Część 2 1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEC 1
1. Ł
1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEC
1.1. Wstęp
Podstawowym narzędziem służącym do rozwiązywania zadań metodą przemieszczeń są wzory
transformacyjne. Pozwalają one określić wartości sił przywęzłowych na podstawie parametrów
geometrycznych pręta (sztywność EJ, długość l) oraz przemieszczeń węzłów pręta (liniowych i obrotowych).
Jeden ze sposobów wyznaczenia wzorów transformacyjnych polega na określeniu reakcji w podporach
belki jednoprzęsłowej. Będą one zależały od typu podpór. Zadanie sprowadza się do rozwiązania belek
statycznie niewyznaczalnych (rys. 1.1) metodą sił. Zakładamy wpływy zewnętrzne w postaci klasycznych
osiadań podpór (przemieszczenia liniowe prostopadłe do osi belki, przemieszczenia kątowe).
a) b) c)
EJ EJ EJ
l
EJ EJ
l l
Rys. 1.1. Schematy belek statycznie niewyznaczalnych
Przed przystąpieniem do obliczeń należy przyjąć umowę dotyczącą znaków poszczególnych wielkości.
Najwygodniejsza dla metody przemieszczeń będzie taka, która uprości obliczenia i wyeliminuje w jak
największym stopniu różnice znaków poszczególnych wyrazów w równaniach.
W związku z tym będziemy traktować jako dodatnie:
" momenty działające przy węzłach prętów zgodnie z ruchem wskazówek zegara (układ prawoskrętny)
(rys. 1.2),
" siły poprzeczne obracające odciętą część pręta zgodnie z ruchem wskazówek zegara (rys. 1.2),
" kąty obrotu przekrojów węzłowych Ć zgodne z ruchem wskazówek zegara (rys. 1.3),
" przemieszczenia " zgodne z kierunkiem i zwrotem przyjętego układu współrzędnych (rys. 1.3).
Wielkości ujemne będą miały zwroty przeciwne w stosunku do wymienionych. Ponadto tak jak
dotychczas wykresy momentów zginających będziemy odkładać po stronie włókien rozciąganych, czyli od
wypukłej strony osi odkształconej.
T>0
M>0 M>0
T<0
M>0 M<0
Rys. 1.2. Znakowanie momentów zginających i sił poprzecznych
Dobra D., Dziakiewicz A., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEC 2
k
i
x
"i>0
"k>0
i
Ćk>0
Ći>0
k
z
Rys. 1.3. Znakowanie kątów obrotu Ć i przemieszczeń pionowych " węzłów podporowych
Procedurę wyprowadzania wzorów transformacyjnych omówimy analizując różne przypadki podparcia
pręta.
1.2. Belka utwierdzona
Rozpatrzmy belkę obustronnie utwierdzoną o długości l i sztywności EJ (rys. 1.4), której podpory
doznają przemieszczeń Ć , Ć , " , " .
i k i k
Ći
Ćk
EJ
k
i
x
"i
"k
z
l
Rys. 1.4. Schemat belki obustronnie utwierdzonej poddanej przemieszczeniom podpór
Narysujmy stan po przemieszczeniu podpór i, k o zadane wartości (rys. 1.5). W rozważaniach
przemieszczenia podpór będą dowolne, lecz z uwagi na czynione uproszczenia przyjmujemy, że ich wartości
są niewielkie (małe w stosunku do wymiarów pręta).
k
i
x
"i
"k
ik
Ći
z,w Ćk
Rys. 1.5. Stan po przemieszczeniu belki
Dobra D., Dziakiewicz A., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEC 3
Na rys. 1.5 symbol oznacza obrót cięciwy wynikający z pionowych przemieszczeń podpór ":
ik
ąk-ąi ąk ąi
tg ąik= = - (1.1)
l l l
ponieważ dla małych kątów tg H" , to możemy zapisać:
ik ik
ąk ąi ąk-ąi
ąik= - = (1.2)
l l l
Aby rozwiązać zadanie metodą sił trzeba przyjąć układ podstawowy oraz odpowiadające mu warunki
przemieszczeniowe.
Ćk
Ći
X1 X2
X3
"i
"k
Rys. 1.6. Układ podstawowy
ą1 =0
ą2 =0
ą3 =0
Ponieważ pomijamy w obliczeniach wpływ sił normalnych współczynniki (siła X wywołuje tylko siłę
3i 3
normalną) będą równe zero, a układ równań kanonicznych ograniczy się do dwóch równań:
ą11"X ąą12"X ąą1 ą=0
1 2
(1.3)
ą21"X ąą22"X ąą2 ą=0
1 2
W celu obliczenia przemieszczeń z układu (1.3) narysujemy wykresy momentów w stanach X = 1 i X = 1.
1 2
k X2=1
i
X1=1
H = 0 H = 0 k
l l
i
1 1 1 1
Ri(1)= Rk(1)= Ri(2)= Rk(2)=
l l l l
M1[-]
M2[-]
1 1
Rys. 1.7. Reakcje i momenty zginające w stanach X = 1 i X = 1
1 2
Dobra D., Dziakiewicz A., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEC 4
Obliczamy współczynniki macierzy podatności metodą Wiereszczagina-Mohra:
1 1"1 "l"2"1 = l
ą11= "
śą źą
EJ 2 3 3 EJ
1 1"1 "l"2"1 = l
ą22= "
śą źą
EJ 2 3 3 EJ
1 1 1 l
ą12=ą21= " "1 "l" "1 =-
śą źą
EJ 2 3 6 EJ
A wyrazy wolne " według wzoru:
i"
ąi ą=-ąi-"
Rśąji źą"ą
j
(1.4)
j
gdzie:
ąi - rzeczywiste, narzucone przemieszczenie zgodne z kierunkiem niewiadomej X ,
i
Rśąji źą - reakcja w podporze j, w stanie X = 1,
i
ą - przemieszczenie narzucone po kierunki reakcji .
Rśąji źą
j
1"ą 1"ą
ą1 ą=-ąi- ą =-ąiąąik
i k
l l
1"ą
ą2 ą=-ąk-1"ąią =-ąkąąik
k
l l
Po podstawieniu otrzymanych wartości równanie kanoniczne (1.3) uzyskuje postać
l l
"X - "X ąśąąik-ąiźą=0
1 2
3 EJ 6 EJ
(1.5)
l l
- "X ą "X ąśąąik-ąkźą=0
1 2
6 EJ 3 EJ
Rozwiązanie układu (1.5) prowadzi do wartości sił nadliczbowych:
2 EJ
X = "śą2ąiąąk-3ąik źą
(1.6)
1
l
2 EJ
X = "śąąią2 ąk-3ąik źą (1.7)
2
l
W przyjętym układzie podstawowym siły nadliczbowe X oznaczają reakcje podporowe, a zarazem
i
równoważne im wewnętrzne siły przypodporowe (rys. 1.8). Można zapisać:
X =M
1 ik
X =M
2 ki
Dobra D., Dziakiewicz A., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEC 5
gdzie:
M
to przęsłowy, przywęzłowy moment zginający w przekroju i,
ik
M
to przęsłowy, przywęzłowy moment zginający w przekroju k.
ki
Mik Mki
Mi Mk
i k
Rys. 1.8. Momenty podporowe i przywęzłowe momenty zginające
Obliczmy jeszcze reakcje R i R .
i k
2 EJ 2 EJ
M =0 ! "śą2ąiąąk-3ąik źąą "śąąią2 ąk-3ąik źąąRk"l=0 (1.8)
"
i
l l
Rk=-6 EJ "śąąiąąk-2ąik źą
(1.9)
l2
Ri=-6 EJ "śąąiąąk-2ąik źą
(1.10)
l2
Ponieważ reakcje węzłowe są równoważne wewnętrznym siłom przywęzłowym (rys. 1.9)
Rk=T Ri=T
ki ik
to siła tnąca wynosi:
T =T =-6 EJ "śąąiąąk-2ąik źą
(1.11)
ik ki
l2
gdzie:
T , T
oznaczają przęsłowe, przywęzłowe siły poprzeczne.
ik ki
Tik Tki
i k
Ri Rk
Rys. 1.9. Reakcje podporowe i przywęzłowe siły poprzeczne
Gdy znamy już wartości wszystkich sił, to możemy narysować wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych.
Dobra D., Dziakiewicz A., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEC 6
X1= 2EJ (2Ći+Ćk-3ik) X2= 2EJ (Ći+2Ćk-3ik)
l l
k
i
l
Ri
Rk
Mk i
M[kNm]
Mik
T[kN]
Tik=Tki=- 6EJ (Ći+Ćk-2ik)
-
l2
Rys. 1.10. Wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych dla belki obustronnie utwierdzonej, obciążonej
przemieszczeniami Ć , Ć , " , "
i k i k
Ostatecznie dla belki obustronnie utwierdzonej (rys. 1.4) otrzymaliśmy komplet wzorów
transformacyjnych:
2 EJ
M = "śą2ąiąąk-3ąik źą
ik
l
(1.12)
2 EJ
M = "śąąią2 ąk-3ąik źą
ki
l
T =-6 EJ "śąąiąąk-2ąik źą
ik
l2
(1.13)
T =-6 EJ "śąąiąąk-2ąik źą
ki
l2
Należy przypomnieć, że wzory transformacyjne metody przemieszczeń zależą od warunków
brzegowych belki i przedstawiają relacje między przęsłowymi, przywęzłowymi siłami wewnętrznymi, a
uogólnionymi przemieszczeniami jej podpór.
1.3. Równanie osi odkształconej
Napiszemy równanie osi odkształconego, obustronnie utwierdzonego pręta (rys. 1.5) poddanego
wpływom osiadań podpór Ć , Ć , " , " (nie obciążonego siłami zewnętrznymi).
i k i k
Aby rozwiązać to zadanie korzystamy z równania różniczkowego linii ugięcia.
[ EJ w' ' śą xźą]' '=qśą xźą
Ponieważ nie ma obciążeń zewnętrznych śąqśą xźą=0źą
otrzymujemy równanie jednorodne
Dobra D., Dziakiewicz A., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEC 7
[ EJ w' ' śą xźą]' '=0
które następnie całkujemy
[ EJ w' ' śą xźą]'=c
EJ w' ' śą xźą=cxąd
2
EJ w' śą xźą=c"x ądxąe (1.14)
2
Ostatecznie funkcja osi odkształconej jest wielomianem trzeciego stopnia
3 2
EJ wśąxźą=c"x ąd"x ąexą f (1.15)
6 2
Stałe całkowania wyznaczamy z warunków brzegowych, które dla belki przedstawionej na rys. 1.4 wyrazimy
przez wielkości kinematyczne (przemieszczenia):
wśąx=0źą=ąi
w' śąx=0źą=ąi
(1.16)
wśąx=l źą=ąk
{
w' śąx=l źą=ąk
Po podstawieniu warunków brzegowych (1.16) do równań (1.14) i (1.15) uzyskujemy układ równań:
EJ ąi= f
EJ ąi=e
3 2
EJ ąk=cl ądl ąelą f
6 2
2
{
EJ ąk=cl ądląe
2
Podstawienie dwóch pierwszych związków do dwóch ostatnich równań
3 2
EJ ąk=cl ądl ąEJ ąi"ląEJ ąi
6 2
2
{
EJ ąk=cl ąd"ląEJ ąi
2
po przekształceniach
cl2
d"l=EJ ąk- -EJ ąi
2
Dobra D., Dziakiewicz A., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEC 8
EJ cl EJ
d = ąk- - ąi
l 2 l
2
cl3 EJ cl EJ
EJ ąk= ą ąk- - ąi "l ąEJ ąi"ląEJ ąi
śą źą
6 l 2 l 2
cl3 - cl3 =EJ ąk-EJ ąi-EJ ąi"l- EJ EJ
ąk"lą ąi"l
6 4 2 2
prowadzi do wartości stałych c i d:
6 EJ
c= "śąąiąąkźąą12 EJ "śąąi-ąkźą
l2 l3
EJ EJ l 6 EJ
d = ąk- ąi- " "śąąiąąkźąą12 EJ "śąąi-ąkźą
[ ]
l l 2
l2 l3
2 EJ 4 EJ
d =- ąk- ąi-6 EJ "śąąi-ąkźą
l l
l2
Równanie osi odkształconej pręta obustronnie utwierdzonego poddanego przemieszczeniu węzłów
podporowych wyraża się funkcją:
3 2
6 EJ 2 EJ 6 EJ
EJ wśą xźą= "śąąiąąkźąą12 EJ "śąąi-ąkźą "x ą - śąąką2ąiźą- "śąąi-ąkźą "x ąEJ ąi xąEJ ąi
[ ] [ ]
6 l 2
l2 l3 l2
3 2
2"śąą 3"śąą
wśą xźą= śąąiąąkźąą -ąkźą "x2 ą -śąąką2ąiźą- -ąkźą "x ąąi"xąąi
i i
[ ] [ ]
l l l
l
1.4. Belka utwierdzona jednostronnie
Rozpatrzmy belkę utwierdzoną z jednej strony (rys. 1.11), której podpory ulegają przemieszczeniom Ć ,
i
" , " . Poniższy przykład rozwiążemy dwoma metodami: metodą sił (analogicznie do punktu 1.2) oraz
i k
korzystając z gotowych wyników otrzymanych w punkcie 1.2 (przyjmując odpowiednie warunki brzegowe).
Ći
k
i
"i
l
"k
Rys. 1.11. Schemat belki jednostronnie utwierdzonej
Dobra D., Dziakiewicz A., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEC 9
Metoda I metoda sił
Zgodnie z zasadami metody sił przyjmujemy układ podstawowy
Ći
X1
k
i
"i
l
"k
Rys. 1.12. Układ podstawowy
w którym przemieszczenie po kierunku zwolnionego więzu musi być równe zero ( = 0). Wynikające z tego
1
warunku równanie kanonicznych będzie miało następującą postać:
ą11"X ąą1 ą=0
(1.17)
1
Aby obliczyć współczynniki równania narysujemy wykresy momentów w stanie X = 1 (analogicznie jak na
1
rys. 1.7).
X1=1
k
H = 0
1
1
i
l
l
l
M1[-]
1
Rys. 1.13. Reakcje i momenty zginające w stanie X = 1
1
i wyznaczamy wartości przemieszczeń:
1 1"1 "l"2"1 = l
ą11= "
śą źą
EJ 2 3 3 EJ
1"ą 1"ą
ą1 ą=-ąi- ą =-ąiąąik
i k
l l
Po podstawieniu otrzymanych wyników do równania kanonicznego (1.17)
l
"X ąśąąik-ąiźą=0
1
3 EJ
Dobra D., Dziakiewicz A., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEC 10
uzyskujemy wartość nadliczbowej siły
3 EJ
X = "śąąi-ąik źą (1.18)
1
l
Niewiadoma X jest reakcją podporową, której wartość odpowiada wewnętrznej sile przywęzłowej
1
X =M
1 ik
M
to przęsłowy, przywęzłowy moment zginający w przekroju i. Natomiast przęsłowy, przywęzłowy
ik
moment zginający w przekroju k jest równy zero (przegub).
M =0
ki
Obliczmy wartości reakcji R i R .
i k
3 EJ
M =0 ! "śąąi-ąik źąąRi"l=0
"
k
l
Ri=-3 EJ "śąąi-ąik źą
(1.19)
l2
Rk=-3 EJ "śąąi-ąik źą
(1.20)
l2
które pokrywają się z wartościami sił tnących (przęsłowych, przywęzłowych)
T =T =-3 EJ "śąąi-ąik źą
(1.21)
ik ki
l2
Znając wartość nadliczbowej X możemy narysować wykres rzeczywistych sił wewnętrznych.
1
3EJ
X1= (Ćik-ik)
l
k
H=0
i
Ri
RK
l
M[kNm]
Mik
T[kN]
- Tik=Tki=- 3EJ (Ći-ik)
l2
Rys. 1.14. Wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych dla belki utwierdzonej z jednej strony,
obciążonej przemieszczeniami Ć , " , "
i i k
Dobra D., Dziakiewicz A., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEC 11
Metoda II
W tej metodzie wzory (1.12), (1.13) potraktujemy jako uniwersalne i po podstawieniu odpowiednich
warunków brzegowych wyprowadzimy wzory transformacyjne dla rozpatrywanego przypadku.
Wiemy, że dla belki (rys. 1.11) utwierdzonej z lewej strony i podpartej prętem ze strony prawej moment
przęsłowy, przywęzłowy M = 0, a zatem na podstawie równania (1.12) możemy zapisać:
ki
2 EJ
M = "śąąią2 ąk-3ąik źą=0 (1.22)
ki
l
Z równania tego wyznaczamy funkcję kąta obrotu Ć
k
ąią2 ąk-3ąik=0
3ąik-ąi
ąk= (1.23)
2
Po podstawieniu funkcji Ć do równań (1.12), (1.13) otrzymujemy komplet wzorów transformacyjnych dla
k
belki jednostronnie utwierdzonej (utwierdzenie z lewej strony):
3ąik-ąi
2 EJ 3 EJ
M = " 2ąią -3ąik = "śąąi-ąik źą (1.24)
ik
śą źą
l 2 l
M =0
(1.25)
ki
3ąik-ąi
T =T =-6 EJ " ąią -2 ąik =-3 EJ "śąąi-ąik źą (1.26)
ki ik
śą źą
2
l2 l2
Dla belki o podobnych podporach (rys.1.15) jednak ułożonych przeciwnie, czyli będącej lustrzanym
odbiciem układu z rys. 1.11 można zapisać gotowe wzory transformacyjne.
Ćk
k
i
"i
l
"k
Rys. 1.15. Schemat belki utwierdzonej z prawej strony
M =0
(1.27)
ik
3 EJ
M = "śąąk-ąik źą (1.28)
ki
l
T =T =-3 EJ " ąk-ąik
śą źą (1.29)
ki ik
l2
Dobra D., Dziakiewicz A., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEC 12
1.5. Belka obustronnie utwierdzona z przesuwem
Rozpatrzmy belkę o schemacie przedstawionym na rys. 1.16, której podpory doznają przemieszczeń Ć ,
i
Ć . Przemieszczenie pionowe podpory i o " spowoduje ruch całej belki i nie wywoła sił wewnętrznych, dlatego
k i
ten wpływ pomijamy. Poniższy przykład taj jak poprzednio rozwiążemy dwoma metodami.
Ći
Ćk
k
i
l
Rys. 1.16. Schemat belki utwierdzonej z przesuwem
Metoda I metoda sił
Przyjmujemy układ podstawowy.
Ćk
Ći
X1
k
i
X2
l
Rys. 1.17. Układ podstawowy
i zapisujemy równanie kanoniczne (nie uwzględniamy sił normalnych):
ą1 =ą11"X ąą1 ą=0
(1.30)
1
Aby obliczyć współczynniki równania rysujemy wykres momentów w stanie X = 1.
1
i
H = 0
X1=1
Mi=1
k
Ri=0
l
M1[-]
1
Rys. 1.18. Reakcje i momenty zginające w stanie X = 1
1
Obliczamy współczynniki równania kanonicznego.
Dobra D., Dziakiewicz A., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEC 13
1 l
ą11= "śą1 "l"1źą=
EJ EJ
ą1 ą=-ąkąąi
Po podstawieniu otrzymanych wyników do równania (1.30)
l
"X ąśąąi-ąkźą=0 (1.31)
1
EJ
Otrzymujemy wartości nadliczbowej siły:
EJ
X = "śą-ąiąąkźą (1.32)
1
l
Reakcja w podporze odpowiada momentowi zginającemu w przekroju podporowym:
EJ
M = X = "śą-ąiąąkźą
ki 1
l
M
to przęsłowy, przywęzłowy moment zginający w przekroju k. Natomiast przęsłowy, przywęzłowy
ki
moment zginający w przekroju i wynosi.
EJ
M =-X = "śąąi-ąkźą
ik i
l
Siła tnąca przy braku obciążeń zewnętrznych jest równa reakcji
T =T =Ri=0
(1.33)
ik ki
Na koniec rysujemy wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych.
i
EJ
X1= (-Ći+Ćk)
l
k
Mi= EJ (-Ći+Ćk)
l
l
M[kNm]
EJ EJ
Mi k= (Ći-Ćk) Mk i= (-Ći+Ćk)
l l
T[kN]
0
Rys. 1.19. Wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych dla belki obustronnie utwierdzonej,
obciążonej przemieszczeniami Ć , Ć
i k
Dobra D., Dziakiewicz A., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEC 14
Metoda II
Wykorzystujemy wzory (1.12), (1.13) (traktujemy je jako uniwersalne) i podstawiamy odpowiednie
warunki brzegowe. W ten sposób otrzymujemy wzory transformacyjne dla rozpatrywanego przypadku.
Wiemy, że dla belki przedstawionej na rys. 1.16 siły tnące T = T = 0, a zatem na podstawie
ki ik
równania (1.13) możemy zapisać:
T =-6 EJ "śąąiąąk-2ąik źą=0
(1.34)
ik
l2
Z równania (1.34) wyliczamy
ik
ąiąąk-2ąik=0
(1.35)
ąiąąk
ąik= (1.36)
2
Jeśli podstawimy do równań (1.12), to otrzymamy komplet wzorów transformacyjnych:
ik
ąiąąk EJ
2 EJ
M = " 2ąiąąk-3 " = " ąi-ąk (1.37)
śą źą
ik
śą źą
l 2 l
3 "ąiąąk EJ
2 EJ
M = " ąią2 ąk- = " -ąiąąk (1.38)
śą źą
ki
śą źą
l 2 l
T =T =0
(1.39)
ik ki
Dla belki o schemacie podanym na rys. 1.20 (lustrzane odbicie do rys. 1.16) wzory transformacyjne są takie
same jak w powyższym przykładzie.
Ći
Ćk
k
i
l
X1= EJ (Ći-Ćk)
l
k
EJ
Mk= (Ći-Ćk)
i
l
M[kNm]
EJ
Mk i= (Ćk-Ći)
Mi k= EJ (Ći-Ćk)
l
l
T[kN]
0
Rys. 1.20. Schemat belki
Dobra D., Dziakiewicz A., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEC 15
Wyniki rozważań zestawiono w tabeli 1.1. Podano wartości przywęzłowych sił wewnętrznych w
zależności od sposobu podparcia belki wywołane jednostkowymi przemieszczeniami węzłów podporowych.
Natomiast w tabeli 1.2 zestawiono wykresy sił wewnętrznych (przywęzłowych) dla trzech schematów belek od
obciążeń zewnętrznych (przęsłowych).
Uwaga: w tabelach narysowane są wykresy momentów zginających po inżyniersku , tzn. wykres po stronie
włókien rozciąganych. Natomiast ich wartości podano zgodnie z zasadami metody przemieszczeń, tzn.
momenty dodatnie działają zgodnie z ruchem wskazówek zegara (prawoskrętnie).
Tabela 1.1. Wykresy momentów zginających i sił poprzecznych od jednostkowych przemieszczeń podporowych
Schemat belki M T
Ći=1
2EJ
EJ
4EJ l
k
i 6EJ 6EJ
- -
l
l l
l
Ćk=1
EJ
4EJ
k
i 6EJ 6EJ
l
2EJ
- -
l l
l
l
EJ
6EJ
k
i
"i=1 l2 -12EJ
6EJ -12EJ
l3
l3
l l2
EJ
k
6EJ
i
-
12EJ 12EJ
l2
"k=1 6EJ l3
l3
-
l
l2
Ći=1
EJ
3EJ 3EJ
k
3EJ
i
l2 l2
l
l
EJ
i
3EJ 3EJ
"i=1
3EJ
l3
l3
l2
l
EJ
k
i
-3EJ
3EJ 3EJ
- -
l2
"k=1
l3
l3
l
Dobra D., Dziakiewicz A., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEC 16
Schemat belki M T
Ći=1
EJ
EJ EJ
0
-
i k
l
l
l
Ćk=1
EJ EJ
-
EJ
0
l
l
i k
l
Tabela 1.2. Wykresy momentów zginających i sił poprzecznych od przęsłowych obciążeń
Schemat belki M T
P
-Pl Pl
P
+
8
8
2
l l
P
Pl
-
2 2
2
8
q
ql2
ql2 ql +
-
2
- ql
12
12
l
2
M
M
-
- 3M - 3M
M
4
2l 2l
l l
4
2 2
P
-3Pl
11P
+
16
0 16
5P
l l
-
16
2 2
q
5ql
ql2
-
+
8
8
0
3ql
-
l
8
M
7M
16
0
9M 9M
M
- -
-
9M
8l 8l
8
l l
16
2 2
Dobra D., Dziakiewicz A., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEC 17
Schemat belki M T
P
-3Pl
8
P +
l
l -Pl
2
2 8
q
ql2
-
ql
3
2
+
- ql
l
6
M
M
2
0
M
l l
2
2 2
l
2 2
Pl'
-Pl'
x
2
-P (3-2)
P
+
x l-x
2
-
= '= P' (1+-2 )
l l
l
x
M
M' (2-3' )
6M'
6M'
-
x l-x
l
l
= '= M(2-3)
l l
Dobra D., Dziakiewicz A., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
01 45 ABS EDS Bosch 5 0fiszki 01 45 i 46t informatyk12[01] 02 101r11 012570 01introligators4[02] z2 01 nBiuletyn 01 12 2014beetelvoiceXL?? 01012007 01 Web Building the Aptana Free Developer Environment for Ajax9 01 07 drzewa binarneTosnuc 600M VMC 45 M442 81 3więcej podobnych podstron