J. Szantyr  Wykład nr 25  Przepływy w przewodach
zamkniętych I
Przewód zamknięty  kanał o dowolnym kształcie przekroju
poprzecznego, ograniczonym linią zamkniętą, całkowicie wypełniony
płynem (bez swobodnej powierzchni)
Do opisu ruchu płynu w kanałach zamkniętych stosuje się uproszczony
model przepływu jednowymiarowego. Zakłada się, że oś kanału jest
 prawie prosta, a przepływ przez przekrój S odbywa się z prędkością
~
 reprezentatywną , czyli jakąś prędkością średnią
u
Najprostszy przypadek: przewód o stałym przekroju kołowym
ułożony poziomo. Przepływ stacjonarny płynu nieściśliwego.
Równanie zachowania masy (m-masowe natężenie przepływu):
" m
~ ~ ~
(ÁuS)= 0 ÁuS = m = const u = = const
"l ÁS
D p
~ ~~ "~
~
Równanie zachowania pędu:
(ÁuS)= ÁfS - S - pÄC
Dt "l
gdzie C  obwód przekroju S
gdzie C  obwód przekroju S
pÄ - lepkoÅ›ciowe naprężenia styczne
2 2
"p "p C C
0 = - S - pÄC = - pÄ pÄ dl
+"dp = -+"
"l "l S S
1 1
Przy stałych naprężeniach wzdłuż kanału o przekroju kołowym mamy:
4l
"p = p1 - p2 = pÄ
d
Na skutek działania sił lepkości wzdłuż kanału występuje spadek
pÄ
ciśnienia wprost proporcjonalny do l i oraz odwrotnie
proporcjonalny do d.
W przypadku w pełni rozwiniętego przepływu laminarnego, czyli po
lw H" 0,03Å" ReÅ" d
odcinku początkowym można uzyskać analityczne
rozwiązanie równania Naviera-Stokesa, które prowadzi do wzorów:
prędkość lokalna:
"p
( ) ( )
u(r)= (r02 - r2)
0
4µl
4µl
prędkość
"p Å" r02
~
u =
średnia:
8µl
Wzór na prędkość średnią można przekształcić do
2
~
wzoru Darcy-Weisbacha:
l Áu
"p = 
d 2
gdzie   współczynnik oporu, lub współczynnik
strat liniowych
64
W przepływie laminarnym:
 =
Re
W przepływie turbulentnym
przez rury hydrodynamicznie
0,3164
 =
4
gładkie:
Re
Henri Darcy Julius Weisbach
1803 - 1858 1806 - 1871
W ogólnym przypadku należy
r0
öÅ‚
uwzglÄ™dnić wpÅ‚yw  = ëÅ‚Re,
ìÅ‚ ÷Å‚
k
íÅ‚ Å‚Å‚
chropowatości ścian:
chropowatości ścian:
Turbulentny profil
prędkości w przewodzie
Przypadek trudniejszy: przewód nachylony pod kątem ą
Jeżeli założymy przepływ stacjonarny, to równanie zachowania pędu
przyjmie postać:
2
~ ~
ëÅ‚ öÅ‚
"u 1 "p pÄ C " u p pÄ C
~
ìÅ‚ ÷Å‚
u = fl - - + + gz = -
ìÅ‚ ÷Å‚
"l Á "l Á S "l 2 Á Á S
íÅ‚ Å‚Å‚
dz
gdzie podstawiono składową siły
fl = g sinÄ… = -g
masowej wzdłuż l:
dl
Po scałkowaniu pomiędzy dwoma przekrojami kanału otrzymujemy
równanie Bernoulliego dla rzeczywistego przepływu ze stratami:
równanie Bernoulliego dla rzeczywistego przepływu ze stratami:
2
~ ~
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
u12 p1 u22 p2 pÄ C
ìÅ‚ ÷Å‚ ÷Å‚
+ + gz1 ÷Å‚ - ìÅ‚
+ + gz2 ÷Å‚ = dl
+"
ìÅ‚ ìÅ‚
2 Á 2 Á Á S
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
1
albo:
2
~ ~
u12 p1 u2 p2
+ + z1 = + + z2 + hs = H = const
2g Ág 2g Ág
hs
Daniel Bernoulli
gdzie - wysokość strat
1707 - 1783
Wysokość strat możemy podzielić na dwa składniki:
-wysokość strat liniowych związanych z tarciem płynu o ścianki
przewodu prostoliniowego o stałym przekroju,
-wysokość strat lokalnych związanych z obecnością zaworów,
kolan, zwężeń, rozgałęzień i innych elementów.
2
~
u l
hs = 
Wysokość strat liniowych wyraża się wzorem:
2g d
2 2
~ ~
~ ~
u u
u12 u22
2
hs = Â = Â
Wysokość strat lokalnych wyraża się wzorem:
2g 2g
Gdzie ś jest współczynnikiem strat lokalnych, który może być
określony w odniesieniu do prędkości przed elementem lub prędkości
za elementem. Współczynniki ś są określane eksperymentalnie i
można je znalez
ć w odpowiednich tablicach. Poniżej podano kilka
przykładowych wartości współczynników strat lokalnych.
Współczynniki strat lokalnych
Rodzaj straty lokalnej Współczynnik straty
2
 = 0,5
Wlot ze zbiornika
Załamanie przewodu o Ć
 = 0,946sin2 Õ 2 + 2,05sin4 Õ 2
2 2
2
Zwiększenie przekroju  = (1- A1 A2)  = (A2 A1 -1)
Kurek otwarcie 5 stopni
Kurek otwarcie 5 stopni
 = 0,05
 = 0,05
 = 31,2
Kurek otwarcie 45 stopni
 =10,0
Wlot ssania pompy
W przypadku gdy przepływ odbywa się w przewodach o znacznej
średnicy, równanie Bernoulliego powinno być jeszcze uzupełnione o
współczynnik Coriolisa (lub de Saint-Venanta) ą
2
~ ~
Ä…1 Å"u12 p1 Ä…2 Å"u2 p2
+ + z1 = + + z2 + hs = H = const
2g Ág 2g Ág
Wynika to z faktu, że energia strumienia niejednorodnego różni się
od energii obliczonej według średniej prędkości wydatkowej dla
tego strumienia. Wobec tego mamy:
tego strumienia. Wobec tego mamy:
3
+"u dA
A
Ä… =
3
~
u Å" A
Współczynnik ą jest tym większy
im bardziej niejednorodne jest pole
prędkości przepływu.
Gaspard Coriolis Adhemar de Saint Venant
1792 - 1843 1797 - 1886
Przykład 1: przewodem o zmiennym przekroju przepływa w
ciÄ…gu godziny 19600 kg paliwa o gÄ™stoÅ›ci Á=930 kg/m**3 i
współczynniku lepkoÅ›ci kinematycznej ½=0,000061 m**2/s.
Obliczyć spadek ciśnienia w przewodzie jeżeli wymiary wynoszą:
l1 = 5[m],d1 = 50[mm],l2 =10[m],d2 =100[mm],h = 5[m]
RozwiÄ…zanie
19600
Q = = 0,00585[m3 s]
Objętościowe natężenie przepływu:
930Å"3600
4Q 4Å"0,00585
c1 = = = 2,98[m s]
Prędkość średnia w części 1:
Ä„d12 3,14Å"0,052
4Q 4Å"0,00585
c2 = = = 0,745[m s]
Prędkość średnia w części 2:
2
Ä„d2 3,14Å"0,12
c1d1 2,98Å"0,05
Liczba Reynoldsa w części 1:
Re1 = = = 2443
½ 0,000061
c2d2 0,745Å"0,1
Re2 = = =1221
Liczba Reynoldsa w części 2:
½ 0,000061
Współczynnik strat liniowych w części 1:
0,3164 0,3164
1 = = = 0,045
4
4
Re1 2443
64 64
2 = = = 0,052
Współczynnik strat liniowych w części 2:
Re2 1221
Spadek wysokości ciśnienia wywołany stratami liniowymi wynosi:
2 2
c1 l1 c2 l2 2,982 5 0,7452 10
h = 1 + 2 = 0,045 + 0,052 = 2,183[m]
2g d1 2g d2 2Å"9,81 0,05 2Å"9,81 0,1
Spadek wysokości ciśnienia wywołany stratami w rozszerzeniu
przekroju:
przekroju:
2 2
2 2
(c - c ) (2,98 - 0,745)
(c1 - c2) (2,98 - 0,745)
[ ]
h = = = 0,255[m]
2g 2Å"9,81
Całkowita strata wysokości ciśnienia wynosi:
hs =h +h = 2,183+ 0,255 = 2,438[m]
Spadek ciśnienia w przewodzie:
2
îÅ‚ - c1
Å‚Å‚
c2 2
"p = ÁgïÅ‚ + hs - hśł = 27245[Pa]H" 0,272[MPa]
2g
ðÅ‚ ûÅ‚
Przykład 2: Syfon o średnicy d i długości l łączy dwa zbiorniki,
w których powierzchnie cieczy są oddalone o wysokość h.
Określić objętościowe natężenie przepływu wody przez syfon
znając współczynnik strat liniowych  oraz współczynniki strat
lokalnych na dopływie i na wypływie.
RozwiÄ…zanie
Równanie Bernoulliego dla przekrojów 1 i 2:
2 2
c1 c2
+ z1 + z2 = + z +
"h
s
2g 2g
Dla przepływu ustalonego mamy: c1 = c2 = c
z1 + z2 - z =
Co prowadzi do:
"h
s
c2 l
ëÅ‚ + Â1 +Â2 öÅ‚
öÅ‚
= + Â +Â
ìÅ‚ ÷Å‚
Ponieważ: oraz
z1 + z2 - z = h
" s
"h = c2 ëÅ‚ l
2g d
íÅ‚ Å‚Å‚
Otrzymujemy:
c2 l
ëÅ‚ +Â1 +Â2 öÅ‚
h =
ìÅ‚ ÷Å‚
2g d
íÅ‚ Å‚Å‚
2gh
Z tego wyznaczamy średnią
c =
l
prędkość przepływu:
 +Â1 + Â2
d
Następnie obliczamy objętościowe natężenie przepływu przez syfon:
2
Ä„d 2gh
Q =
l
4
 +Â1 + Â2
d
Przykład 3
Z otwartego zbiornika wypływa woda przez
przewód o długości l=200 [m] i średnicy
d=100 [mm]. Jaka powinna być wysokość H
poziomu wody w zbiorniku aby objętościowe
natężenie wypływu z wylotu rurociągu
wynosiło Q=40 [l/s]?
m
m2
Å = 1Å"10 [ ]
Å = 1Å"10-6[ ]
Dane: h=2 [m]
Dane: h=2 [m]
s
s
wlot ze zbiornika
 = 0,5
w
kolano
Âk = 0,2
zawór wylotowy
 = 5,0
z
RozwiÄ…zanie
Prędkość średnia wypływu z rurociągu wynosi:
4Q 4Å"0,04
~
c = = = 5,1[m s]
2 2
Ä„d
3,14Å"(0,1)
Liczba Reynoldsa wynosi:
~
cd 5,1Å"0,1
Re = = = 510000
Å 1Å"10-6
Przepływ w rurociągu jest turbulentny, czyli współczynnik tarcia
wynosi:
wynosi:
0,3164 0,3164
 = = = 0,012
4 4
Re 510000
Wysokość H określamy z równania Bernoulliego:
~ ~
c12 pb c22 pb
+ + h + H = + +
"h
s
2g Ág 2g Ág
~
gdzie:
c2 = c
c1 = 0
A
ączna wysokość strat wynosi:
2
~
ìÅ‚ ÷Å‚
"h = c ëÅ‚Â + 3Å"Âk + +  l öÅ‚
s w z
2g d
íÅ‚ Å‚Å‚
Czyli niezbędny poziom wody H w zbiorniku wynosi:
2
~
c l
ëÅ‚1+ Âw + 3Å"Âk +Âw +  öÅ‚
H = - h
ìÅ‚ ÷Å‚
2g d
2g d
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Po podstawieniu danych liczbowych:
2
(5,1) ëÅ‚ 200 öÅ‚
H = ìÅ‚ ÷Å‚ - 2 = 39,2[m]
1+ 0,5 + 3Å"0,2 + 5 + 0,012
2Å"9,81íÅ‚ 0,1
Å‚Å‚
Przypadek przewodów o przekroju niekołowym lub częściowo
wypełnionych
W przypadku przewodów o przekroju innym niż kołowy oraz w
W przypadku przewodów o przekroju innym niż kołowy oraz w
przypadku przewodów częściowo wypełnionych płynem istotnym
parametrem jest promień hydrauliczny, czyli stosunek pola przekroju
strumienia płynu do obwodu zwilżonego:
F
rh =
L
z
W takich przypadkach liczbę Reynoldsa obliczamy według wzoru:
u Å"4rh
Re =
Å


Wyszukiwarka