TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO  ZAGADNIENIA 2006
1. Fala płaska: wychodząc z pojęcia średniej gęstości mocy magazynowanej oraz średniej
gęstości energii elektrycznej i magnetycznej udowodnić ich związek poprzez prędkość
fazową.
2. Fala płaska: przedyskutować wartości impedancji falowej dla ośrodków typu: idealny
dielektryk, stratny dielektryk, dobry przewodnik. Ocenić relacje fazowe pól E i H w każdym
przypadku.
3. Falowód prostokątny wypełniony powietrzem pobudzono sygnałem f > fc . Wiedząc, że
2
współczynnik fazowy � = (� c) - p2 wyznaczyć prędkość fazową, grupową oraz ich
iloczyn.
4. Korzystając z warunków brzegowych na granicy dwóch ośrodków materialnych o znanych
Ć Ć Ć Ć
impedancjach falowych Z1 i Z2 znalez
ć �E oraz TE (lub �H oraz TH ).
5. Linię mikropaskową o szerokości w = 1mm wykonano na podłożu o �r = 7 , h = 5 mm .
1
Szacując � H" (� +1) określić długość fali w linii oraz długość paska zapewniającą
ef r
2
Ą
zmianę fazy sygnału o � = , przy pobudzeniu sygnałem o f = 9GHz .
4
6. Linię mikropaskową o szerokości w = 0,4 mm i długości l = 10 mm wykonano na podłożu o
1
�r = 9 , h = 0,5 mm . Szacując � H" (� +1) określić straty wynikające z niedoskonałości
ef r
2
dielektryka (tg�� = 10-2) przy pracy z sygnałem o f = 1GHz .
7. Linia współosiowa: wychodząc z równania Laplace a i odpowiednich warunków
brzegowych, znalez
ć pole elektryczne (magnetyczne) w obszarze dielektryka. Wynik
zinterpretować graficznie.
8. Linia współosiowa: określić wymiary a i b wypełnionej teflonem (� = 2,1) linii
r
60 a
współosiowej, o impedancji charakterystycznej Zch = ln = 75� , jeśli ma pracować z
b
�
r
c
jednym rodzajem do f = 18GHz , fmax = .
Ą (a + b) �
r
9. Narysować schemat zastępczy prowadnicy TEM wykorzystujący elementy o stałych
skupionych. Określić założenia. Nazwać elementy schematu i podać jednostki, w których się
je określa.
10. Omówić rodzaje polaryzacji fal elektromagnetycznych. Podać wartość współczynnika
polaryzacji dla poszczególnych przypadków.
Ć
11. Padanie normalne: zdefiniować współczynnik odbicia �E oraz współczynnik fali stojącej
WFS. Przedyskutować sens fizyczny, podać typowe wartości dla przypadków ekstremalnych.
12. Podać najczęściej spotykane definicje impedancji charakterystycznej prowadnicy falowej.
Którą z nich stosuje się dla linii współosiowej (TEM)? Od czego zależy jej wielkość dla linii
współosiowej (TEM)?
r
r
13. Pole elektryczne fali płaskiej: Ę = Ę0 �" ix �" e- j�y . Ocenić jego polaryzację. Wykazać, że można
ten sygnał traktować jako superpozycję dwóch sygnałów o polaryzacji kołowej i przeciwnych
kierunkach obrotu.
14. Porównać (przedyskutować) długość fali w prowadnicy TE, TM oraz TEM.
15. Przedstawić klasyfikację rodzajów pól występujących w prowadnicach falowych, przyjmując
jako kryterium istnienie składowych pól zgodnych z kierunkiem propagacji. Wyjaśnić
znaczenie wszystkich symboli.
16. Przedstawić rodzaje polaryzacji elektrycznej. Omówić pojęcie zdolności polaryzacji i
zastępczej podatności elektrycznej.
17. Przedstawić równanie opisujące ruch ładunków swobodnych w ośrodku przewodzącym oraz
znalez
ć jego rozwiązanie. Wyjaśnić sens fizyczny występujących wielkości.
18. Przedyskutować równanie dyspersyjne i zjawisko odcięcia ( fc , c ) w prowadnicach z
rodzajami TE i TM.
19. Rotacja Faradaya: dane są wartości elementów tensora Poldera: ź = 20,5 , k = 4,5
charakteryzujące anizotropowe własności cylindra ferrytowego magnesowanego zgodnie z
jego osią i kierunkiem propagacji. Określić długość cylindra l zapewniającą skręcenie
Ą
płaszczyzny polaryzacji o kąt � = , jeżeli � = 16 �"� oraz f = 3GHz .
f 0
2
20. Rotacja Faradaya: dane są wartości elementów tensora przenikalności elektrycznej plazmy
magnesowanej zgodnie z kierunkiem propagacji: A=17, B=8. Wyznaczyć odległość, po
Ą
przebyciu której płaszczyzna polaryzacji ulegnie skręceniu o kąt � = , jeżeli f = 6GHz ,
2
ź = ź0 .
21. Sformułować i przedyskutować warunki konieczne dla wzbudzenia rodzaju TEM w
jednorodnej prowadnicy falowej. Od czego zależy ł , ą , � , g w takiej prowadnicy?
22. Wychodząc z definicji współczynnika transmisji mocy pokazać, w jaki sposób zależy jego
wartość od współczynnika odbicia �E oraz od WFS (padanie normalne).
23. Wychodząc z równań Maxwella wyznaczyć równanie falowe dla ośrodka ferrytowego
t
charakteryzowanego tensorem Poldera ź oraz przenikalnością elektryczną � .
f f
Sformułować niezbędne założenia.
24. Wyjaśnij pojęcie: (a) rodzaju quasi-TEM; (b) efektywnej przenikalności elektrycznej.
25. Zapisać amplitudę zespoloną pola elektrycznego pełnej fali stojącej oraz niepełnej fali
stojącej. Wynik zinterpretować graficznie. Porównać warunki, w jakich możliwe jest
powstanie tego typu rozkładów.
26. Zdefiniować głębokość wnikania. Znalez
ć związek pomiędzy głębokością wnikania,
współczynnikiem tłumienia i długością fali w przewodniku.
27. Zdefiniować kąt Brewstera. Wyznaczyć jego wielkość, gdy znane są jedynie parametry
materiałowe (ź,� ) obu przylegających ośrodków.
28. Zdefiniować kąt całkowitego wewnętrznego odbicia. Pokazać, w jaki sposób jego wielkość
zależy od parametrów ośrodków. Wyjaśnić, kiedy powyższe zjawisko nie może wystąpić.
29. Zdefiniować wektor propagacji, podać postać ogólną rozwiązania równania falowego dla
fali płaskiej, wyznaczyć prędkość fazową.
30. Znając liczbę falową k = � ź �"�c oraz wiedząc, że �c = � (�1 - j� ) wyznaczyć i nazwać
0 2
ł , ą , � dla ośrodka dielektrycznego o niskim tłumieniu, tzn. spełniającego warunek:
�2 << �1 , �2 `" 0 .
r
r
31. Znalez
ć przenikalność elektryczną plazmy magnesowanej stałym polem H = H0 �" iy i
r
r
pobudzonym sygnałem o polaryzacji kołowej prawoskrętnej n = iy .
1. Fala płaska: wychodząc z pojęcia średniej gęstości mocy magazynowanej oraz średniej
gęstości energii elektrycznej i magnetycznej udowodnić ich związek poprzez prędkość
fazową.
r
1 � 2 r
Ć
" średnia gęstość mocy magazynowanej: S = �" E0 �" n
2 ź
1
2
" średnia gęstość energii magazynowanej w polu elektr.: we = � �1E0
0
4
1
2
" średnia gęstość energii magazynowanej w polu mag.: wm = ź0ź1H0
4
poza tym:
�0�1 = �
ź0ź1 = ź
ź E0
Z = =
f
� H0
1
Vf =
ź�
stąd:
2 2
we
�0�1E0 1 E0 1
2
= = �" = �" Z = 1 �! we = wm
f
2 2 2
wm ź0ź1H0 ź H0 Z
f
�
2 w
1
2 2 2
w = we + wm = 2 �" we = �"� �" E0 �! E0 = E0 =
2 �
zatem:
r
2 w
1 � r 1 r r
Ć
S = �" �" n = �" w �" n = w �"Vf �" n C.N.D&
2 ź �
ź�
2. Fala płaska: przedyskutować wartości impedancji falowej dla ośrodków typu: idealny
dielektryk, stratny dielektryk, dobry przewodnik. Ocenić relacje fazowe pól E i H w każdym
przypadku.
ź
j�Zf
W ogólnym przypadku: Z = = Z �" e
f f
�
" idealny dielektryk ( ź = ź0 , � = � � , � = 0 ):
r 0
ź
j0o
Z = = Z �" e - dla ośrodków bezstratnych (dielektryki idealne) impedancja
f f
�
falowa jest wielkością rzeczywistą
r r
Składowe pól E i H nie są przesunięte względem siebie (�Z = 0o ).
f
" stratny dielektryk ( ź, � , � `" 0 ):
�
ż#
�#�� << 1 �
j
ź
�#
2��
�! Z = �" e - impedancja falowa zespolona
�#
f
�
�#Z f = j�ź
�#
� + j��
�#
r r
Składowe pól E i H są przesunięte względem siebie o kąt �Z " (0o;45o ) .
f
" dobry przewodnik ( ź, � , � `" 0 ):
�
ż#
�#�� >> 1 Ą
j
�ź
�#
4
�! Z = �" e - impedancja falowa zespolona
�#
f
�
�#Z f = j�ź
�#
� + j��
�#
r r
Składowe pól E i H są przesunięte względem siebie o kąt �Z = 45o .
f
3. Falowód prostokątny wypełniony powietrzem pobudzono sygnałem f > fc . Wiedząc, że
2
współczynnik fazowy � = (� c) - p2 wyznaczyć prędkość fazową, grupową oraz ich
iloczyn.
" prędkość fazowa:
� � � c
Vf = = = =
2 2 2
�
� � pc pc
�# ś# �# ś# �# ś#
1- ś# ź#
ś# ź# - p2 1- ś# ź#
c c � �
�# # �# # �# #
" prędkość grupowa:
-1
2
�# ś#
� pc
�# ś#
ś# � ź#
1- ś# ź#
-1 2
ś#
"�
�# ś#
c2 ź# c �# � # c 1- �# pc ś#
Vg = = ś# ź# = =
ś# ź# ś# ź#
2
�
"� �
�# # �# #
ś# ź#
�
�# ś#
ś# ź# - p2 ź#
ś#
c2
c
�# #
�# #
" iloczyn:
2
c pc
�# ś#
Vf �"Vg = �" c 1- ś# ź#
= c2
2
�
�# #
pc
�# ś#
1- ś# ź#
�
�# #
4. Korzystając z warunków brzegowych na granicy dwóch ośrodków materialnych o znanych
Ć Ć Ć Ć
impedancjach falowych Z1 i Z2 znalez
ć �E oraz TE (lub �H oraz TH ).
" oznaczenia:
r r
Ęp Ęr
ś#
Ęp �# $
Z1 = = -
ś# ź# - fala padająca,
p
�# #
$
$
r
p
r r
Ęr �# $
r ś# - fala odbita,
ś# ź#
�# #
r r
Ęw
ś#
Ęw �# $
Z2 =
ś# ź# - fala wnikająca,
w
�# #
$
w
r
" z warunków brzegowych (dla pola E ):
Ę
Ęr Ęw Ęp Ęr �# ś# �# ś#
1 1 1 1
p
ś#
- = = + �! Ę �" - ź# ś# ź#
= Ęr �" +
p
ś#
Z1 Z1 Z2 Z2 Z2 Z1 Z2 ź# ś# Z1 Z2 ź#
�# # �# #
stąd:
�# ś#
1 1
Z2 - Z1
ś# - ź#
Z1 Z2 ź#
Ęr ś# Z1 �" Z2 Z2 - Z1
�# #
Ć
�E = = = =
Z2 + Z1 Z2 + Z1
�# ś#
Ęp ś# 1 1
ź#
+
ś#
Z1 Z2 ź# Z1 �" Z2
�# #
Z2 - Z1 2 �" Z2
Ć Ć
TE = 1+ �E = 1+ =
Z2 + Z1 Z2 + Z1
r
" z warunków brzegowych (dla pola H ):
Z1 �" $
- Z1 �" $
r = Z2 �" $
= Z2 �" $
+ Z2 �" $
r �! $
�"(Z1 - Z2 ) = $
r �"(Z1 + Z2 )
p w p p
stąd:
$
r Z1 - Z2
Ć
�H = =
Z2 + Z1
$

p
Z1 - Z2 2 �" Z1
Ć Ć
TH = 1+ �H = 1+ =
Z2 + Z1 Z2 + Z1
5. Linię mikropaskową o szerokości w = 1mm wykonano na podłożu o �r = 7 , h = 5 mm .
1
Szacując � H" (� +1) określić długość fali w linii oraz długość paska zapewniającą
ef r
2
Ą
zmianę fazy sygnału o � = , przy pobudzeniu sygnałem o f = 9GHz .
4
1
" długość fali w linii dla �ef H" (�r +1)= 4 :
2
0 c 3�"108 1
g = = = = �"10-1m H" 1,667 cm
6
� f � 9 �"109 �" 4
ef ef
" długość paska:
2Ą
� = � �"l = �" l
g
stąd:
Ą 1
� �" g 4 rad �" m 1
60
l = = = m = 2,083(3) mm
2Ą 2Ą rad 480
6. Linię mikropaskową o szerokości w = 0,4 mm i długości l = 10 mm wykonano na podłożu o
1
�r = 9 , h = 0,5 mm . Szacując � H" (� +1) określić straty wynikające z niedoskonałości
ef r
2
dielektryka (tg�� = 10-2) przy pracy z sygnałem o f = 1GHz .
1
" długość fali (dla � H" (� +1) = 5 ):
ef r
2
c 3�"108
g = = H" 0,134 m
f � 1�"109 5
ef
" tłumienie (wynikające ze strat dielektryka):
� -1
� tan�� 4 9 10-2 dB
ef
r
ąd = 27,3�" �" �" = 27,3�" �" �" = 1,834
� -1 � g 8 5 0,134 m
r ef
" straty:
dB dB
ąd �" l = 1,834 �"10 mm = 1,834 �" 0,01m = 0,01834 dB
m m
7. Linia współosiowa: wychodząc z równania Laplace a i odpowiednich warunków
brzegowych, znalez
ć pole elektryczne (magnetyczne) w obszarze dielektryka. Wynik
zinterpretować graficznie.
" linia współosiowa:
Równanie Laplace a:
1 d �# dU ś#
2
"t U = �" ś# � �" ź# = 0
ś# ź#
� d� d�
�# #
Warunki brzegowe:
U (� = b) = U0
ż#
�#
�#U (� = a) = 0
całkując dwukrotnie po d� otrzymujemy:
U0
ż#C =
1
�#
b
U0 = C1 ln b + C2 �# ln a
ż#
�#
U (�) = C1 ln � + C2 �!
�#0 = C1 ln a + C2 �! �#
�#
�#C2 = - U0 ln a
�# b
ln
�#
�# a
stąd:
�
ln
a
U (�) = U0 �"
b
ln
a
" pole elektryczne (magnetyczne):
r r r
r r
"U U0 �#ln ś#-1
a
Et = -"U �! Et = - �" i� = E� = �" i�
ś# ź#
"� � b
�# #
r r r
r r
1 1 U0 �#ln ś#-1
a
Ht = iz � E� = H� = �" �" i�
ś# ź#
Z Z � b
�# #
f f
uwzględniając zmienność względem z:
r r
r
U0 �#ln ś#-1
a
Ę(z) = Ęt �" e-łz = �" i� �" e- j�ź (� + j�� )�"z
ś# ź#
� b
�# #
r r
r
1 U0 �#ln ś#-1
a
$
(z) = $
t �" e-łz = �" �" i� �" e- j�ź (� + j�� )�"z
ś# ź#
� b
j�ź �# #
� + j��
" graficznie:
8. Linia współosiowa: określić wymiary a i b wypełnionej teflonem (� = 2,1) linii
r
60 a
współosiowej, o impedancji charakterystycznej Zch = ln = 75� , jeśli ma pracować z
b
�
r
c
jednym rodzajem do f = 18GHz , fmax = .
Ą (a + b) �
r
c c 3�"108
" fmax = �! a + b = = H" 0,0037
Ą (a + b) � Ą �" fmax � Ą �"18�"109 2,1
r r
�# ś#
�# ś#
Zch �
60 a a 75 2,1
ź#
" Zch = ln �! = expś# r ź# = expś# H" 6,12
ś# ź#
ś# ź#
b b 60 60
�
r �# #
�# #
stąd:
a
ż#
a = 6,12 �" b a H" 3,18mm
= 6,12 ż# ż#
�#
�! �!
b
�# �# �#
�#a + b = 0,0037 �#a + b = 0,0037 �#b H" 0,52 mm
�#
9. Narysować schemat zastępczy prowadnicy TEM wykorzystujący elementy o stałych
skupionych. Określić założenia. Nazwać elementy schematu i podać jednostki, w których
się je określa.
" schemat zastępczy:
" założenia:
 pojedynczy odcinek takiej linii ("l) musi być nieporównywalnie mniejszy od długości
fali ();
 parametry jednostkowe (R, L, C, G) muszą być stałe wzdłuż linii.
" parametry:
ź a H
Ą# ń#
 indukcyjność jednostkowa linii: L = ln ;
ó# Ą#
2Ą b m
Ł# Ś#
2Ą� F
Ą# ń#
 pojemność jednostkowa linii: C = ;
ó#mĄ#
a
Ł# Ś#
ln
b
RS �# ś# Ą# ń#
1 1 �
 rezystancja szeregowa strat: R = + ;
ś# ź#
ó# Ą#
2Ą a b m
�# # Ł# Ś#
2Ą��" S
Ą# ń#
 kondunktancja równoległa strat: G = .
ó#mĄ#
a
Ł# Ś#
ln
b
10. Omówić rodzaje polaryzacji fal elektromagnetycznych. Podać wartość współczynnika
polaryzacji dla poszczególnych przypadków.
" polaryzacja liniowa ukośna (� = 0, Ex `" 0, Ey `" 0 ):
0 0
Ey
" (0;")
Ex
" polaryzacja liniowa pionowa (� = 0, Ex `" 0, Ey = 0 ):
0 0
Ey
= 0
Ex
" polaryzacja liniowa pozioma (� = 0, Ex = 0, Ey `" 0 ):
0 0
Ey
= "
Ex
Ą
" polaryzacja kołowa (� = , Ex = ąEy ):
0 0
2
r
Wektor pola E zatacza okrąg, a rzutowany na płaszczyznę YZ daje sinusoidę.
Polaryzacja może być prawoskrętna ( + dodatnia) lub lewoskrętna (   ujemna).
" polaryzacja eliptyczna (� `" 0, Ex , Ey `" 0, Ex `" Ey ):
0 0 0 0
Ą
�#0; ś#
prawoskrętna gdy � "
ś# ź#
2
�# #
3Ą
�# ś#
lewoskrętna gdy � " Ą ;
ś# ź#
2
�# #
Ey
" (0,;")
Ex
" współczynnik eliptyczności:
�  współczynnik eliptyczności
� " - 45o;45o
dla polaryzacji liniowej: � = 0o
ż#
prawoskretna
�#� = 45o
dla polaryzacji kołowej:
�#
�# -45o lewoskretna
�#� =
ż#� " 0o;45o
prawoskretna
�#
dla polaryzacji eliptycznej:
�#
lewoskretna
�#� " - 45o;0o
�#
Ć
11. Padanie normalne: zdefiniować współczynnik odbicia �E oraz współczynnik fali stojącej
WFS. Przedyskutować sens fizyczny, podać typowe wartości dla przypadków
ekstremalnych.
" współczynnik odbicia:
def
Ęr 0 Z f 2 - Z f 1
Ć
�E = = - stosunek fali odbitej od granicy ośrodków do fali
Z + Z
Ę
f 2 f 1
p0
padającej; określa ilościowo jaka część fali została
odbita od powierzchni; przyjmuje wartości: � " 0;1 .
dla � = 0 : brak odbicia;
dla � = 1: odbicie całkowite.
" współczynnik fali stojącej (VSWR  Voltage Standing Wave Ratio):
def
Emax 1+ �
WFS = = - stosunek amplitud maksymalnej do minimalnej; określa
Emin 1- �
ilościowo, czy fala jest bliższa fali stojącej, czy
bieżącej; przyjmuje wartości: WFS " 1;" .
dla WFS = 1 (� = 0): brak fali stojącej;
dla WFS = " (� = 1): pełna fala stojąca;
dla WFS " 1;" (� " 0;1 ): niepełna fala stojąca (amplitudy fal biegnących w obu
kierunkach nie są równe).
12. Podać najczęściej spotykane definicje impedancji charakterystycznej prowadnicy falowej.
Którą z nich stosuje się dla linii współosiowej (TEM)? Od czego zależy jej wielkość dla linii
współosiowej (TEM)?
Dla ustalonego kierunku propagacji ( + lub    ) możliwe są trzy definicje:
U (z)
" napięciowo  prądowa: Z0 =
I(z)
2P
" mocowo  prądowa: Z0 =
2
I(z)
2
U (z)
" napięciowo  mocowa: Z0 =
2P
Dla struktur TEM definicje te są równoważne; dla linii bezstratnych Z0 jest stałe (nie zależy
od częstotliwości), zależy natomiast od parametrów elektrycznych materiału wypełniającego
linię i geometrii przekroju poprzecznego. Wyprowadz
my to dla linii współosiowej z relacji
napięciowo  prądowej:
a a
a d� a
U (z) = Epd� = U0 �" ln �" = U0 �" ln2
+" +"
b � b
b b
2Ą
2Ą a
I (z) = H� (� = b) �" b d� = U0 �" ln
+"
Z b
f
0
stąd:
Z
U (z) a
f
Z0 = = �" ln
I(z) 2Ą b
dla dobrego dielektryka (� 0):
ź0
�0 a 120Ą a 60 a
Z0 = �" ln = �" ln = �" ln [�], gdzie: �0 =
b b b �0
2Ą � 2Ą � �
r r r
lub:
138 a
Z0 = �" log [�]
b
�
r
Do tego samego wyniku można dojść z pozostałych relacji.
r
r
13. Pole elektryczne fali płaskiej: Ę = Ę0 �" ix �" e- j�y . Ocenić jego polaryzację. Wykazać, że
można ten sygnał traktować jako superpozycję dwóch sygnałów o polaryzacji kołowej i
przeciwnych kierunkach obrotu.
Jest to polaryzacja liniowa (pionowa), ponieważ pole elektryczne zawiera tylko składową x
(propaguje się w kierunku + y):
r r
r r
Ę = Ę0 �" ix �" e- j�y E(y,t) = E0 cos(�t - �y) �" ix
Rozważmy teraz 2 fale spolaryzowane kołowo o przeciwnych kierunkach obrotu ale tych
samych amplitudach:
r
r r
E0
E1(y,t) = (cos(�t - �y) �" ix - sin(�t - �y) �" iz )  spolaryzowana lewoskrętnie
2
r
r r
E0
E2 (y,t) = (cos(�t - �y) �" ix + sin(�t - �y) �" iz )  spolaryzowana prawoskrętnie
2
wówczas superpozycja tych sygnałów ma postać:
r r r
r r
E0
E(y,t) = E1(y,t) + E2 (y,t) = 2 �" cos(�t - �y) �" ix = E0 cos(�t - �y) �" ix C.N.D&
2
14. Porównać (przedyskutować) długość fali w prowadnicy TE, TM oraz TEM.
" długość fali w prowadnicach TE (TM):
2Ą
ż# =
c
�#
 p
�#
g = , gdzie:
�#
2
�# = 2Ą
�# ś#

1- ś# ź#
�#
ś# ź# �# k
c
�# #
Mianownik jest mniejszy od 1, więc g >  . Wynika stąd, że w falowodach TE (TM)

fala ulega wydłużeniu. Jeśli 1, to fala ulega wydłużeniu do nieskończoności.
c
Ponieważ we wzorze na c pojawia się poprzeczna liczba falowa
2 2
mĄ nĄ
�# ś# �# ś#
p = + , to długość fali zależy ściśle od wymiarów prowadnicy TE (TM).
ś# ź# ś# ź#
a b
�# # �# #
" długość fali w prowadnicach TEM:
2Ą 0
g = = , gdzie: 0  długość fali w próżni
�
�
r
Z powyższej relacji wynika, że długość fali w prowadnicy TEM nie ulega zmianie. Jest
ona równa długości fali w nieograniczonym ośrodku o parametrach ź, � takich, jak
wewnątrz prowadnicy. Ponadto nie zależy od wymiarów prowadnicy.
15. Przedstawić klasyfikację rodzajów pól występujących w prowadnicach falowych,
przyjmując jako kryterium istnienie składowych pól zgodnych z kierunkiem propagacji.
Wyjaśnić znaczenie wszystkich symboli.
składowe pola zgodne z
rodzaje falowodu symbol
kierunkiem propagacji
rodzaj poprzeczny elektro-
magnetyczny (żadne z pól TEM (Transverse Elektro-
Ez = 0, Hz = 0
nie ma składowej w Magnetic)
kierunku propagacji)
rodzaj poprzeczny
r
TE lub H (Transverse
elektryczny (pole H może
Ez = 0, Hz `" 0
Electric)
mieć składową w kierunku
propagacji)
rodzaj poprzeczny r
TM lub E (Transverse
magnetyczny (pole E
Ez `" 0, Hz = 0
Magnetic)
może mieć składową w
kierunku propagacji)
rodzaj hybrydowy (oba EH lub HE (w zależności
Ez `" 0, Hz `" 0 pola posiadają składowe w od tego, co dominuje w
kierunku propagacji) przenoszeniu mocy)
16. Przedstawić rodzaje polaryzacji elektrycznej. Omówić pojęcie zdolności polaryzacji i
zastępczej podatności elektrycznej.
Rodzaje polaryzacji elektrycznej:
" polaryzacja elektronowa:
r
r r
pe = ąe �" Elok [C �" m] , gdzie: pe  moment dipolowy
ąe  zdolność polaryzacyjna
r
Elok  lokalne pole w miejscu umieszczenia
atomu
r
Zachodzi, gdy pole E przesuwa środki ciężkości powłok elektronowych.
" polaryzacja atomowa (jądrowa):
r
r
pa = ąa �" Elok [C �" m]
r
Zachodzi, gdy pole E przemieszcza atomy lub jony wewnątrz molekuły.
" polaryzacja dipolowa:
r
r
pd = ąd �" Elok [C �" m]
Zachodzi, gdy cząsteczki posiadają różnorodnie zorientowane własne dipola, a
r
przyłożone pole E porządkuje je.
Zdolność polaryzacyjna określa, jak bardzo dany materiał polaryzuje się pod wpływem pola:
r r
Pe = �e �"�0 �" E
r r
Pa = �a �"�0 �" E , gdzie: � = const. oraz �e �"�0 `" ąe
r r
Pd = �d �"�0 �" E
objaśnienia:
�e  ujęcie makroskopowe
ąe  wartość dla ujęcia mikroskopowego
r
E  średnie makroskopowe pole elektryczne
r
P  wektory polaryzacji elektrycznej
Zastępcza podatność elektryczna opisuje wpływ pola na ładunki związane:
r r r r r r
P = Pe + Pa + Pd = (�e + �a + �d )�"�0 �" E = �E (�) �"�0 �" E  polaryzacja całkowita
gdzie:
�E (�) = (�e + �a + �d )  zastępcza podatność elektryczna
17. Przedstawić równanie opisujące ruch ładunków swobodnych w ośrodku przewodzącym
oraz znalez
ć jego rozwiązanie. Wyjaśnić sens fizyczny występujących wielkości.
Równanie ruchu:
r
r r
dV
m �" = qE - ł mV
c
dt
przy zerowych warunkach początkowych:
r
r r r r
qE
m �" s �"V (s) = qE - ł mV (s) �! V (s) =
c
m �" (s + ł )
c
zakładając harmoniczną zmienność w czasie ( s = j� ):
r
r
qĘ
Ć(
V j�) =
m �" ( j� + ł )
c
w przypadku statycznym (� = 0 ):
r
r
qE
V =
m �"ł
c
Sens fizyczny wielkości:
r
V  średnia prędkość ładunków swobodnych,
łc  średnia częstotliwość zderzeń,
q  ładunek,
m  masa nośnika ładunku,
r
łcmV  siła tłumiąca, spowodowana zderzeniami nośników ładunku z węzłami
siatki krystalicznej,
r
qE  siła działająca na ładunek w polu,
r
Jeśli średnia częstotliwość zderzeń jest bardzo mała (ł 0), to V " , co nie jest
c
r r
fizycznie realizowalne, należy zatem uwzględnić wpływ masy m(V) tak, aby V c .
18. Przedyskutować równanie dyspersyjne i zjawisko odcięcia ( fc , c ) w prowadnicach z
rodzajami TE i TM.
Równanie dyspersyjne:
2 2
p2 - ł = k , gdzie: p  poprzeczna liczba falowa
k  liczba falowa
ł  współczynnik propagacji
Wartość p można znalez
ć zakładając określone warunki brzegowe. Jest ona zwykle
niezależna od parametrów ośrodka wypełniającego strukturę.
W prowadnicy jednorodnej p jest dodatnia i rzeczywista, a jej wartości stanowią zbiór
wartości własnych dyskretnych (TE) zdeterminowanych wymiarami i kształtem struktury.
Dla każdej wartości p można znalez
ć rozwiązanie równania falowego, czyli wektor
własny, a tym samym pewien rozkład pola.
Dyspersja:
�
w prowadnicy bezstratnej (� = 0, � = 0, ź2 = 0 ), k = � ź0� = ( k "!):
2 0
c
2
ż#
�
�# ś#
tylko tlumienie
�#ą gdy p2 > ś# ź#
2
c
�
�# ś# �# �# #
2
ł = ą + j� = p2 - k = p2 - ś# ź#
=
�#
2
c
�# #
�
�# �# ś#
j� gdy p2 < brak tlumienia
ś# ź#
�#
c
�# #
�#
dla f < f1 : żaden rodzaj nie może być propagowany (tłumik/filtr/izolator);
dla f1 < f < 1,25 f1 : jeden rodzaj ale bardzo duża dyspersja;
dla 1,25 f1 < f < 0,95 f2 : użyteczne jednorodzajowe pasmo pracy ;
dla f > f2 : praca wielorodzajowa;
Zjawisko odcięcia (zanik propagacji):
2
�# ś#
�
ś# ź#
" zachodzi dla przypadku granicznego: p2 = ;
ś#
c2 ź#
�# #
" ma miejsce przy pewnej częstotliwości (częstotliwość odcięcia fc ):
�c p �" c c 2Ą
fc = = = , gdzie: c =  długość fali odcięcia
2Ą 2Ą c p
" gdy ł = 0 , znika jedno z poprzecznych pól: magnetyczne (dla TE) lub elektryczne (dla
TM);
" równocześnie moc przenoszona wzdłuż prowadnicy dąży do zera, czyli nie jest możliwe
przenoszenie sygnału gdy f = fc ;
2
�# ś#
�
�# ś#
ź#
" poniżej fc :  silne tłumienie ś# � = 0, ą (�) = p2 - ś# ź#
;
ś# ź#
c
�# #
�# #
 wykres ą (�) jest elipsą;
 rodzaj zanikający (evanescent);
2
�# ś#
�
�# ś#
" powyżej fc :  brak tłumienia ś#ą = 0, � (�) =
ś# ź# - p2 ź# ;
ś# ź#
c
�# #
�# #
 wykres � (�) jest hiperbolą;
" ilustracja:
19. Rotacja Faradaya: dane są wartości elementów tensora Poldera: ź = 20,5 , k = 4,5
charakteryzujące anizotropowe własności cylindra ferrytowego magnesowanego zgodnie z
jego osią i kierunkiem propagacji. Określić długość cylindra l zapewniającą skręcenie
Ą
płaszczyzny polaryzacji o kąt � = , jeżeli � = 16 �"� oraz f = 3GHz .
f 0
2
" tensor Poldera:
ź
Ą# - jk 0 20,5
ń# Ą# - j4,5 0
ń#
r
r
t
źz = ź0 ó# jk ź 0Ą# = ź0 ó# j4,5 20,5 0Ą# , H0 = Hi �" iz
ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
0 0 1Ś# Ł# 0 0 1Ś#
Ł#
" długość cylindra:
ż#�+ = � ź0� f �" ź + k
�- - �+
�#
� = �" l , gdzie
�#
2
= � ź0� �" ź - k
�#�- f
�#
stąd:
2� 2� Ą
l = =
�- - �+
� ź0� �"( ź - k - ź + k)= 2Ąf 16ź0� �"( 20,5 - 4,5 - 20,5 + 4,5)=
f 0
1 c 3�"108 1
= = = = m = 12,5mm
24 �"109 �" (-1) 24 �"109 �" (-1) 80
2 �" 3�"109 �" 4 ź0� �" (4 - 5)
0
20. Rotacja Faradaya: dane są wartości elementów tensora przenikalności elektrycznej plazmy
magnesowanej zgodnie z kierunkiem propagacji: A=17, B=8. Wyznaczyć odległość, po
Ą
przebyciu której płaszczyzna polaryzacji ulegnie skręceniu o kąt � = , jeżeli f = 6GHz ,
2
ź = ź0 .
" tensor przenikalności elektrycznej plazmy:
A
Ą# - jB 0 17 - j8 0
ń# Ą# ń#
r
r
t
Ą#
� = �0 ó# jB A 0 = �0 ó# j8 17 0Ą# , H = H0 �" iz
p
ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
0 0 CŚ# Ł# 0 0 CŚ#
Ł#
" szukana odległość:
ż#�+ = � ź�0 �" A - B
�- - �+
�#
� = �" l , gdzie
�#
2
= � ź�0 �" A + B
�#
�#�-
stąd:
2� 2� Ą
l = =
�- - �+
� ź�0 �"( A + B - A - B)= 2Ąf ź0�0 �"( 17 + 8 - 17 - 8)=
c 3�"108 1
= = = m = 12,5mm
2 �" 6 �"109 �" (5 - 3) 24 �"109 80
21. Sformułować i przedyskutować warunki konieczne dla wzbudzenia rodzaju TEM w
jednorodnej prowadnicy falowej. Od czego zależy ł , ą , � , g w takiej prowadnicy?
" struktura musi być cylindryczna o dowolnym przekroju poprzecznym, jednorodna w
kierunku propagacji (przyjęta oś Z);
r
" przekrój prowadnicy nie może być jednospójny (wówczas "U = 0 �! Ę = 0 );
" istnienie prowadnicy dwuprzewodowej (fale TEM mogą istnieć, gdyż na każdym z
przewodów mogą wystąpić różne potencjały);
r r
" stosunek amplitud pól E i H jest wielkością stałą równą impedancji falowej w ośrodku
nieograniczonym;
" współczynnik propagacji ł fali TEM w linii wieloprzewodowej zależy od parametrów
ośrodka wypełniającego ( ź, � , � ), a nie zależy od jej geometrii i struktury;
" współczynnik fazowy � określany jest dla wszystkich pulsacji � , stąd rodzaje TEM
mogą być propagowane przy każdej częstotliwości w linii wieloprzewodowej;
" długość fali i współczynnik tłumienia:
2Ą
g =
�
ł = ą + j� �! ą = ł - j�
22. Wychodząc z definicji współczynnika transmisji mocy pokazać, w jaki sposób zależy jego
wartość od współczynnika odbicia �E oraz od WFS (padanie normalne).
" współczynnik transmisji mocy:
r r
1
r r
"
ż#Ę = TE �" Ę
Re{Ęw � $
}
Ć
def w0
0
w0 p0
�#
2
Tp = , gdzie:
�#
r r
r r
1
"
Ć
�#
Re{Ęp � $
}
p0
�#$
w0 = TH �" $
p0
0
2
stąd:
r
" " "
Ć Ć" r Ć Ć" r r Ć Ć" r r
Re{TE �" Ęp �TH �" $
} Re{TE �"TH �" Ęp � $
} Re{TE �"TH}Re{Ęp � $
}
p0 p0 p0
0 0 0
Tp = = = =
r r r r r r
" " "
Re{Ęp � $
} Re{Ęp � $
} Re{Ęp � $
}
p0 p0 p0
0 0 0
Ć Ć"
= Re{TE �"TH}
Ć Ć
ż#TE = 1+ �E
�#
" "
Ć Ć Ć Ć
wiedząc, że oraz �E = -�H �! �E = -�H :
�#
Ć Ć
�# = 1+ �H
�#TH
2
" " " "
Ć Ć Ć Ć Ć Ć Ć Ć Ć
Tp = Re{(1+ �E)�"(1+ �H )}= Re{(1+ �E)�"(1- �E)}= Re{1- �E + �E - �E �" �E}= Re{- �E }
1
2
Ć
= 1- �E
" współczynnik fali stojącej:
def
Emax 1+ �
WFS -1
WFS = = e" 1 �! � =
Emin 1- � WFS +1
dla WFS = 1 (� = 0): brak fali stojącej
dla WFS = " (� = 1): pełna fala stojąca
" zależność:
2
2 2
2 (WFS -1) WFS + 2WFS +1-WFS + 2WFS -1
Tp = 1- � = 1- = =
2 2
WFS + 2WFS +1
(WFS +1)
4WFS 4
= =
2
1
WFS + 2WFS +1
WFS + 2 +
WFS
23. Wychodząc z równań Maxwella wyznaczyć równanie falowe dla ośrodka ferrytowego
t
charakteryzowanego tensorem Poldera ź oraz przenikalnością elektryczną � .
f f
Sformułować niezbędne założenia.
" równania Maxwella:
r
r
"B
"� E = -  prawo Faraday a
"t
r
r r
"D
" � H = J +  prawo AmpŁre a
"t
r
"D = �  prawo Gaussa
r
"B = 0  prawo z
ródeł magnetycznych
" założenia:
� 0 (ferryt można uważać za małostratny dielektryk)
r
r r
"D
J = � �" E <<
"t
r
r r
"D "
" � " � H = " � = (" � D)
"t "t
r
r
"B
" � D = -� �"
f
"t
r r
t
B = ź �" H
f
" równanie falowe:
r r r
r
�# ś# �# ś#
" "B " t "H t "2H
ś#-
ź# ś#-
ź#
" � " � H = � �" = � ź �" = -� ź �"
f f f f f
2
ś# ź# ś# ź#
"t "t "t "t "t
�# # �# #
r
r
t "2H
" � " � H + � ź �" = 0
f f
2
"t
zakładając harmoniczną zmienność w czasie:
r r
t
2
" � " � H - � � ź �" H = 0  równanie falowe dla ośrodków ferrytowych
f f
24. Wyjaśnij pojęcie: (a) rodzaju quasi-TEM; (b) efektywnej przenikalności elektrycznej.
a) TEM to rodzaj fali rozchodzącej się w falowodzie, który nie posiada składowych w
kierunku propagacji (Ez = 0, Hz = 0); w quasi-TEM składowe Ez i Hz istnieją, lecz mają
dużo mniejsze amplitudy od składowych poprzecznych:
Ez << Et , H << Et
z
Fale takie propagowane są w prowadnicach niejednorodnych (linia szczelinowa, linia
mikropaskowa), zawierających dwa różne ośrodki prowadzące fale, i w  układzie
warstw przewodzących, powiększających niejednorodność struktury.
b) pojęcie efektywności przenikalności elektrycznej � wprowadza się dla takiej struktury
ef
przy założeniu b H" 0 :
wówczas:
1
ż#
Ą# - 2 ń#
�#dla w d" h : � E" 1 +1)+ 1
ó#�#1+12 h ś# 2 0,04 �" �#1- w ś# Ą#
(� (� -1)�" +
ś# ź# ś# ź#
ef r r
�#
ó#�# Ą#
2 2 w h
# �# #
�#
Ł# Ś#
�#
1
�#
-
2
h
�#1+12 ś#
�#dla w e" h : � E" 1 +1)+ 1
(� (� -1)�"
ś# ź#
ef r r
�#
2 2 w
�# #
�#
Dzięki � tę niejednorodną strukturę można traktować jako zwykły falowód
ef
Z powyższych wzorów można wyznaczyć np. impedancję charakterystyczną linii
mikropaskowej, długość fali, prędkość fazową, etc&
0
g =
�ef
c
Vf =
�ef
25. Zapisać amplitudę zespoloną pola elektrycznego pełnej fali stojącej oraz niepełnej fali
stojącej. Wynik zinterpretować graficznie. Porównać warunki, w jakich możliwe jest
powstanie tego typu rozkładów.
" pełna fala stojąca:
r r r r r
E(z,t) = 2 �" Ep �"sin(�z)�" sin(�t) Ę = - j2Ęp �" sin(�z) = - j2Ęp �" e- j�z
0 0 0
 występuje przy padaniu z próżni (idealnego dielektryka) na idealny przewodnik
(� ");
 sytuacja nierealizowalna w rzeczywistości;
r
 analogiczna postać dla pola H (przesunięte w fazie o Ą 2 ).
" niepełna (częściowa) fala stojąca:
r r r
j 2�z j2�z
Ć Ć
Ę = Ęp �" e- j�z(1+ �E �" e )= Ęp(1+ �E �" e )
0
 amplitudy fal biegnących w obu kierunkach nie są równe, stąd brak  zerowych
wartości w minimum;
 sytuacja rzeczywista (odbicie od bezstratnego dielektryka jest tu tylko modelem);
r
Ć Ć
 analogicznie dla pola H (�H = -�E ).
26. Zdefiniować głębokość wnikania. Znalez
ć związek pomiędzy głębokością wnikania,
współczynnikiem tłumienia i długością fali w przewodniku.
" głębokość wnikania:  odległość � , na której amplituda fali maleje  e - krotnie;
 określa szybkość zaniku amplitudy pola.
r r
dla pola Ęx (z = � ) = Ęx �" e-ą� :
0
Ex (� ) 1 1
= = e-ą� = e-1 �! ą� = 1 �! � =
Ex (0) e ą
" długość fali:
2Ą 2Ą 2Ą 2Ą 2
c = = = = = 2Ą = 2Ą �"�
ą fĄź� � �ź�
�ź�
�"Ąź�
2Ą 2
stąd:
2
� =
�ź�
27. Zdefiniować kąt Brewstera. Wyznaczyć jego wielkość, gdy znane są jedynie parametry
materiałowe (ź,�) obu przylegających ośrodków.
" dla polaryzacji równoległej (�|| = 0):
def
1- K||
�2�1 �" cos�w
�|| = , gdzie: K|| =
1+ K|| �1� �" cos�
2 p
czyli:
�|| = 0 �! K|| = 1 oraz �2�1 �" cos�w = �1� �" cos�
2 p
stąd:
�2�1 �" cos�w ź1�1
cos� = �! cos�w = 1- �" sin2 �
p p
�1� ź2�
2 2
ostatecznie:
�1ź2
1-
� ź1
2
�B = � = arcsin  kąt Brewstera dla polaryzacji równoległej
p
2
||
�# ś#
�1
1- ś# ź#
ś# ź#
�
�# 2 #
" dla polaryzacji prostopadłej (�Ą" = 0):
def
1- KĄ" �2ź1 �" cos�w
�Ą" = , gdzie: KĄ" =
1+ KĄ" �1ź2 �" cos�
p
czyli:
�Ą" = 0 �! KĄ" = 1 oraz �2ź1 �" cos�w = �1ź2 �" cos�
p
stąd:
�2ź1 �" cos�w ź1�1
cos� = �! cos�w = 1- �" sin2 �
p p
�1ź2 ź2�
2
ostatecznie:
ź1�
2
1-
ź2�1
�B = � = arcsin  kąt Brewstera dla polaryzacji prostopadłej
p
Ą" 2
�# ś#
ź1
1- ś# ź#
ś# ź#
ź2
�# #
" dla 2 ośrodków dielektrycznych (ź1 = ź2 , �1 `" � ):
2
�B nie istnieje
Ą"
1 �
2
�B = arcsin = arctan
||
�1
�1
1+
�
2
" dla 2 ośrodków magnetycznych (ź1 `" ź2, �1 = � ):
2
�B nie istnieje
||
1 ź2
�B = arcsin = arctan
Ą"
ź1
ź1
1+
ź2
28. Zdefiniować kąt całkowitego wewnętrznego odbicia. Pokazać, w jaki sposób jego wielkość
zależy od parametrów ośrodków. Wyjaśnić, kiedy powyższe zjawisko nie może wystąpić.
Kąt całkowitego wewnętrznego odbicia to najmniejszy kąt padania, umożliwiający przy
danych parametrach ośrodków całkowite odbicie fali:
�  kąt padania
p
�r  kąt odbicia
�w  kąt załamania
Ą
przypadek graniczny: � = �cwo �! �w =
p
2
z prawa Sneliusa:
sin�
�2 Ą
p
= �! �1 �" sin� = �1 �"sin�cwo = �2 �"sin�w = �2 �" sin = �2
p
sin�w �1 2
czyli:
�2 ź2� ź2�
2 2
sin�cwo = = �! �cwo = arcsin
�1 ź1�1 ź1�1
dla �w = 90o : fala rozchodzi się po powierzchni granicznej;
dla � > �cwo : nie zachodzi transmisja do drugiego ośrodka
p
ź2�
2
Zjawisko może wystąpić jedynie, gdy < 1, czyli przy padaniu z ośrodka gęstszego do
ź1�1
rzadszego. Nie zależy ono natomiast od propagacji fali.
ź1�1 > ź2�2
29. Zdefiniować wektor propagacji, podać postać ogólną rozwiązania równania falowego dla
fali płaskiej, wyznaczyć prędkość fazową.
Wektor propagacji określa kierunek rozprzestrzeniania się (propagacji) fali (tzn. kierunek
przenoszenia energii) i jest równy co do modułu liczbie falowej k danej fali (która pośrednio
określa długość fali w danym ośrodku):
2Ą rad
Ą# ń#
k =
ó# Ą#
 m
Ł# Ś#
Rozwiązanie równania falowego:
r
r
r r
Ć Ć0 j(�t-kr +� )
� =� �" e  postać ogólna
r
r r r
� (t) =� �" cos(�t - kr + �)  postać czasowa
0
Prędkość fazowa:
" równanie powierzchni stałej fazy:
r
r
Ś = �t ą kr + �0ą = const.
" pochodna względem czasu:
dz dz � 1
dŚ = 0 �! � ą �" k = 0 �! Vf = = ą =
dt dt k
ź�
" znormalizowana prędkość fazowa:
Vf ź0�0 1
= =
c ź�
źr�
r
Vf
dla ośrodka nieograniczonego i bezstratnego: d"1
c
V
f
w ogólności jednak (np. w metalowym światłowodzie) może zachodzić: > 1
c
30. Znając liczbę falową k = � ź �"�c oraz wiedząc, że �c = � (�1 - j� ) wyznaczyć i nazwać
0 2
ł , ą , � dla ośrodka dielektrycznego o niskim tłumieniu, tzn. spełniającego warunek:
�2 << �1 , �2 `" 0 .
" z treści zadania:
ż#k = � ź�c
�
�#
2
�! k = � ź�0�1 �" 1- j
�#
�1
�# = �0 (�1 - j� )
�#�c 2
1 1
stosując przybliżenie: 1ą x = 1ą m ą ... dla �2 << �1 :
2 3
�# � ś#
2
ś#
k E" � ź�0�1 �" j
ś#1- ź#
2 �"�1 ź#
�# #
" przyjmując k = � - ją otrzymujemy:
jk = ą + j� = ł , gdzie: k  liczba falowa,
ą  współczynnik tłumienia (stała tłumienia),
�  współczynnik fazowy (stała propagacji),
ł  współczynnik propagacji,
stąd:
� ź�0�1 2 � ź�0�1
� � ź
ą E" �" = �" tan�� =
2 �1 2 2 �
� E" � ź�0�1 = � ź�
r
r
31. Znalez
ć przenikalność elektryczną plazmy magnesowanej stałym polem H = H0 �" iy i
r
r
pobudzonym sygnałem o polaryzacji kołowej prawoskrętnej n = iy .
" tensor przenikalności elektrycznej plazmy:
A 0 - jB
Ą# ń#
r
r
t
Ą#
H = H0 �" iy �! � = �0 ó# 0 C 0
p
ó# Ą#
ó# Ą#
jB 0 A
Ł# Ś#
A
Ą# - jB 0
ń#
r
r
t
ó#
H = H0 �" iz �! � = � jB A 0Ą#
p 0
ó# Ą#
ó# Ą#
0 0 CŚ#
Ł#
C 0 0
Ą# ń#
r
r
t
H = H0 �" ix �! � = �0 ó#0 A - jBĄ#
p
ó# Ą#
ó#
Ł#0 jB A Ą#
Ś#
gdzie:
2
ż#
�0
�#A = 1 + 2 � 2
�g -
�#
�g  pulsacja rezonansu żyromagnetycznego
�# 2 2
�#B = �0 �"�g , gdzie: �0  pulsacja plazmy
�#
2 2
�(�g - � )
�  pulsacja sygnału
�#
�# 2
�#C = 1 - �g
2
�#
�
�#
r
r
" dla fali o polaryzacji kołowej prawoskrętnej (n = iy ):
r
r r
Ę = Ę0 (ix - j �" iz ) �" e- j�y
A 0 jB 1 A
Ą# ń# Ą# ń# Ą# - B
ń#
r r r r
t
Ć
Ą# ó# Ą# ó# Ą#
D = � �" Ę = �0 ó# 0 C 0 �" 0 �" E0 �" e- j�y = � �" E0 �" e- j�y �" 0 =
p 0
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą# ó#- Ą# ó#- j(A - B)Ś#
Ą#
jB 0 A jŚ#
Ł# Ś# Ł# Ł#
r r
= �0 (A - B) �" Ę = � �" Ę
p+
gdzie:
� = � (A - B)
p+ 0


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Teoria Drgań Mechanicznych Opracowanie 04
TEST 2012 opracowanie
Teoria Drgań Mechanicznych Opracowanie 02
test 2006
technik mechatronik test 2006
technik mechatronik test 2006
Shimano Alfine Test 2006 08
2006 test dla sekretarzy
Opracowanie Teoria?zy?nych 11 Plebs By ITCompozer

więcej podobnych podstron