WYKA
AD Nr 16
FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH  c. d.
6. POCHODNA FUNKCJI ZA
OŻONEJ
POCHODNA FUNKCJI ZA
OŻONEJ JEDNEJ ZMIENNEJ NIEZALEŻNEJ
A) Pochodna funkcji z = f (x(t), y(t))
Tw.6.1. (o pochodnej funkcji z = f (x(t), y(t)))
Jeżeli:
- funkcja f (x, y) jest określona w obszarze D,
- funkcje x(t), y(t) okreÅ›lone w przedziale (Ä…, ²), takie że para (x, y)" D odwzorowuje
przedziaÅ‚ (Ä…, ²) w obszar D,
- funkcje x(t), y(t) sÄ… różniczkowalne dla t "(Ä…, ²),
" f " f
- funkcja z = f (x(t), y(t)) ma pochodne , dla każdej pary (x, y)" D oraz są one
" x " y
ciągłe
d z
to wówczas funkcja złożona z = f (x(t), y(t)) ma dla argumentu t pochodną określoną następująco
d t
d z " f d x " f d y
(1) = Å" + Å"
d t " x d t " y d t
Przykład: Niech będzie dana funkcja z = f (x, y) = x2 + y sin x mająca ciągłe pochodne w całej
2 2
przestrzeni R2 oraz niech x = 2t , y = et - t , t " R . Obliczyć pochodną funkcji z = f (x(t), y(t)) dla
t0 = 0 .
" f " f
Rozwiązanie: Ponieważ = 2x + y cos x , = sin x
" x " y
d x d y
= 4t , = et - 2t
d t d t
oraz spełnione są założenia tw.6.1, więc wstawiając powyższe pochodne cząstkowe do wzoru (1) mamy:
d z
= (2x + y cos x)Å" 4t + sin x Å"(et - 2t)
d t
2 2
StÄ…d podstawiajÄ…c za x = 2t , y = et - t otrzymujemy
d z
2 2 2 2
=[2 Å" 2t + (et - t )cos(2t )]Å" 4t + sin(2t )Å"(et - 2t)=
d t
2 2 2 2
=[4t + (et - t )cos(2t )]Å" 4t + sin(2t )Å"(et - 2t)
d z d z
Zatem = (0)= (0 + 1Å"1)Å" 0 + 0 Å"1 = 0
d t d t
t0 =0
d z " f d x " f d y
Uwaga: Można również zastosować wzór = Å" + Å" ,
d t " x d t " y d t
t0 P0 t0 P0 t0
gdzie P0(x(t0 ), y(t0 ) )
207
d z
SCHEMAT OBLICZANIA POCHODNEJ
d t
z = f (x, y)
" f " f
" x " y
x y
d x d y
d t d t
t
d z " f d x " f d y
= Å" + Å"
d t " x d t " y d t
Druga pochodna funkcji z = f (x(t), y(t))
Zachowując założenia z tw.6.1. zakładamy dodatkowo, że występujące tam funkcje mają ciągłe pochodne
2
do rzędu drugiego włącznie (tzn. są klasy C ).
2
d z
SCHEMAT OBLICZANIA POCHODNEJ
2
d t
2
ëÅ‚ öÅ‚
d z d d z
ìÅ‚ ÷Å‚
= = {wstawiamy wzór (1)}
ìÅ‚ ÷Å‚
2
d t d t
d t
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚
d " f d x " f d y d " f d x d " f d y öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
= Å" + Å" = Å" + Å" = {pochodne iloczynu}
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
d t " x d t " y d t d t " x d t d t " y d t
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
d " f d x " f d x d " f d y " f d y
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
= Å" + Å" + Å" + Å" = {należy zróżniczkować wzglÄ™dem
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
d t " x d t " x d t " y d t " y
d t d t
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
" f " f
zmiennej t człony , patrz poniższe schematy, a następnie wstawić otrzymane wyrażenia} (*)
" x " y
" f " f
" x " y
2 2 2
"2 f " f " f " f
2
" y " x " x " y
" x2 " y
x y x y
d x d y d x d y
d t d t d t d t
t t
czyli wracajÄ…c do (*):
208
2 2 2 2 2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
"2 f d x " f d y d x " f d x " f d x " f d y d y " f d y
= Å" + Å" Å" + Å" + Å" + Å" Å" + Å" =
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
2 2
d t " x d t " y
d t d t
ðÅ‚" x2 d t " y " x d t ûÅ‚ ðÅ‚" x " y d t " y2 d t ûÅ‚
2 2
2 2 2 2 2 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
" f d x " f d y d x " f d x " f d x d y " f d y " f d y
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
= Å" + Å" Å" + Å" + Å" Å" + Å" + Å" =
2 2
d t " y " x d t d t " x " x " y d t d t d t " y
" x2 ìÅ‚ ÷Å‚ d t " y2 ìÅ‚ ÷Å‚ d t
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2 2
" f " f
{korzystamy z twierdzenia Schwarza = }
" x " y " y " x
2 2
2 2 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
" f d x "2 f d y d x "2 f d y " f d x " f d y
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
= Å" + 2 Å" Å" + Å" + Å" + Å"
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2
d t " y " x d t d t d t " x " y
" x2 ìÅ‚ ÷Å‚ " y d t d t
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Ostatecznie
2 2
2 2 2 2 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
d z " f d x "2 f d y d x " f d y " f d x " f d y
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
(2) = Å" + 2 Å" Å" + Å" + Å" + Å"
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
d t " y " x d t d t d t " x " y
d t " x2 ìÅ‚ ÷Å‚ " y d t d t
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
3
Przykład: Obliczyć drugą pochodną funkcji z = ex-2 y , gdzie x = sin t, y = t
Rozwiązanie: Podana funkcja spełnia założenia w R2 .
2
" z " z " z "2 z "2 z
x-2 y x-2 y x-2 y x-2 y x-2 y
Ponieważ = e , = -2e , = e , = 4e , = -2e
2
" x " y " x " y
" x2 " y
2 2
d x d y d x d x
2
= cos t, = 3t , = - sin t, = 6t
2 2
d t d t
d t d t
Zatem
2
d z
x-2 y x-2 y 2 x-2 y 4
= e Å" cos2 t + 2 Å"(- 2e )Å" cos t Å" 3t + 4e Å" 9t + ex-2 y Å" (- sin t)- 2ex-2 y Å" 6t =
2
d t
3
{wstawiamy x = sin t, y = t }
2 4
= esin t-2t3 Å" cos2 t + -12t esin t-2t3 Å" cos t + 36t esin t-2t3 - sin t Å" esin t-2t3 -12tesin t-2t3 =
2 4
= esin t-2t3 (cos2 t - 12t cos t + 36t - sin t - 12t)
Uwaga: Przykład ten możemy rozwiązać również innym sposobem.
W tym celu obliczamy:
d z
x-2 y 2 3
= e Å" cos t - 2ex-2 y Å" 3t = {wstawiamy x = sin t, y = t } =
d t
d z
2 2 2
= esin t-2t3 cos t - 6t esin t-2t3 = esin t-2t3 (cos t - 6t ), czyli = esin t-2t3 (cos t - 6t )
d t
Wówczas obliczając drugą pochodną traktujemy ją jako pochodną z pierwszej pochodnej funkcji jednej
zmiennej t.
209
B) Pochodna funkcji z = z(x, y(x))
Jeżeli przyjmiemy x = t to otrzymamy funkcję złożoną, której pochodną obliczamy korzystając ze
schematu:
z = z(x, y(x))
" z " z
" x " y
x y
d y
d x
x
Zatem
d z " z " z d y
(3) = + Å"
d x " x " y d x
W przypadku drugiej pochodnej mamy:
2 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
d z d d z d " z " z d y d " z d " z d y " z d y
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
= = + Å" = + Å" + Å" =
÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
d x d x d x " x " y d x d x " x d x " y d x " y
d x2 ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ d x2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2 2 2 2 2 2
ëÅ‚ öÅ‚
" z " z d y " z "2 z d y d y " z d y " z " z d y
ìÅ‚ ÷Å‚
= + Å" + + Å" Å" + Å" = + 2 Å" +
ìÅ‚
" y " x d x " x " y d x d x " y " y " x d x
" x2 " y2 ÷Å‚ d x2 " x2
íÅ‚ Å‚Å‚
2
2 2
ëÅ‚ öÅ‚
" z d y " z d y
ìÅ‚ ÷Å‚
+ + Å"
ìÅ‚ ÷Å‚
2
d x " y
" y d x2
íÅ‚ Å‚Å‚
Ostatecznie
2
2 2
ëÅ‚ öÅ‚
d z "2 z "2 z d y "2 z d y " z d y
ìÅ‚ ÷Å‚
(4) = + 2 Å" + + Å"
" y " x d x d x " y
d x2 " x2 " y2 ìÅ‚ ÷Å‚ d x2
íÅ‚ Å‚Å‚
x y
Przykład: Obliczyć pierwszą i drugą pochodną funkcji z = ln(e + e ), y = x3
RozwiÄ…zanie:
x y 2 x+ y 2 x+ y
" z e " z e " z e " z e
Ponieważ = , = , = , = ,
x y x y 2 2
x y
" x " y
e + e e + e " x2 x + e y 2 " y
(e ) (e + e )
x+ y 2
"2 z - e d y d y
= , = 3x2 , = 6x
2
x y
" y " x d x
d x2
(e + e )
x y x3 x x3
d z e e ex e e + 3x3e
Zatem = + Å" 3x2 = + Å" 3x2 =
x y x y
x x3 x x3 x x3
d x
e + e e + e
e + e e + e e + e
2 x+ y
d z ex+ y - e ex+ y ex
= + 2 Å" 3x2 + Å" 9x4 + Å" 6x =
2 2 x y
y x y
d x2 x + e y 2 e + e
(e ) (ex + e ) (e + e )
x+ x3 x+x3 x+x3 x
e - e e e
= + 2 Å" 3x2 + Å" 9x4 + Å" 6x
2 2 2
x3
x x3 x x3 x
ëÅ‚e + e öÅ‚ ëÅ‚e + e öÅ‚ ëÅ‚e + ex3 öÅ‚ ex + e
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
210
POCHODNA FUNKCJI ZA
OŻONEJ DWÓCH ZMIENNYCH NIEZALEŻNYCH
Tw.6.2. (o pochodnej funkcji z = f (x(u, v), y(u, v)))
Jeżeli:
- funkcja z = f (x(u, v), y(u, v)) klasy C1 jest okreÅ›lona w obszarze D ‚" R2 ,
- funkcje x(u, v), y(u, v) mają ciągłe pochodne I  go rzędu w obszarze D,
- (x(u, v), y(u, v))" D gdy (u, v)" D1
to wówczas funkcja złożona dwóch zmiennych z = f (x(u, v), y(u, v)) ma pochodne cząstkowe I go rzędu
określone następująco:
" z " z " x " z " y
(5) = Å" + Å"
" u " x " u " y " u
" z " z " x " z " y
(6) = Å" + Å"
" v " x " v " y " v
SCHEMAT OBLICZANIA POCHODNYCH CZ
STKOWYCH I  GO RZ
DU
z = f (x, y)
" z " z
" x " y
x y
" x " x " y " y
" u " v " u " v
u v
xy
Przykład: Obliczyć pochodne cząstkowe I  go rzędu względem u i v funkcji z = e , gdzie
v
2
x = ln u + v2 , y = arctg .
u
RozwiÄ…zanie:
Korzystając ze wzorów (5) i (6) dla (u, v)`" (0,0) i u `" 0 mamy:
" z 1 2u 1 v u - v
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
xy
= ye Å" Å" + xexy Å" Å" = exy y + x =
ìÅ‚- ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
2 2
" u
íÅ‚ u Å‚Å‚ íÅ‚ u + v2 u + v2 Å‚Å‚
v
u + v2 2 u + v2 ëÅ‚ öÅ‚
1 +
ìÅ‚ ÷Å‚
u
íÅ‚ Å‚Å‚
v
arctg Å"ln u2 +v2
v u - v
ëÅ‚ öÅ‚
2
u
= e arctg Å" + ln u + v2
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
u
íÅ‚ u + v2 u + v2 Å‚Å‚
" z 1 2v 1 1 v u
ëÅ‚ öÅ‚
xy xy
= ye Å" Å" + xexy Å" Å" = e y + x =
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2
2 2
" v u
íÅ‚ u + v2 u + v2 Å‚Å‚
v
u + v2 2 u + v2 ëÅ‚ öÅ‚
1+
ìÅ‚ ÷Å‚
u
íÅ‚ Å‚Å‚
v
arctg Å"ln u2 +v2
v v u
ëÅ‚ öÅ‚
2
u
= e arctg Å" + ln u + v2
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
u
íÅ‚ u + v2 u + v2 Å‚Å‚
211
POCHODNE CZ
STKOWE RZ
DU II  GO FUNKCJI ZA
OŻONEJ DWÓCH ZMIENNYCH
NIEZALEŻNYCH
2 2
ëÅ‚ " z öÅ‚ ëÅ‚ " z " x " z " y öÅ‚ ëÅ‚ " z öÅ‚ " x " z ëÅ‚ " z öÅ‚ " y " z " y
"2 z " " " " x "
= ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ Å" + Å" = Å" + Å" + ìÅ‚ ÷Å‚ Å" + Å" =
= ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2
" u " u " u " x " u " y " u " u " x " u " x " u " y " u " y
" u " u " u
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2 2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
"2 z " x " z " y " x " z " x "2 z " x "2 z " y " y " z "2 y
= Å" + Å" Å" + Å" + Å" + Å" Å" + Å" =
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
2 2 2
" u " x " u " y
" u " u
ðÅ‚" x2 " u " y " x " u ûÅ‚ ðÅ‚" x " y " u " y " u ûÅ‚
2 2
2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
"2 z " x "2 z " x " y "2 z " y " z " x " z "2 y
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
= Å" + 2 Å" Å" + Å" + Å" + Å"
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2
" u " x " y " u " u " u " x " y
" x2 ìÅ‚ ÷Å‚ " y " u " u
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2 2
ëÅ‚ " z öÅ‚ ëÅ‚ " z " x " z " y öÅ‚ ëÅ‚ " z öÅ‚ " x " z ëÅ‚ " z öÅ‚ " y " z " y
"2 z " " " " x "
= ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ Å" + Å" = Å" + Å" + ìÅ‚ ÷Å‚ Å" + Å" =
= ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
" v " v " v " x " v " y " v " v " x " v " x " v " y " v " y
" v2 ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ " v2 ìÅ‚ ÷Å‚ " v2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2 2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
"2 z " x " z " y " x " z "2 x " z " x "2 z " y " y " z "2 y
= Å" + Å" Å" + Å" + Å" + Å" Å" + Å" =
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
2
" v " x x " y " v " v " v " y
" v2 ðÅ‚" " y " v2
ðÅ‚" x2 " v " y " x " v ûÅ‚ ûÅ‚
2 2
2 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
"2 z " x "2 z " x " y " z " y " z " x " z "2 y
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
= Å" + 2 Å" Å" + Å" + Å" + Å"
ìÅ‚ ÷Å‚
2
" v " x " y " v " v " v " x " y
" x2 ìÅ‚ ÷Å‚ " y " v2 " v2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2
ëÅ‚ " z öÅ‚ ëÅ‚ " z " x " z " y öÅ‚ ëÅ‚ " z öÅ‚ " x " z ëÅ‚ " z öÅ‚ " y
"2 z " " " " x "
= ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ Å" + Å" = Å" + Å" + ìÅ‚ ÷Å‚ Å" +
= ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
" u " v " u " v " u " x " v " y " v " u " x " v " x " u " v " u " y " v
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2 2 2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
" z "2 y "2 z " x " z " y " x " z " x "2 z " x " z " y " y
+ Å" = Å" + Å" Å" + Å" + Å" + Å" Å" +
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
" y " u " v " v " x " u " v x " y " u " u " v
" y2 ûÅ‚
ðÅ‚" x2 " u " y " x " u ûÅ‚ ðÅ‚"
2 2
" z "2 y "2 z " x " x "2 z " x " y " z " x " z " x " y "2 z " y " y
+ Å" = Å" Å" + Å" Å" + Å" + Å" Å" + Å" Å" +
2
" y " u " v " u " v " y " x " v " u " x " u " v " x " y " u " v " u " v
" x2 " y
" z "2 y
+ Å"
" y " u " v
"2 z
Analogicznie można wyprowadzić wzór na pochodną .
" v " u
Uwaga: Przy wyprowadzaniu powyższych wzorów korzystaliśmy ze wzorów (5), (6), reguł
różniczkowania sumy i iloczynu oraz następujących schematów:
" z " z
" x " y
x y x y
u v u v
212
2
"2 z "2 z " z
Przykład: Przekształcić wyrażenie różniczkowe - 4 + 3 wprowadzając zmienne u i v
" x " y
" x2 " y2
określone następująco: u = 3x + y , v = x + y .
RozwiÄ…zanie:
W zadaniu mamy do czynienia z pewną funkcją z dwóch zmiennych u i v, z których każda jest funkcją
dwóch zmiennych niezależnych x i y. Zatem z = f ( u(x, y) , v(x, y) ).
Schemat obliczania pochodnych cząstkowych I  go rzędu tej funkcji przedstawia się następująco:
z = f (u, v)
" z " z
" u " v
u v
" u " u " v " v
" x " y " x " y
x y
Korzystając z powyższego schematu otrzymujemy następujące wzory na pochodne cząstkowe I  go
rzędu:
" z " z " u " z " v " z " z " u " z " v
= Å" + Å" , = Å" + Å"
" x " u " x " v " x " y " u " y " v " y
" u " u " v " v
Ponieważ = 3, =1, =1, =1
" x " y " x " y
Zatem
" z " z " z " z " z " z
= Å"3+ Å"1, = Å"1 + Å"1
" x " u " v " y " u " v
czyli
" z " z " z " z " z " z
= 3 + = +
" x " u " v " y " u " v
Obliczamy pochodne cząstkowe rzędu II  go występujące w naszym wyrażeniu różniczkowym:
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
"2 z " " z " " z " z " " z " " z "2 z " u "2 z " v
÷Å‚
= ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ + = 3 ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ = 3ìÅ‚ Å" + Å" +
= ÷Å‚ +
÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2
ìÅ‚ ÷Å‚
" x " x " x " u " v " x " u " x " v " x " v " u " x
" x2 ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚3 " u
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
"2 z " u "2 z " v "2 z "2 z "2 z "2 z "2 z "2 z "2 z
+ Å" + Å" = 3ìÅ‚ Å" 3 + Å"1÷Å‚ + Å" 3 + Å"1 = 9 + 6 +
2
ìÅ‚ ÷Å‚
" u " v " x " x " v " u " u " v " u " v
" v2 " u " v2 " u2 " v2
íÅ‚ Å‚Å‚
2
"2 z " z
Z twierdzenie Schwarza = , co zostało powyżej wykorzystane w końcowych obliczeniach.
" u " v " v " u
213
2 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
"2 z " " z " " z " z " " z " " z " z " u " z " v
= ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ + = + = Å" + Å" +
= ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
" y " y " y " u " v " y " u " y " v " y " v " u " y
" y " u
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2 2 2 2 2
" z " u " z " v " z "2 z " z " z "2 z "2 z "2 z
+ Å" + Å" = Å"1 + Å"1 + Å"1 + Å"1 = + 2 +
2 2
" u " v " y " y " v " u " u " v " u " v
" v2 " u " v2 " u " v2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
"2 z " " z " " z " z " " z " " z "2 z " u "2 z " v
= ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ + = + = Å" + Å" +
= ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2
" x " y " x " y " x " u " v " x " u " x " v " x " v " u " x
" u
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2 2 2 2 2 2
" z " u " z " v "2 z "2 z "2 z " z " z " z " z
+ Å" + Å" = Å" 3 + Å"1 + Å" 3 + Å"1 = 3 + 4 +
2 2
" u " v " x " x " v " u " u " v " u " v
" v2 " u " v2 " u " v2
Ostatecznie otrzymaliśmy następujące pochodne cząstkowe II  go rzędu wyrażone za pomocą
zmiennych u i v.
2 2
"2 z " z "2 z " z
= 9 + 6 + ,
2
" u " v
" x2 " u " v2
"2 z "2 z "2 z "2 z
= + 2 + ,
2 2
" u " v
" y " u " v2
"2z "2z "2z "2z
= 3 + 4 +
" x" y "u "v
"u2 " v2
Wstawiając powyższe zależności do podanego wyrażenia różniczkowego otrzymujemy:
2 2 2 2 2 2
ëÅ‚ öÅ‚
"2 z " z "2 z "2 z " z " z " z " z " z
÷Å‚
- 4 + 3 = 9 + 6 + - 4ìÅ‚3 + 4 + +
2 2 2
" x " y " u " v " u " v
" x2 " y " u " v2 ìÅ‚ " u " v2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
2 2 2 2
ëÅ‚ öÅ‚
" z " z " z "2 z "2 z "2 z " z "2 z "2 z
÷Å‚
+ 3ìÅ‚ + 2 + = 9 + 6 + -12 -16 - 4 +
2 2 2
ìÅ‚
" u " v " u " v " u " v
" u " v2 ÷Å‚ " u " v2 " u " v2
íÅ‚ Å‚Å‚
2
" z "2 z "2 z "2 z
+ 3 + 6 + 3 = -4
2
" u " v " u " v
" u " v2
2
"2 z "2 z " z
Ostatecznie wyrażenie różniczkowe - 4 + 3 po wprowadzeniu zmiennych u = 3x + y ,
" x " y
" x2 " y2
v = x + y przedstawia się następująco:
"2 z "2 z "2 z "2 z
- 4 + 3 = -4 .
" x " y " u " v
" x2 " y2
214


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Microsoft Word W15 funkcje 2 zmiennych i ekstrema
Microsoft Word W24 Funkcje zespolone
Neu Microsoft Word Dokument
w cusb37 Microsoft Word 2013 Free Reference Card
Microsoft Word sprawozdanie Pyzik
Wyprowadzenia pochodnych ważniejszych funkcji • Matematyka
Microsoft Word Rozdzial 4 doc sebastian
Microsoft Word Cz I CWICZ RACH Z MTP1 Materialy Pomoc Stud
Microsoft Word Documento1
Microsoft Word strukt cwiczenie2
Microsoft Word W19 Calka podwojna
Microsoft Word beleczka doc
Microsoft Word W21 Calka krzywoliniowa
Microsoft Word sasiedzi powinni wspolpracowac
Microsoft Word AUDYT 4 DPS internat 2
Microsoft Word Logistyka blok 1

więcej podobnych podstron