IV. RACHUNEK CAAKOWY
4.1 Całka nieoznaczona.
FunkcjÄ™ F(x) nazywamy funkcjÄ… pierwotnÄ… funkcji f(x) na przedziale X wtedy i tylko wtedy,
'
gdy dla każdego x " X jest F (x) = f (x).
Z powyższego wynika, że ogólną postać funkcji pierwotnej funkcji f(x) można zapisać nst.:
F(x) + C, gdzie C jest dowolną stałą.
Całką nieoznaczoną nazywamy zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f(x) i
oznaczamy symbolem: f (x)dx , zatem f (x)dx = F(x)+ C , przy czym dowolną stałą C
+" +"
będziemy nazywali stałą całkowania.
4.2 Całka oznaczona.
Jeżeli z przedziału X wydzielimy podprzedział a;b " X , przy czym funkcja f(x) jest ciągła,
określona i monotoniczna na a;b " X , to całka funkcji f(x) na podprzedziale a;b " X
b
będzie nosić nazwę całki oznaczonej, a jej symbolem jest nst. zapis: f (x)dx , zatem
+"
a
b
f (x)dx = F(b)- F(a), przy czym F(a) oraz F(b) są wartościami funkcji pierwotnej F(x)
+"
a
odpowiednio w punktach a i b .
4.3 Interpretacja geometryczna całki.
b= xN +1
N
1
îÅ‚
f (x)dx = limx )0 f (xi + xi+1)Å‚Å‚ *(xi+1 - xi)
"
+"
ïÅ‚2 śł
´ =(xi+1 -
N i
ðÅ‚ ûÅ‚
i=1
a= x1
25
4.4 Własności całek
f (x)dx Ä… g(x)dx
+"[f (x)Ä… g(x)]dx = +"+"
f (x)dx
+"k * f (x)dx = k *+"
b b b
f (x)dx Ä… g(x)dx
+"[f (x)Ä… g(x)]dx = +" +"
a a a
b b
f (x)dx
+"k * f (x)dx = k *+"
a a
4.5 Obliczanie całek metody.
1. wykorzystując przekształcenia funkcji, własności całek oraz wzorów na całki funkcji
podstawowych
2. przez części
'
+"u(x)* v'(x)dx = u(x)* v(x)- +"u (x)* v(x) dla całki nieoznaczonej
b b
b b
'
+"u(x)* v'(x)dx = (u(x)* v(x)) - +"u (x)* v(x)dx przy czym wyrażenie (u(x)*v(x))
a a
a a
oznacza nst. różnicę: u(b)* v(b)- u(a)* v(a)
3. przez podstawienie
'
f (g(x))* g (x)dx = f (t)dt przy czym w całce nieoznaczonej po prawej stronie
+"+"
równania obowiązuje podstawienie g(x) = t
b ²
'
f (g(x))* g (x)dx = f (t)dt przy czym Ä… = g(a); ² = g(b)
+"+"
a Ä…
Przykłady:
ad. 1
całka nieoznaczona
3
(1- x) 1- 3x + 3x2 - x3 1 3x 3x2 x3
dx = dx = dx - dx + dx - dx =
+"+" 1 +" 1 +" 1 +" 1 +" 1
x
2 2 2 2 2
x x x x x
1 1 3 5 1 3 5 7
-
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
= x dx - 3 x dx + 3 x dx - x dx =2x - 3* x + 3* x - x + C =
+"+"+" +"
3 5 7
6 2
= 2 x - 2 x3 + x5 - x7 + C
5 7
całka oznaczona
1 3 1 1 1
(1- x) 1- 3x + 3x2 - x3 1 1 3x 3x2 1 x3
dx = dx = dx - dx + dx - dx =
1
+" +"+" 1 +" 1 +" 1 +" 1
x
0 0 0 0 0 0
2 2 2 2 2
x x x x x
1 1 1 1
1 1 1 1 1 3 1 5 1 3 5 7
-
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
= x dx - 3 x dx + 3 x dx - x dx =2x - 3* x + 3* x - x =
+"+"+" +"
3 5 7
0 0 0 0
0 0 0 0
1 1
1
1
6 2 6 2 6 2 32
ëÅ‚ ëÅ‚
= 2 x - 2 x3 + x5 - x7 = (2 - 0)- (2 - 0)+ - 0öÅ‚ - ìÅ‚ - 0öÅ‚ = - =
ìÅ‚ ÷Å‚ ÷Å‚
0
0
5 7 5 7 5 7 35
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
0 0
26
całka nieoznaczona
2 1
3 4
ëÅ‚ öÅ‚
23 x2 + 34 x 23 x2 34 x 23 x2 34 x x x
dx = dx + dx = 2 dx + 3 dx =
+"+"ìÅ‚ + x ÷Å‚dx = +"+"+" 1 +" 1
ìÅ‚ ÷Å‚
x x x x
íÅ‚ Å‚Å‚ 2 2
x x
1 1 7 3
-
6 4 12
6
6 4 6 4
= 2 x dx + 3 x dx = 2 * x + 3* x + C = x7 + 44 x3 + C
+"+"
7 3 7
całka oznaczona
2 1
b b b b b
3 4
ëÅ‚ öÅ‚
23 x2 + 34 x 23 x2 34 x 23 x2 b 34 x x x
dx = dx + dx = 2 dx + 3 dx =
+"+"ìÅ‚ + x ÷Å‚dx = +" +" 1 +" 1
+"
ìÅ‚ ÷Å‚
x x x x
a a a a a a
íÅ‚ Å‚Å‚ 2 2
x x
b b
b 1 b 1 7 3
-
6 4 12 12
ëÅ‚
6 6
6 4 6 4
= 2 x dx + 3 x dx =2 * x + 3* x = b7 - a7 öÅ‚ +(44 b3 - 44 a3)
ìÅ‚ ÷Å‚
+"+"
7 3 7 7
íÅ‚ Å‚Å‚
a a
a a
całka nieoznaczona
2
ëÅ‚ öÅ‚
cos 2x cos2 x - sin2 x cos2 x sin x
÷Å‚
dx = dx =
+"+"+"ìÅ‚ cos2 x *sin2 x - 2 ÷Å‚dx =
ìÅ‚
cos2 x *sin2 x cos2 x *sin2 x cos2 x *sin x
íÅ‚ Å‚Å‚
cos2 x sin2 x 1 1
= dx - dx = dx - dx = -ctgx - tgx + C
+" 2 +"+" 2 +"
cos2 x *sin x cos2 x *sin2 x sin x cos2 x
całka oznaczona
Ä„ Ä„ Ä„
3 3 3
ëÅ‚ öÅ‚
cos 2x cos2 x - sin2 x cos2 x sin2 x
dx = dx = - ÷Å‚
2 ìÅ‚
+"+"+"ìÅ‚ cos2 x *sin 2 ÷Å‚dx =
cos2 x *sin2 x cos2 x *sin x x cos2 x *sin2 x
Ä„ Ä„ Ä„ íÅ‚ Å‚Å‚
4 4 4
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
Ä„ Ä„
3 3 2 3 3
cos2 x sin x 1 1
3 3
= dx - dx = dx -
Ä„ Ä„
2 +"
+" 2 +"+"dx = - ctgx - tgx =
cos2 x *sin x cos2 x *sin x sin2 x cos2 x
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
4 4
4 4 4 4
ëÅ‚ 1 1 1
= ìÅ‚- - (-1)öÅ‚ -( 3 -1)= 1- - 3 +1 = 2 - - 3
÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
3 3 3
íÅ‚ Å‚Å‚
ad. 2
całka nieoznaczona
Å„Å‚ üÅ‚
u = x +1 v' = cos x
+"(x +1)cos xdx = òÅ‚ u' = 1 v = sin x żł = (x +1)*sin x - +"1*sin xdx = (x +1)*sin x - (- cos x)+ C =
ół þÅ‚
= (x +1)*sin x + cos x + C
całka oznaczona
Ä„ Ä„
Ä„ Ä„ Ä„
2 2
Å„Å‚ üÅ‚
u = x + 1 v' = cos x
2 2 2
+"(x + 1)cos xdx = òÅ‚ u' =1 v = sin x żł = (x + 1)* sin x -+"1* sin xdx =(x + 1)* sin x - (- cos x) =
0 0 0
0 ół þÅ‚ 0
îÅ‚
ëÅ‚ Ä„ Ä„ öÅ‚ Ä„ Ä„ Ä„
ëÅ‚ ëÅ‚cos ëÅ‚
= + 1öÅ‚ * sin ÷Å‚ - ((0 + 1)* sin 0)Å‚Å‚ + - cos 0öÅ‚ = + 1öÅ‚ * sin -1
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚ìÅ‚ìÅ‚ 2 ÷Å‚ 2 ÷Å‚ śł
ìÅ‚íÅ‚ Å‚Å‚
2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
27
całka nieoznaczona
Å„Å‚ üÅ‚
u = x * cos x v' = cos x
x * cos2 xdx = = x * cos x *sin x - x - x *sin x)*sin xdx =
òÅ‚ żł
+" ' +"(cos
ółu = cos x - x *sin x v = sin x þÅ‚
2 2
= x *sin x * cos x - (cos x *sin x - x *sin x)dx =x *sin x * cos x - x * cos xdx + x *sin xdx =
+" +"sin +"
1 1
= x *sin x * cos x - x *(1- cos2 x)dx =x *sin x * cos x - 2xdx + xdx - x *cos2 xdx =
+"2sin x * cos xdx + +" +"sin +" +"
2 2
1 1 1 1 1
= x *sin x * cos x - * (- cos 2x)+ x2 - x *cos2 xdx = x *sin x * cos x + cos 2x + x2 - x *cos2 xdx Ò!
+" +"
2 2 2 4 2
1 1 1 1
Ò! x * cos2 xdx = x *sin x * cos x + cos 2x + x2 - x *cos2 xdx Ò! 2 x * cos2 xdx = x *sin x * cos x + cos 2x + x2
+" +" +"
4 2 4 2
1 1 1 1 1 1
Ò! x * cos2 xdx = *ëÅ‚ x *sin x * cos x + cos 2x + x2 öÅ‚ = x *sin 2x + cos 2x + x2 = F(x)
ìÅ‚ ÷Å‚
+"
2 4 2 4 8 4
íÅ‚ Å‚Å‚
całka oznaczona
b
x * cos2 xdx = {przy tak długich obliczeniach, całkę oznaczoną można policzyć jako
+"
a
nieoznaczoną (obliczona powyżej), a granice całkowania
wstawić do ostatecznej
b
1 1 1
ëÅ‚
postaci funkcji scaÅ‚kowanej F(x)} = x *sin 2x + cos 2x + x2 öÅ‚ =
ìÅ‚ ÷Å‚
4 8 4
íÅ‚ Å‚Å‚
a
1 1 1 1 1 1
ëÅ‚ ëÅ‚
= b *sin 2b + cos 2b + b2 öÅ‚ - ìÅ‚ ÷Å‚
a *sin 2a + cos 2a + a2 öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
4 8 4 4 8 4
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
całka nieoznaczona
2
Å„Å‚
u = (ln x) v' = x3 üÅ‚
1 1 1
ôÅ‚ ôÅ‚
2 2
x3 *(ln x) dx = =(ln x) * x4 - x * * x4dx =
1 1
òÅ‚u = 2ln x * v = x4 żł
'
+" +"2ln x 4
4
ôÅ‚ ôÅ‚
ół x 4 þÅ‚
Å„Å‚
1 1 1 1 1
ôÅ‚u = ln1x v' = x3 üÅ‚
ôÅ‚
2 2
1
(ln x) * x4 - x * *x4dx = (ln x) * x4 - x *x3dx =
òÅ‚
+"ln x +"ln
u' = v = x4 żł =
4 2 4 2
ôÅ‚ ôÅ‚
ół x 4 þÅ‚
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 ëÅ‚ln x * x4 * x4dxöÅ‚ x) * x4 ëÅ‚ln x * x4 x3dxöÅ‚
2
= (ln x) * x4 - ìÅ‚ ÷Å‚ ÷Å‚
- = (ln - ìÅ‚
- =
+" +"
4 2 4 x 4 4 2 4 4
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1 1 1 1 1 1
2 ëÅ‚ln x * x4 * x4 öÅ‚ 2 öÅ‚
= (ln x) * x4 - ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
- + C = x4 ëÅ‚(ln x) - ln x + + C = F(x)
4 2 4 4 4 4 2 8
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
28
całka oznaczona
b
2
x3 *(ln x) dx = {zamiana całki oznaczonej na nieoznaczoną}
+"
a
2
Å„Å‚
u = (ln x) v' = x3 üÅ‚
1 1 1
ôÅ‚ ôÅ‚
2 2
x3 *(ln x) dx = =(ln x) * x4 - x * * x4dx =
1 1
òÅ‚u = 2ln x * v = x4 żł
'
+" +"2ln x 4
4
ôÅ‚ ôÅ‚
ół x 4 þÅ‚
Å„Å‚
1 1 1 1 1
ôÅ‚u = ln1x v' = x3 üÅ‚
ôÅ‚
2 2
1
(ln x) * x4 - x * *x4dx = (ln x) * x4 - x *x3dx =
òÅ‚
+"ln x +"ln
u' = v = x4 żł =
4 2 4 2
ôÅ‚ ôÅ‚
ół x 4 þÅ‚
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 ëÅ‚ln x * x4 * x4dxöÅ‚ x) * x4 ëÅ‚ln x * x4 x3dxöÅ‚
2
= (ln x) * x4 - ìÅ‚ ÷Å‚ ÷Å‚
- = (ln - ìÅ‚
- =
+" +"
4 2 4 x 4 4 2 4 4
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1 1 1 1 1 1
2 ëÅ‚ln x * x4 * x4 öÅ‚ 2 öÅ‚
= (ln x) * x4 - ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
- + C = x4 ëÅ‚(ln x) - ln x + + C = F(x)
4 2 4 4 4 4 2 8
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Zatem
b
b
îÅ‚1 1 1 Å‚Å‚ îÅ‚1 1 1 Å‚Å‚ îÅ‚1 1 1 Å‚Å‚
2 2 öÅ‚ 2 öÅ‚ 2 öÅ‚
x3 *(ln x) dx =ïÅ‚ x4ëÅ‚(ln x) - ln x + = b4 ëÅ‚(ln b) - ln b + - a4 ëÅ‚(ln a) - ln a +
ìÅ‚ ÷łśł ïÅ‚4 ìÅ‚ ÷łśł ïÅ‚4 ìÅ‚ ÷łśł
+"
2 8 2 8 2 8
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚4 ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
a
a
ad. 3
całka nieoznaczona
5x = t
Å„Å‚ üÅ‚ 1 1 1
+"sin 5xdx = òÅ‚5dx = dtżł = +"sin tdt = (- cost)+ C = - cos5x + C
5 5 5
ół þÅ‚
całka oznaczona
5Ä„
Ä„ ² 5Ä„
5x = t
Å„Å‚ üÅ‚ 1 Å„Å‚ Ä… = 0
üÅ‚ 1 1
îÅ‚
=
+"sin5xdx = òÅ‚5dx = dtżł = +"sintdt = òÅ‚² = 5Ä„ żł = +"sintdt = *(- cost)Å‚Å‚
ïÅ‚5 śł
5 5
ðÅ‚ ûÅ‚
ół þÅ‚ Ä…
ół þÅ‚
0 0
0
1 1 1 1 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚
= cos5Ä„ - ìÅ‚- cos0öÅ‚ = + =
ìÅ‚-
÷Å‚ ÷Å‚
5 5 5 5 5
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Uwaga:
stosując metodę zamiany całki oznaczonej na roboczą całkę nieoznaczoną i powrót do całki
oznaczonej z policzoną funkcją F(x); nie zmieniamy granic całkowania!
Ä„
+"sin 5xdx = {przejście z całki oznaczonej na nieoznaczoną}
0
5x = t
Å„Å‚ üÅ‚ 1 1 1
+"sin 5xdx = òÅ‚5dx = dtżł = +"sin tdt = (- cost)+ C = - cos5x + C = F(x)
5 5 5
ół þÅ‚
Zatem
Ä„
Ä„
1 1 1 1 1 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚
=
÷Å‚
+"sin 5xdx = - cos5x = ìÅ‚- cos5Ä„ ÷Å‚ - ìÅ‚- cos0öÅ‚ + 5 =
5 5 5 5 5
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
0
0
całka nieoznaczona
4x + 5 = t
Å„Å‚ üÅ‚ 1 1 1
+"cos(4x + 5)dx = òÅ‚ 4dx = dt żł = +"costdt = sin t + C = sin(4x + 5)+ C
4 4 4
ół þÅ‚
29
całka oznaczona
4x + 5 = t
Å„Å‚ üÅ‚ 1 1 1
+"cos(4x + 5)dx = òÅ‚ 4dx = dt żł = +"costdt = sin t + C = sin(4x + 5)+ C
4 4 4
ół þÅ‚
Ä„ ² 4Ä„ +5
4x + 5 = t
Å„Å‚ üÅ‚ 1 Å„Å‚Ä… = 2Ä„ + 5
üÅ‚ 1
+"cos(4x + 5)dx = òÅ‚ 4dx = dt żł = +"costdt =òÅ‚ 4Ä„ + 5żł = +"costdt =
4Ä… 4
Ä„ ół þÅ‚ ół² = þÅ‚
2Ä„ +5
2
4Ä„ +5
1 1 1 1 1
îÅ‚ îÅ‚
= sin t = sin(4Ä„ + 5)Å‚Å‚ - sin(2Ä„ + 5)Å‚Å‚ = sin17,57 - sin11,28 = -0,24 + 0,24 E" 0
ïÅ‚4 śł ïÅ‚4 śł
4 4 4
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
2Ä„ +5
POZOSTAAE PRZYKAADY (WRAZ Z ODPOWIEDZIAMI) ZNAJDUJ SI W
PODANEJ LITERATURZE NA STRONACH 104 107 (całka nieoznaczona) ORAZ
114 115 (całka oznaczona).
4.6 Całka oznaczona obliczanie pól powierzchni.
Całkę oznaczoną możemy wykorzystywać do obliczania pól powierzchni ograniczonych
krzywymi (funkcjami); w szczególnych przypadkach możemy policzyć pole zawarte
pomiędzy krzywą (funkcją) a osią OX.
Przykład 1: obliczyć pole powierzchni zawarte pomiędzy krzywą f (x) = x2 (poniższy
wykres), a osiÄ… OX, w granicach od 3 do 5.
W celu obliczenia wartości pola, należy skorzystać własności całki oznaczonej, przy czym
5
funkcją podcałkową f(x) będzie funkcja f (x) = x2 ; stąd mamy: x2 dx ; całkę tę
+"
3
rozwiązujemy zgodnie z poznanymi wcześniej metodami oraz wykorzystując definicję
wartości bezwzględnej; tutaj x2 > 0 dla x " 3;5 , zatem:
5
5 5
1 1 1 125 27 98
x2 dx = x2dx = x3 = Å" 53 - Å" 33 = - = j2 pole zakreskowane poniżej
+" +"
3 3 3 3 3 3
3 3
3
Y
X
0
-1 1 2 3 4 5 6
Created with a trial version of Advanced Grapher - http:/ / www.alentum.com/ agra
30
Przykład 2: obliczyć pole powierzchni zawarte pomiędzy krzywą f (x) = x2 -1 (poniższy
wykres), a osiÄ… OX, w granicach od -2 do 2.
W celu obliczenia wartości pola, należy skorzystać własności całki oznaczonej, przy czym
2
funkcją podcałkową f(x) będzie funkcja f (x) = x2 -1 ; stąd mamy: x2 -1dx ; całkę tę
+"
-2
rozwiązujemy zgodnie z poznanymi wcześniej metodami oraz wykorzystując definicję
wartości bezwzględnej, która w tym przykładzie rozbije naszą funkcję podcałkową na sumę
trzech funkcji w odpowiednich granicach całkowania;
2 -1 1 2 -1 1 2
x2 -1dx = (x2 -1)dx + (x2 -1)dx + (x2 -1)dx = (x2 -1)dx - (x2 -1)dx + (x2 -1)dx =
+" +"+"- +"+"+"+"
-2 -2 -1 1 -2 -1 1
= {każdą całkę rozwiązujemy zgodnie z poznanymi metodami}= 4j2 (zakreskowane pole
poniżej)
Y
X
0
-3 -2 -1 1 2 3
Created with a trial version of Advanced Grapher - http:/ / w
31
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Logika troch teorii zadania
Funkcja troch teorii zadania
Macierze troch teorii zadania
Pochodna troch teorii zadania
Funkcja wielu zmiennych troch teorii zadania
ZADANIE BRZEGOWE LINIOWEJ TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
Zadania ze wstepu do teorii mnogosci
2 Elementy teorii pola zadania
zadania ca ki obliczenia
Zadania z teorii mnogosci
CA Zadania iloczyn rozpuszczalnosci
Analiza Matematyczna 2 Zadania
więcej podobnych podstron