7 Całki potrójne cd


Definicja (obszaru normalnego)
Sumę skończonej liczby obszarów normalnych względem płaszczyzn układu OXYZ o parami
rozłącznych wnętrzach nazywamy obszarem regularnym w przestrzeni.
Niech W = W1 W2 ... Wn Wi - obszar normalny i = 1,K, n .
, tzn. dla
obszar obszary normalne o parami
regularny rozłącznych wnętrzech
Wtedy definiujemy
n
f (x, y, z)dxdydz := f (x, y, z)dxdydz


i=1
W Wi
suma całek po obszarach normalnych
Uwaga
Całki po obszarch regularnych mają te same własności co całki po prostopadłościanach
(addywność, liniowość, ograniczoność).
Twierdzenie (o zamianie zmiennych w całce potrójnej)
Niech - obszary w regularne w R3 ,
W,V
t : W V ,
suriekcja
t (u,v, w)= (j(u,v, w),y (u,v, w),h(u,v, w)) dla (u,v, w)W .
Jeśli
1 odwozorowanie przekształca różnowartościowo wnętrze obszaru regularnego W
t
na wnętrze obszaru regularnego V ,
t : int W intV
bijekcja
2 j,y ,h C1(U ), gdzie U  obszar w R3 , W U
3 f C(V)
4 Jt ą 0 w obszarze W
to
f (x, y, z)dxdydz = f (j(u,v, w),y (u,v, w),h(u,v, w)) Jt dudvdw .

V W
1
Współrzędne walcowe (Ć, r, h)
z
P(x,y,z)
h
Ć
y
r
P'
x
Ć  miara kąta między dodatnią półosią OX a rzutem promienia wodzącego punktu P na
płaszczyznę OXY
r  odległość rzutu P' punktu P na płaszczyznę OXY od początku układu współrzędnych
h  odległość punktu P od płaszczyzny OXY; ze znakiem plus (+), gdy P leży nad tą
płaszczyzną, a w przeciwnym wypadku przed odległością stawiamy minus (-)
Wtedy
x = r cosj


y = r sinj ),
, gdzie j [0,2p r ł 0


z = h

Wyznaczamy jakobian tego odwzorowania:
- r sinj cosj 0
J = det r cosj sinj 0 = -r sin2 j - r cos2 j = -r J = r
0 0 1
Przykład
2
Obliczyć całkę potrójną I = dxdydz , gdzie .
V : 0 Ł z Ł 4 - x2 - y2
x
V
Obszar V jest ograniczony przez płaszczyznę z = 0 oraz powierzchnię .
z = 4 - x2 - y2
Przekształcając ostatnie równanie do takiej postaci, aby po jednej stronie równości pojawiło
się wyrażenie nieujemne, otrzymujemy
x2 + y2 = 4 - z 4 - z ł 0 z Ł 4
123
ł0
czyli z [0,4].
2
Jeśli z = const x2 + y2 = 4 - z = const
, to .
równanie okręgu
o środku w punkcie (0,0)
Zatem przekroje powierzchni płaszczyznami z = const są okręgami.
Jeśli ustalimy , to otrzymamy z = 4 - y2 .
x = 0
x = 0
Zatem przekrój powierzchni płaszczyzną jest parabolą.
Podobnie przekrój powierzchni płaszczyzną jest parabolą.
y = 0
Stąd powierzchnia x2 + y2 = 4 - z jest paraboloidą.
z
4
V
h=4-r2
-2
2
y
(Ć,r)
x
Do oblicznia tej całki zastosujemy współrzędne walcowe
x = r cosj

y = r sinj

j [0,2p ] r [0,2]
, gdzie , , h [0,4 - r2].
z = h

Stąd
2
I = cos2 j rdj drdh , gdzie W = [0,2p ][0,2][0,4 - r2]
r
W
i zamieniając na całkę iterowaną otrzymujemy
2p 2 4-r2 2p 2 2p 2
2
4-r
3 3 3
I =
djdr r cos2 j dh =djr cos2 j h dr = djr cos2 j (4 - r2)dr =
0
0 0 0 0 0 0 0
2
2p 2 2p 2p
1 16
2 2 2
= j dj (4r3 - r5)dr = j djr4 - r6 ł =
cos cos 6 3 cos j dj =
ę ś
0 0 0 0 0
2p
2p
16 1 1 16 1 1 16
ć d
=
+ cos 2j j = 3 j + 4 sin 2jł = 3 p
ę2 ś
3 2 2
Ł ł
0 0
3
Współrzędne sferyczne (Ć, , r)
z
P(x,y,z)

Ć y
P'
x
j
 miara kąta pomiędzy dodatnią półosią OX, a rzutem promienia wodzącego punktu P na
płaszczyznę OXY, j [0,2p )
p p
- ł
q ,
q  miara kąta między płaszczyzną OXY, a promieniem wodzącym punktu P,
ę ś
2 2

r  odległość punktu P od początku układu współrzędnych, r ł 0
Wtedy
x = r cosq cosj

y = r cosq sinj

z = r sinq

Wyznaczamy jakobian dla tego odwzorowania.
- r cosq sinj - r sinq cosj cosq cosj
J = det r cosq cosj - r sinq sinj cosq sinj =
0 r cosq sinq
= r2 cosq sin2 q sin2 j + r2 cos3q cos2 j + r2 cos3q sin2 j + r2 cosq sin2 q cos2 j =
= r2 cosq sin2 q + r2 cos3q = r2 cosq
p p
- ł
Ponieważ , zatem J ł 0 .
q ,
ę ś
2 2

4
Zastosowanie całek potrójnych
Niech V  obszar regulany R3 . Wtedy
dxdydz = V - objętość obszaru V
V
Przykład
Obliczyć objętość bryły, jaką z kuli o promieniu R wycina stożek kołowy o wierzchołku w
p
środku kuli, wysokości ł R i o kącie rozwarcia 2a , gdzie .
0 < a <
2
z
R
V

ą
y
R
R
x
Ponieważ bryła jest symetryczna względem osi OZ, zatem objętość V = 4
dxdydz , gdzie W
W
jest ćwiartką bryły V.
Stosujemy współrzędne sferyczne
x = r cosq cosj

y = r cosq sinj
p p
ł
, gdzie j [0,2p], , r [0, R]
q -a,
ę ś
2 2
z = r sinq

p p p
0, ł ł
Zatem W jest obrazem prostopadłościanu P, P = -a, [0, R].
ę ś ę ś
2 2 2

Stąd
p p p p p
R p
2 2 2 2 2
1 1
2 2
2
V = 4 cosq djdq dr = 4 dq R3 cosq dq = 4 R3sinq dq =
p
r dj r cosq dr = 4dj
-a
3 3
p p
P 0 0 0 0 2
-a -a
2 2
p
2
1 4 p 2p
= 4 R3(1- cosa)dq = R3(1- cosa) = R3(1- cosa)

3 3 2 3
0
5


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
jurlewicz,rachunek prawdopodobieństwa,całki potrójne zadania
17 Calki potrojne
calki potrójne
AM23 w11 Całki potrójne
Arkusz nr 7 (całki potrójne i powierzchniowe)
6 Całki potrójne(1)
BEC CD

więcej podobnych podstron