ANALIZA 1A Wykład: J. Wróblewski
KOLOKWIUM nr 2, zestaw A, 24.10.2006
Zadanie 3.
Dowieść, że dla dowolnej liczby całkowitej nieujemnej n zachodzi równość
1 2 4 8 16 2n 1 2n+1
+ + + + +...+ = - . (")
n n+1
5 17 44 +1 48 +1 416 +1 42 +1 3 42 -1
RozwiÄ…zanie:
1ć% Dla n = 0 dana w zadaniu równość przyjmuje postać
1 1 21
= - .
1
5 3 42 -1
Lewa strona równości jest równa 1/5, natomiast prawa ma wartość
1 2 1 2 5-2 3 1
- = - = = = .
3 42 -1 3 15 15 15 5
Dowodzona równość została więc sprawdzona dla n = 0.
2ć% Niech teraz n będzie liczbą całkowitą nieujemną, dla której zachodzi (").
Wykażemy, że wówczas
1 2 4 8 16 2n 2n+1 1 2n+2
+ + + + +...+ + = - . ("")
n n+1 n+2
5 17 44 +1 48 +1 416 +1 42 +1 42 +1 3 42 -1
Korzystając z równości (") zapisujemy lewą stronę równości ("") w postaci

n+1 n+1
-2n+1 42 +1 +2n+1 42 -1
1 2n+1 2n+1 1
- + = + =
n+1 n+1 n+1 n+1
3 42 -1 42 +1 3 (42 -1)(42 +1)
n+1 n+1
1 -2n+1 ·42 -2n+1 +2n+1 ·42 -2n+1 1 -2·2n+1 1 2n+2
= + = + = - ,
n+1 n+2
n+1
3 3 42·2 -1 3 42 -1
(42 )2 -1
co jest równe prawej stronie równości ("").
3ć% Na mocy zasady indukcji matematycznej równość (") jest prawdziwa dla dowolnej
liczby całkowitej nieujemnej n.
1
Zadanie 4.
W każdym z czterech poniższych zadań udziel czterech niezależnych odpowiedzi
TAK/NIE.
Za każde zadanie, w którym podasz cztery poprawne odpowiedzi, otrzymasz 1 punkt.
Za pozostałe zadania nie otrzymasz punktów.
WyjÄ…tki:
Za udzielenie 15 poprawnych odpowiedzi otrzymasz 4 punkty.
Za udzielenie poprawnych odpowiedzi we wszystkich 16 podpunktach otrzymasz 5 punk-
tów.
4.1 Czy prawdziwa jest równość
2
" "
a) 2-1 = 2-1 TAK
2
" "
b) 1- 2 = 1- 2 NIE
2
" "
c) 3- 8 = 3- 8 TAK
2
" "
d) 8-3 = 8-3 NIE
4.2 O zdaniu T (n) wiadomo, że prawdziwe jest T (1), a ponadto dla każdej liczby
naturalnej n zachodzi implikacja T (n) Ò! T (n+10). Czy stÄ…d wynika, że prawdziwa jest
implikacja
a) T (53) Ò! T (93) TAK
b) T (52) Ò! T (91) TAK
c) T (54) Ò! T (92) NIE
d) T (51) Ò! T (94) NIE

n n
4.3 Czy równość = 2· jest prawdziwa dla
k +1 k
a) n = 20, k = 6 TAK
b) n = 21, k = 6 NIE
c) n = 22, k = 7 NIE
d) n = 23, k = 7 TAK
(n+2)!
4.4 Czy liczba jest podzielna przez 12 dla
n!
a) n = 41 NIE
b) n = 42 NIE
c) n = 43 TAK
d) n = 44 NIE
2


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
kolokwium12 2006a
kolokwium8 2006a
kolokwium9 2006a
kolokwium6 2006a
kolokwium5 2006a
Przykladowe kolokwium 2
Kolokwium 3 2015
kolokwium 1 BO przyklad
kolokwium zaliczeniowe

więcej podobnych podstron