metoda sil


METODA SIA - przykład 2- rama z więziami sprężystymi
poddana działaniu sił, zmian temperatury, przemieszczeń podpór i błędów montażu
ROZWIZANIE RAMY PAASKIEJ METOD SIA I OBLICZENIE PRZEMIESZCZEC
Dana jest rama jak na rysunku.
"r = 1.5o Błędy montażu
2
M=15,00 kNm
P=20,00kN
2
i -30oC
"L2=1cm
10oC
1
1o
1.3889 EI
1
"r =1cm
1.4 cm
j
2,00m 2,00m 2,00m 2,00m 2,00m
EI
k1= 0.5
m3
Rozwiązać ją metodą sił od danego obciążenia siłami, od zmiany temperatury oraz od błędów montażu
i przemieszczeń podpór. Sporządzić wykresy sił przekrojowych i dokonać kontroli rozwiązania od
jednego z wymienionych wpływów. Obliczyć zaznaczone przemieszczenia.
Uwaga dotycząca oznaczeń.
Aby uniknąć niejednoznaczności oznaczeń wszystkie przemieszczenia obliczane w statycznie
wyznaczalnym układzie podstawowym i dotyczące tylko układu podstawowego oznaczać będziemy
maÅ‚ym symbolem ´ a przemieszczenia obliczane w statycznie niewyznaczalnym ukÅ‚adzie danym lub
obliczane w układzie podstawowym a dotyczące układu danego oznaczać będziemy dużym symbolem
" . Siły przekrojowe i reakcje wyznaczane w układzie podstawowym oznaczać będziemy
odpowiednim symbolem z nadkreśleniem (np. M ) a w układzie danym oznaczać będziemy
odpowiednim symbolem bez nadkreślenia (np. M ).
1 WYZNACZENIE STOPNIA STATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOÅšCI
Aby skorzystać z wzoru nh = e - 3Å" t przeksztaÅ‚camy
(e=3)
układ dany w zbiór tarcz  sztywnych otwartych przez
(e=3)
usunięcie więzi podporowych, dokonanie przecięć
t = 2
wszędzie tam gdzie połączenie nie jest pełne oraz
 otwarcie tarcz zamkniętych. Zilustrowano to na
e = 2Å"3 + 2 = 8
rysunku obok. Na rysunku tym w nawiasach podano
(e=2) nh = 8 - 3Å" 2 = 2
liczby usuniętych więzi, których suma jest liczbą więzi
e w przytoczonym wzorze.
2 ROZWIZANIE RAMY OD OBCIŻENIA SIAAMI
2.1 UKAAD PODSTAWOWY I ODPOWIADAJCY MU UKAAD RÓWNAC
KANONICZNYCH
2.1.1 UKAAD PODSTAWOWY X1
M=15,00 kNm
P=20,00kN
X2
C
Układ podstawowy tworzymy z układu x
B
1.3889 EI
D
danego przez zastąpienie nh więzi
E
niewiadomymi siłami w taki sposób by
powstały układ był geometrycznie
niezmienny.
A
2,00m 2,00m 2,00m 2,00m 2,00m
Uwaga: Liniami przerywanymi wzdłuż osi prętów y
wyróżniono włókna do znakowania momentów
zginajÄ…cych.
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 1
m
EI
3,00m
2
q=5,00kN/m
k = 1
3,00m
q=5,00kN/m
m
o
C
c
5
0
.
2
o
C
1
-
5
o
-
=
5
1
.
L
1
I
"
E
m
c
2
.
1
I
E
METODA SIA - przykład 2- rama z więziami sprężystymi
poddana działaniu sił, zmian temperatury, przemieszczeń podpór i błędów montażu
2.1.2 UKAAD RÓWNAC KANONICZNYCH
F
´11 Å" X1F + ´12 Å" X + ´1F = "Frz = 0 ,
2 1
F
´ Å" X1F + ´ Å" X + ´ = "F = 0,
21 22 2 2F 2rz
2.2 ROZWIZANIE UKAADU PODSTAWOWEGO OD DANEGO OBCIŻENIA F=(M,P,Q)
M=15,00 kNm
P=20,00kN
Uwaga: Wszystkie wielkości wyznaczane w tym
x
punkcie wyróżniamy nadkreśleniem i indeksem
górnym F.
VB
Dla skrócenia zapisu w obliczeniach pominiemy
te wyróżniki stosując pełne symbole tylko w
oznaczeniach wielkości, z których korzystać
HA
2,00m 2,00m 2,00m 2,00m 2,00m
będziemy w dalszych obliczeniach.
VA
y
2.2.1 WYZNACZENIE REAKCJI
PODPÓR
M = -VB Å"10m + P Å" 6m + M + q Å" 3m Å" 3m / 2 = 0 Ò!
"
A
-VB Å"10m + 20kN Å" 6m +15kNm + 5kN / m Å" 3m Å" 3m / 2 = 0 Ò! VB = VBF = 15.75kN ,
"Y = -VA -VB + P = 0 Ò! -VA -15.75kN + 20kN = 0 Ò! VA = VAF = 4.25kN ,
F
X = H + q Å" 3m = 0 Ò! H + 5kN / m Å" 3m = 0 Ò! H = H = -15.00kN .
"
A A A A
Kontrola = -H Å" 3m + VA Å"10m - P Å" 4m + M - q Å" 3m Å" 3m / 2 =
"M B A
= (15 Å" 3 + 4.25 Å"10 - 20 Å" 4 +15 - 5 Å" 3Å" 3/ 2)kNm = 0
2.2.2 OBLICZENIE WARTOÅšCI RZDNYCH CHARAKTERYSTYCZNYCH SIA
PRZEKROJOWYCH.
M = 0 ,
A
M = VA Å" 2m - H Å"1.5m - q Å"1.5m Å"1.5m / 2 =
E A
= 4.25kN Å" 2m +15kN Å"1.5m - 5kN / m Å"1.5m Å"1.5m / 2 = 25.375kNm,
M = VA Å" 4m - H Å" 3m - q Å" 3m Å"3m / 2 = 4.25Å" 4m +15kN Å" 3m - 5kN / m Å" 3m Å" 3m / 2 = 39.50kNm ,
CA A
M = M + M = 39.5kNm +15kNm = 54.50kNm ,
CD CA
M = VB Å" 4m = 15.75kN Å" 4m = 63.00kNm , M = 0 ,
D B
VAC = VA Å" cosÄ… - H Å"sinÄ… = (4.25 Å" 0.8 +15 Å" 0.6)kN = 12.40kN ,
A
N = -VA Å" sinÄ… - H Å" cosÄ… = (- 4.25Å" 0.6 +15 Å" 0.8)kN = 9.45kN ,
AC A
VCA = VA Å" cosÄ… - H Å" sinÄ… - q Å" 3m Å" sinÄ… = (4.25 Å" 0.8 +15Å" 0.6 - 5 Å" 3Å" 0.6)kN = 3.40kN ,
A
NCA = -VA Å" sinÄ… - H Å" cosÄ… - q Å" 3m Å" cosÄ… = (- 4.25 Å" 0.6 +15 Å" 0.8 - 5 Å" 3Å" 0.8)kN = -2.55kN ,
A
VCD = P -VB = 20kN -15.75kN = 4.25kN , VDB = -VB = -15.75kN , NCB = 0 .
Rzędne środkowe momentów zginających dla przedziału CD i DB, wykorzystując ich
prostoliniowy charakter, obliczono jako średnie arytmetyczne z wartości brzegowych.
M = (M + M )/ 2 = (54.5 + 63)/ 2 Å" kNm = 58.75kNm ,
s,CD CD D
M = (M + M )/ 2 = (63 + 0)/ 2 Å" kNm = 31.50kNm
s,DB D B
F
Siła podłużna w więzi sprężystej nr 1: S = -VA = -4.25kN
1
F
Moment zginający w więzi sprężystej nr 2: S = M = 39.50kNm
2
CA
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 2
3,00m
q=5,00kN/m
METODA SIA - przykład 2- rama z więziami sprężystymi
poddana działaniu sił, zmian temperatury, przemieszczeń podpór i błędów montażu
2.2.3 WYKRESY SIA PRZEKROJOWYCH.
+
+
MF
+
- -
+
+
NF
VF
2.3 ROZWIZANIE UKAADU PODSTAWOWEGO OD OBCIŻENIA X1 = 1
X1
Uwaga: Wszystkie wielkości wyznaczane w tym punkcie
x
wyróżniamy nadkreśleniem i indeksem górnym 1. Dla
skrócenia zapisu w obliczeniach pominiemy te wyróżniki
VB
stosując pełne symbole tylko w oznaczeniach wielkości, z
których korzystać będziemy w dalszych obliczeniach.
HA
2,00m 2,00m 2,00m 2,00m 2,00m
2.3.1 WYZNACZENIE REAKCJI PODPÓR
VA
2.3.2
y
1
M = -VB Å"10m +1 = 0 Ò! VB = VB = 0.10 / m ,
"
A
1
Y = -VA -VB = 0 Ò! VA = VA = -0.10 / m ,
"
1
X = H = 0 Ò! H = H = 0 .
"
A A A
Kontrola M = -H Å" 3m + VA Å"10m + X1 = - 0 Å" 3 - 0.1Å"10 +1 = 0
"
B A
2.3.3 OBLICZENIE WARTOÅšCI RZDNYCH CHARAKTERYSTYCZNYCH SIA
PRZEKROJOWYCH.
M = 0 , M = VA Å" 4m - H Å"3m = -0.40 ,
A C A
M = VB Å" 4m -1 = -0.60 , M = 0 ,
D B
VAC = VA Å" cosÄ… - H Å"sinÄ… = -0.08/ m , N = -VA Å"sinÄ… - H Å" cosÄ… = 0.06 / m ,
A AC A
VCB = -VB = -0.10 / m , NCB = 0 .
M = M = (M + M )/ 2 = (0 - 0.4)/ 2 = -0.20,
E s,AC A C
M = (M + M )/ 2 = (- 0.4 - 0.6)/ 2 = -0.50 , M = (M + M )/ 2 = (- 0.6 -1)/ 2 = -0.80 .
s,CD C D s,DB D B
M = (M + M )/ 2 = (- 0.4 -1)/ 2 = -0.70 .
s,CB C B
1
Siła podłużna w więzi sprężystej nr 1: S = -VA = 0.10 / m
1
Moment zginający w więzi sprężystej nr 2: S1 = M = -0.40
2
C
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 3
31,50kNm
54,50kNm
58,75kNm
63,00kNm
4,25kN
4,25kN
15,75kN
15,75kN
3,00m
3
9
,
5
0
k
N
2
m
5
,
3
7
5
k
N
m
3
,
4
0
k
N
2
,
5
9
1
5
,
4
2
k
5
,
N
4
k
0
N
k
N
METODA SIA - przykład 2- rama z więziami sprężystymi
poddana działaniu sił, zmian temperatury, przemieszczeń podpór i błędów montażu
2.3.4 WYKRESY SIA PRZEKROJOWYCH.
-
-
M1
-
+
-
N1
V1
2.4 ROZWIZANIE UKAADU PODSTAWOWEGO OD OBCIŻENIA X2 = 1.
Uwaga: Wszystkie wielkości wyznaczane w tym punkcie wyróżniamy
X2
nadkreśleniem i indeksem górnym 2. Dla skrócenia zapisu w
x
obliczeniach pominiemy te wyróżniki stosując pełne symbole
tylko w oznaczeniach wielkości, z których korzystać
VB
będziemy w dalszych obliczeniach.
HA
2,00m 2,00m 2,00m 2,00m 2,00m
2.4.1 WYZNACZENIE REAKCJI PODPÓR.
M = -VB Å"10m +1Å" 3m = 0 Ò!
"
A
VA
y
VB = VB2 = 0.30 ,
Ò! VA = VA2 = -0.30 ,
"Y = -VA -VB = 0
2
X = H +1 = 0 Ò! H = H = -1.
"
A A A
Kontrola M = -H Å" 3m + VA Å"10m =(-(-1) Å" 3 + (-0.3) Å"10)m = 0
"
B A
2.4.2 OBLICZENIE WARTOÅšCI RZDNYCH CHARAKTERYSTYCZNYCH SIA
PRZEKROJOWYCH.
M = 0 , M = VA Å" 4m - H Å" 3m = 1.80m ,
A C A
M = VB Å" 4m = 1.20m , M = 0 ,
D B
VAC = VA Å" cosÄ… - H Å" sinÄ… = 0.36 , N = -VA Å" sinÄ… - H Å" cosÄ… = 0.98 ,
A AC A
VCB = -VB = -0.30 , NCB = 1.
M = M = (M + M )/ 2 = (0 +1.8)/ 2 Å" m = 0.90m ,
E s,AC A C
M = (M + M )/ 2 = (1.8 +1.2)/ 2 Å" m = 1.50m , M = (M + M )/ 2 = (1.2 + 0)/ 2 Å" m = 0.60m ,
s,CD C D s,DB D B
M = (M + M )/ 2 = (1.8 + 0)/ 2 Å" m = 0.90m .
s,CB C B
2
Siła podłużna w więzi sprężystej nr 1: S = -VA = 0.30
1
2
Moment zginający w więzi sprężystej nr 2: S = M = 1.80m
2
C
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 4
1,00
0,80
0,60
0,50
0,40
0,10/m
0,10/m
0,10/m
3,00m
0
,
4
0
0
,
2
0
0
,
0
6
/
m
0
,
0
8
/
m
0
,
0
6
/
m
METODA SIA - przykład 2- rama z więziami sprężystymi
poddana działaniu sił, zmian temperatury, przemieszczeń podpór i błędów montażu
2.4.3 WYKRESY SIA PRZEKROJOWYCH
M2
N2
2
V
2.5 UKAAD RÓWNAC I JEGO ROZWIZANIE.
2.5.1 OBLICZENIE WSPÓACZYNNIKÓW UKAADU RÓWNAC
Współczynniki układu równań obliczamy wykorzystując wzory
i j i F
i j i F
M Å" M S Å" S M Å" M S Å" S
s s s s
´ij = dx + , ´iF = dx + ,
" "
+" +"
EI ks EI ks
Do obliczenia całek w powyższych wzorach zastosowano wzór Simpsona lub Mohra. Ze względu na
charakter wykresów momentów zginających całki w powyższych wzorach przedstawiono w postaci
sum 3 lub 2 całek odpowiadających przedziałom całkowania, w których funkcje podcałkowe spełniają
założenia umożliwiające zastosowanie odpowiedniego wzoru.
1 1 S1 Å" S1 S1 Å" S1
1 1 2 2
1 1 1 1
´11 = M Å" M Å" dx + M Å" M Å" dx + + =
+" +"
EI EICB CB k1 k2
AC AC
1 - 0.4 Å" 5m 2 1 6m
= Å" Å" Å" (-0.4) + Å" Å"((-0.4) Å" (-0.4) + 4 Å" (-0.7) Å" (-0.7) + (-1) Å" (-1))+
EI 2 3 1.3889EI 6
0.1/ m Å" 0.1/ m (-0.4) Å" (-0.4) m
+ + = 2.693049 ,
0.5EI / m3 EI / m EI
2 2
1 1 S1 Å" S S1 Å" S
1 1 2 2
1 2 1 2
´12 = ´ = M Å" M Å" dx + M Å" M Å" dx + + =
21 +" +"
EI EICB CB k1 k2
AC AC
1 - 0.4 Å" 5m 2 1 6
= Å" Å" Å"1.8m + Å" Å"(- 0.4 Å"1.8 + 4 Å" (-0.7) Å" 0.9 + (-1) Å" 0)m2 +
EI 2 3 1.3889 Å" EI 6
0.1/ m Å" 0.3 (-0.4) Å"1.8m m2
+ + = -4.192781 ,
0.5EI / m3 EI / m EI
2 2 2 2
1 1 S Å" S S Å" S
1 1 2 2
2 2 2 2
´ = M Å" M Å" dx + M Å" M Å" dx + + =
22 +" +"
EI EICB CB k1 k2
AC AC
1 1.8m Å" 5m 2 1 1.8m Å" 6m 2 0.3Å" 0.3 1.8 Å"1.8m m3
= Å" Å" Å"1.8m + Å" Å" Å"1.8m + + = 13.485563 ,
EI 2 3 1.3889 Å" EI 2 3 0.5EI / m3 EI / m EI
F F
1 1 1 S1 Å" S S1 Å" S
1 1 2 2
1 F 1 F 1 F
´1F = M Å" M Å" dx + M Å" M Å" dx + M Å" M Å" dx + + =
+" +" +"
EI EICD CD EIDB DB k1 k2
AC AC
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 5
0.60m
1,20m
1,50 m
1,80 m
1,000
1,000
1,000
-0,300
-0,300
-0,300
1
,
8
0
m
0
,
9
0
m
0
,
3
6
0
0
,
9
8
0
0
,
3
0
6
,
9
0
8
0
METODA SIA - przykład 2- rama z więziami sprężystymi
poddana działaniu sił, zmian temperatury, przemieszczeń podpór i błędów montażu
1 5m
= Å" Å"(0 Å" 0 + 4 Å" (-0.2) Å" 25.375kNm + (-0.4) Å" 39.5kNm)+
EI 6
1 2
+ Å" Å"(- 0.4 Å" 54.5 + 4 Å" (-0.5) Å" 58.75 + (-0.6) Å" 63)kNm2 +
1.3889 Å" EI 6
1 4 0.1/ m Å" (-4.25)kN (-0.4) Å" 39.5kNm
+ Å" Å"(- 0.6 Å" 63 + 4 Å" (-0.8) Å" 31.5 + (-1) Å" 0)kNm2 + + =
1.3889 Å" EI 6 0.5EI / m3 EI / m
kNm2
= -155.764461
EI
2 F 2 F
1 1 1 S Å" S S Å" S
1 1 2 2
2 F 2 F 2 F
´ = M Å" M Å" dx + M Å" M Å" dx + M Å" M Å" dx + + =
2F +" +" +"
EI EICD CD EIDB DB k1 k2
AC AC
1 5m
= Å" Å"(0 Å" 0 + 4 Å" 0.9m Å" 25.375kNm +1.8m Å" 39.5kNm)+
EI 6
1 2
+ Å" Å"(1.8 Å" 54.5 + 4 Å"1.5 Å" 58.75 +1.2 Å" 63)kNm3 +
1.3889 Å" EI 6
1 1.2 Å" 4 2 0.3Å" (-4.25)kN 1.8 Å" 39.5kNm kNm3
+ Å" Å" Å" 63kNm3 + + = 402.787409
1.3889 Å" EI 2 3 0.5EI / m3 EI / m EI
2.5.2 POSTAĆ SZCZEGÓAOWA UKAADU RÓWNAC I JEGO ROZWIZANIE
m m2 F kNm2
2.693049 Å" X1F - 4.192781 Å" X -155.764461 = 0 ,
2
EI EI EI
m2 m3 F kNm3
- 4.192781 Å" X1F +13.485563 Å" X + 402.787409 = 0
2
EI EI EI
F
X1F = 21.975393kNm , X = -23.035701kN .
2
2.6 OBLICZENIE WARTOÅšCI  RZECZYWISTYCH REAKCJI I SIA PRZEKROJOWYCH
F F 1 2 F F
RrF = Rr1 Å" X1F + Rr2 Å" X + RrF , MÄ… = MÄ… Å" X1F + MÄ… Å" X + MÄ… ,
2 2
F 1 2 F F F
NÄ… = NÄ… Å" X1F + NÄ… Å" X + NÄ… , VÄ…F = VÄ…1 Å" X1F + VÄ…2 Å" X + VÄ…F
2 2
2 F
F F
SÄ… = S1 Å" X1F + SÄ… Å" X + SÄ…
Ä…
2
F 1 2 F
H = H Å" X1 + H Å" X + H = 0 Å" 21.975393kNm + (-1) Å" (-23.035701kN) -15kN = 8.036kN
A A A 2 A
F 1
VA = VA Å" X1 +VA2 Å" X +VAF = -0.1/ m Å" 21.975393kNm + (-0.3) Å" (-23.035701kN) + 4.25kN = 8.963kN
2
F 1
VB = VB Å" X1 +VB2 Å" X + VBF = 0.1/ m Å" 21.975393kNm + 0.3Å" (-23.035701kN) +15.75kN = 11.037kN
2
F 1 2 F
M = M Å" X1 + M Å" X + M =
E E E 2 E
= -0.2 Å" 21.975393kNm + 0.9m Å" (-23.035701kN) + 25.375kNm = 0.2478kNm
F 1 2 F
M = M Å" X1 + M Å" X + M =
CA CA CA 2 CA
= -0.4 Å" 21.975393kNm +1.8m Å" (-23.035701kN ) + 39.5kNm = -10.7544kNm
F 1 2 F
M = M Å" X1 + M Å" X + M =
CD CD CD 2 CD
= -0.4 Å" 21.975393kNm +1.8m Å" (-23.035701kN) + 54.5kNm = 4.2456kNm
F 1 2 F
M = M Å" X1 + M Å" X + M =
DC DC DC 2 DC
= -0.4 Å" 21.975393kNm +1.2m Å" (-23.035701kN) + 63kNm = 22.1719kNm
F F
M = M = 22.1719kNm
DB DC
F 1 2 F
M = M Å" X1 + M Å" X + M = -1Å" 21.975393kNm + 0 Å" (-23.035701kN) + 0 = -21.9754kNm
BD BD BD 2 BD
0.08
F 1 2 F
VAC = VAC Å" X1 + VAC Å" X +VAC = - Å" 21.975393kNm + 0.36 Å" (-23.035701kN) +12.4kN = 2.349kN
2
m
F 1 2 F
VCA = VCA Å" X1 + VCA Å" X +VCA = -0.08 / m Å" 21.975393kNm + 0.36 Å" (-23.035701kN) + 3.4kN = -6.651kN
2
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 6
METODA SIA - przykład 2- rama z więziami sprężystymi
poddana działaniu sił, zmian temperatury, przemieszczeń podpór i błędów montażu
0.1
F 1 2 F
VCD = VCD Å" X1 + VCD Å" X + VCD = - Å" 21.975393kNm + (-0.3) Å" (-23.0357019kN) + 4.25kN = 8.963kN
2
m
F F
VDC = VCD = 8.963kN
F 1 2 F
VDB = VDB Å" X1 +VDB Å" X +VDB =
2
= -0.1/ m Å" 21.975393kNm + (-0.3) Å" (-23.035701kN ) -15.75kN = -11.037kN
F F
VBD = VDB = -11.037kN
F 1 2 F
N = N Å" X1 + N Å" X + N =
AC AC AC 2 AC
= -0.06 / m Å" 21.975393kNm + 0.98 Å" (-23.035701kN ) + 9.45kN = -11.807kN
0.06
F 1 2 F
NCA = NCA Å" X1 + NCA Å" X + NCA = - Å" 21.975393kNm + 0.98 Å" (-23.035701kN) - 2.55kN = -23.807kN
2
m
F 1 2 F
NCD = NCD Å" X1 + NCD Å" X + NCD = 0 Å" 21.975393kNm +1Å" (-23.035701kN) + 0 = -23.036kN
2
F F F F
N = NCD = NDB = N = -23.036kN
DC BD
2 F
S1F = S1 Å" X1 + S Å" X + S = 0.1/ m Å" 21.975393kNm + 0.3Å" (-23.035701kN) - 4.25kN = -8.9632kN
1 1 1
2
2 F
F F
S2 = S1 Å" X1F + S Å" X + S = -0.4 Å" 21.975393kNm +1.8m Å" (-23.035701kN) + 39.5kN = -10.7544kNm
2 2 1
2
2.7 WYKRESY  RZECZYWISTYCH SIA PRZEKROJOWYCH
MF
NF
F
V
Rzeczywiste wartości sił przekrojowych można też policzyć rozwiązując układ podstawowy od
działającego równocześnie obciążenia danego i znanych już sił hiperstatycznych. Wyniki obliczeń
musiałyby być identyczny (w granicach dokładności rachunkowej) jak przedstawione powyżej.
2.8 KONTROLA POPRAWNOÅšCI ROZWIZANIA.
Kontrola poprawności rozwiązania polega na sprawdzeniu czy otrzymane rozwiązanie jest
statycznie i kinematycznie dopuszczalne, czyli czy siły spełniają równania równowagi a
przemieszczenia są zgodne z warunkami podparcia i ciągłości.
2.8.1 KONTROLA STATYCZNEJ DOPUSZCZALNOÅšCI ROZWIZANIA
Dokonując kontroli równań równowagi należy pamiętać, że kontroli podlegają tylko te
wartości, które występują w obliczeniach kontrolnych. Zaleca się, więc aby do sprawdzenia równań
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 7
-21,975 kNm
0,098 kNm
4,246 kNm
13,209 kNm
22,172 kNm
8,963 kN
8,963 kN
-27,199 kN
-23,036 kN
-23,036 kN
-11,037 kN
-11,037 kN
-
1
0
,
7
5
4
k
N
m
0
,
2
4
8
k
N
m
-
2
3
,
8
0
8
-
6
k
,
N
6
2
5
,
1
3
4
k
9
N
-
1
k
1
N
,
8
0
7
k
N
METODA SIA - przykład 2- rama z więziami sprężystymi
poddana działaniu sił, zmian temperatury, przemieszczeń podpór i błędów montażu
równowagi, podzielić układ na pręty i węzły i dla każdego tak wydzielonego elementu napisać 3
równania równowagi. W tym przypadku kontroli podlegają wszystkie wartości brzegowe sił
przekrojowych. Na rysunku poniżej pokazano elementy, dla których sprawdzimy równania
równowagi.
MCD P=20,00kN MBD
MCD NCD NCD
M=15,00 kNm
NBD
x x
C
B
D
VCD
VCD
VBD
y
y
MDB MBD
NDB
NBD
x
x
D B
y
A
VDB
VBD
y
Dla pręta AC
X = -N + NCA + q Å" 3m Å" cosÄ… = -(-11.807) + (-23.808) + 5 Å" 3Å" 0.8 H" 0 ,
"
AC
"Y = -VAC + VCA + q Å" 3m Å" sinÄ… = -2.349 + (-6.651) + 5 Å" 3Å" 0.6 H" 0 ,
M = M - M + VCA Å" 5m + q Å" 3m Å"1.5m = 0 - (-10.754) + (-6.651) Å"5 + 5 Å" 3Å"1.5 H" 0
"
A AC CA
Dla węzła C
X = NCD - NCA Å" cosÄ… -VCA Å"sinÄ… = -23.036 - (-23.808) Å" 0.8 - (-6.651) Å" 0.6 H" 0 ,
"
"Y = VCD + NCA Å" sinÄ… -VCA Å" cosÄ… = 8.963 + (-23.808) Å" 0.6 - (-6.651) Å" 0.8 H" 0 ,
M = M - M + M = -10.754 - 4.246 +15 H" 0
"
c CA CD
Dla pręta CB
X = -NCD + NBD = -(-23.036) - 23.036 = 0 ,
"
"Y = -VCD +VBD + P = -8.963 + (-11.037) + 20 = 0 ,
M = M - M +VBD Å" 6m + P Å" 2m = 4.246 - (-21.975) + (-11.037) Å" 6 + 20 Å" 2 H" 0
"
C CD BD
Dla pręta DB
X = -NDB + NBD = -(-23.036) - 23.036 = 0 ,
"
"Y = -VDB +VBD = -(-11.037) + (-11.037) = 0 ,
M = M - M + VBD Å" 4m = 22.172 - (-21.975) + (-11.037) Å" 4 H" 0 .
"
D DB BD
2.8.2 KONTROLA KINEMATYCZNEJ ZGODNOÅšCI PRZEMIESZCZEC.
Kontrola zgodności przemieszczeń polega na sprawdzeniu zgodności przemieszczeń układu
rozwiązanego z przemieszczeniami rzeczywistymi w tylu miejscach ile wynosi stopień statycznej
niewyznaczalności. Można tego dokonać postępując, w fazie początkowej, analogicznie jak buduje się
układ równań kanonicznych, to jest: przyjąć układ podstawowy metody sił i sporządzić wykresy
momentów zginających od jednostkowych wartości sił hiperstatycznych a następnie policzyć
Ä… F
M Å" M SÄ… Å" SsF
s
przemieszczenia w układzie danym ze wzoru "ąF = dx + w miejscach, w
"
+"
EI ks
s
których przecięto (usunięto) więzi tworząc układ podstawowy. Wartości tych przemieszczeń muszą
być takie, jakie wynikają ze sposobu podparcia układu i połączenia jego elementów. Wystarczające
jest jednak sprawdzenie przemieszczeń w miejscach sił hiperstatycznych przyjętych do rozwiązania
układu. W tym przypadku wykresy momentów zginających od jednostkowych wartości sił
hiperstatycznych są już określone i wystarczy policzyć przemieszczenia "1F i "2F .
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 8
q=5,00kN/m
A
C
M
A
C
N
A
C
N
A
C
V
A
C
M
A
C
V
C
A
M
C
A
N
C
A
V
METODA SIA - przykład 2- rama z więziami sprężystymi
poddana działaniu sił, zmian temperatury, przemieszczeń podpór i błędów montażu
F
1 1 1 S1 Å" S1F S1 Å" S2
1 2
1 F 1 F 1 F
"1F = M Å" M Å" dx + M Å" M Å" dx + M Å" M Å" dx + + =
+" +" +"
EI EICD CD EIDB DB k1 k2
AC AC
1 5m
= Å" Å"(0 Å" 0 + 4 Å" (-0.2) Å" 0.248kNm + (-0.4) Å" (-10.754)kNm)+
EI 6
1 2m
+ Å" Å"(- 0.4 Å" 4.246 + 4 Å" (-0.5) Å"13.209 + (-0.6) Å" 22.172)kNm +
1.3889 Å" EI 6
1 4m
+ Å" Å"(- 0.6 Å" 22.172 + 4 Å" (-0.8) Å" 0.098 + (-1) Å" (-21.975))kNm +
1.3889 Å" EI 6
0.1/ m Å" (-8.963kN) - 0.4 Å" (-10.754kNm)
+ + H" 0
EI / m
0.5 Å" EI / m3
2 2
F
1 1 1 S Å" S1F S Å" S2
1 2
2 F 2 F 2 F
"2F = M Å" M Å" dx + M Å" M Å" dx + M Å" M Å" dx + + =
+" +" +"
EI EICD CD EIDB DB k1 k2
AC AC
1 5m
= Å" Å"(0 Å" 0 + 4 Å" 0.9m Å" 0.248kNm +1.8m Å" (-10.754)kNm)+
EI 6
1 2m
+ Å" Å"(1.8 Å" 4.246 + 4 Å"1.5 Å"13.209 +1.2 Å" 22.172)kNm2 +
1.3889 Å" EI 6
1 4m
+ Å" Å"(1.2 Å" 22.172 + 4 Å" 0.6 Å" 0.098 + 0 Å" (-21.975))kNm2 +
1.3889 Å" EI 6
0.3Å" (-8.963kN) 1.8m Å" (-10.754kNm)
+ + H" 0 .
EI / m
0.5 Å" EI / m3
3 ROZWIZANIE RAMY OD ZMIAN TEMPERATURY
3.1 UKAAD PODSTAWOWY I ODPOWIADAJCY MU UKAAD RÓWNAC
KANONICZNYCH
X1
-30oC X2
3.1.1 UKAAD PODSTAWOWY
10oC 1.3889 EI
Przyjęto układ podstawowy taki jak dla
rozwiązania od obciążeń siłami, aby móc
wykorzystać w obliczeniach wykonane już
rozwiązania od obciążeń hiperstatycznych
2,00m 2,00m 2,00m 2,00m 2,00m
3.1.2 UKAAD RÓWNAC KANONICZNYCH
T T
´11 Å" X1 + ´12 Å" X + ´1T = "Trz = 0 ,
2 1
T T
´ Å" X1 + ´ Å" X + ´ = "T = 0 .
21 22 2 2T 2rz
3.2 ROZWIZANIE UKAADU PODSTAWOWEGO OD ZMIAN TEMPERATURY
Ponieważ układ podstawowy jest układem statycznie wyznaczalnym zmiany temperatury
T T T
nie wywołują w nim żadnych sił M = N = V = ST = ST = 0
1 2
3.3 ROZWIZANIE UKAADU PODSTAWOWEGO OD OBCIŻENIA X1 = 1 I X2 = 1
Ze względu na to, że przyjęto układ podstawowy analogiczny jak dla rozwiązania od
obciążenia siłami (różne jest tylko obciążenie) rozwiązania układu podstawowego od obciążenia
X1 = 1 i X2 = 1 sÄ… identyczne jak w punktach 2.3 i 2.4.
3.4 UKAAD RÓWNAC I JEGO ROZWIZANIE
3.4.1 OBLICZENIE WSPÓACZYNNIKÓW UKAADU RÓWNAC
Współczynniki układu równań obliczamy wykorzystując wzory
i j
i j
M Å" M S Å" S ëÅ‚Ä…T Å" ("Tw - "Tp)
s s öÅ‚
´ij = dx + , ´iT = Å" &!M + (Ä…T Å" "To Å" &!N ) .
ìÅ‚ ÷Å‚
" i " i
"
+"
p
EI ks h
p íÅ‚ Å‚Å‚ p
p
Uwzględniając fakt, że rozwiązania układu podstawowego od obciążenia X1 = 1 i X2 = 1 są
identyczne jak w punktach 2.3 i 2.4 współczynniki ´11, ´12 = ´ i ´ majÄ… wartoÅ›ci takie jak
21 22
obliczono w punkcie 2.5.2. Obliczymy wiÄ™c tylko współczynniki ´1T i ´ .
2T
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 9
3,00m
o
C
0
2
o
C
5
-
I
E
METODA SIA - przykład 2- rama z więziami sprężystymi
poddana działaniu sił, zmian temperatury, przemieszczeń podpór i błędów montażu
Określenie składników wzorów dla poszczególnych prętów
- 0.4m Å" 5m 1.8m Å"5m
Dla pręta AC &!M 1 = = -1m , &!M 2 = = 4.5m2 ,
2 2
&!N1 = 0.06 / m Å" 5m = 0.3 , &!N 2 = 0.98 Å" 5m = 4.9m ,
"Tw + "Tp - 5 + 20
"Tw = -5o C , "Tp = 20o C , "To = = = 7.5o C (przekrój symetryczny),
2 2
"Tw - "Tp (-5 - 20)o C -113.636o C
h = 0.044 Å" 5m = 0.22m , = = ,
h 0.22m m
Ä…T Å" ("Tw - "Tp)
´1T ( AC) = Å" &!M + Ä…T Å" "To Å" &!N1 =
1
h
= Ä…T Å"(-113.636o C / m Å" (-1m) + 7.5o C Å" 0.3)= 115.886364o C Å"Ä…T ,
Ä…T Å" ("Tw - "Tp)
´ = Å" &!M + Ä…T Å" "To Å" &!N 2 =
2
2T ( AC)
h
= Ä…T Å"(-113.636o C / m Å" 4.5m2 + 7.5o C Å" 4.9m)= -474.613636o C Å" m Å"Ä…T
- (0.4 +1) Å" 6m 1.8m Å" 6m
Dla pręta CB &!M 1 = = -4.2m , &!M 2 = = 5.4m2 ,
2 2
&!N1 = 0 , &!N 2 = 1Å" 6m = 6m .
10 - 30
"Tw = 10o C , "Tp = -30o C , "To = = -10o C (przekrój symetryczny),
2
("Tw - "Tp) (10 - (-30))o C 166.6667o C
h = 0.04 Å" 6m = 0.24m , = = ,
h 0.24m m
Ä…T Å" ("Tw - "Tp)
´1T (CB) = Å" &!M + Ä…T Å" "To Å" &!N1 =Ä…T Å"(166.6667o C / m Å" (-4.2m) + 0)= -700o C Å"Ä…T ,
1
h
Ä…T Å" ("Tw - "Tp)
´ = Å" &!M + Ä…T Å" "To Å" &!N =
2 2
2T (CB)
h
= Ä…T Å"(-113.636o C / m Å" 5.4m2 + 7.5o C Å" 6m)= 840o C Å"Ä…T Å" m
Szukane współczynniki: ´1T = (115.8864 - 700)o C Å"Ä…T = -584.113636o C Å"Ä…T ,
´ = (-474.613636 + 840)o C Å"Ä…T Å" m = 365.386363o C Å"Ä…T Å" m .
2T
3.4.2 POSTAĆ SZCZEGÓAOWA UKAADU RÓWNAC I JEGO ROZWIZANIE
m m2 T
T
2.693049 Å" X1 - 4.192781 Å" X - 584.1136o C Å"Ä…T = 0
2
EI EI
m2 T m3 T
- 4.192781 Å" X1 +13.485563 Å" X + 365.386363o C Å"Ä…T Å" m = 0
2
EI EI
EI EI
T T
X1 = 338.6254o C Å"Ä…T Å" , X = 78.1870o C Å"Ä…T Å" .
2
m
m2
3.5 OBLICZENIE WARTOÅšCI  RZECZYWISTYCH REAKCJI I SIA PRZEKROJOWYCH
T T T T 1 T 2 T T
Rr = Rr1 Å" X1 Å" Rr2 Å" X + RrT , MÄ… = MÄ… Å" X1 + MÄ… Å" X + MÄ… ,
2 2
T 1 T 2 T T T T T
NÄ… = NÄ… Å" X1 + NÄ… Å" X + NÄ… , VÄ… = VÄ…1 Å" X1 + VÄ…2 Å" X + VÄ…T
2 2
2 T
T T T
SÄ… = S1 Å" X1 + SÄ… Å" X + SÄ…
Ä…
2
T 1 T 2 T T
H = H Å" X1 + H Å" X + H = 0 + (-1) Å" 78.1870o C Å"Ä…T Å" EI / m2 + 0 = -78.1870o C Å"Ä…T Å" EI / m2
A A A 2 A
T 1 T T T
VA = VA Å" X1 +VA2 Å" X +VA =
2
= -0.1/ m Å" 338.6254o C Å"Ä…T Å" EI / m + (-0.3) Å" 78.1870o C Å"Ä…T Å" EI / m2 + 0 = -57.3186o C Å"Ä…T Å" EI / m2
T 1 T T T
VB = VB Å" X1 +VB2 Å" X +VB =
2
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 10
METODA SIA - przykład 2- rama z więziami sprężystymi
poddana działaniu sił, zmian temperatury, przemieszczeń podpór i błędów montażu
= 0.1/ m Å" 338.6254o C Å"Ä…T Å" EI / m + 0.3 Å" 78.1870o C Å"Ä…T Å" EI / m2 + 0 = 57.3186o C Å"Ä…T Å" EI / m2
T 1 T 2 T T
M = M Å" X1 + M Å" X + M =
CA CA CA 2 CA
= -0.4 Å" 338.6254o C Å"Ä…T Å" EI / m + 1.8m Å" 78.1870o C Å"Ä…T Å" EI / m2 + 0 = 5.2865o C Å"Ä…T Å" EI / m
T T
M = M
CB CA
T 1 T 2 T T
M = M Å" X1 + M Å" X + M =
BC BC BC 2 BC
= -1Å" 338.6254o C Å"Ä…T Å" EI / m + 0 Å" 78.1870o C Å"Ä…T Å" EI / m2 + 0 = -338.6254o C Å"Ä…T Å" EI / m
T 1 T 2 T T
VAC = VAC Å" X1 + VAC Å" X + VAC =
2
= -0.08 / m Å" 338.6254o C Å"Ä…T Å" EI / m + 0.36 Å" 78.1870o C Å"Ä…T Å" EI / m2 + 0 =1.0573o C Å"Ä…T Å" EI / m2
T T
VCA = VAC
T 1 T 2 T T
VCB = VCB Å" X1 + VCB Å" X + VCB =
2
= -0.1/ m Å" 338.6254o C Å"Ä…T Å" EI / m + (-0.3) Å" 78.1870o C Å"Ä…T Å" EI / m2 + 0 = -57.3186o C Å"Ä…T Å" EI / m2
T T
VBC = VCB
2 T
T T T
N = N1 Å" X1 + N Å" X + N =
AC AC AC
AC 2
= -0.06 / m Å" 338.6254o C Å"Ä…T Å" EI / m + 0.98 Å" 78.1870o C Å"Ä…T Å" EI / m2 + 0 = 96.9408o C Å"Ä…T Å" EI / m2
T T
NCA = N
AC
2 T
T T T
NCB = N1 Å" X1 + N Å" X + N = 0 + 1Å" 78.1870o C Å"Ä…T Å" EI / m2 + 0 = 78.1770o C Å"Ä…T Å" EI / m2
CB CB CB
2
T T
N = NCB
BC
2 T
T T T
S1 = S1 Å" X1 + S Å" X + S =
1 1 1
2
= 0.1/ m Å" 338.6254o C Å"Ä…T Å" EI / m + 0.3 Å" 78.1870o C Å"Ä…T Å" EI / m2 + 0 = 57.3186o C Å"Ä…T Å" EI / m2
2 T
T T T
S2 = S1 Å" X1 + S Å" X + S =
2 2 2
2
= -0.4 Å" 338.6254o C Å"Ä…T Å" EI / m + 1.8m Å" 78.1870o C Å"Ä…T Å" EI / m2 + 0 = 5.2865o C Å"Ä…T Å" EI / m
3.6 WYKRESY  RZECZYWISTYCH SIA PRZEKROJOWYCH
EI
- 338.6254oC Å"Ä…T Å"
m
EI
5.2865o C Å"Ä…T Å"
m
EI
-166.6695o C Å"Ä…T Å"
m
MT
EI
78.1870oCÅ"Ä…T Å"
EI
m2
-57.3186oCÅ"Ä…T Å"
m2
NT
EI
1.1090oCÅ"Ä…T Å"
VT
EI
m2
96.9408oCÅ"Ä…T Å"
m2
Rzeczywiste wartości sił przekrojowych mogą też być wyznaczone w wyniku rozwiązania układu
podstawowego od działających równocześnie znanych już sił hiperstatycznych. Wyniki obliczeń
musiałyby być identyczny (w granicach dokładności rachunkowej) jak przedstawione powyżej.
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 11
METODA SIA - przykład 2- rama z więziami sprężystymi
poddana działaniu sił, zmian temperatury, przemieszczeń podpór i błędów montażu
3.7 KONTROLA POPRAWNOÅšCI ROZWIZANIA.
3.7.1 KONTROLA STATYCZNEJ DOPUSZCZALNOÅšCI ROZWIZANIA
MCD MBD
MCD NCD NCD
NBD
x x
Podział na elementy
C
B
D
VCD
VCD
VBD
y
y
x
y
A
Równania równowagi
Dla pręta AC
X = -N + NCA = -96.9408 + 96.9408 = 0 ,
"
AC
"Y = -VAC +VCA = -1.0573 +1.0573 = 0 ,
M = M - M + VCA Å" 5m = 0 - 5.2865 +1.0573Å" 5 = 0
"
A AC CA
Dla węzła C
X = NCB - NCA Å" cosÄ… -VCA Å" sinÄ… = 78.1870 - 96.9408 Å" 0.8 -1.0573Å" 0.6 H" 0,
"
"Y = VCB + NCA Å" sinÄ… -VCA Å" cosÄ… = -57.3186 + 96.9408 Å" 0.6 -1.0573Å" 0.8 H" 0 ,
M = M - M = 5.2865 - 5.2865 = 0
"
C CA CD
Dla pręta CB
X = -NCB + NBC = -78.1870 + 78.1870 = 0 ,
"
"Y = -VCB +VBC = -57.3186 + 57.3186 = 0 ,
M = M - M + VBC Å" 6m = 5.2865 - (-338.6254) + (-57.3186) Å" 6 H" 0
"
C CB BC
3.7.2 KONTROLA KINEMATYCZNEJ DOPUSZCZALNOÅšCI ROZWIZANIA
Wykorzystujemy tu wzór na wyznaczanie przemieszczeń od zmian temperatury
Ä… T T
M Å" M SÄ… Å" Ss
öÅ‚
s ëÅ‚Ä…T Å" ("Tw - "Tp)
"Ä…T = dx + + Å" &!M + (Ä…T Å" "To Å" &!N )
ìÅ‚
" " Ä… ÷Å‚
" Ä…
+"
p
EI ks p íÅ‚ h
s Å‚Å‚ p
p
Obliczając "1T i "2T możemy wykorzystać fakt, że suma trzeciego i czwartego członu powyższego
wzoru dla "1T wynosi ´1T a suma trzeciego i czwartego czÅ‚onu powyższego wzoru dla "2T wynosi
´ , które to wielkoÅ›ci zostaÅ‚y już policzone (p.3.4.2)
2T
1 T T
M Å" M S1 Å" Ss 1 1
s 1 T 1 T
"1T = dx + + ´1T = M Å" M Å" dx + M Å" M Å" dx +
"
+" +" +"
EI ks EI EICB CB
s
AC AC
T T
S1 Å" S1 S1 Å" S2 1 5.2865o C Å" EI Å"Ä…T / m Å" 5m 2
1 2
+ + + ´1T = Å" Å" (-0.4) +
k1 k2 EI 2 3
o
1 6m C Å" EI Å"Ä…T
+ Å" Å"(- 0.4 Å" 5.2865 + 4 Å" (-0.7) Å" (-166.6695) + (-1) Å" (-338.6254)) +
1.3889 Å" EI 6 m
0.1/ m Å" 57.3186o C Å" EI Å"Ä…T / m2 - 0.4 Å" 5.2865o C Å" EI Å"Ä…T / m
+ + - 584.1136o C Å"Ä…T H" 0 ,
1Å" EI / m
0.5 Å" EI / m3
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 12
A
C
M
A
C
N
A
C
N
A
C
V
A
C
M
A
C
V
C
A
M
C
A
N
C
A
V
METODA SIA - przykład 2- rama z więziami sprężystymi
poddana działaniu sił, zmian temperatury, przemieszczeń podpór i błędów montażu
2 T 2 T
M Å" M Ss Å" Ss 1 1
2 T 2 T
"2T = dx + + ´ = M Å" M Å" dx + M Å" M Å" dx +
"
+" +" +"
EI ks 2T EI EICB CB
s
AC AC
2 2
T T
S Å" S1 S Å" S2 1 5.2865o C Å" EI Å"Ä…T / m Å" 5m 2
1 2
+ + + ´ = Å" Å" Å"1.8m +
k1 k2 2T EI 2 3
o
1 6m C Å" EI Å"Ä…T
+ Å" Å"(1.8m Å" 5.2865 + 4 Å" 0.9m Å"166.6695 + 0) +
1.3889 Å" EI 6 m
0.3Å" 57.3186o C Å" EI Å"Ä…T / m2 1.8m Å" 5.2865o C Å" EI Å"Ä…T / m
+ + + 365.3863o C Å" m Å"Ä…T H" 0 .
1Å" EI / m
0.5 Å" EI / m3
4 ROZWIZANIE RAMY OD PRZEMIESZCZEC PODPÓR I BADÓW MONTAŻU
4.1 UKAAD PODSTAWOWY I
"r1 = 1.5o
ODPOWIADAJCY MU UKAAD
X1 X2
RÓWNAC KANONICZNYCH
2
4.1.1 UKAAD PODSTAWOWY
1.3889 EI
1
"r =1cm
Przyjęto układ podstawowy taki jak dla
rozwiązania od obciążeń siłami, aby móc
wykorzystać w obliczeniach wykonane już
2,00m 2,00m 2,00m 2,00m 2,00m
rozwiązania od obciążeń hiperstatycznych
EI
k1= 0.5
4.1.2 UKAAD RÓWNAC KANONICZNYCH
L3
"
´11 Å" X1" + ´12 Å" X + ´1" = "" = 1.5o Å"Ä„ /180o = 0.02618 ,
2 1rz
"
´ Å" X1" + ´ Å" X + ´ = "" = 0
21 22 2 2" 2rz
UWAGA: Ponieważ usunięto więz podporową (zastępując ją siłą X1), w której zadano przemieszczenie,
"r1 = 1.5o
prawa strona pierwszego równania, to jest przemieszczenie rzeczywiste w tym miejscu równe jest temu
przemieszczeniu.
X1 X2 X1
2
Jeśli chciałoby się mieć "" = 0
1rz
to należałoby przyjąć układ podstawowy dokonując
1.3889 EI
1
przecięcia odpowiednich więzi tak jak na rysunku obok.
"r =1cm
W tym przypadku równanie pierwsze
opisywałoby zmianę kąta między przekrojami,
w których przyłożono siły X1.
2,00m 2,00m 2,00m 2,00m 2,00m
Dalsze obliczenia będą wykonywane
dla układu przyjętego w punkcie 4.1.1.
EI
k1= 0.5
L3
4.2 ROZWIZANIE UKAADU PODSTAWOWEGO OD PRZEMIESZCZEC PODPÓR I
BADÓW MONTAŻU
Ponieważ układ podstawowy jest układem statycznie wyznaczalnym przemieszczenia podpór i błędy
" " " " "
montażu nie wywołują w nim żadnych sił M = N = V = S = S = 0
1 2
4.3 ROZWIZANIE UKAADU PODSTAWOWEGO OD OBCIŻENIA X1 = 1 I X2 = 1
Ze względu na to, że przyjęto układ podstawowy analogiczny jak dla rozwiązania od
obciążenia siłami (różne jest tylko obciążenie) rozwiązania układu podstawowego od obciążenia
X1 = 1 i X2 = 1 sÄ… identyczne jak w punktach 2.3 i 2.4.
4.4 UKAAD RÓWNAC I JEGO ROZWIZANIE.
4.4.1 OBLICZENIE WSPÓACZYNNIKÓW UKAADU RÓWNAC
Współczynniki układu równań obliczamy wykorzystując wzory
i j
i j
M Å" M S Å" S
s s i i
´ij = dx + , ´i" = M Å" "Õm + Å" "hv + N Å" "Ln - Ri Å" "r .
m v n r
" "V i " "
"
+"
EI ks
m v n r
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 13
m
EI
3,00m
2
k = 1
m
EI
3,00m
2
k = 1
I
E
I
E
METODA SIA - przykład 2- rama z więziami sprężystymi
poddana działaniu sił, zmian temperatury, przemieszczeń podpór i błędów montażu
Uwzględniając fakt, że rozwiązania układu podstawowego od obciążenia X1 = 1 i X2 = 1 są
identyczne jak w punktach 2.3 i 2.4 współczynniki ´11, ´12 = ´ i ´ majÄ… wartoÅ›ci takie jak
21 22
obliczono w punkcie 2.5.2. Obliczymy wiÄ™c tylko współczynniki ´1" i ´ .
2"
Błędy montażu wystąpiły w dwóch przekrojach, co
2
symbolicznie zilustrowano na rysunku obok.
"L2=1cm
1
Błędy montażu znakuje się analogicznie jak 1o
odpowiednie siły przekrojowe tzn. zmiany kąta jak
momenty zginające, przesunięcia poprzeczne jak siły 1.4 cm
tnące a odkształcenia podłużne jak siły osiowe.
Odkształceniom podłużnym "L1 i "L2 przypisano
znaki zgodnie z zasadą: wydłużenie i siła osiowa
rozciągająca  + , skrócenie i siła osiowa ściskająca  - .
Symbole odkształceń kątowych ilustrują zmiany kąta
między przekrojami równoległymi, co symbolicznie na osi
pręta i dla elementu odkształconego przedstawiono na
"Õ > 0 "Õ < 0
rysunku obok.
M
Jeśli tej zmianie kąta towarzyszy wydłużenie włókien M
włókna włókna
wyróżnionych (symbol lewy) to takiej zmianie kąta
wyróżnione wyróżnione
dx dx
przypisujemy znak  + w przeciwnym przypadku (symbol
prawy) znak  - .
Wynika stąd, że odkształceniu kątowemu w przekroju  1 należy przypisać znak  -
a odkształceniu kątowemu w przekroju  2 znak  + .
Symbole odkształceń postaciowych ilustrują wzajemne poprzeczne przesunięcie osi pręta, co
symbolicznie na osi pręta i dla elementu odkształconego
przedstawiono na rysunku obok
Symbol lewy oznacza deformacjÄ™ "h o zwrocie
zgodnym z dodatnimi zwrotami siły poprzecznej (znak  + ) a
V
"h < 0
symbol prawy oznacza deformacjÄ™ "h o zwrocie prze-
"h > 0
ciwnym do dodatnich zwrotów siły poprzecznej (znak  - ).
V
Wynika stąd, że odkształceniu postaciowemu w przekroju
dx dx
 1 należy przypisać znak  -
a odkształceniu postaciowemu w przekroju  2 znak  + .
Wartości błędów montażu są, więc następujące:
1.5o Å"Ä„ 1o Å"Ä„
"Õ1 = -1.5o = - = -0.02618 , "Õ2 = 1o = = 0.0175,
180o
180o
"h1 = -1.2cm = -0.012m , "h2 = 1.4cm = 0.014m ,
"L1 = -1.5cm = -0.015m , "L2 = 1cm = 0.01m
Siły przekrojowe od obciążeń jednostkowych, w miejscach błędów, mają wartości
1 1 1 1
M = -0.2 , M = -0.8, V = -0.08 / m , V = -0.1/ m , N1 = 0.06 / m , N1 = 0 ,
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
M = 0.9m , M = 0.6m , V = 0.36 , V = -0.3, N = 0.98 , N = 1,
1 2 1 2 1 2
Przemieszczenia podpór wystąpiły w kierunku reakcji VB i kąt obrotu podpory B.
WynoszÄ… one "VB = 1cm = 0.01m , "R = 1.5o = 1.5 Å"Ä„ /180 = 0.02618 .
BÕ
Zwroty reakcji VB w rozwiązaniach od obciążeń jednostkowych przyjęto przeciwnie do zwrotu
przemieszczenia podpory, więc do obliczania przemieszczeń zmieniamy znaki tej reakcji
1 2
V = -0.1/ m , V = -0.3 .
B B
Przyjmując układ podstawowy usunięto więz rotacyjną podpory B, więc R1 = R2 = 0 .
BÕ BÕ
1
(Gdyby przyjąć układ podstawowy przytoczony w punkcie 4.1.2 byłoby R = 1, R2 = 0 ).
BÕ BÕ
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 14
m
c
5
.
1
-
o
=
5
1
.
L
1
"
m
c
2
.
1
METODA SIA - przykład 2- rama z więziami sprężystymi
poddana działaniu sił, zmian temperatury, przemieszczeń podpór i błędów montażu
Szukane współczynniki:
´1" = -0.2 Å" (-0.02618) - 0.8 Å" 0.0175 - 0.08 / m Å" (-0.012m) - 0.1/ m Å" 0.014m + 0.06 / m Å" (-0.015m) + 0 +
- (-0.1/ m) Å" 0.01m - 0 = -0.009104 ,
´ = 0.9m Å" (-0.02618) + 0.6m Å" 0.0175 + 0.36 Å" (-0.012m) - 0.3Å" 0.014m + 0.98 Å" (-0.015m) +1Å" 0.01m +
2"
- (-0.3) Å" 0.01m - 0 = -0.023282m .
(Gdyby przyjąć układ podstawowy przytoczony w punkcie 4.1.2 byłoby
´1" = -0.2 Å" (-0.02618) - 0.8 Å" 0.0175 - 0.08 / m Å" (-0.012m) - 0.1/ m Å" 0.014m + 0.06 / m Å" (-0.015m) + 0 +
- (-0.1/ m) Å" 0.01m -1Å" 0.02618 = -0.035284).
4.4.2 POSTAĆ SZCZEGÓAOWA UKAADU RÓWNAC I JEGO ROZWIZANIE
m m2
" "
Równanie pierwsze 2.693049 Å" X1 - 4.192781 Å" X - 0.009104 = 0.02618
2
EI EI
m m2
" "
po przeksztaÅ‚ceniu ma postać 2.693049 Å" X1 - 4.192781 Å" X - 0.035284 = 0
2
EI EI
m2 m3
" "
Równanie drugie - 4.192781 Å" X1 +13.485563 Å" X - 0.023282m = 0
2
EI EI
" "
Rozwiązanie układu równań X1 = 0.030603EI / m , X = 0.011241EI / m2 .
2
4.5 OBLICZENIE WARTOÅšCI  RZECZYWISTYCH REAKCJI I SIA PRZEKROJOWYCH
" " " " 1 " 2 " "
Rr = Rr1 Å" X1 + Rr2 Å" X + Rr" , MÄ… = MÄ… Å" X1 + MÄ… Å" X + MÄ… ,
2 2
" 1 " 2 " " " "
NÄ… = NÄ… Å" X1 + NÄ… Å" X + NÄ… , VÄ…" = VÄ…1 Å" X1 + VÄ…2 Å" X + VÄ…"
2 2
2 "
" " "
SÄ… = S1 Å" X1 + SÄ… Å" X + SÄ…
Ä…
2
" 1 " 2 " "
H = H Å" X1 + H Å" X + H = 0 + (-1) Å" 0.011241EI / m2 + 0 = -0.01124EI / m2
A A A 2 A
0.1 EI EI EI
" 1 " "
VA = VA Å" X1 + VA2 Å" X + VA" = - Å" 0.030603 + (-0.3) Å" 0.011241 + 0 = -0.006433
2
m m
m2 m2
" 1 " "
VB = VB Å" X1 + VB2 Å" X + VB" = 0.1/ m Å" 0.030603EI / m + 0.3 Å" 0.011241EI / m2 + 0 = 0.006433EI / m2
2
EI EI EI
" 1 " 2 " "
M = M Å" X1 + M Å" X + M = - 0.4 Å" 0.030603 + 1.8m Å" 0.011241 + 0 = 0.007993
CA CA CA 2 CA
m m
m2
" "
M = M
CB CA
" 1 " 2 " "
M = M Å" X1 + M Å" X + M = -1Å" 0.030603EI / m + 0 + 0 = -0.03060EI / m
BC BC BC 2 BC
0.08 EI EI EI
" 1 " 2 " "
VAC = VAC Å" X1 + VAC Å" X + VAC = - Å" 0.030603 + 0.36 Å" 0.011241 + 0 = 0.001599
2
m m
m2 m2
" "
VCA = VAC
0.1 EI EI EI
" 1 " 2 " "
VCB = VCB Å" X1 + VCB Å" X + VCB = - Å" 0.030603 + (-0.3) Å" 0.011241 + 0 = -0.006433
2
m m
m2 m2
" "
VBC = VCB
2 "
0.06 EI EI EI
" " "
N = N1 Å" X1 + N Å" X + N = - Å" 0.030603 + 0.98 Å" 0.011241 + 0 = 0.01285
AC AC AC
AC 2
m m
m2 m2
" "
NCA = N
AC
2 "
" " "
NCB = N1 Å" X1 + N Å" X + N = 0 + 1Å" 0.011241EI / m2 + 0 = 0.01124EI / m2
CB CB CB
2
" "
N = NCB
BC
2 "
" " "
S1 = S1 Å" X1 + S Å" X + S = 0.1/ m Å" 0.030603EI / m + 0.3 Å" 0.011241EI / m2 + 0 = 0.006433EI / m2
1 1 1
2
2 "
" " "
S2 = S1 Å" X1 + S Å" X + S = - 0.4 Å" 0.030603EI / m + 1.8m Å" 0.011241EI / m2 + 0 = 0.007993EI / m
2 2 2
2
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 15
METODA SIA - przykład 2- rama z więziami sprężystymi
poddana działaniu sił, zmian temperatury, przemieszczeń podpór i błędów montażu
4.6 WYKRESY  RZECZYWISTYCH SIA PRZEKROJOWYCH
EI
- 0.03060
EI
m
0.007993
m
EI
- 0.01131
m
M"
EI
EI
-0.006433
0.01124
m2
m2
EI
N"
0.001599
V"
EI
m2
0.01285
m2
Rzeczywiste wartości sił przekrojowych mogą też być wyznaczone w wyniku rozwiązania układu
podstawowego od działających równocześnie znanych już sił hiperstatycznych. Wyniki obliczeń
musiałyby być identyczny (w granicach dokładności rachunkowej) jak przedstawione powyżej.
4.7 KONTROLA POPRAWNOÅšCI ROZWIZANIA.
4.7.1 KONTROLA STATYCZNEJ DOPUSZCZALNOÅšCI ROZWIZANIA
MCD MBD
MCD NCD NCD
NBD
Podział na elementy
x x
C
B
D
VCD
VCD
VBD
y
y
x
y
A
Równania równowagi
Dla pręta AC
X = -N + NCA = -0.01285 + 0.011285 = 0 ,
"
AC
"Y = -VAC + VCA = -0.001599 + 0.001599 = 0 ,
M = M - M + VCA Å" 5m = 0 - 0.007993 + 0.001599 Å" 5 H" 0
"
A AC CA
Dla węzła C
X = NCB - NCA Å" cosÄ… -VCA Å" sinÄ… = 0.01124 - 0.01285Å" 0.8 - 0.001599 Å" 0.6 H" 0 ,
"
"Y = VCB + NCA Å" sinÄ… -VCA Å" cosÄ… = -0.006433 + 0.01124 Å" 0.6 - 0.01285Å" 0.8 H" 0 ,
M = M - M = 0.007993 - 0.007993 = 0
"
C CA CD
Dla pręta CB
X = -NCB + NBC = -0.01124 + 0.01124 = 0 ,
"
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 16
A
C
M
A
C
N
A
C
N
A
C
V
A
C
M
A
C
V
C
A
M
C
A
N
C
A
V
METODA SIA - przykład 2- rama z więziami sprężystymi
poddana działaniu sił, zmian temperatury, przemieszczeń podpór i błędów montażu
"Y = -VCB +VBC = -(-0.006433) - 0.006433 = 0 ,
M = M - M + VBC Å" 6m = 0.007993 - (-0.03060) + (-0.006433) Å" 6 H" 0
"
C CB BC
4.7.2 KONTROLA KINEMATYCZNEJ ZGODNOÅšCI ROZWIZANIA
Wykorzystujemy tu wzór na wyznaczanie przemieszczeń od przemieszczeń podpór i błędów
montażu.
Ä… " "
M Å" M SÄ… Å" Ss
s Ä…
"Ä…" = dx + + M Å" "Õm + Å" "hv + NÄ… Å" "Ln - RÄ… Å" "r .
m v r
" " "V Ä… " "
+"
EI ks m
s v n r
Obliczając "1" i "2" możemy wykorzystać fakt, że człony: trzeci, czwarty, piąty i szósty powyższego
wzoru dla "1" równe sÄ… razem ´1" a czÅ‚ony trzeci, czwarty, piÄ…ty i szósty powyższego wzoru dla "2"
równe sÄ… razem ´ , które to wielkoÅ›ci zostaÅ‚y już policzone (p.4.4.1)
2"
1 " 1 "
M Å" M Ss Å" Ss 1 1
1 " 1 "
"1" = dx + + ´1" = M Å" M Å" dx + M Å" M Å" dx +
"
+" +" +"
EI ks EI EICB CB
s
AC AC
" "
S1 Å" S1 S1 Å" S2 1 0.007993 Å" EI / m Å" 5m 2
1 2
+ + + ´1T = Å" Å" (-0.4) +
k1 k2 EI 2 3
1 6m EI
+ Å" Å"(- 0.4 Å" 0.007993 + 4 Å" (-0.7) Å" (-0.01131) + (-1) Å" (-0.0306)) +
1.3889 Å" EI 6 m
0.1/ m Å" 0.006433 Å" EI / m2 - 0.4 Å" 0.007993EI / m
+ + - 0.009104 H" "" = 0.02618
1rz
1Å" EI / m
0.5 Å" EI / m3
2 " 2 "
M Å" M Ss Å" Ss 1 1
2 " 2 "
"2" = dx + + ´ = M Å" M Å" dx + M Å" M Å" dx +
"
+" +" +"
EI ks 2" EI EICB CB
s
AC AC
2 2
" "
S Å" S1 S Å" S2 1 0.007993 Å" EI / m Å" 5m 2
1 2
+ + + ´ = Å" Å" Å"1.8m +
k1 k2 2" EI 2 3
1 6m EI
+ Å" Å"(1.8m Å" 0.007993 + 4 Å" 0.9m Å" (-0.01131) + 0) +
1.3889 Å" EI 6 m
0.3Å" 0.006433 Å" EI / m2 1.8m Å" 0.007993EI / m
+ + - 0.02328m H" 0
1Å" EI / m
0.5 Å" EI / m3
5 WYZNACZENIE SZUKANYCH PRZEMIESZCZEC
5.1 ROZWIZANIA WIRTUALNE OD OBCIŻEC JEDNOSTKOWYCH
Uwzględniając fakt, że układy zostały rozwiązane od danych obciążeń, w celu obliczenia
szukanych przemieszczeń należy uzyskać rozwiązania wirtualne od obciążeń jednostkowych
przyłożonych w miejscach i kierunkach szukanych przemieszczeń. Rozwiązania te otrzymamy
rozwiązując dowolne układy podstawowe danej ramy od obciążeń F = 1 i F = 1. Może to być taki
i j
sam układ, jaki był przyjęty do rozwiązania ramy od obciążenia danego. Mogą też być dowolne inne
układy. Tu przyjęto układy jak na rysunku poniżej.
i
j
RBÕ
RBÕ
Fi=1
1.3889 EI 1.3889 EI
i
j
VB
VB
Fj=1
2,00m 4,00m 2,00m 4,00m
4,00m 4,00m
i i
Reakcje w miejscach przemieszczeń podpór : V = -1, Ri = 6m , V = 0 , Ri = -1.
B BÕ B BÕ
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 17
3,00m
3,00m
I
I
E
E
METODA SIA - przykład 2- rama z więziami sprężystymi
poddana działaniu sił, zmian temperatury, przemieszczeń podpór i błędów montażu
Wykresy sił przekrojowych
Mj
i
M
1
i
V
j
V
i j
N N
i i j
Siły w więziach sprężystych S = S1j = S = 0 , S = 1.
1 2
2
5.2 PRZEMIESZCZENIA OD OBCIŻEC SIAAMI
Szukane przemieszczenia obliczymy na podstawie wzorów
i j
i F j F
M Å" M S Å" SsF M Å" M S Å" SsF
s s
"iF = dx + , " = dx + .
" "
+" jF +"
EI ks EI ks
s s
Do obliczenia całek w powyższych wzorach zastosowano wzór Simpsona lub Mohra. Ze względu na
charakter wykresów momentów zginających całki w powyższych wzorach przedstawiono w postaci
sum 3 całek odpowiadających przedziałom całkowania, w których funkcje podcałkowe spełniają
założenia umożliwiające zastosowanie odpowiedniego wzoru.
1 1
i F i F
"iF = M Å" M Å" dx + M Å" M Å" dx + 0 =
+" +"
EICD CD EIDB DB
1 2m
= Å" Å"(0 + 4 Å" (-1m) Å"13.209kNm + (-2m) Å" 22.172kNm)+
1.3889EI 6
1 4m kNm3
+ Å" Å"(- 2m Å" 22.172kNm + 4 Å" (-4m) Å" 0.098kNm + (-6m) Å" (-21.975)kNm) = 17.9264
1.3889EI 6 EI
j
F
1 1 1 S Å" S2
j F j F j F 2
" = M Å" M Å" dx + M Å" M Å" dx + M Å" M Å" dx + 0 + =
jF +" +" +"
EI EICD CD EIDB DB k2
AC AC
1 5m 1 4.246kNm + 22.172kNm
= Å" Å"(1Å" 0 + 4 Å"1Å" 0.248kNm +1Å" (-10.754)kNm)+ Å" Å" 2m Å"1+
EI 6 1.3889EI 2
1 22.172kNm - 21.975kNm 1Å" (-10.7544kNm) kNm2
+ Å" Å" 4m Å"1+ = 0.4130
1.3889EI 2 1EI / m EI
5.3 PRZEMIESZCZENIA OD ZMIAN TEMPERATURY
Szukane przemieszczenia policzymy na podstawie wzorów
i j
i T T j T T
M Å" M S Å" Ss M Å" M S Å" Ss
s s
"iT = dx + + ´iT , " = dx + + ´
" "
+" jT +"
EI ks EI ks jT
s s
ëÅ‚Ä…T Å" ("Tw - "Tp)
öÅ‚
gdzie ´iT = Å" &!M + (Ä…T Å" "To Å" &!N ) ,
ìÅ‚ ÷Å‚
" i " i
p
h
p íÅ‚ Å‚Å‚ p
p
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 18
6 m
1,000
1,000
1
,
0
0
0
1
,
0
0
0
METODA SIA - przykład 2- rama z więziami sprężystymi
poddana działaniu sił, zmian temperatury, przemieszczeń podpór i błędów montażu
ëÅ‚Ä…T Å" ("Tw - "Tp)
öÅ‚
´ = Å" &!M + (Ä…T Å" "To Å" &!N ) .
ìÅ‚ ÷Å‚
" j " j
jT
p
h
p íÅ‚ Å‚Å‚ p
p
Ze względu na charakter wykresów momentów zginających całki w powyższych wzorach
przedstawiono w postaci sum 2 całek odpowiadających przedziałom całkowania, w których funkcje
podcałkowe spełniają założenia umożliwiające zastosowanie odpowiedniego wzoru.
Obliczenia rozpoczniemy od wyznaczenia skÅ‚adników ´iT ,´
jT
PrÄ™t AC &!M i = 0 , &!M j = 1Å"5m = 5m , &!N i = 0 , &!N j = 0 ,
"Tw + "Tp - 5 + 20
"Tw = -5o C , "Tp = 20o C , "To = = = 7.5o C (przekrój symetryczny),
2 2
"Tw - "Tp (-5 - 20)o C -113.636o C
h = 0.044 Å" 5m = 0.22m , = = ,
h 0.22m m
Ä…T Å" ("Tw - "Tp)
´iT ( AC) = Å" &!M + Ä…T Å" "To Å" &!N i = 0 ,
i
h
Ä…T Å" ("Tw - "Tp)
´ = Å" &!M + Ä…T Å" "To Å" &!N = Ä…T Å"(-113.636o C / m Å" 5m + 0)= -568.1818o C Å"Ä…T
j j
jT ( AC)
h
Dla prÄ™ta CB &!M = -6m Å" 6m / 2 = -18m2 , &!M j = 1Å" 6m = 6m , &!N i = 0 , &!N j = 0 ,
i
10 - 30
"Tw = 10o C , "Tp = -30o C , "To = = -10o C (przekrój symetryczny),
2
("Tw - "Tp) (10 - (-30))o C 166.6667o C
h = 0.04 Å" 6m = 0.24m , = = ,
h 0.24m m
Ä…T Å" ("Tw - "Tp)
´iT (CB) = Å" &!M + Ä…T Å" "To Å" &!N i =
i
h
= Ä…T Å"(166.6667o C / m Å" (-18m2 ) + 0)= -3000o C Å" m Å"Ä…T ,
Ä…T Å" ("Tw - "Tp)
´ = Å" &!M + Ä…T Å" "To Å" &!N = Ä…T Å"(166.6667o C / m Å" 6m + 0)= 1000o C Å"Ä…T
j j
jT (CB)
h
´iT = (0 - 3000)o C Å" m Å"Ä…T = -3000o C Å" m Å"Ä…T ,
´ = (-568.1818 +1000)o C Å"Ä…T = 431.8182o C Å"Ä…T .
jT
Szukane przemieszczenia
i T i T
M Å" M Ss Å" Ss 1 1
i T i T
"iT = dx + + ´1T = M Å" M Å" dx + M Å" M Å" dx +
"
+" +" +"
EI ks EI EICB CB
s
AC AC
i i
T T
S Å" S1 S Å" S2
1 2
+ + + ´iT =
k1 k2
o
1 6m C Å" EI Å"Ä…T
= 0 + Å" Å"(0 + 4 Å" (-3m) Å" (-166.6695) + (-6m) Å" (-338.6254)) + 0 +
1.3889 Å" EI 6 m
- 3000o C Å" m Å"Ä…T = -97.1373o C Å"Ä…T Å" m ,
j T T
M Å" M Ssj Å" Ss 1 1
j T j T
" = dx + + ´ = M Å" M Å" dx + M Å" M Å" dx +
"
jT +" +" +"
EI ks 2T EI EICB CB
s
AC AC
T T
S1j Å" S1 S j Å" S2 1 5.2865o C Å" EI Å"Ä…T / m Å" 5m
+ + + ´ = Å" Å"1+
k1 k2 jT EI 2
o
1 6m C Å" EI Å"Ä…T
+ Å" Å"(1Å" 5.2865 + 4 Å"1Å" (-166.6695) +1Å" (-338.6254)) + 0 +
1.3889 Å" EI 6 m
1Å" 5.2865o C Å" EI Å"Ä…T / m
+ + 431.8182o C Å"Ä…T = -269.6855o C Å"Ä…T
1EI / m
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 19
METODA SIA - przykład 2- rama z więziami sprężystymi
poddana działaniu sił, zmian temperatury, przemieszczeń podpór i błędów montażu
5.4 PRZEMIESZCZENIA OD PRZEMIESZCZEC PODPÓR I BADÓW MONTAŻU
Szukane przemieszczenia policzymy na podstawie wzorów
i j
i " " j " "
M Å" M S Å" Ss M Å" M S Å" Ss
s s
"i" = dx + + ´i" , " = dx + + ´
" "
+" j" +"
EI ks EI ks j"
s s
i i
gdzie ´i" = M Å" "Õm + Å" "hv + N Å" "Ln - Ri Å" "r ,
m v n r
" "V i " "
m v n r
j j j
´ = M Å" "Õm + Å" "hv + N Å" "Ln - R Å" "r
m v n r
" "V j " "
j"
m v n r
Ze względu na charakter wykresów momentów zginających całki w powyższych wzorach
przedstawiono w postaci sum 2 całek odpowiadających przedziałom całkowania, w których funkcje
podcałkowe spełniają założenia umożliwiające zastosowanie odpowiedniego wzoru.
Błędy montażu scharakteryzowane w punkcie 4.4.1 wynoszą:
1.5o Å"Ä„ 1o Å"Ä„
"Õ1 = -1.5o = - = -0.02618 , "Õ2 = 1o = = 0.0175,
180o
180o
"h1 = -1.2cm = -0.012m , "h2 = 1.4cm = 0.014m ,
"L1 = -1.5cm = -0.015m , "L2 = 1cm = 0.01m
Siły przekrojowe od obciążeń jednostkowych, w miejscach błędów, mają wartości
i i i i i i
M = 0, M = -4m , V = 0 , V = -1, N = 0 , N = 0 ,
1 2 1 2 1 2
j 1 2 2 2 2
M = 1, M = 1, V = 0 , V = 0 , N = 0 , N = 0 ,
2 1 2 1 2
1
Przemieszczenia podpór wystąpiły w kierunku reakcji VB i kąt obrotu podpory B.
WynoszÄ… one "VB = 1cm = 0.01m , "r1 = 1.5o = 1.5Å"Ä„ /180 = 0.02618 .
Wartości reakcji odpowiadających tym przemieszczeniom wywołane obciążeniami jednostkowymi
i j j
wynoszÄ… V = -1, Ri = 6m , V = 0 , RBÕ = -1.
B BÕ
B
´i" = 0 - 4 Å" 0.0175 + 0 -1Å" 0.014m + 0 + 0 - (-1) Å" 0.01m - 6m Å" 0.02618 = -0.23108m ,
´ = 1Å" (-0.02618) +1Å" 0.0175 + 0 + 0 + 0 + 0 - 0 - (-1) Å" 0.02618 = 0.0175 .
j"
i
i " "
M Å" M S Å" Ss 1 1
s
i " i "
"i" = dx + + ´i" = M Å" M Å" dx + M Å" M Å" dx +
"
+" +" +"
EI ks EI EICB CB
s
AC AC
i i
" "
S Å" S1 S Å" S2
1 2
+ + + ´i" =
k1 k2
1 6m EI
= 0 + Å" Å"(0 + 4 Å" (-3m) Å" (-0.01131) + (-6m) Å" (-0.0306)) + 0 - 0.23108m = -0.0012m ,
1.3889 Å" EI 6 m
j " "
M Å" M Ssj Å" Ss 1 1
j " j "
" = dx + + ´ = M Å" M Å" dx + M Å" M Å" dx +
"
j" +" +" +"
EI ks 2" EI EICB CB
s
AC AC
" "
S1j Å" S1 S j Å" S2 1 0.007993 Å" EI / m Å" 5m
+ + + ´ = Å" Å"1+
k1 k2 "T EI 2
1 6m EI 1Å" 0.007993EI / m
+ Å" Å"(1Å" 0.007993 + 4 Å"1Å" (-0.01131) +1Å" (-0.0306)) + 0 + + 0.0175 =
1.3889 Å" EI 6 m 1EI / m
= -0.003363 = -0.003363*180o /Ä„ = -0.19o .
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 20


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
metoda sił kratownica
Metoda sił rama8
metoda sil 3
Metoda sil 3
cwicz mechanika budowli obliczanie ukladow statycznie niewyznaczalnych metoda sil rama
metoda sił pale Model
Metoda sił projekt 4
Metoda sił
metoda sił 3

więcej podobnych podstron