Całkowanie funkcji wymiernych.
Izolda Gorgol
wyciÄ…g z prezentacji
Funkcja wymierna
l(x)
DEFINICJA FunkcjÄ… wymiernÄ… nazywamy funkcjÄ™ postaci w(x) = , gdzie l i m sÄ… wielomianami.
m(x)
l(x)
Jeżeli stopnie wielomianów l i m spełniają warunek st.l(x) < st.m(x), to funkcję wymierną w(x) = nazywamy
m(x)
właściwą, w przeciwnym razie niewłaściwą.
TWIERDZENIE Każdą funkcję wymierną niewłaściwą można przedstawić w postaci sumy wielomianu i funkcji
wymiernej właściwej.
Wystarczy skorzystać z twierdzenia o rozkładzie wielomianów i zapisać l(x) w postaci:
l(x) = m(x)q(x) + r(x), gdzie st.r(x) < st.m(x).
Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste
TWIERDZENIE Każda funkcja wymierna właściwa rzeczywista daje się w sposób jednoznaczny przedstawić
w postaci sumy ułamków prostych. Funkcja wymierna właściwa
p(x)
an(x-x1)k1 (x-x2)k2 ···(x-xr)kr (x2+b1x+c1)l1 (x2+b2x+c2)l2 ···(x2+bsx+cs)ls
jest sumÄ… k1 + k2 + · · · + kr uÅ‚amków prostych pierwszego rodzaju oraz l1 + l2 + · · · + ls uÅ‚amków prostych drugiego
rodzaju, przy czym
Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste
i
1. czynnikowi (x - xi)k odpowiada suma ki ułamków prostych pierwszego rodzaju postaci:
Ai1 Ai2 Aik
i
+ + · · · + ,
i
x - xi (x - xi)2 (x - xi)k
gdzie Ai1, Ai2, . . . , Aik " R dla i " {1, 2, . . . , r};
i
j
2. czynnikowi (x2 + bjx + cj)l odpowiada suma lj ułamków prostych drugiego rodzaju postaci:
Bjl x + Cjl
Bj1x + Cj1 Bj2x + Cj2
j j
+ + · · · + ,
j
x2 + bjx + cj (x2 + bjx + cj)2 (x2 + bjx + cj)l
gdzie Bj1, Bj2, . . . , Bjl , Cj1, Cj2, . . . , Cjl " R dla j " {1, 2, . . . , s}.
j j
Algorytm całkowania funkcji wymiernych.
1. Jeżeli stopień licznika jest większy lub równy stopniowi mianownika, to funkcję wymierną niewłaściwą zapisujemy
w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernej właściwej.
2. Mianownik funkcji wymiernej właściwej rozkładamy na czynniki liniowe i nierozkładalne kwadratowe.
3. Zapisujemy teoretyczny rozkład funkcji wymiernej właściwej na ułamki proste pierwszego i drugiego rodzaju.
4. Znajdujemy nieznane współczynniki tego rozkładu.
5. Obliczamy całki poszczególnych składników rozkładu funkcji, tzn. wielomianu i ułamków prostych.
1
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Dgn patomorfolog 2011 drukskanowanie drukdruk na przekaz pocztowygauss drukw4a Zatrucie sol kuchenna 11 druk3kwietnia druk flip short?geDruk przelewuwyklad MB drukw2b Toksykokinetyka biotransformacja trucizn 11 drukcalkixy3 drukdruk szkolenie okresoweDrukwięcej podobnych podstron