ad 3.7. P yta przegubowo podparta obcia żona r wnomiernie
(rys. 3.15) Zajmiemy sie prostymi, jednowymiarowymi funkcjami dopuszczal-
3
nymi. Zaczynamy od funkcji trygonometrycznej:
Ä„x Ä„y
¨1 = sin sin . (3.29)
a b
Funkcja ta spelnia warunki brzegowe, tak kinematyczne, jak też statyczne.
Przy liczeniu wsp lczynnika a11 pod calka wzoru (3.27)1 pomijamy czlon z
mnożnikiem (1 - ½) zgodnie z p. (2.8.2)
2 2
a b
1 1 Ä„x Ä„y ab 1 1
a11 = Ä„4D + sin2 sin2 dxdy = Ä„4D + ,
a2 b2 0 0 a b 4 a2 b2
a b
Ä„x Ä„y 4
b1 = p0 sin sin dxdy = p0 ab .
a b Ä„2
0 0
Na ich podstawie wsp lczynnik w1 :
b1 16 p0a4
w1 = = . (3.30)
a11 Ä„6 1 + a2 2 D
b2
Wracajac do funkcji (3.29), otrzymujemy funkcje ugiecia:
Ä„x Ä„y
w = w1¨1 = w1 sin sin .
a b
Rozwiazanie (3.30) odpowiada pierwszemu szeregowi z przykladu 3.4. Maksy-
malne ugiecie jest określone wsp lczynnikiem w1. Dla plyty kwadratowej otrzy-
mujemy:
b1 4 p0a4 p0a4
w1 = = = 0.00416 = 1.025 wśc , (3.31)
a11 Ä„6 D D
p0a4
gdzie wśc = 0.00406 , zgodnie z tabl. 3.1.
D
Funkcja dopuszczalna musi być co najmniej dwukrotnie r żniczkowalna i powinna
spelniać kinematyczne warunki brzegowe. Taka funkcja może być:
¨1 = 1 - ¾2 1 - ·2 , (3.32)
4
gdzie ¾, · sa bezwymiarowymi wsp lrzednymi dla ukladu zaczepionego w Å›rodku
plyty:
2x 2y
¾ = , · = dla ¾, · " [-1, 1] . (3.33)
a b
Dla plyty kwadratowej maksymalne ugiecie wynosi:
5 p0a4 p0a4
w1 = = 0.00355 = 0.874 wśc ,
1408 D D
a wiec blad rozwiazania wynosi 12.6%, w por wnaniu z 2.5% bledu dla funkcji
dopuszczalnej (3.29).
Inna możliwoÅ›cia doboru funkcji dopuszczalnych jest przyjecie X1(¾), Y1(·)
jako linii ugiecia belki wolnopodpartej:
6 1 6 1
¨1 = 1 - ¾2 + ¾4 1 - ·2 + ·4 . (3.34)
5 5 5 5
Dla plyty kwadratowej otrzymujemy:
p0a4
w1 = 0.00393 = 0.968 wśc ,
D
a wie blad wynosi 3.2%.
Przytoczone rozwiazania wskazuja na znaczne zwiekszenie dokladności przy
spelnieniu wszystkich warunk w brzegowych (nie tylko kinematycznych) przez
funkcje dopuszczalne. Funkcja (3.32) pomimo dość dobrej wartości ugiecia bedzie
ponadto dawala bledne wartości moment w i sil poprzecznych.
Przyk ad 3.8. P yta ko owa na pod ożu spre żystym typu Winklera
(rys. 3.16). Calkowita energia potencjalna sklada sie z energii spre żystej zgi-
nania Um oraz pracy obcia żeń Wp i odporu podloża Ww :
= Um + Wp + Ww ,
5
gdzie poszczeg lne czlony wynosza:
2Ä„ a
2
D 1 2
Um = w,rr + w,r - (1 - ½) w,rrw,r r drd¸ ,
2 r r
0 0
Wp = -Pw(0) ,
2Ä„ a
1
Ww = - (-kw) w r drd¸ .
2
0 0
Jako funkcje dopuszczalna przyjmujemy cze ść calki og lnej (3.6)1 :
w = w1 + w2r2 , (3.35)
a wiec stad wynika:
¨1 = 1 , ¨2 = r2 , w(0) = w1 .
Do obliczenia calki energii spre żystej potrzebujemy pochodne:
w,r = 2w2r , w,rr = 2w2 ,
co prowadzi do zwiazku miedzy energia potencjalna i parametrami w1, w2 :
Å„Å‚ üÅ‚
a
òÅ‚D a żł
2 1
2
= 2Ä„ (2w2 + 2w2)2 - (1 - ½) 2w22w2r r dr + k w1 + w2r2 r dr -Pw1 .
ół 2 r 2 þÅ‚
0 0
Warunek zerowania sie pierwszej wariacji energii potencjalnej prowadzi do r w-
6
nań (3.24a):
a
1 " P
a" k (w1 + w2r2) r dr - = 0 ,
2Ä„ "w1 2Ä„
0
a a
1 "
a" D 8 (1 + ½) w2 r dr + k (w1r2 + w2r4) r dr = 0 ,
2Ä„ "w2
0 0
kt re po obliczeniu calek możemy przeksztalcić do postaci:
a2 P
w1 + w2 = ,
2 Ä„a2k
2 D
w1 + + 16 (1 + ½) a2w2 = 0 .
3 ka4
Rozwiazanie możemy wiec przedstawić w postaci:
4 + 96 (1 + ½) c 6 p
w1 = pa , w2 = - , (3.36)
1 + 96 (1 + ½) c 1 + 96 (1 + ½) c a
gdzie poslużono sie bezwymiarowymi wielkościami:
D P
c = , p = .
ka4 Ä„ka3
W [15] na str. 245 jest podane rozwiazanie ścisle:
wmax = 4.30 · 10-2 cm = wÅ›c
dla danych:
a = 5 cm , c = 1 , ½ = 0.3 , p = 8.16 · 10-3 .
Po podstawieniu tych danych do (3.36) otrzymujemy:
w1 = 4. 18 10-2 cm = 0.97 wśc ,
7
a wiec blad wynosi 3% pomimo, że funkcja (3.35) nie spelnia wszystkich warunk w
brzegowych.
Należy dodać, że przyjeta funkcja (3.35) nie jest wystarczajaca do obliczania
rozkladu moment w zginajacych, zwlaszcza w otoczeniu przylożonej sily skupionej.
Aby otrzymać dobre przybliżenie, należaloby uwzglednić co najmniej czlon ¨3 =
r2 ln r.
3.11. METODA ORTOGONALIZACYJNA (BUBNOWA-GALERKINA)
R wnanie r żniczkowe plyty możemy napisać w skr conej postaci
p
"2"2w - a" L (w; p) = 0. (3.37)
D
Przybliżone rozwiazanie przyjmujemy w takiej samej postaci jak w metodzie Ritza:
N
w = wi¨i(x, y). (3.38)
i=1
Funkcje bazowe ¨i(x, y) maja być liniowo niezależne i powinny spelniać warunki
brzegowe zadania.
Ponieważ w jest rozwiazaniem przybliżonym, to po podstawieniu tej funkcji do
r wnania (3.37) powstanie funkcja bledu:
L (w; p) = R (x, y) .
W metodzie Bubnowa-Galerkina blad bedzie minimalny, jeśli wsp lczynniki wi
rozwiazania (3.38) obliczymy z warunk w ortogonalności funkcji R (x, y) i funkcji
bazowych ¨i(x, y) :
N
L wi¨i; p ¨i dA = 0 dla i = 1, . . . , N. (3.39)
j=1
A
8
Po uwzglednieniu (3.37) dochodzimy do nastepujacego ukladu r wnań liniowych:
ëÅ‚ öÅ‚
N
p
íÅ‚
"2"2¨j · ¨i dxdyÅ‚Å‚ wj = ¨i dxdy,
D
j=1
A A
kt ry można napisać w postaci skr conej:
N
aijwj = bi dla i = 1, . . . , N, (3.40)
j=1
gdzie wsp lczynniki aij i bi wynosza:
aij = "2"2¨j · ¨i dA,
A
(3.41)
p
bi = ¨i dA.
D
A
Wzory (3.41) sa ważne dla r żnych uklad w wsp lrzednych.
Metoda ortogonalizacji jest og lniejsza od metody energetycznej. Można ja
stosować bez budowania funkcjonalu energii p otencjalnej. Z tego powodu metoda
ortogonalizacji jest używana w analizie r żnych zagadnień, gdzie można wyprowadzić
r wnanie r żniczkowe (lub uklady r wnań) bez uciekania sie do odpowiednich
funkcjonal w. Przykladem może być analiza zginania plyt niespre żystych.
W metodzie energetycznej poslugujemy sie funkcjami kinematycznie dopuszczal-
nymi ¨i " C2, a wiec dwukrotnie r żniczkowalnymi. W podanej metodzie ortog-
onalizacji musimy przyjmować funkcje bazowe ¨i " C4.
Dokladniej om wimy metode Ritza i Bubnowa-Galerkina w dodatku D.3. Wykazano
tam, że pomijanie czlon w brzegowych w energii potencjalnej lub calce bledu R
prowadzi do r wnoważności obydwu metod w przypadku kinematycznych warunk w
brzegowych plyty.
Przyk ad 3.9 P yta utwierdzona obcia żona r wnomiernie (rys. 3.17).
Dla wsp lrzednych bezwymiarowych (3.33) przyjmujemy funkcje bazowe (3.28), a
9
wiec:
¨1 = X1Y1, ¨2 = X1Y2 + X2Y1, ¨3 = X2Y2,
gdzie funkcje jednej zmiennej wynosza:
2
X1 = ¾2 - 1 , X2 = ¾2X1,
Y1 = (·2 - 1)2 , Y2 = ·2Y1.
Funkcje te spelniaja warunki brzegowe:
"Xk
Xk(Ä…1) = 0, = 0,
"x
¾=Ä…1
"Ym
Ym(Ä…1) = 0, = 0.
"y
·=Ä…1
Obliczymy 3 kolejne przybliżenia ugiecia plyty:
n
w(n) = wi¨1.
i=1
Wsp lczynniki aij, bi obliczono dla plyty kwadratowej w [15]. Prowadzi to do
10
nastepnego ukladu r wnań liniowych:
106.997w1 + 19.4541w2 + 1.08078w3 = 0.142222w0,
19.4541w1 + 43.8964w2 + 3.49168w3 = 0.0406349w0,
1.08078w1 + 3.49168w2 + 0.094474w3 = 0.00290245w0,
gdzie po prawej stronie wystepuje wsp lczynnik w0 = p0a4/D. Kolejne przybliżenia
otrzymujemy przez rozwiazanie coraz wiekszej liczby r wnań:
(1)
w1 = 0.001329w0,
(2) (2)
w1 = 0.001268w0, w2 = 0.0003379w0,
(3) (3) (3)
w1 = 0.001264w0, w2 = 0.0003343w0, w3 = 0.00003906w0.
(i)
Z postaci funkcji dopuszczalnych wynika, że w1 odpowiada ugieciu środka
plyty:
(n)
wmax = w (0, 0) = w1 .
Obliczone wartości można por wnać z rozwiazaniem otrzymanym podw jnymi
szeregami trygonometrycznymi. W [15], str.193 dla plyty kwadratowej b/a = 1
podano rozwiazania, kt re można uznać za ścisle:
p0a4
w (0, 0) = 0.00126 = wśc,
D
skad wynika:
(1)
w1 = 1.0548wśc.
Jeśli jako rozwiazanie przybliżone przyjmiemy:
w1 2Ä„x 2Ä„y
w = 1 + cos 1 + cos ,
4 a b
11
to otrzymujemy przybliżenie:
pa4
w1 = 0.0012833 = 1.0185wśc.
D
Otrzymane rozwiazanie dla w daje dobre wyniki r wnież dla moment w zgi-
najacych.
Dla plyty kwadratowej i ½ = 0.3 otrzymano rozwiazanie (tabl.35, str.193 w
[15]):
a
mx (0, 0) = 0.0231p0a2, mx , 0 = -0.0513p0a2.
2
(i)
Przyjmujac wsp lczynniki wj momenty zginajace wynosza:
m(1) (0, 0) = 0.0276p0a2, m(3) (0, 0) = 0.0228p0a2,
x x
m(1) a, 0 = -0.0425p0a2, m(3) a, 0 = -0.0512p0a2.
x x
2 2
Przyk ad 3.10. P yta ko owa na pod ożu winklerowskim (rys. 3.18). Do
obliczeń metoda ortogonalizacji nie można przyja ć funkcji w w postaci wielomianu
drugiego stopnia (3.35). Do obliczeń przyjmujemy ugiecie w postaci:
w = w1 + w2r2 + w3r4 + w4r6.
12
Wsp lczynniki w3 i w4 obliczamy z warunk w brzegowych:
d2w ½ dw
mr (a) a" -D + = 0,
dr2 r dr
r=a
d 1 dw
qr (a) a" -Ddr d2w + = 0.
dr2 r dr
r=a
Z tych r wnań otrzymujemy:
3 (1 + ½) w2 1 + ½ w2
w3 = - , w4 = ,
4 (2 + ½) a2 6 (2 + ½) a4
co prowadzi do funkcji w w postaci:
3 (1 + ½) r2 1 + ½ r4
w = w1 + w2r2 1 - + .
4 (2 + ½) a2 6 (2 + ½) a4
Z warunk w ortogonalności obliczamy wsp lczynniki a11, a12, a22, b1, b2
wedlug wzor w (3.41). Dochodzimy w ten spos b do ukladu r wnań:
a2 5
w1 + 1 - µ w2 = pa,
2 12
5 2 37 377 3 2 2 ²4 µ
1 - µ w1 + - µ + µ2 + 1 - µ 16µc a2w2 = pa 1 - + ,
12 3 60 2520 5 6 2
gdzie poslużono sie oznaczeniami:
1 + ½ b D qb2 P
µ = , = , c = , p = = .
2 + ½ a ka4 ka3 Ä„ka3
Dla danych jak w przykladzie 3.8, a wiec dla
a = 5cm, c = 1, = 0, ½ = 0.3, p = 8.16 · 10-3
otrzymujemy:
w (0) = w1 = 4.28 · 10-2cm = 0.995wÅ›c,
w (a) = 3.93 · 10-2cm = 1.005wÅ›c.
Tak wiec widać, że dla analizowanej plyty bledy w por wnaniu z rozwiazaniem
13
ścislym (por. [15], str.246) wynosza zaledwie 0.5%. W przykladzie 3.8, gdzie te
sama plyte analizowaliśmy metoda Ritza, przyjmujac ugiecie przybliżone (3.35),
blad wynosil 3%.
Niewielkie r żnice miedzy ugieciami brzegu i środka plyty świadcza o dość dużej
jej sztywności. Jeśli przyjmiemy D ", to w2 = 0 i ugiecie jest stale i wynosi
w = pa = 4.08 · 10-2cm.
Na rys. 3.18 linia przerywana zaznaczono ugiecie plyty sztywnej.
14
Errata przyklad 3.8:
a a
1 2 D
D 8 (1 + ½) w2 r dr+k (w1r2 + w2r4) r dr = ka4 w1 + + 16 (1 + ½) a2w2
4 3 ka4
0 0
is true
15
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
ZARZĄDZANIE FINANSAMI cwiczenia zadania rozwiazaneEzestawy cwiczen przygotowane na podstawie programu Mistrz Klawia 6menu cwiczenia14ćwiczenie5 tabeleInstrukcja do cwiczenia 4 Pomiary oscyloskopoweFilozofia religii cwiczenia dokladne notatki z zajec (2012 2013) [od Agi]Ćwiczenia z chemiiCwiczenie nrĆwiczenie M16zestawy domowe ćwiczeń korekcjawahadło fizyczne ćwiczenia z aghwięcej podobnych podstron