wykl teoria sprezystosci 06 plaskie zadania

WYKA ADY Z TEORII SPRŻYSTOŚ CI 1
PAASKIE ZADANIA TEORII SPRŻYSTOŚCI
Olga Kopacz, Krzysztof Krawczyk, Adam Aodygowski,
Michał Płotkowiak, Agnieszka Świtek, Krzysztof Tymper
Konsultacje naukowe: prof. dr hab. JERZY RAKOWSKI
Poznań 2002/2003
TEORIA SPRŻYSTOŚCI 6
PAASKIE ZADANIA TEORII SPRŻYSTOŚCI
6.1. Płaski stan naprężenia
Płaski stan naprężenia zachodzi wówczas, gdy w każdym punkcie
ośrodka na wszystkich płaszczyznach o tym samym wektorze normalnym
składowe wektora naprężenia na jednej z płaszczyzn (i=3) są równe zeru.
Jeśli przyjmiemy, że płaszczyzny te są prostopadłe do osi x3, to
naprężenia �3i są tak małe, że można przyjąć je jako zerowe, a pozostałe
składowe tensora naprężenia nie zależą od x3. Również składniki sił
masowych wewnętrznych p3 przyjmujemy jako zerowe. Przykładem
takiego stanu jest stan naprężenia w cienkiej tarczy obciążonej siłami
leżącymi w płaszczyznie tarczy i równomiernie rozłożonymi na jej
grubości (np. ściana budynku). Tensor naprężenia ma zatem postać:
�11 �12 0
�ł łł
�ł�
T� = � 0śł
(6.1)
21 22
�ł śł
�ł śł
0 0 0�ł
�ł
Towarzyszący mu tensor odkształceń wygląda następująco:
�11 �12 0
�ł łł
�ł� śł
T� = �22 0
(6.2)
21
�ł śł
�ł śł
0 0 �33�ł
�ł
Niezerowa wartość �33 wynika ze wzoru na odkształcenia towarzyszące
naprężeniom:
�
�33 = - (�11 +� )
(6.3)
22
E
Politechnika Poznańska� Kopacz, Krawczyk, Aodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
WYKA ADY Z TEORII SPRŻYSTOŚ CI 2
PAASKIE ZADANIA TEORII SPRŻYSTOŚCI
Korzystając z wzorów na �ij (których w tym przypadku jest 3) i na �ij
(których jest 4) otrzymamy układ 9 równań, z których po redukcji
niewiadomych można wyprowadzić wzory opisujące płaski stan
naprężenia w przemieszczeniach i w naprężeniach.
PSN w przemieszczeniach:
Dane są równania Lamego (dla 3D):
�"2ui + ( + �)Ń,i + pi = 0
(6.4)
oraz związki fizyczne:
� = 2��ij + �ij�kk
(6.5)
ij
i geometryczne:
1
�ij = (ui, j + u )
(6.6)
j,i
2
Przyjmujemy i = j = 3 (�33 = 0)
2� �"u3,3 + (u1,1 + u2,2 + u3,3)= 0
(6.7)
Z tego:

u3,3 = - (u1,1 + u2,2)
(6.8)
+ 2�
Dla: i = 1, j = 1 �13 = 0, �13 = 0
i = 2, j = 3 �23 = 0, �23 = 0
co oznacza, że
dla i = 1,2
ui,3 + u3,i = 0
(6.9)
ui,3 = -u3,i
Politechnika Poznańska� Kopacz, Krawczyk, Aodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
WYKA ADY Z TEORII SPRŻYSTOŚ CI 3
PAASKIE ZADANIA TEORII SPRŻYSTOŚCI
(6.9) różniczkujemy po x3
ui,33 = -u3,i3 = -u3,3i
(6.10)
(6.8) różniczkujemy po xi

u3,3i = - (u1,1i + u2,2i)
(6.11)
+ 2�
Po podstawieniu (6.10) do (6.11) otrzymamy:

2
ui,33 = Ń,i
(6.12)
+ 2�
Gdzie:
2
Ń = �11 + �22 = u1,1 + u2,2
(6.13)
Wprowadzając operator Laplace a w przestrzeni dwuwymiarowej
"2 "2
"2 = +
(6.14)
2 2
"x1 "x2
Równanie Lamego można zapisać następująco:
2
�("2ui + ui,33)+ ( + �)(Ń,i + u3,3i)+ pi = 0
(6.15)
Po podstawieniu (6.10) i (6.11) do (6.15) uzyskamy:
�ł
2 2 �ł
�"2ui + � +Ń,i + ( + �)Ń,i + ( + �)�ł- �ł + pi = 0
�ł �ł
(6.16)
+ 2� + 2�
�ł łł
Czyli:
�ł 2 �ł 1
"2ui + �ł1+ �łŃ,i + pi = 0
(6.17)
�ł �ł
+ 2� �
�ł łł
Politechnika Poznańska� Kopacz, Krawczyk, Aodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
WYKA ADY Z TEORII SPRŻYSTOŚ CI 4
PAASKIE ZADANIA TEORII SPRŻYSTOŚCI
Wiemy, że
� = G
2� (6.18)
= G
1- 2�
Więc równanie (6.17) uzyskuje postać:
1+� 1
"2ui + Ń,i2 + pi = 0, i =1,2
(6.19)
1-� G
PSN w naprężeniach:
Równania dla stanu trójosiowego:
1 �
"2� + S,ij = - �ij pk ,k -(pi, j + p )
(6.20)
ij j,i
1+� 1-�
Gdzie:
S = � = �11 +� +�
(6.21)
ii 22 33
Dla i = j mamy:
1 3�
"2S + S,kk = - �pk ,k - 2 pk ,k
(6.22)
1+� 1-�
Czyli
1+�
"2S = - pk ,k
(6.23)
1-�
Bo
S,kk = "2S
(6.24)
Politechnika Poznańska� Kopacz, Krawczyk, Aodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
WYKA ADY Z TEORII SPRŻYSTOŚ CI 5
PAASKIE ZADANIA TEORII SPRŻYSTOŚCI
Dla i = j = 3
1 "2S � "p3
"2� + = - pk ,k - 2
(6.25)
33
2
1+� "x3 1-� "x3
Co wobec
� = 0
33
p3 = 0
(6.26)
"p3
= 0
"x3
Można zapisać:
"2S �(1+� )
= - pk ,k
(6.27)
2
"x3 1-�
Wprowadzmy oznaczenie
2
S = �11 +�12
(6.28)
Do równania (6.23) i połączmy je z (6.27)
"2S 1+�
2
"2S + = - pk ,k
(6.29)
2
"x3 1-�
Otrzymamy:
�ł- 1+� �(1+� )�ł pk
�ł
2
"2S = +
�ł (6.30)
,k
1-� 1-�
�ł łł
Czyli ostatecznie:
2
"2S = -(1+� )pk ,k dla i, j =1,2
(6.31)
Politechnika Poznańska� Kopacz, Krawczyk, Aodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
WYKA ADY Z TEORII SPRŻYSTOŚ CI 6
PAASKIE ZADANIA TEORII SPRŻYSTOŚCI
Po rozpisaniu równanie (6.31) przyjmie postać:
�ł
"2(�11 +� )+ "2(�11 +� ) "p2 �ł
22 22
�ł
= -(1+� )�ł "p1 +
(6.32)
2 2
�ł
"x1 "x2 "x1 "x2 �ł
�ł łł
Równanie (6.32) zawiera 2 niewiadome. Aby je wyznaczyć posługujemy się
dodatkowo równaniami równowagi Naviera
� + pi = 0
ji, j
(6.33)
� = �
ij ji
które po rozpisaniu przyjmują postać
"�11 "�
21
+ + p1 = 0
"x1 "x2
(6.34)
"�12 "�
22
+ + p2 = 0
"x1 "x2
Ostatecznie mamy układ 3 równań z 3 niewiadomymi �11, �12 i �22.
6.2. Płaski stan odkształcenia
Płaski stan odkształcenia zachodzi wówczas, gdy w każdym punkcie ośrodka
ciągłego �i3 = 0, a pozostałe współrzędne tensora odkształcenia zależą tylko od
zmiennych x1 i x2. Tensor opisujący taki stan ma tylko 4 składowe:
�11 �12 0
�ł łł
�ł�
T� = �22 0śł
(6.35)
21
�ł śł
�ł śł
0 0 0�ł
�ł
Tensor naprężenia przybiera natomiast postać:
�11 �12 0
�ł łł
�ł� śł
T� = � 0
(6.36)
21 22
�ł śł
�ł śł
0 0 �
�ł 33 �ł
Politechnika Poznańska� Kopacz, Krawczyk, Aodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
WYKA ADY Z TEORII SPRŻYSTOŚ CI 7
PAASKIE ZADANIA TEORII SPRŻYSTOŚCI
�33 `" 0 wynika z przekształcenia wzoru na odkształcenia towarzyszące
naprężeniom:
1
�33 = [� -�(�11 +� )]
33 22
E
(6.37)
�33 = 0
� =�(�11 +� )
33 22
W takim stanie odkształcenia znajduje się np. zapora wodna, w której jeden
wymiar jest zdecydowanie większy od pozostałych i obciążenie skierowane jest
prostopadle do tego wymiaru
Rys. 1. Zapora wodna jako przykład płaskiego stanu odkształcenia
Równania równowagi dla PSO w przemieszczeniach:
Wykorzystamy wprost równania Lamego pomijając trzecie równanie (i = 3)
(wobec �33 = 0 przyjmujemy, że u3 = 0) oraz zakładamy, że u1 i u2 są funkcjami
zmiennych x1 i x2 i nie zależą od x3. Otrzymamy:
1 1
2
"2ui + Ń,i + pi = 0 i =1,2
(6.38)
1- 2� G
Równania równowagi dla PSO w naprężeniach:
Politechnika Poznańska� Kopacz, Krawczyk, Aodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
WYKA ADY Z TEORII SPRŻYSTOŚ CI 8
PAASKIE ZADANIA TEORII SPRŻYSTOŚCI
Równania Beltramiego Mitchela dla i = j = 3 (p3 = 0):
1 "2S �
"2� = - - pk ,k
(6.39)
33
2
1+� "x3 1-�
2
"2S = "2(�11 +� )+ "2� = "2S + "2�
22 33 33
(6.40)
"2
2 2
"2S = "2S + (�11 +� )
22
2
"x3
Z zależności �33 = 0 otrzymujemy
2
� =�(�11 +� )=�S
(6.41)
33 22
Równanie (6.23); po podstawieniu do niego (6.39) i (6.40) przyjmie postać:
"2 1 "2
2
"2S + (�11 +� )- [�11 +� +�(�11 +� )]-
22 22 22
2 2
"x3 1+� "x3
(6.42)
� 1+�
- = - pk ,k
1-� 1-�
Po redukcji wyrazów podobnych otrzymamy:
1
2
"2S = - pk ,k
1-�
(6.43)
"p1 "p2
pk ,k = +
"x1 "x2
Uogólniony płaski stan odkształcenia:
"u3
�33 = = 0
"x3
(6.44)
u3 = u3(x1, x2 ) `" 0
Politechnika Poznańska� Kopacz, Krawczyk, Aodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
WYKA ADY Z TEORII SPRŻYSTOŚ CI 9
PAASKIE ZADANIA TEORII SPRŻYSTOŚCI
6.3. Algorytm rozwiązywania zadań w płaskim stanie w teorii
sprężystości
W naprężeniach:
1)
2
"2S = -(1+� )pk ,k
(6.45)
Równania Naviera:
2)
"�11 "�
21
+ + p1 = 0
(6.46)
"x1 "x2
3)
"�12 "�
22
+ + p2 = 0
(6.47)
"x1 "x2
Związki fizyczne:
4)
1
�11 = (�11 -�� )
22
E
1
�22 = (� -��11)
22
E
(6.48)
�
�33 = - (�11 +� )
22
E
�
ij
�ij = dla i `" j
2G
Znając �ij wyznaczymy ui ze wzoru:
1
�ij = (ui, j + u )
(6.49)
j,i
2
Następnie stwórzmy macierz fizyczną:
Politechnika Poznańska� Kopacz, Krawczyk, Aodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
WYKA ADY Z TEORII SPRŻYSTOŚ CI 10
PAASKIE ZADANIA TEORII SPRŻYSTOŚCI
1 � 0
�ł łł
E
�ł� śł
D = �" 1 0
(6.50)
2
�ł śł
1-�
�ł
�ł0 0 1-� śł
�ł
Wyznaczmy macierz odwrotną do niej:
1
�ł -� 0
łł
1
�ł-� 1 0 śł
D-1 = �"
(6.51)
�ł śł
E
�ł śł
0 0 1-�
�ł �ł
Naprężenia można wyrazić wzorem:
� = D�"� (6.52)
Natomiast odkształcenia:
(6.53)
� = D-1 �"�
W odkształceniach:
1)
1
2
"2S = - pk ,k
(6.54)
1-�
2)
"�11 "�
21
+ + p1 = 0
(6.55)
"x1 "x2
3)
"�12 "�
22
+ + p2 = 0
(6.56)
"x1 "x2
� =�(�11 +� )
(6.57)
33 22
Politechnika Poznańska� Kopacz, Krawczyk, Aodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
WYKA ADY Z TEORII SPRŻYSTOŚ CI 11
PAASKIE ZADANIA TEORII SPRŻYSTOŚCI
4) Związki fizyczne
1+�
�11 = [(1-� )�11 -�� ]
22
E
1+�
�22 = [(1-� )� -��11]
22
E
(6.58)
�33 = 0
�
ij
�ij = dla i `" j
2G
Macierz fizyczna:
1-� � 0
�ł łł
E
�ł śł
D =
(6.59)
(1+� )(1- 2� )�" �ł � -�1 0 śł
�ł śł
0 0 1- 2�
�ł �ł
Macierz odwrotna:
1-�
�ł -� 0
łł
1+�
�ł
D-1 = �" -� 1-� 0śł
(6.60)
�ł śł
E
�ł śł
0 0 1�ł
�ł
Naprężenia można wyrazić wzorem:
� = D�"� (6.61)
Natomiast odkształcenia:
(6.62)
� = D-1 �"�
Politechnika Poznańska� Kopacz, Krawczyk, Aodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
WYKA ADY Z TEORII SPRŻYSTOŚ CI 12
PAASKIE ZADANIA TEORII SPRŻYSTOŚCI
6.4. Zasada de Saint-Venanta:
Aby rozwiązać równania różniczkowe teorii sprężystości musimy mieć warunki
brzegowe wyrażone w �, � i u. W praktycznych zadaniach warunki brzegowe
często określa siła skupiona. Aby przejść od siły do naprężeń stosujemy zasadę
de Saint-Venanta, która brzmi następująco:
Jeśli dany układ sił działających na niewielki obszar ciała sprężystego
(będącego w stanie równowagi) zastąpimy innym układem statycznie
równoważnym i działającym bezpośrednio na ten obszar, to w odległości od
obszaru przewyższającej znacznie jego rozmiary powstają jednakowe stany
naprężenia, odkształcenia i przemieszczenia.
� =
Rys.2. Ilustracja graficzna zasady de Saint-Venanta
Politechnika Poznańska� Kopacz, Krawczyk, Aodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
WYKA ADY Z TEORII SPRŻYSTOŚ CI 13
PAASKIE ZADANIA TEORII SPRŻYSTOŚCI
6.5. Rozwiązywanie zadań płaskich teorii sprężystości
Funkcja naprężeń Airy ego
Rozwiążmy równanie jednorodne (postać ta jest identyczna dla PSN i PSO)
2 (6.63)
"2S = 0
Przyjmijmy oznaczenia:
�11 = �x, �22 = �y, �12 = �21 = �xy = �yx
Rys. 3. Obciążenia masowe działające na ciało
Rozważamy ciało obciążone tylko siłami masowymi (p1 = 0, p2 = -g, )
znak - wynika z przeciwnego zwrotu sił masowych w stosunku do osi y
Szukamy: �x, �y, �xy
Załóżmy istnienie funkcji F(x,y), takiej, że:
"2F "2F "2F
� = , � = , � = - + gx
(6.64)
x
"y2 y "x2 xy "x"y
Funkcja ta musi spełniać warunki równań podane w PSN
"2(� +� )+ "2(� +� )= -(1+� )pk
x y x y
2
"2S =
(6.65)
,k
"x2 "y2
Oraz podane w PSO:
Politechnika Poznańska� Kopacz, Krawczyk, Aodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
WYKA ADY Z TEORII SPRŻYSTOŚ CI 14
PAASKIE ZADANIA TEORII SPRŻYSTOŚCI
"2(� +� )+ "2(� +� )= - pk
1
x y x y
2
"2S =
(6.66)
,k
"x2 "y2 1-�
Aby obydwa warunki były spełnione jednocześnie musi zachodzić:
"p1 "p2 "p1 "p2
pk ,k = + = + = 0
(6.67)
"x1 "x2 "x "y
�ł �ł�ł �ł
"2 "2 �ł�ł "2F "2F
�ł
�ł + + = "4F = 0
(6.68)
�ł
"x2 "y2 �ł�ł "x2 "y2 �ł
�ł łł�ł łł
Równanie (6.68) oznacza, że funkcja F(x,y) jest funkcją biharmoniczną.
Warunki równowagi:
"�
"�
xy
x
+ + 0 = 0
"x "y
(6.69)
"� "�
xy y
+ +(- g)= 0
"x "y
Podstawiając (6.64) do (6.69) otrzymamy:
�ł �ł
"3F "3F
�ł
+ �ł- + 0�ł = 0
�ł
"x"y "x"y2 łł
�ł
(6.70)
"3F "3F
- + g + - g = 0
"x2"y "x2"y
Z powyższego widać, że wszystkie warunki są spełnione.
Politechnika Poznańska� Kopacz, Krawczyk, Aodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
WYKA ADY Z TEORII SPRŻYSTOŚ CI 15
PAASKIE ZADANIA TEORII SPRŻYSTOŚCI
Przykład zastosowania funkcji Air ego
Rys. 4. Płaska tarcza z określonymi warunkami brzegowymi ilustracja zadania
Naszym zadaniem jest określić stan naprężenia w dowolnym punkcie tarczy.
Rozwiązanie:
Przyjmiemy funkcje F(x,y) w postaci:
F(x, y)= Ax2 + Bxy + Cy2 (6.71)
Funkcja jest biharmoniczna, więc spełnia warunki PSN i PSO.
Wyznaczmy naprężenia:
"2F
� = = 2C
x
"y2
"2F
� = = 2A (6.72)
y
"x2
"2F
� = - + gx = -B + 0
xy
"x"y
Politechnika Poznańska� Kopacz, Krawczyk, Aodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
WYKA ADY Z TEORII SPRŻYSTOŚ CI 16
PAASKIE ZADANIA TEORII SPRŻYSTOŚCI
gx = 0, jako że nie podano ciężaru tarczy.
Warunki brzegowe:
x = ąl �! � = px = 2C
x
px
C =
2
y = ąh �! � = py = 2A
y (6.73)
py
A =
2
B = -q
Po podstawieniu do równań (6.72) otrzymamy ostateczny wynik wzory na
naprężenia w dowolnym punkcie tarczy:
� = px
x
� = py
y (6.74)
� = q
xy
Politechnika Poznańska� Kopacz, Krawczyk, Aodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
wykl teoria sprezystosci teoria plyt cienkosciennych
wykl teoria sprezystosci teoria cienkich plyt i powlok
wykl teoria sprezystosci wprowadzenie
wykl teoria sprezystosci teoria plastycznosci
wykl teoria sprezystosci stan odksztalcenia
Zadania teoria sprezystosci 1
Prezentacja Teoria Sprężystości i Plastyczności
Teoria Sprężystości i Plastyczności (1)
Teoria Sprężystości i Plastyczności (1)
Sprawozdanie teoria sprężystości
Teoria Dystrybucji Glowacki Zadania p7
Teoria sprężystości i plastyczności

więcej podobnych podstron