X Drgania harmoniczne A T O t x Acos( t ) A 2 2 Y T A PrędkoSć i przyspieszenie w ruchu drgającym x 0 X t+ dx v Asin( t ) dt dv d2x 2 2 a Acos( t ) x 2 dt dt Siła w ruchu harmonicznym k m 2 F k x Równanie różniczkowe drgań harmonicznych 2 k d x d2x 2 x 0 m k x 2 m 2 dt dt Drgania cieżarka na sprężynie m T 2 k m F k x F x m Wahadło matematyczne x sin l mg x F mg k x, gdzie k l l l A x g l O F Okres drgań wahadła matematycznego mg l T 2 g P Wahadło fizyczne x M Fl mgl sin mgl l l S mgsin F d2 I d2x mg l M I I m 2 2 l I d t d t mg Okres drgań wahadła fizycznego I 2 I I m l T 2 0 mgl Wahadło matematyczne a wahadło fizyczne ml2 l T 2 2 mg l g DługoSć zredukowana wahadła fizycznego lzred I I 2 2 lzred g mg l ml Energia drgań harmonicznych Energia potencjalna Fz 1 2 Wz k x E p 2 Wz x F k x2 2 m x2 Ep x X Fz 2 2 Zasada zachowania całkowitej energii mechanicznej drgań 2 m A2 Energia E E Ek p 2 2 2 m x E p 2 mv2 m 2 2 E (A2 x ) k x 2 2 -A 0 A Przybliżenie małych drgań 1 Ep E (x) E (x0 ) k(x x0 )2 p p 2 x0 x 1 E (x ) E (x0 ) k(x x0 )2 p p x 0 2 2 d E p k rzeczywista zależnoSć d x2 x x0 E E (x) E (x ) p p p 0 x-x0 . dEp d2Ep d3Ep 1 1 Ep (x) Ep (x0) (x x0) (x x0)2 (x x0)3 ... dx 2 dx2 6 dx3 x x0 x x0 x x0 x k = z F Składanie drgań Składanie drgań równoległych o jednakowych częstoSciach x A2 cos( t ) x1 A1 cos( t ) 2 2 1 A t A2 A1 t t 1 x2 x x1 0 x x1 x2 Acos( t ) A1 sin A2 sin 2 2 1 A A12 A2 2A1 A2 cos( ) tan 2 1 A1 cos A2 cos 2 1 Drgania równoległe o jednakowych częstotliwoSciach i amplitudach 2 1 2 A 2A1 [1 cos( )] 2A1 cos 2 1 2 A1 A1 Składanie dowolnej iloSci drgań A1 równoległych A A1 A1 t+ A1 0 X t+ Składanie drgań równoległych o różnych częstoSciach 1 2 t 2 A A t x Acos( t) 2 2 x2 x x1 x1 Acos( 1t) 0 t x x1 x2 A cos( t ) A cos( t ) A[cos( t ) cos( t )] 1 2 1 2 cos cos 2cos cos 2 2 x 2Acos 2 1 t cos 1 2 t 2 2 x [cm] 4 2 T 1 2 t [s] 5 10 2 2 Td 2 1 Przykład dudnień: A = l cm, 9,4s 1, 10,6s 1 1 2 x 2cos(0,6t)cos(10t) y B cos( t ) Składanie drgań prostopadłych Y B y cos( t ) cos t cos sin t sin B A 2 x x 0 cos t , sin t 1 X A A x Acos( t ) 2 2 x y 2xy 2 cos sin 2 AB A2 B 0 2 2 x2 y2 2 x y 1 x y 0 2 2 0 A B A B A B Y Y Y B B B B y x y x A A A A 0 0 0 X X X Krzywe Lissajous Y Y P1 B P1 B P2 P2 A A X X Analiza drgań okresowych analiza Fouriera Symetryczne drgania prostokątne X A T O t A Każde drganie okresowe da się rozłożyć na szereg składowych drgań harmonicznych, przy czym najniższa częstoSć drgania składowego jest równa częstoSci drgania okresowego a pozostałe są 2, 3, 4, ... razy większe. x(t ) Bn cos(n t ) C sin(n t ) n n 1 n 1 Widmo fourierowskie Widmo fourierowskie (symetrycznych) drgań prostokątnych 4A B1 4A A B5 B4 0 5 C1 C ... 0 2 2 1 4 5 częstoSć 4A B2 0 A B3 3 X(t) Analiza impulsów t amplituda Drgania tłumione 2 dx md x k x r 2 dt dt d2 x dx 2 2 x 0 0 r 2 d t d t k 2m 0 m x A(t )cos( t ) x A1 A0 A2 A3 A4 t 0 A1 A2 A3 -A0 2 ... e t T A2 A3 A4 t 1 2 2 0 A(t) A0e t A0e A(t ) Logarytmiczny dekrement tłumienia ln T A(t T ) Energia drgań tłumionych t E(t) E0e 2 t A0e Dobroć układu drgającego Q N e T T E 2 2 Q 2 Q E 1 (1 2 T ) T 1 e 2 T Drgania wymuszone 2 dx md x r k x F0 cos( t) 2 dt dt d2x dx F0 2 2 x cos( t ) 0 2 d t m d t x Acos( t ) F0 2 A tan 2 2 2 2 2 m ( )2 4 0 0 A Ar F0 Ar 2 2 2m 0 x0 F0 F0 x r 0 2 k m 0 2 2 2 r 0 Amplituda przy braku tłumienia F0 A . 2 2 m 0 Rezonans dla słabego tłumienia F0 Ar 2m 0 Dobroć dla słabego tłumienia . F0 Ar 2m 0 0 Q F0 2 T0 x 0 m 2 0 Fale (mechaniczne) Równanie fali płaskiej rozchodzącej się w kierunku osi OX x (x,t) Acos[ (t ) ] Acos[ t ] Acos[ t k x ] v Acos( t k x ) A x1 x1+ O X A 1 2 2 k T T v T k Różne rodzaje ruchu falowego v v Fala poprzeczna Fala podłużna Fala kulista Fala płaska Interferencja (nakładanie się fal) r1 S1 Acos( t k r1) P 1 Acos( t k r2 ) r2 2 S2 r1 r2 2Acos (r2 r1) cos t k 2 2 interferencja destruktywna interferencja konstruktywna + + = = r2 r1 n 2n r2 r1 (2n 1) 2 2 n 1,2,... A B A Przykład: S1 B Interferencja fal na powierzchni wody A B S2 A B A Fale stojące Acos( t k x) 1 Acos( t k x) 2 X x (x, t ) 2 Acos 2 cos( t ) 1 x n (n 0, 1, 2...) xs n (n 0, 1, 2...) w 2 2 2 X Drgania pręta n = 1 Pręt zamocowany na dwóch końcach n = 2 2l , n 1, 2, 3,... n n v v v n = 3 n n 1 n 1 2l 2l n l 4 = 4 l= l f 1 Pręt zamocowany 4 na jednym końcu 3 f = l 3 4 5 f = l 5 l PrędkoSć rozchodzenia się fal sprężystych PrędkoSć fal sprężystych w ciele stałym PrędkoSć fal podłużnych PrędkoSć fal poprzecznych moduł sztywnoSci moduł G E v Younga v|| E G v|| > v PrędkoSć fal w strunie FN m v l PrędkoSć fal w oSrodkach ciekłych i gazowych K moduł sprężystoSci v objętoSciowej p RT cp cV R 8,31J mol K v Energia fal E 1 w A2 2 E E E k p V 2 Natężenie fali E P I t S S S v 1 2 S. I w v A2 v 2 J v t HURRA !!! Akustyka fale dxwiękowe są to fale mechaniczne o częstotliwoSciach od 16 Hz do 20kHz umownie przyjęte natężenie odniesienia I L 10log odpowiadające progowi słyszalnoSci dla 1kHz głoSnoSć I0 W I0 10 12 m2 Lmax 130dB. Efekt Dopplera obserwator w spoczynku v xródło w spoczynku ' xródło w spoczynku obserwator przybliża się z prędkoScią v o (c + v0 )t c + v0 c + v0 ' n' f f c vo v v + vo ' v
xródło przybliża się z prędkoScią v , z obserwator w spoczynku c vz ' c c ' ' vz/f c vz vz v v ' v- vz jednoczesny ruch obserwatora i xródła v v0 ' v vz Fala uderzeniowa czoło fali uderzeniowej ma postać stożka czoło fali uderzeniowej vz = c vz > c c 1 sin M - liczba Macha vz M