Egzamin maturalny
maj 2009
MATEMATYKA
POZIOM PODSTAWOWY
KLUCZ PUNKTOWANIA
ODPOWIEDZI
Matematyka poziom podstawowy
Klucz punktowania odpowiedzi
Zadanie 1.
a)
Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów
Korzystanie z informacji 0 2
i jej miejsca zerowego.
Zdający otrzymuje 2 punkty, jeśli bezbłędnie uzupełni tabelę.
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli poprawnie zapisze tylko wartości funkcji dla argumentów
(-3 oraz 3 albo wyznaczy tylko miejsce zerowe funkcji.
)
Poprawna odpowiedz:
x -3 3 1,5
f x
( ) -9 1 0
b)
Korzystanie z informacji Rysowanie wykresu funkcji. 0 1
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli bezbłędnie narysuje wykres funkcji f .
Poprawna odpowiedz:
y
2
1
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-1
-2
-3
-4
-5
-6
c)
Korzystanie z informacji Odczytywanie własności funkcji liniowej. 0 1
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli rozwiąże nierówność f x e"-6 .
( )
3
Poprawna odpowiedz: x e"- .
2
Wyznaczanie liczb całkowitych należących
Wiadomości i rozumienie 0 1
do danego przedziału liczbowego.
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli wypisze wszystkie całkowite argumenty funkcji f spełniające
nierówność f x e"-6 .
( )
Poprawna odpowiedz: -1, 0, 1, 2, 3, 4 .
3
Matematyka poziom podstawowy
Klucz punktowania odpowiedzi
Zadanie 2.
Podawanie opisu matematycznego sytuacji
Tworzenie informacji 0 2
przedstawionej w zadaniu w postaci układu równań.
Zdający otrzymuje 2 punkty, jeśli zapisze układ równań opisujący warunki zadania, np.
m + n = 140
ż#
#m +15n = 980 .
#
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli zapisze jedno z równań, które opisuje warunki zadania,
np. 7 m + n = 980 albo m +15n = 980 albo 6m = 8n .
( )
Korzystanie z informacji Rozwiązywanie układu równań liniowych. 0 1
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli rozwiąże układ równań i poda liczby detali do wykonania
przez każdego z rzemieślników.
Poprawna odpowiedz: m = 80 i n = 60 .
Zadanie 3.
a)
Rozwiązywanie nierówności kwadratowej zapisanej
Korzystanie z informacji 0 2
na podstawie tekstu zadania.
Zdający otrzymuje 2 punkty, jeśli przekształci nierówność f x + 5 < 3x do postaci
( )
nierówności kwadratowej, np. -2x2 - 3x + 5 < 0 i rozwiąże ją.
5
ś#
Poprawna odpowiedz: x "# - ", - *" 1, " .
( )
ś#ź#
2
# #
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli przekształci nierówność f x + 5 < 3x do postaci
( )
nierówności kwadratowej i na tym poprzestanie lub popełni błędy w rozwiązaniu tej
nierówności.
b)
Korzystanie z informacji Podawanie zbioru wartości funkcji. 0 1
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli poda zbiór wartości funkcji g .
Poprawna odpowiedz: 8 .
(- ",
c)
Korzystanie z informacji Przekształcanie wzoru funkcji do innej postaci. 0 2
Zdający otrzymuje 2 punkty, jeśli obliczy współczynniki b i c.
Poprawna odpowiedz: b = 12 , c =-10 .
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli poprawnie obliczy tylko jeden ze współczynników albo
zapisze poprawnie warunki pozwalające na obliczenie współczynników b i c, ale popełni błąd
przy obliczaniu tych współczynników.
4
Matematyka poziom podstawowy
Klucz punktowania odpowiedzi
Zadanie 4.
Stosowanie praw działań na potęgach o wykładniku
Korzystanie z informacji 0 2
naturalnym.
Zdający otrzymuje 2 punkty, jeśli poprawnie zastosuje prawa działań na potęgach i zapisze
równanie w postaci umożliwiającej obliczenie niewiadomej, np. 7x = 354 32 - 3+1 .
()
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli zapisze liczby 24311, 8114, 927 w postaci potęg liczby 3
i na tym poprzestanie lub w dalszej części rozwiązania popełni błędy.
Wiadomości i rozumienie Rozwiązanie równania liniowego. 0 1
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli wykaże, że liczba x = 354 jest rozwiązaniem równania, np.
7x = 354 32 - 3+1 stąd 7x = 354 "7 , więc x = 354 .
()
Zadanie 5.
a)
Zapisywanie warunków wynikających z równości
Tworzenie informacji 0 1
wielomianów.
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli zapisze wszystkie zależności wynikające z równości
wielomianów 2a + 3 = a i a + b + c = -4 , i b = -1.
Korzystanie z informacji Rozwiązywanie układu równań liniowych. 0 2
Zdający otrzymuje 2 punkty, jeśli obliczy współczynniki a i c.
Poprawna odpowiedz: a =-3 i c = 0 .
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli obliczy poprawnie tylko jeden ze współczynników.
b)
Korzystanie z informacji Rozkładanie wielomianu na czynniki. 0 2
Zdający otrzymuje 2 punkty, jeśli rozłoży wielomian na czynniki liniowe.
Poprawna odpowiedz: W (x) = x x + 4 x -1 .
( )( )
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli zapisze wielomian w postaci iloczynu wielomianów,
z których jeden jest stopnia drugiego W (x) = x x2 + 3x - 4 lub W (x) = x -1 x2 + 4x , lub
( )
( ) ( )
W (x) = x + 4 x2 - x i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.
( )
( )
5
Matematyka poziom podstawowy
Klucz punktowania odpowiedzi
Zadanie 6.
a)
Zastosowanie definicji funkcji trygonometrycznych
Korzystanie z informacji 0 2
do rozwiązania problemu.
Zdający otrzymuje 2 punkty, jeśli skorzysta z definicji trygonometrycznych kąta ą
a b - c
( )
w trójkącie prostokątnym i przekształci wyrażenie siną - tgą do postaci , gdzie
bc
a i b są odpowiednimi długościami przyprostokątnych trójkąta prostokątnego, zaś c jest
długością przeciwprostokątnej.
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli skorzysta z definicji funkcji trygonometrycznych kąta
a a
ostrego ą w trójkącie prostokątnym i zapisze: siną = , tgą = i na tym poprzestanie.
c b
Tworzenie informacji Uzasadnienie nierówności. 0 1
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli uzasadni nierówność siną - tgą < 0 powołując się, np.
na znak różnicy b - c < 0 .
b)
Stosowanie związków między funkcjami
Korzystanie z informacji trygonometrycznymi tego samego kąta 0 2
do przekształcania tożsamości trygonometrycznych.
Zdający otrzymuje 2 punkty, jeśli obliczy wartość wyrażenia cos3 ą + cosą sin2 ą .
1
Poprawna odpowiedz: .
3
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli tylko obliczy wartość funkcji cosą i na tym zakończy
rozwiązanie.
1
Poprawna odpowiedz: cosą = .
3
Zadanie 7.
a)
Stosowanie wzoru na n-ty wyraz ciągu
Korzystanie z informacji 0 2
arytmetycznego.
Zdający otrzymuje 2 punkty, jeśli obliczy różnicę r ciągu (an ) oraz jego pierwszy wyraz.
Poprawna odpowiedz: r = 2 , a1 =-11.
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli obliczy tylko różnicę ciągu i na tym zakończy rozwiązanie
lub w dalszych obliczeniach popełni błąd.
b)
Stosowanie wzoru na n-ty wyraz ciągu
Korzystanie z informacji 0 1
arytmetycznego.
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli obliczy wyraz a8 .
6
Matematyka poziom podstawowy
Klucz punktowania odpowiedzi
Poprawna odpowiedz: a8 = 3.
Sprawdzanie z definicji, czy dany ciąg jest
Wiadomości i rozumienie 0 1
geometryczny.
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli uzasadni, że ciąg a7, a8, a11 jest ciągiem geometrycznym.
( )
c)
Stosowanie definicji na sumę n początkowych
Wiadomości i rozumienie 0 1
wyrazów ciągu arytmetycznego.
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli zapisze wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu (an ) .
Poprawna odpowiedz: Sn = n2 -12n , n e"1.
Korzystanie z informacji Wykorzystanie własności funkcji kwadratowej. 0 1
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli wyznaczy liczbę n, dla której Sn osiąga wartość
najmniejszą.
Poprawna odpowiedz: n = 6.
Zadanie 8.
Dobieranie odpowiedniego algorytmu do rozwiązania
Tworzenie informacji 0 3
zadania.
18
C
D
15
25
A B
Zdający otrzymuje 3 punkty, jeśli wykorzysta podobieństwo trójkątów ABD oraz BDC
i obliczy długość przekątnej BD oraz podstawy AB .
Poprawna odpowiedz: BD = 30 , AB = 50 .
Zdający otrzymuje 2 punkty, jeśli obliczy długość odcinka BD wykorzystując przy tym
podobieństwo trójkątów ABD oraz BDC .
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli uzasadni, że trójkąty ABD i BDC są podobne i na tym
zakończy rozwiązanie lub popełni błędy.
Wiadomości i rozumienie Stosowanie związków miarowych w figurach płaskich. 0 1
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli obliczy obwód trapezu (pod warunkiem, że poprawnie
obliczy długość podstawy AB).
Poprawna odpowiedz: 108 .
7
Matematyka poziom podstawowy
Klucz punktowania odpowiedzi
Zadanie 9.
Wyznaczenie równania prostej spełniającej warunki
Korzystanie z informacji 0 2
zadania.
Zdający otrzymuje 2 punkty, jeśli zapisze równanie prostej AB prostopadłej do prostej OA.
Poprawna odpowiedz: y = -2x +10 .
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli wyznaczy tylko współczynnik kierunkowy prostej AB
i na tym poprzestanie.
Poprawna odpowiedz: (-2).
y
13
12
11
B=(0,10)
10
9
8
7
6
5
4
3
2
A=(4,2)
1
x
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
-1
-2
-3
-4
-5
-6
Obliczenie współrzędnych punktu przecięcia dwóch
Korzystanie z informacji 0 1
prostych.
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli obliczy współrzędne punktu A.
Poprawna odpowiedz: A = 4, 2 .
( )
Wykorzystanie pojęcia odległości na płaszczyznie
Wiadomości i rozumienie 0 1
kartezjańskiej.
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli obliczy długość przyprostokątnej OA .
Poprawna odpowiedz: OA = 2 5 .
Zadanie 10.
a)
Korzystanie z informacji Obliczanie średniej arytmetycznej. 0 2
Zdający otrzymuje 2 punkty, jeśli obliczy średnią liczbę błędów i zapisze wynik
w zaokrągleniu do całości.
57
Poprawna odpowiedz: x = =1,9 H" 2 .
30
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli poprawnie zastosuje wzór na średnią arytmetyczną i na tym
poprzestanie lub popełni błąd w obliczaniu średniej, albo zle zaokrągli wynik.
8
Matematyka poziom podstawowy
Klucz punktowania odpowiedzi
b)
Korzystanie z informacji Obliczanie prawdopodobieństwa zdarzeń. 0 3
Zdający otrzymuje 3 punkty, jeśli obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A i zapisze wynik
w postaci ułamka nieskracalnego.
63
Poprawna odpowiedz: P(A) = .
145
Zdający otrzymuje 2 punkty, jeśli obliczy moc zbioru i moc zbioru A w tym samym
modelu i na tym poprzestanie lub popełni błąd w obliczeniach, albo nie poda
prawdopodobieństwa w postaci ułamka nieskracalnego.
30" 29
Poprawna odpowiedz: = = 435 i A = 21"9 = 189 lub = 30" 29 i A = 21"9" 2 .
2
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli poprawnie policzy moc zbioru .
Zadanie 11.
a)
Stosowanie związków miarowych w bryłach z użyciem
Korzystanie z informacji 0 4
trygonometrii.
Zdający otrzymuje 4 punkty, jeśli obliczy objętość walca.
54 3
Poprawna odpowiedz: V = .
Ą
Zdający otrzymuje 3 punkty, jeśli obliczy pole powierzchni bocznej walca i promień jego
podstawy i na tym zakończy lub popełni błąd w obliczaniu objętości walca.
3
Poprawna odpowiedz: Pb = 36 3 , r = .
Ą
Zdający otrzymuje 2 punkty, jeśli obliczy pole powierzchni bocznej walca albo wysokość
walca i promień jego podstawy i nie kontynuuje rozwiązania.
3
Poprawna odpowiedz: Pb = 36 3 albo h = 6 3 i r = .
Ą
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli obliczy długość jednego z boków prostokąta, który jest
powierzchnią boczną walca: h lub 2Ą r .
Poprawna odpowiedz: h = 6 3 lub 2Ą r = 6 .
Wiadomości i rozumienie Szacowanie wartości liczbowej. 0 1
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli uzasadni, że objętość walca jest mniejsza od 18 3 .
Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą niż przedstawiona w kluczu
punktowania przyznajemy maksymalną liczbę punktów.
9
Egzamin maturalny
maj 2009
MATEMATYKA
POZIOM ROZSZERZONY
KLUCZ PUNKTOWANIA
ODPOWIEDZI
Matematyka poziom rozszerzony
Klucz punktowania odpowiedzi
Zadanie 1.
a)
Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości
Wiadomości i rozumienie 0 1
funkcji.
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli obliczy wartość funkcji f dla x = 2009 .
Poprawna odpowiedz: f 2009 = 2008" 2009 + 2009 = 20092
( )
Tworzenie informacji Interpretowanie otrzymanych wyników. 0 1
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli zapisze wniosek.
Poprawna odpowiedz: Punkt P należy do wykresu funkcji f.
b)
Rysowanie w układzie współrzędnych zbioru
Tworzenie informacji 0 2
opisanego układem warunków.
Zdający otrzymuje 2 punkty, jeśli narysuje bezbłędnie zbiór opisany w zadaniu.
Poprawna odpowiedz:
y
3
2
1
4 3 2 1 0 1 2 3 4 x
1
2
3
1 1
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli narysuje proste o równaniach y = - x +1, y =- x - 2
2 2
i na tym zakończy lub popełni błędy w zaznaczaniu opisanego zbioru.
Zadanie 2.
Zapisanie wielomianu, który przy dzieleniu przez
Korzystanie z informacji 0 1
dany dwumian daje wskazany iloraz i daną resztę.
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli zapisze wielomian W(x) w postaci wynikającej z warunków
zadania.
Poprawna odpowiedz: W (x) = (x -1)(8x2 + 4x -14) - 5
13
Matematyka poziom rozszerzony
Klucz punktowania odpowiedzi
Wiadomości i rozumienie Wykonywanie działań na wielomianach. 0 1
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli uporządkuje wielomian W(x).
Poprawna odpowiedz: W(x)= 8x3 - 4x2 -18x + 9 .
Korzystanie z informacji Wyznaczanie pierwiastków wielomianu. 0 2
Zdający otrzymuje 2 punkty, jeśli obliczy pierwiastki wielomianu W(x).
Poprawna odpowiedz: x1 = -1,5, x2 = 0,5 , x3 = 1,5.
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli zapisze wielomian W(x) w postaci iloczynu czynnika stopnia
pierwszego i czynnika stopnia drugiego, np. W(x)= (2x -1)(4x2 - 9) i na tym zakończy
rozwiązanie lub popełni błędy w wyznaczaniu pierwiastków wielomianu.
Zadanie 3.
a)
Wiadomości i rozumienie Wykorzystanie definicji funkcji wykładniczej. 0 1
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli obliczy wartość podstawy a.
Poprawna odpowiedz: a = 3 .
b)
Rysowanie wykresu funkcji typu y = f x b .
Korzystanie z informacji ( )-
0 2
Zdający otrzymuje 2 punkty, jeśli narysuje wykres funkcji g(x) = f (x)- 2 .
Poprawna odpowiedz:
y
5
4
g(x)
3
y=2
2
1
x
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-1
-2
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli narysuje tylko wykres funkcji y = f (x) - 2 i na tym
poprzestanie lub popełni błędy przy dalszym przekształcaniu wykresu.
Interpretowanie liczby rozwiązań równania
Tworzenie informacji 0 1
z parametrem.
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli poda wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
g(x) = m ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Poprawna odpowiedz: m "{0}*" 2, + ").
14
Matematyka poziom rozszerzony
Klucz punktowania odpowiedzi
Zadanie 4.
Korzystanie z informacji Wykorzystanie definicji ciągu arytmetycznego. 0 1
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli rozpozna, że ciąg liczb monet wkładanych do skarbca przez
kolejne dni przez skarbnika jest arytmetyczny.
Poprawna odpowiedz: Liczby monet wkładanych przez kolejne dni przez skarbnika tworzą
ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie równym 25 i różnicy równej 2.
Zdający podaje opis matematyczny sytuacji w postaci
Tworzenie informacji 0 1
funkcji.
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli zapisze wzór na M (n) liczbę monet w n tym dniu
po południu.
25 + [25 + (n -1)2]
Poprawna odpowiedz: M (n) = k + " n - 50n = n2 - 26n + k .
2
Formułowanie wniosków wynikających z postaci
Korzystanie z informacji 0 2
badanego wyrażenia.
Zdający otrzymuje 2 punkty, jeśli zapisze warunek wystarczający na to, aby w skarbcu zawsze
były monety i wyznaczy najmniejszą liczbę k.
2
Poprawna odpowiedz: np. M n = n -13 + k -169 > 0 , więc najmniejszą liczbą k jest 170
( ) ( )
albo " < 0 (bo nw " N ) czyli 262 - 4k < 0, stąd k > 169 , więc najmniejszą liczbą k jest 170.
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli zapisze tylko warunek wystarczający na to, aby w skarbcu
zawsze były monety i na tym zakończy rozwiązanie lub popełni błędy przy wyznaczaniu
najmniejszej liczby k.
2
Poprawna odpowiedz: np. M n = n -13 + k -169 > 0 lub " < 0 , bo nw " N , stąd
( ) ( )
262 - 4k < 0.
Posługiwanie się definicją i własnościami funkcji
Korzystanie z informacji 0 1
kwadratowej.
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli obliczy, w którym dniu w skarbcu była najmniejsza liczba
monet.
Poprawna odpowiedz: n = 13 .
Zadanie 5.
Wykonywanie działań na potęgach o wykładnikach
Korzystanie z informacji 0 3
rzeczywistych.
Zdający otrzymuje 3 punkty, jeśli wykaże równość B = 9 A .
Zdający otrzymuje 2 punkty, jeśli poprawnie zastosuje wzór na iloczyn potęg o tych samych
podstawach i wzór na potęgę potęgi i na tym zakończy.
Poprawna odpowiedz:
(4 2 +2)" 11
2
B = 32 2 +3 = 32 2+1+2 = 32 "3 = 32 " 34 2 +2 2 , o ile dowód równości jest prowadzony
( )
od jej lewej strony do prawej
albo
15
Matematyka poziom rozszerzony
Klucz punktowania odpowiedzi
1 1
2+(4 2 +2)"
2 2
9 A = 32 "(34 2 +2 ) = 3 , o ile dowód równości jest prowadzony od jej prawej strony
do lewej.
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli poprawnie zastosuje jedynie wzór na iloczyn potęg o tych
samych podstawach albo tylko wzór na potęgę potęgi i na tym zakończy.
Poprawna odpowiedz:
1
1
4 2+2 "
( )
2
B = 32 2 +3 = 32 "32 2+1 lub B = ... = 32 "3 = 32 "4 2 +2 2 ,o ile dowód równości jest
(3 )
prowadzony od jej lewej strony do prawej
albo
1 1 1
(4 2 +2)" 2+(4 2 +1)1
2 2 2 2
9 A = 32 "(34 2 +2 ) = 32 " 3 lub 9 A = ... = 32 "(34 2 +2 ) = 3 , o ile dowód
równości jest prowadzony od jej prawej strony do lewej.
Zadanie 6.
Korzystanie z informacji Posługiwanie się definicją logarytmu. 0 1
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli wykorzysta definicję logarytmu i zapisze wszystkie warunki
określające dziedzinę funkcji f.
Poprawna odpowiedz: 9 - x2 > 0 , 2cos x > 0, 2cos x `" 1.
Wiadomości i rozumienie Rozwiązywanie nierówności kwadratowej. 0 1
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli rozwiąże nierówność kwadratową.
Poprawna odpowiedz: x "(- 3, 3).
Odczytywanie z wykresu odpowiedniej funkcji zbioru
Korzystanie z informacji rozwiązań nierówności trygonometrycznej 0 2
w przedziale ograniczonym.
1
Zdający otrzymuje 2 punkty, jeśli poda zbiór rozwiązań nierówności cos x > 0 i cos x `"
2
w przedziale (- 3, 3).
y
1
1
2
-Ą 0 Ą x
Ą Ą Ą Ą
- -
2 3 1 3 2
-
2
1
Ą Ą Ą Ą
ś#
Poprawna odpowiedz: x"#- , i x `"- i x `" .
ś# ź#
2 2 3 3
# #
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli poda zbiór rozwiązań tylko jednej z nierówności.
16
Matematyka poziom rozszerzony
Klucz punktowania odpowiedzi
Zapisanie części wspólnej zbiorów w postaci sumy
Korzystanie z informacji 0 1
przedziałów liczbowych.
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli zapisze dziedzinę funkcji f.
Ą Ą Ą Ą Ą Ą
#ś# # ś# # ś#
Poprawna odpowiedz: Df = - , - *" - , *" , .
ś#ź# ś# ź# ś# ź#
2 3 3 3 3 2
# # # # # #
Zadanie 7.
Korzystanie z informacji Stosowanie własności ciągu geometrycznego. 0 1
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli wykorzysta własność ciągu geometrycznego i zapisze
równanie opisujące warunki zadania.
2
Poprawna odpowiedz: (x + 3) = (x - 3)(6x + 2).
Wiadomości i rozumienie Rozwiązywanie równania kwadratowego. 0 1
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli rozwiąże równanie kwadratowe.
3
Poprawna odpowiedz: x =- lub x = 5.
5
Tworzenie informacji Wybór ciągu spełniającego warunki zadania. 0 1
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli wybierze odpowiednią wartość x, tak aby wszystkie wyrazy
ciągu były dodatnie.
Poprawna odpowiedz: x = 5.
Korzystanie z informacji Stosowanie definicji ciągu geometrycznego. 0 1
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli obliczy iloraz ciągu.
Poprawna odpowiedz: q = 4 .
Oszacowanie ilorazu sumy 19-tu przez sumę 20-tu
Tworzenie informacji 0 2
początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.
Zdający otrzymuje 2 punkty, jeśli oszacuje iloraz.
419 -1 1
Poprawna odpowiedz: np. Przekształcając równoważnie nierówność < dostaje
420 -1 4
kolejno: 4(419 -1)< 420 -1, 420 - 4 < 420 -1, -3 < 0 , co jest prawdą. To kończy dowód.
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli wykorzysta wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu
S19
geometrycznego i zapisze iloraz w postaci umożliwiającej oszacowanie.
S20
S19 -1
419
Poprawna odpowiedz: = .
S20 420 -1
17
Matematyka poziom rozszerzony
Klucz punktowania odpowiedzi
Zadanie 8.
Podanie opisu matematycznego danej sytuacji
Tworzenie informacji 0 2
problemowej.
Zdający otrzymuje 2 punkty, jeśli zapisze zależność między promieniami okręgów.
Poprawna odpowiedz: R + r = (R - r) 2 .
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli zapisze długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego
równoramiennego ABC w zależności od R i r i na tym zakończy rozwiązanie lub w dalszej części
popełni błędy.
B
R
R r
r
.
A
C
Poprawna odpowiedz: AB = R + r .
Przetwarzanie informacji do postaci ułatwiającej
Tworzenie informacji 0 2
rozwiązanie problemu.
Zdający otrzymuje 2 punkty, jeśli obliczy stosunek promieni większego i mniejszego okręgu.
R
Poprawna odpowiedz: = 3 + 2 2 .
r
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli przekształci zależność R + r = (R - r) 2 do postaci
umożliwiającej obliczenie stosunku promieni i na tym zakończy rozwiązanie.
R R
Poprawna odpowiedz: np. r(1+ 2)= R( 2 -1) lub # -1ś# 2 = +1,
ś# ź#
r r
# #
r
#1- r
ś#
lub 1+ = 2 .
ś# ź#
R R
# #
18
Matematyka poziom rozszerzony
Klucz punktowania odpowiedzi
Zadanie 9.
Wiadomości i rozumienie Wyznaczanie środka i promienia okręgu. 0 1
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli narysuje w układzie współrzędnych opisany w zadaniu okrąg
i zaznaczy dany punkt A.
y
5
4
3
2
1
4 3 2 1 0 1 2 3 4 x
A
1
Wyznaczanie równania rodziny prostych
Korzystanie z informacji (nierównoległych do osi Oy) przechodzących przez 0 1
dany punkt.
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli zapisze równanie szukanej rodziny stycznych.
Poprawna odpowiedz: y = ax -1 lub ax - y -1 = 0 .
Tworzenie informacji Analizowanie wzajemnego położenia prostej i okręgu. 0 1
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli zapisze warunek styczności prostej k o równaniu y = ax -1
i danego okręgu.
Poprawna odpowiedz: Odległość środka okręgu S od prostej k jest równa promieniowi
okręgu.
Tworzenie informacji Stosowanie wzoru na odległość punktu od prostej. 0 1
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli zapisze równanie z niewiadomą a.
a "(- 2)- 3 -1
Poprawna odpowiedz: = 2 .
a2 +1
Tworzenie informacji Wyciąganie wniosku i zapisanie równania prostej. 0 1
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli zapisze równanie szukanej stycznej.
3
Poprawna odpowiedz: y = - x -1.
4
19
Matematyka poziom rozszerzony
Klucz punktowania odpowiedzi
Zadanie 10.
Analizowanie sytuacji i budowanie jej modelu
Tworzenie informacji 0 2
matematycznego.
Zdający otrzymuje 2 punkty, jeśli zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych oraz
liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A w tym samym modelu.
4n n 3n
# ś# # ś## ś#
Poprawna odpowiedz: = = 2n" 4n -1 , A = = n"3n
( )
ś# ź# ś# ź#
2 1ź#ś# 1
# # # ## #
lub = 4n "(4n -1), A = 2 " n " 3n gdzie n liczba kul czarnych, 3n liczba kul białych, dla
n e" 1.
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli zapisze tylko liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych i na
tym zakończy rozwiązanie.
Korzystanie z informacji Obliczanie prawdopodobieństwa. 0 1
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli zapisze prawdopodobieństwo zdarzenia A w postaci
wyrażenia wymiernego.
3n
Poprawna odpowiedz: P(A) =
2(4n -1).
Analizowanie sytuacji i budowanie jej modelu
Tworzenie informacji 0 1
matematycznego.
3n 9
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli rozwiąże nierówność > i poda liczbę kul
2 4n -1 22
( )
w urnie.
Poprawna odpowiedz: W urnie są 4 kule albo jest 8 kul.
Zadanie 11.
Wykorzystanie funkcji trygonometrycznych w trójkącie
Korzystanie z informacji 0 1
prostokątnym.
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli obliczy cosinusa kąta między krawędzią boczną a krawędzią
podstawy ostrosłupa.
1
Poprawna odpowiedz: cosą = .
4
Tworzenie informacji Narysowanie przekroju ostrosłupa płaszczyzną. 0 1
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli zaznaczy właściwy przekrój na rysunku.
20
Matematyka poziom rozszerzony
Klucz punktowania odpowiedzi
Poprawna odpowiedz:
S
F
ą
C
A
D
O
E
B
Korzystanie z informacji Zastosowanie twierdzenia cosinusów. 0 3
Zdający otrzymuje 3 punkty, jeśli obliczy wysokość opuszczoną na podstawę AB w trójkącie
równoramiennym ABF (szukanym przekroju).
a 5
Poprawna odpowiedz: hp = .
2
Zdający otrzymuje 2 punkty, jeśli obliczy długość ramienia trójkąta równoramiennego ABF
i na tym zakończy rozwiązanie.
a 6
Poprawna odpowiedz: AF = BF = .
2
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli zastosuje twierdzenie cosinusów i zapisze równanie
z niewiadomą x, gdzie x = BF i na tym zakończy rozwiązanie lub w dalszej części popełni
błędy.
1
Poprawna odpowiedz: x2 = a2 + a2 - 2" a "a " .
4
Korzystanie z informacji Obliczanie pola przekroju ostrosłupa 0 1
Zdający otrzymuje 1 punkt, jeśli obliczy pole przekroju.
a2 5
Poprawna odpowiedz: Pp = .
4
Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą niż przedstawiona w kluczu
punktowania przyznajemy maksymalną liczbę punktów.
21
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Egzamin Maturalny Poziom Rozszerzony Maj 20079 Biologia , Poziom Rozszerzony , Maj 2009 , Arkusz IIodpowiedzi przykladowy arkusz maturalny poziom rozszerzony wyd 13 rarkusz maturalny WOS poziom rozszerzony maj 10Egzamin 2005 poziom rozszerzony transkrypcjaodpowiedzi wos matura poziom podstawowy2009Egzamin 2015 poziom rozszerzonyEgzamin 2016 poziom rozszerzonywięcej podobnych podstron