ANALIZA A1 Wykład: J. Wróblewski
KOLOKWIUM nr 9, zestaw A, 12.12.2006
Zadanie 17.
"

a) (4 punkty) Podać przykład takiego ciągu (an), że szeregi (a3n-2 +a3n-1 +a3n),
n=1
" "

(a3n-1 +a3n +a3n+1) oraz (a3n +a3n+1 +a3n+2) są zbieżne, a ponadto
n=1 n=1
" "

(a3n-2 +a3n-1 +a3n) = 6, a1 + (a3n-1 +a3n +a3n+1) = 1
n=1 n=1
oraz
"

a1 +a2 + (a3n +a3n+1 +a3n+2) = 3 .
n=1
RozwiÄ…zanie:
Niech
a1 = 1
oraz
a3n-1 = 2, a3n = 3, a3n+1 = -5
dla n 1.
Wówczas
"

(a3n-2 +a3n-1 +a3n) = (1+2+3)+(-5+2+3)+(-5+2+3)+(-5+2+3)+... =
n=1
= 6+0+0+0+... = 6 ,
"

a1 + (a3n-1 +a3n +a3n+1) = 1+(2+3-5)+(2+3-5)+(2+3-5)+... =
n=1
= 1+0+0+0+... = 1
oraz
"

a1 +a2 + (a3n +a3n+1 +a3n+2) = 1+2+(3-5+2)+(3-5+2)+(3-5+2)+... =
n=1
= 3+0+0+0+... = 3 .
"

b) (3 punkty) Podać przykład takiego szeregu zbieżnego an, że an = 1/3n dla
n=1
nieskończenie wielu n, a ponadto
"

an = 3 .
n=1
RozwiÄ…zanie:
Gdyby an = 1/3n dla każdego n, wówczas mielibyśmy
" "

1 1
an = = .
3n 2
n=1 n=1
Sumę szeregu możemy zwiększyć o 3-1/2 = 5/2 zwiększając tylko jego pierwszy wy-
raz, co prowadzi nas do następującego przykładu:
1 5 17 1
a1 = + = , an = dla n 2 .
3 2 6 3n
1
Zadanie 18.
W każdym z czterech poniższych zadań udziel czterech niezależnych odpowiedzi
TAK/NIE.
Za każde zadanie, w którym podasz cztery poprawne odpowiedzi, otrzymasz 1 punkt.
Za pozostałe zadania nie otrzymasz punktów.
WyjÄ…tki: Za udzielenie 15 poprawnych odpowiedzi otrzymasz 4 punkty.
Za udzielenie poprawnych odpowiedzi w 16 podpunktach otrzymasz 5 punktów.
18.1 Czy jest prawdą, że

a) (2-log37)2 = 2-log37 TAK

b) (2-log27)2 = 2-log27 NIE

c) (2-log523)2 = 2-log523 TAK

d) (2-log417)2 = 2-log417 NIE
"

18.2 Czy możemy stwierdzić, że szereg an jest rozbieżny, jeżeli wiemy, że
n=1
7
a) lim an = TAK
n"
6
6
b) lim an = TAK
n"
7
an+1 1
c) lim = NIE
n"
an 3
an+1 5
d) lim = TAK
n"
an 3
18.3 Czy jest prawdą, że
x2 +9
a) lim = 0 NIE
x-3
x+3
x2 -9
b) lim = -6 TAK
x-3
x+3
x2 -9
c) lim = 6 TAK
x3
x-3
x2 -9
d) lim = 0 TAK
x3
x+3
"

18.4 Czy ze zbieżności szeregu an wynika, że
n=1
"

a) szereg |an| jest zbieżny NIE
n=1
"

b) szereg an(-1)n jest zbieżny NIE
n=1
"

c) szereg (5·an) jest rozbieżny NIE
n=1
"

d) szereg (5+an) jest rozbieżny TAK
n=1
2


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
kolokwium12 2006a
kolokwium8 2006a
kolokwium6 2006a
kolokwium5 2006a
kolokwium2 2006a
Przykladowe kolokwium 2
Kolokwium 3 2015
kolokwium 1 BO przyklad
kolokwium zaliczeniowe

więcej podobnych podstron