ANALIZA A1 Wykład: J. Wróblewski
KOLOKWIUM nr 6, zestaw A, 21.11.2006
Zadanie 11.
Obliczyć granicę

3n4 -n2 +1 3n4 -2n2 +4 3n4 -3n2 +9
lim + + +...
n"
5n5 -n3 +1 5n5 -2n3 +8 5n5 -3n3 +27

3n4 -kn2 +k2 3n4 -2n3 +4n2
...+ +...+ .
5n5 -kn3 +k3 5n5 -2n4 +8n3
Rozwiązanie:
Dana pod znakiem granicy suma ma 2n składników i zapisuje się wzorem
2n

3n4 -kn2 +k2
bn = .
5n5 -kn3 +k3
k=1
Szacowanie od góry daje
2n

3n4 -kn2 +k2 2n 3n4 -0+4n2 2n(3n4 +4n2)
= = cn .
5n5 -kn3 +k3 5n5 -2n4 +0 5n5 -2n4
k=1 k=1
Szacując od dołu otrzymujemy
2n

3n4 -kn2 +k2 2n 3n4 -2n3 +0 2n(3n4 -2n3)
= = an .
5n5 -kn3 +k3 5n5 -0+8n3 5n5 +8n3
k=1 k=1
Ponieważ dla dowolnego n zachodzą nierówności
an bn cn ,
a ponadto
lim an = lim cn = 6/5 ,
n" n"
na mocy twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy
lim bn = 6/5 .
n"
1
Zadanie 12.
W każdym z czterech poniższych zadań udziel czterech niezależnych odpowiedzi
TAK/NIE.
Za każde zadanie, w którym podasz cztery poprawne odpowiedzi, otrzymasz 1 punkt.
Za pozostałe zadania nie otrzymasz punktów.
Wyjątki:
Za udzielenie 15 poprawnych odpowiedzi otrzymasz 4 punkty.
Za udzielenie poprawnych odpowiedzi we wszystkich 16 podpunktach otrzymasz 5 punk-
tów.
12.1 Czy jest prawdą, że

n
1
2
a) lim = NIE
n"
n3 3

n
1
3
b) lim = TAK
n"
n3 6
n2

c) lim = 2 TAK
n
n"
2
n2

d) lim = 0 TAK
n
n"
3
12.2 Czy jest prawdą, że log2(a+b) = log2a+log2b, jeżeli
a) a = 2, b = 2 TAK
b) a = 3/2, b = 3 TAK
c) a = 2, b = 3 NIE
d) a = 3/2, b = 2 NIE
12.3 Ciąg (an) spełnia warunek
|an
" -7| < 2 .
n 100
Czy stąd wynika, że
a) |an -8| < 1 NIE
"
n 20
b) an > 0 TAK
"
n 200
c) an < 10 NIE
"
n 150
d) an > 0 NIE
"
n 20
12.4 Czy z tego samego warunku, co w zadaniu powyżej, wynika, że
a) |an
" " -am| < 5 TAK
m>n
n 100
b) |an
" " -am| < 3 NIE
m>n
n 200
c) |an
" " -am| < 5 NIE
m>n
n 50
d) |an
" " -am| < 1 TAK
m>n
n 20
2


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
kolokwium12 2006a
kolokwium8 2006a
kolokwium9 2006a
kolokwium5 2006a
kolokwium2 2006a
Przykladowe kolokwium 2
Kolokwium 3 2015
kolokwium 1 BO przyklad
kolokwium zaliczeniowe

więcej podobnych podstron