kierunek studiów: Edukacja Techniczno-Informatyczna
studia inżynierskie stacjonarne, semestr VI
Danuta Stefańska
Wydział Fizyki Technicznej
Laboratorium Inżynierii i Metrologii Kwantowej
Wykład 5
2012/2013
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływania nieliniowe
Równanie falowe
Równanie falowe
Równanie falowe opisujące liniowe oddziaływanie fal elektromagnetycznych
z ośrodkiem dielektrycznym ( wykład 4)
1 "2
"E - D = 0
µ0c2 "t2
W przypadku obecności oddziaływania nieliniowego:
nieliniowego
D = µ0E + P = µ0E + (P(1) + PNL) = D(1) + PNL
1 "2 1 "2
"E - D(1) = PNL
µ0c2 "t2 µ0c2 "t2
równanie falowe z czynnikiem wymuszającym (driven wave equation)
musi być speÅ‚nione oddzielnie dla każdej skÅ‚adowej Fouriera o czÄ™stoÅ›ci Én
1 "2 1 "2 Én2 Én2
(1) (1)
"En - Dn = PnNL Ò!
"En + Dn = - PnNL
µ0c2 "t2 µ0c2 "t2 µ0c2 µ0c2
2/44
Wykład 5
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływania nieliniowe
Równanie falowe
Równanie falowe
Zachodzi zależność
(1)
Dn = µ (Én )Å" En
µ (Én )
gdzie - tensor przenikalności elektrycznej ( wykład 4)
Ò! równanie falowe dla skÅ‚adowych Fouriera można zapisać:
Én2 Én2
"En + µ (Én ) Å" En = - PnNL
µ0c2 µ0c2
Uproszczenie rozważań: zakładamy przybliżenie pola skalarnego
przybliżenie pola skalarnego
En En
Pn Pn
µ (Én)Å" En µ (Én)En
3/44
Wykład 5
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływania nieliniowe
Równanie falowe
Równanie falowe
Zakładamy propagację fal w kierunku +z:
d2
"En = En
dz2
Rozważamy oÅ›rodek o nieliniowej podatnoÅ›ci kwadratowej Ç(2) niezależnej
od częstości (przybliżenie ośrodka niedyspersyjnego)
przybliżenie ośrodka niedyspersyjnego
Ò! czÅ‚on polaryzacji nieliniowej w równaniu falowym:
PnNL a" Pn( 2 )
Pn(2) a" P(2)(Én )
wzory na składowe polaryzacji II rzędu o różnych częstościach:
wykład 3
Ò! ostateczna postać równania falowego:
2
d Én2 Én2
(*)
En + µ En = - Pn( 2 )
µ0c2 µ0c2
dz2
(analogicznie dla podatnoÅ›ci szeÅ›ciennej Ç(3), s.37-43)
4/44
Wykład 5
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływania nieliniowe
Nieliniowość kwadratowa: oddziaływanie trzech fal
Nieliniowość kwadratowa: oddziaływanie trzech fal
Oddziaływanie trzech fal w ośrodku z nieliniowością II rzędu
Oddziaływanie trzech fal w ośrodku z nieliniowością II rzędu
M.Bass, P.A.Franken, A.E.Hill, C.W.Peters, G.Weinreich
Optical Mixing
Phys. Rev. Lett. 8, 18 (1962)
obserwacja generacji II harmonicznej
i generacji częstości sumacyjnej
5/44
Wykład 5
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływanie trzech fal równania na amplitudy pola
Oddziaływanie trzech fal równania na amplitudy pola
Spełniona zasada zachowania energii
É3 = É1 +É2
É É É
É É É
É É É
Przypadki szczególne:
É1 +É2 É3
É É É
É É É
É É É
É1
É
É SFG
É
É2
É
É
É
Ç(2)
É3 -É1 É2
É É É
É É É
É É É
É3
É
É
É
É3 -É2 É1 DFG
É É É
É É É
É É É
Pole elektryczne wypadkowej fali świetlnej rozchodzącej się w kierunku +z:
v v v v
E(z,t) = E1(z,t) + E2(z,t) + E3(z,t)
gdzie:
j
v
Ej(z,t) = Ej(z)eiÉ t +c.c.
składowe Fouriera
o czÄ™stoÅ›ciach Ä…Éj
6/44
Wykład 5
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływanie trzech fal równania na amplitudy pola
Oddziaływanie trzech fal równania na amplitudy pola
pod nieobecność członu nieliniowego rozwiązanie równania falowego dla
składowej j
j
v
Ej(z,t) = Aj ei(É t-kjz) +c.c. - fala pÅ‚aska
j
wykład 4: Aj ozn. E0
Ej(z) = Aj e-ik z
stała
gdzie:
njÉj
kj = , nj = µ (Éj)
c
przybliżenie pola skalarnego
Jeżeli człon nieliniowy nie jest zbyt duży, rozwiązanie równania falowego
będzie miało niezmienioną postać
Aj Aj(z) amplituda (obwiednia) wolno-zmienna
slowly varying envelope approximation (SVEA)
Równanie falowe musi być spełnione oddzielnie dla każdej składowej pola
7/44
Wykład 5
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływanie trzech fal równania na amplitudy pola
Oddziaływanie trzech fal równania na amplitudy pola
Po podstawieniu do równania falowego (*) otrzymuje się układ sprzężonych
równań na amplitudy pola elektrycznego dla ogólnego przypadku
oddziaływania trzech fal
É3 = É1 +É2
É É É
É É É
É É É
dA1
iÇ(2)É12 "
= - A2 A3e-i"k z
dz k1c2
dA2
iÇ(2)É22 "
= - A1 A3e-i"k z
dz k2c2
dA3
iÇ(2)É32
= - A1 A2ei"k z
dz k3c2
"k = k3 - k1 - k2 - niedopasowanie wektorów falowych
gdzie
k2
k1 "k
"
"
"
k3
Często stosowane przypadki szczególne: jedna z fal znacznie silniejsza niż
pozostałe można przyjąć stałą amplitudę
8/44
Wykład 5
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływanie trzech fal zależności Manley-Rowe
Oddziaływanie trzech fal zależności Manley-Rowe
Sprzężone równania na amplitudy pola elektrycznego s.8
odpowiednie równania można sformułować również dla natężeń
Natężenie fali i średnia w czasie wartości wektora Poyntinga
Ii = 2niµ0c |Ai|2 = 2niµ0cAi Ai"
dAi dAi
d Ii
i
= 2niµ0c Ai" + Ai dA" = 2niµ0c Ai" + c.c.
( ) ( )
dz dz dz dz
Po przekształceniach otrzymuje się równania:
d I1
(2) " "
= É1 Å" 4µ0Ç Im A1 A2 A3e-i"k z
( )
dz
d I2
(2) " "
= É2 Å" 4µ0Ç Im A1 A2 A3e-i"k z
( )
dz
d I3
(2) " "
= (-É3 )Å" 4µ0Ç Im A1 A2 A3e-i"k z
( )
dz
czynniki we wszystkich
równaniach identyczne
9/44
Wykład 5
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływanie trzech fal zależności Manley-Rowe
Oddziaływanie trzech fal zależności Manley-Rowe
Znaki dI1 /dz i dI2 /dz sÄ… takie same, znak dI3 /dz przeciwny
d I1 d I2 d I3
É3 = É1 +É2
É É É
É É É Ò! + + = 0
É É É
dz dz dz
Ó!
I1 + I2 + I3 = const = I
sumaryczne natężenie wszystkich oddziałujących fal jest stałe
zapis alternatywny
Ponadto
zależności Manley-Rowe:
I1 I2 I3
d d d
= = -
( ) ( ) ( )
É1 É2 É3
dz dz dz I2 I3
d
+ = 0
( )
É2 É3
dz
zależności Manley-Rowe
zależności Manley-Rowe
I1 I3
d
+ = 0
( )
É1 É3
dz
J.M.Manley, H.E.Rowe
General energy relations in nonlinear reactances
Proc. IRE 47, 2115 (1959)
I1 I2
d
- = 0
( )
É1 É2
dz
10/44
Wykład 5
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływanie trzech fal zależności Manley-Rowe
Oddziaływanie trzech fal zależności Manley-Rowe
Zależności Manley-Rowe z punktu widzenia fotonów:
szybkoÅ›ci kreacji (lub anihilacji) fotonów o czÄ™stoÅ›ciach É1 i É2 sÄ… jednakowe,
równe szybkoÅ›ci anihilacji (lub kreacji) fotonów o czÄ™stoÅ›ci É3
Obraz fotonowy:
É2
É
É2 É
É É
É
É
É3 É3
É É
É É
É É
lub
É1
É
É1 É
É É
É
É
Liczby fotonów muszą być zachowane zgodnie z obrazem fotonowym
oddziaływania
dN1 dN2 dN3
" N1 = " N2 = -" N3
Ò! = = -
dz dz dz
Ii = !Éi Å" Ni
I1 I2 I3
d d d
!Éi - energia fotonu
( )= ( )= - ( )
É1 É2 É3
dz dz dz
Ni - gęstość strumienia fotonów
11/44
Wykład 5
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływania nieliniowe
Generacja częstości sumacyjnej
Generacja częstości sumacyjnej
1. Generacja częstości sumacyjnej (SFG)
1. Generacja częstości sumacyjnej (SFG)
É1 +É2 É3
É É É
É É É
É É É
É1
É
É
É
É3
É
É
É
Ç(2)
É2
É
É
É
Pole elektryczne wypadkowej fali świetlnej rozchodzącej się w kierunku +z:
v v v v
E(z,t) = E1(z,t) + E2(z,t) + E3(z,t)
j j
v
Ej(z,t) = Aj e-ik z eiÉ t +c.c.
12/44
Wykład 5
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływania nieliniowe
Podwyższenie częstości
Podwyższenie częstości
Przypadek szczególny:
fala 1 (czÄ™stość É1) sÅ‚aba (na ogół z zakresu IR)
sygnałowa (zawiera informację)
fala 2 (czÄ™stość É2) silna (VIS)
pompujÄ…ca (pomocnicza)
podwyższenie czÄ™stoÅ›ci fali 1 z É1 do É3
(z podczerwieni do zakresu widzialnego lub UV)
stosowany termin: podwyższenie częstości (upconversion)
podwyższenie częstości
Ç(2)
Ç
Ç(2)
Ç
Ç
Ç
Ç
Ç
É3
É
É
É
signal
É1
É
É
É
upconverted signal
É2
É
É
É
pump
13/44
Wykład 5
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływania nieliniowe
Podwyższenie częstości
Podwyższenie częstości
Amplitudę pola fali 2 można przyjąć za stałą:
A1, A3 Ü A2 Ò! A2 H" const
Ò! H"
Ò! H"
Ò! H"
A1, A3 Ü A2 Ò! A2 H" const
Ò! H"
Ò! H"
Ò! H"
(undepleted pump approximation)
Ò! pozostaje ukÅ‚ad dwóch sprzężonych równaÅ„ na amplitudy pola
dwóch
dA1 d2A1
iÇ(2)É12 "
d2A1 d A3
= - A2 A3e-i" k z <" - A1
<"
dz k1c2 dz2
dz2 dz
dA3
iÇ(2)É32
(-i)·(-i) = -1
= - A1 A2ei" k z
dz k3c2
Uwaga:
przybliżenie stosowane tylko w celu uproszczenia obliczeń dla zależności między
falami 1 (sygnałowej) i 3 (sygnałowej o podwyższonej częstości)
przy rozpatrywaniu wymiany energii zmiany dla fali 2 muszą być uwzględnione
14/44
Wykład 5
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływania nieliniowe
Podwyższenie częstości ("k = 0)
"
"
"
"
Podwyższenie częstości ("k = 0)
"
"
Rozwiązania równań sprzężonych na amplitudy pola dla przypadku:
"k = 0 idealne dopasowanie wektorów falowych
A3(0) = 0 brak fali 3 na wejściu do ośrodka
A1 = A1(0)cosº13z
n1É3
2
A3 = -i A1(0)sinº13z eif
n3É1
gdzie:
Ç(2)É1É3
º13 = |A2|
k1k3c2
charakterystyczna wielkość o wymiarze odwrotności długości, określająca
wymianę energii między falami 1 i 3
dla P2 = 1 W, w0 = 20 µm:
1/º13 <" 1 m
º <"
º <"
º <"
1/º13 <" 1 m
º <"
º <"
º <"
Typowa dÅ‚ugość krysztaÅ‚u nieliniowego L H" 1 cm á 1/º13
15/44
Wykład 5
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływania nieliniowe
Podwyższenie częstości ("k = 0)
"
"
"
"
Podwyższenie częstości ("k = 0)
"
"
natężenia:
I1 <" n1 |A1|2 = n1 |A1(0)|2 cos2 º13z
É3
I3 <" n3 |A3|2 = n1 |A1(0)|2 sin2 º13z
É1
I3
I1
º13z
É3 > É1 Ò! I3,max > I1,max
I1 I3
+ = const
É1 É3
zależność I = I1 + I2 + I3 = const spełniona przy uwzględnieniu zmian I2
16/44
Wykład 5
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływania nieliniowe
Podwyższenie częstości ("k = 0)
"
"
"
"
Podwyższenie częstości ("k = 0)
"
"
Obraz fotonowy procesu podwyższenia częstości
poziomy
É2
É
É
É
wirtualne
É3
É
É
É
É1
É
É
É
W jednym akcie oddziaÅ‚ywania fotony o czÄ™stoÅ›ciach É1 i É2 ulegajÄ… anihilacji,
kreowany jest foton o czÄ™stoÅ›ci É3
17/44
Wykład 5
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływania nieliniowe
Podwyższenie częstości ("k = 0)
"
"
"
"
Podwyższenie częstości ("k = 0)
"
"
" N1 = -" N3
N1(0)
Liczby fotonów:
N1
N1 = N1(0) cos2 º13z
N3 = N1(0)sin2 º13z
N3
º13z
Procesy konwersji fotonów:
L=1/º13
É3
É1
É2
18/44
Wykład 5
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływania nieliniowe
Generacja II harmonicznej
Generacja II harmonicznej
2. Generacja II harmonicznej (SHG) - przypadek szczególny SFG
2. Generacja II harmonicznej (SHG)
2Å"É1 É2
É É
É É
É É
É1
É
É
É
É2
É
É
É
Ç(2)
Pole elektryczne wypadkowej fali świetlnej rozchodzącej się w kierunku +z:
v v v
E(z,t) = E1(z,t) + E2(z,t)
fala II
podstawowa harmoniczna
Ç(2)
Ç
Ç(2)
Ç
Ç
Ç
Ç
Ç
É2
É
É
É
II harmonic
É1
É
É
É
fundamental
19/44
Wykład 5
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływania nieliniowe
Generacja II harmonicznej
Generacja II harmonicznej
Sprzężone równania na amplitudy A1 i A2
2
dA1
iÉ1 Ç(2)
"
= - A2 A1 e-i"k z
dz k1c2
2
dA2
iÉ2 Ç(2)
= - A12ei"k z
dz 2k2c2
"k = k2 - 2k1
Przybliżenie stałej amplitudy pola fali podstawowej
(undepleted pump approximation)
A2 Ü A1 Ò! A1 H" const
Ò! H"
Ò! H"
Ò! H"
A2 Ü A1 Ò! A1 H" const
Ò! H"
Ò! H"
Ò! H"
Ò! równanie na A2 można rozwiÄ…zać niezależnie (bezpoÅ›rednie caÅ‚kowanie)
niezależnie
2
" kÅ"" z
iÉ2 Ç(2)
2
A2("z) = - A1 ei i"k-1
sin2 ëÅ‚ "kÅ"" z öÅ‚
2 ( 2)2
ìÅ‚ ÷Å‚
( )
É2 Ç I12
2
2k2c2 íÅ‚
I2 (" z) = " z2 ëÅ‚ "kÅ"" z öÅ‚2 Å‚Å‚
2n12n2µ0c2
ìÅ‚ ÷Å‚
I2 = 2n2µ0c |A2|2
2
íÅ‚ Å‚Å‚
a" sinc2 "kÅ"" z
( )
2
20/44
Wykład 5
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływania nieliniowe
Generacja II harmonicznej
Generacja II harmonicznej
"k = const :
"
"
"
"k = const
"
"
"
zależność natężenia II harmonicznej od położenia w krysztale "z
2 2
4
É2 Ç(2)2I12 2É2 Ç(2)2I12
I2("z) = sin2 "kÅ""z n12n2µ0c2"k2 sin2 "kÅ""z
( )= ( )
2n12n2µ0c2 "k2 2 2
= I2,max
I2,max
I2
I2,max
prążki Makera
prążki Makera
( wykład 1, wykład 7)
"k "z/2
0 2 4 6 8 10
Ä„ 2Ä„ 3Ä„
21/44
Wykład 5
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływania nieliniowe
Generacja II harmonicznej
Generacja II harmonicznej
"z = L :
"
"
"
"z = L
"
"
"
zależność natężenia II harmonicznej od wartości niedopasowania wektorów
falowych "k
2
É2 Ç( 2)2I12
I2 ("k) = L2 sinc2 "kÅ"L
( )
2n12n2µ0c2 2
= I2,max
I2,max
I2
I2,max
"k L/2
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-Ä„ +Ä„
22/44
Wykład 5
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływania nieliniowe
Generacja II harmonicznej ("k = 0)
"
"
"
"
Generacja II harmonicznej ("k = 0)
"
"
W przypadku ogólnym założenie o stałości natężenia fali podstawowej nie jest
spełnione ( fundamental wave depletion)
sprzężone równania na amplitudy pola muszą być rozwiązywane jako układ
Rozwiązania równań sprzężonych na amplitudy pola dla przypadku:
"k = 0 idealne dopasowanie wektorów falowych
A2(0) = 0 brak fali II harmonicznej na wejściu do ośrodka
funkcje hiperboliczne [np. 5]
z
A1 <" sech
l
z
A2 <" tgh
l
Natężenia:
I1 <" sech2 z
l
I2 <" tgh2 z
l
23/44
Wykład 5
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływania nieliniowe
Generacja II harmonicznej ("k = 0)
"
"
"
"
Generacja II harmonicznej ("k = 0)
"
"
gdzie:
2n12n2µ0c
c
l =
I É1Ç(2)
charakterystyczna wielkość o wymiarze długości, określająca wymianę energii
między falami 1 i 2 (podstawową i II harmoniczną)
dla P1 = 1 W, w0 = 20 µm:
l <" 0.1 m
l <"
l <"
l <"
l <" 0.1 m
l <"
l <"
l <"
Typowa długość kryształu nieliniowego L H" 1 cm < l
W granicy z/l ś cała energia fali podstawowej zostaje przekształcona
w II harmonicznÄ…
24/44
Wykład 5
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływania nieliniowe
Generacja II harmonicznej ("k = 0)
"
"
"
"
Generacja II harmonicznej ("k = 0)
"
"
Obraz fotonowy procesu SHG
poziomy
É1
É
É
É
wirtualne
É2
É
É
É
É1
É
É
É
W jednym akcie oddziaÅ‚ywania dwa fotony o czÄ™stoÅ›ci É1 ulegajÄ… anihilacji,
kreowany jest jeden foton o czÄ™stoÅ›ci É2
25/44
Wykład 5
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływania nieliniowe
Generacja II harmonicznej ("k = 0)
"
"
"
"
Generacja II harmonicznej ("k = 0)
"
"
" N1 = -2" N2
N1(0)
Liczby fotonów:
N1 = N1(0)sech2 z
l
N2
½N1(0)
1
N2 = N1(0) tgh2 z
l
2
N1
z/l
Procesy konwersji fotonów:
L=l
É2
É1
26/44
Wykład 5
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływania nieliniowe
Generacja częstości różnicowej
Generacja częstości różnicowej
3. Generacja częstości różnicowej (DFG)
3. Generacja częstości różnicowej (DFG)
É3 -É1 É2
É É É
É É É
É É É
É1
É
É
É
É2
É
É
É
Ç(2)
É3
É
É
É
Pole elektryczne wypadkowej fali świetlnej rozchodzącej się w kierunku +z:
v v v v
E(z,t) = E1(z,t) + E2(z,t) + E3(z,t)
j j
v
Ej(z,t) = Aj e-ik z eiÉ t +c.c.
Istotne rozróżnienie przypadku niezdegenerowanego (É1 `" É2)
i zdegenerowanego (É1 = É2)
27/44
Wykład 5
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływania nieliniowe
Wzmocnienie parametryczne
Wzmocnienie parametryczne
przypadek szczególny:
fala 1 (czÄ™stość É1) sÅ‚aba
sygnałowa (zawiera informację)
fala 3 (czÄ™stość É3) silna (VIS lub UV)
pompujÄ…ca (pomocnicza)
stosowany termin: wzmocnienie parametryczne (parametric amplification)
wzmocnienie parametryczne
uzasadnienie: s.30
É1 `" É2
É `" É
É1 `" É2
É `" É
É `" É
É `" É
É `" É
É `" É
idler
Ç(2)
Ç
Ç(2)
Ç
Ç
Ç
Ç
Ç
É2
É
É
É
signal
É1
É
É
É
É3
É
É
É
pump
generowana fala o częstości różnicowej (jałowa) nie wykorzystywana
É1 = É2
É É
É1 É
É É
É = É2
É É
É É
É É
Ç(2)
Ç
Ç(2)
Ç
Ç
Ç
Ç
Ç
signal = idler
signal
É1
É
É
É
É3
É
É
É
pump
28/44
Wykład 5
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływania nieliniowe
Wzmocnienie parametryczne
Wzmocnienie parametryczne
Przypadek niezdegenerowany: É1 `" É2
É `" É
É `" É2
É `" É
Przypadek niezdegenerowany: É1 `" É
É `" É
É `" É
É `" É
Amplitudę pola wiązki 3 można przyjąć za stałą:
A1, A2 Ü A3 Ò! A3 H" const
Ò! H"
Ò! H"
Ò! H"
A1, A2 Ü A3 Ò! A3 H" const
Ò! H"
Ò! H"
Ò! H"
(undepleted pump approximation)
Ò! ukÅ‚ad dwóch sprzężonych równaÅ„ na amplitudy pola
dwóch
dA1
iÇ(2)É12 "
d2A1
d2A1 d A"
2
= - A2 A3e-i" k z
<" + A1
<"
dz k1c2
dz2
dz2 dz
dA2
iÇ(2)É22 " (-i)·(+i) = +1
= - A1 A3e-i" k z
dz k2c2
Rozwiązania równań sprzężonych na amplitudy pola dla przypadku
niezdegenerowanego (É1 `" É2):
"k = 0 idealne dopasowanie wektorów falowych
A2(0) = 0 brak fali 2 na wejściu do ośrodka
29/44
Wykład 5
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływania nieliniowe
Wzmocnienie parametryczne ("k = 0)
"
"
"
"
Wzmocnienie parametryczne ("k = 0)
"
"
A1 = A1(0)coshº12z
n1É2 "
3
A2 = -i A1 (0)sinhº12z eif
n2É1
natężenia:
º12z
I1 <"n1|A1|2 = n1 |A1(0)|2 cosh2 º12z
I1 I2
- = const
É2
É1 É2
I2 <" n2 |A2|2 = n1|A1(0)|2 sinh2 º12z
É1
Amplitudy (i natężenia) fal 1 i 2 monotonicznie narastają
uzasadnienie terminu wzmocnienie parametryczne
Przypadek zdegenerowany: É1 = É2
É É
É É
É É
Przypadek zdegenerowany: É1 = É2
É É
É É
É É
Rozwiązanie zawiera czynnik zależny od względnej fazy "f fali pompującej
(3) i sygnałowej (1)
wzmocnienie sygnału zależne od "f (phase-sensitive amplification)
"
"
"
wzmocnienie sygnału zależne od "f
"
"
"
30/44
Wykład 5
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływania nieliniowe
Wzmocnienie parametryczne ("k = 0)
"
"
"
"
Wzmocnienie parametryczne ("k = 0)
"
"
Obraz fotonowy procesu wzmocnienia parametrycznego
poziomy
É1
É
É
É
wirtualne
É3
É
É
É
É2
É
É
É
Foton 3 ulega anihilacji, kreowane sÄ… fotony 1 i 2
(padajÄ…cy foton 1 wymusza generacjÄ™ kolejnego fotonu 1 determinuje
sposób rozpadu fotonu 3)
31/44
Wykład 5
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływania nieliniowe
Wzmocnienie parametryczne ("k = 0)
"
"
"
"
Wzmocnienie parametryczne ("k = 0)
"
"
" N1 = " N2
N1 N2
Liczby fotonów:
N1 = N1(0) cosh2 º12z
N2 = N1(0)sinh2 º12z
N1(0)
º12z
Procesy konwersji fotonów:
L=3/º12
É2
É1
É3
32/44
Wykład 5
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływania nieliniowe
Generacja częstości sumacyjnej i różnicowej podsumowanie
Generacja częstości sumacyjnej i różnicowej podsumowanie
Sprzężone równania na amplitudy pola dla procesów SFG (w szczególności
podwyższenia częstości) i DFG (w szczególności wzmocnienia
parametrycznego) bardzo podobne
różnica znaków po prawej stronie równania 2 stopnia dla amplitudy A1
Ò! rozwiÄ…zania jakoÅ›ciowo różne:
" SFG (podwyższenie częstości)
zależność amplitud od z oscylacyjna
(A1 <" cos º13z, A3 <" sin º13z)
" DFG (wzmocnienie parametryczne)
zależność amplitud od z wykładnicza rosnąca
(A1 <" cosh º12z, A2 <" sinh º12z)
Obrazy fotonowe obu procesów również jakościowo różne
33/44
Wykład 5
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływania nieliniowe
Oscylatory parametryczne
Oscylatory parametryczne
4. Oscylatory parametryczne (OPO)
4. Oscylatory parametryczne (OPO)
É3 É1 +É2
É É É
É É É
É É É
És = É1
É É
É É
É É
Ép = É3
É É
É É
É É
Éi = É2
É É
É É
É É
R1, R2 R1, R2
Współczynniki odbicia zwierciadeł dla fali sygnałowej (1) i jałowej (2): R1, R2
R1 1, R2 1:
oscylator parametryczny podwójnie rezonansowy
(jeżeli współczynnik odbicia wysoki tylko dla jednej z fal 1 (s) lub 2 (i):
oscylator parametryczny pojedynczo rezonansowy)
Proces inicjujący oscylację parametryczną może być spontaniczny (do ośrodka
wchodzi tylko fala 3) lub wymuszony (do ośrodka wchodzą fale 3 i 1 lub 3 i 2)
34/44
Wykład 5
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływania nieliniowe
Oscylatory parametryczne
Oscylatory parametryczne
Dla przypadku A2(0) = 0 i "k = 0:
"
"
"
"k = 0
"
"
"
z "
12
A1(z) = A1(0)coshº12z çÅ‚çÅ‚çÅ‚ A1(0)eº z
1
2
n1É2 "
z " "
3 12
A2(z) = -i A1 (0)sinhº12z eif çÅ‚çÅ‚çÅ‚ A1 (0)eº z
C
n2É1
współczynnik
zespolony <"1
Obie fale generowane (1 i 2) narastają wykładniczo
º12 a" g
współczynnik wzmocnienia (dla amplitudy)
współczynnik wzmocnienia
1
z "
z "
A1(z) çÅ‚çÅ‚çÅ‚ A1(0)eg z
I1(z) çÅ‚çÅ‚çÅ‚ I1,0 e2g z
2
Ò!
z "
z " "
I (z) çÅ‚çÅ‚çÅ‚ I2,0 e2g z
A2(z) çÅ‚çÅ‚çÅ‚ A1 (0) eg z
C
2
35/44
Wykład 5
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływania nieliniowe
Oscylatory parametryczne warunek progowy
Oscylatory parametryczne warunek progowy
Warunek progowy oscylacji parametrycznej analogicznie do warunku
progowego akcji laserowej
W pierwszym przybliżeniu zakładamy:
" jednokrotne przejście przez ośrodek nieliniowy o długości L, związane ze
wzmocnieniem, na jeden obieg rezonatora (droga = L):
wzmocnienie może zachodzić tylko przy zgodności kierunków biegu fal 1 (s)
i 2 (i) z falÄ… 3 (p)
" jednakowy współczynnik odbicia zwierciadeł dla obu fal: R = R1 = R2
Ò! warunek progowy
Ò! R egL = 1
I0R2e2g·L = I0
I0R2e2g·L = I0
<1 >1
1- R j" 1, g L j" 1
Ò! gL =1- R
e- gL = R
warunek zgodny z [4]
= 1-gL+&
36/44
Wykład 5
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływania nieliniowe
Nieliniowość sześcienna: oddziaływanie czterech fal
Nieliniowość sześcienna: oddziaływanie czterech fal
Oddziaływanie czterech fal w ośrodku z nieliniowością III rzędu
Oddziaływanie czterech fal w ośrodku z nieliniowością III rzędu
R.L.Carman, R.Y.Chiao, P.L.Kelley
Observation of Degenerate Stimulated Four-Photon Interaction
and Four-Wave Parametric Amplification
Phys. Rev. Lett. 17, 1281 (1966)
obserwacja wzmocnienia parametrycznego
w przypadku mieszania czterech fal
37/44
Wykład 5
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływanie czterech fal
Oddziaływanie czterech fal
Oddziaływanie czterech fal przypadek ogólny
Oddziaływanie czterech fal przypadek ogólny
É1 + É2 + É3 = É4 É1 + É2 = É3 + É4
É É É É É É É É
É É É É É É É É
É É É É É É É É
lub
É1
É
É
É
É2
É
É
É
Ç(3)
É3
É
É
É
É4
É
É
É
Pole elektryczne wypadkowej fali świetlnej rozchodzącej się w kierunku +z:
v v v v v
E(z,t) = E1(z,t) + E2(z,t) + E3(z,t) + E4(z,t)
gdzie:
j j
v
Ej(z,t) = Aj e-ik z eiÉ t +c.c.
38/44
Wykład 5
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływanie czterech fal
Oddziaływanie czterech fal
Obraz fotonowy procesu oddziaływania czterech fal
É1 + É2 + É3 = É4
É É É É
É É É É
É É É É
É3
É
É
É
poziomy
wirtualne
É2
É
É
É
É4
É
É
É
É1
É
É
É
Fotony 1, 2 i 3 ulegajÄ… anihilacji, kreowany jest foton 4 (lub odwrotnie)
39/44
Wykład 5
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływanie czterech fal
Oddziaływanie czterech fal
Obraz fotonowy procesu oddziaływania czterech fal
É1 + É2 = É3 + É4
É É É É
É É É É
É É É É
É3
É
É
É
poziomy
É2
É
É
É
wirtualne
É4
É
É
É
É1
É
É
É
Fotony 1 i 2 ulegajÄ… anihilacji, kreowane sÄ… fotony 3 i 4 (lub odwrotnie)
proces może przebiegać w sposób wymuszony, jeżeli na ośrodek pada jedna
z fal 3/4 (lub 1/2)
40/44
Wykład 5
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływanie czterech fal przypadki szczególne
Oddziaływanie czterech fal przypadki szczególne
Oddziaływanie trzech fal częściowo zdegenerowany przypadek
Oddziaływanie trzech fal
oddziaływania czterech fal:
duże podobieństwo do analogicznego procesu dla nieliniowości kwadratowej
fale wchodzÄ…ce: 1, 0
" czterofotonowa generacja częstości sumacyjnej
É1 + 2Å"É0 = É2
É É É
É É É
É É É
w tym: czterofotonowe podwyższenie częstości
Ç(3)
Ç
Ç(3)
Ç
Ç
Ç
Ç
Ç
É2
É
É
É
signal
É1
É
É
É
upconverted signal
É0
É
É
É
pump
" czterofotonowa generacja częstości różnicowej
2Å"É0 = É1 + É2
É É É
É É É
É É É
w tym: czterofotonowe wzmocnienie parametryczne
idler
Ç(3)
Ç
Ç(3)
Ç
Ç
Ç
Ç
Ç
É2
É
É
É
signal
É1
É
É
É
É0
É
É
É
pump
41/44
Wykład 5
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływanie czterech fal przypadki szczególne
Oddziaływanie czterech fal przypadki szczególne
Ze wzglÄ™du na wykorzystanie podatnoÅ›ci elektrycznej rzÄ™du nieparzystego (Ç(3))
możliwość stosowania jako ośrodka nieliniowego np. światłowodów
wejście:
Jedna z widocznych różnic
w stosunku do trzyfotonowego
wyjście:
wzmocnienia parametrycznego:
czÄ™stość É0 (= Ép ) leży pomiÄ™dzy
É É
É0 Ép
É É
É É
É É
É É
É É
É1 (= És ) i É2 (= Éi )
É É É É
É1 És É2 Éi
É É É É
É É É É
É É É É
É É É É
É É É É
42/44
Wykład 5
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływania nieliniowe
Oddziaływanie czterech fal przypadki szczególne
Oddziaływanie czterech fal przypadki szczególne
Generacja III harmonicznej
Generacja III harmonicznej
3Å"É1 É2
É É
É É
É É
Ç(3)
Ç
Ç(3)
Ç
Ç
Ç
Ç
Ç
É2
É
É
É
III harmonic
É1
É
É
É
fundamental
Zależności przestrzenne podobne jak w analogicznym przypadku generacji
II harmonicznej
Generacja III harmonicznej może zachodzić w dowolnym ośrodku
efektywność dla niskiej mocy fali pierwotnej niewielka (podobnie jak innych
procesów mieszania czterech fal)
43/44
Wykład 5
Literatura
Literatura
[1] R.W.Boyd
Nonlinear Optics (3 ed.)
Elsevier Science, 2008
[2] J.A.Armstrong, N.Bloembergen, J.Ducuing, P.S.Pershan
Interactions between light waves in a nonlinear dielectric
Phys. Rev. 127, 1918 (1962)
[3] B.E.A.Saleh, M.C.Teich
Fundamentals of Photonics (2 ed.)
John Wiley & Sons, Inc., 2007
[4] J.A.Giordmaine, R.C.Miller
Tunable Coherent Parametric Oscillation in LiNbO3 at Optical Frequencies
Phys. Rev. Lett 14, 973 (1965)
[5] http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_integrals_of_hyperbolic_functions
44/44
Wykład 5
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
wykład 9 ETIwyklad7 1 ETIwyklad8 ETIwykład 8 ETIwykład 4 ETIwyklad18 ETIwyklad19 ETIwykład 7 ETIwykład 3 ETIwyklad9 ETIwykład 12 ETISieci komputerowe wyklady dr FurtakWykład 05 Opadanie i fluidyzacjawięcej podobnych podstron