Kolokwium z rachunku prawdopodobieństwa dla WNE,
19 XII 2003, 08:00, B
1. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości
g(x) =C · x2e-x · 1(0,")(x).
a) Wyznaczyć stałą C (czy stała C da się otrzymać jako produkt uboczny
innych rachunków w tym zadaniu?)
1
b) Wykazać, że funkcją tworzącą momenty dla X jest MX(t) = , gdzie
(1-t)3
t <1.
c) wyznaczyć wszystkie momenty X, tj. EXn dla n =1, 2, ...
d) obliczyć Á(-X, X +1).
e) wyznaczyć gęstość dla zm. los. -2X.
2. W pewnym kraju płaca roczna ma rozkład o gęstości
g(x) =C(1000 - x) · 1(0,1000)(x).
a) Wyznaczyć stałą C.
b) Obliczyć średnią płacę.
c) Król podwyższył do 100 talarów płace wszystkim tym, którzy zarabiali
mniej niż 100 talarów. O ile wzrosła średnia płaca?
d) Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany poddany dostanie
podwyżkę?
e) Czy płaca ma nadal rozkład ciągły?
3*. Ania i Bartek obserwują ciąg rzutów (niekoniecznie symetryczną) mo-
netą. Ania wygra, jeśli ciąg OO pojawi się przed RO, w przeciwnym razie wygra
Bartek. Jakie sÄ… szanse wygranej dla obu graczy?
RozwiÄ…zania
1. a) Ponieważ g jest gęstością, musi być

" "
1 = g(x)dx = C x2e-xdx = C · “(3) = 2C,
-" 0
1
zatem C = .
2
Ten szybki sposób wymaga znajomości funkcji gamma, zdefiniowanej tak:

"
“(a) = xa-1e-xdx, a > 0,
0
a także jej podstawowych wÅ‚asnoÅ›ci, czyli wzoru “(a) =(a - 1)“(a - 1), który
otrzymujemy caÅ‚kujÄ…c przez części. Z niego wÅ‚aÅ›nie wynika, że “(n) =(n - 1)!
dla n =1, 2, . . .
1
Można oczywiście obliczyć całkę z gęstości całkując dwukrotnie przez części,
albo zauważyć, że jest ona równa EZ2, gdzie Z ma rozkład wykładniczy z
parametrem 1. Wtedy EZ =1, D2Z =1, zatemEZ2 = D2Z +(EZ)2 =2.
b) Poniższe całki są zbieżne wtedy i tylko wtedy, gdy t <1. Jedynym chwy-
tem jest podstawienie z =(1 - t)x, dz =(1 - t)dx:
2
" " "
z dz
MX(t) = etx · x2e-xdx = x2e-(1-t)xdx = e-z =
1 - t 1 - t
0 0 0
2
" "
z dz 1 1
= e-z = · z2e-zdz = .
1 - t 1 - t (1 - t)3 (1 - t)3
0 0
Ostatnia całka jest równa 1 jako całka na przedziale (-", ") z gęstości.
c) Momenty sÄ… pochodnymi f.t.m w zerze. Mamy

MX(t) =3 · (1 - t)-4, MX(t) =3 · 4 · (1 - t)-5, MX (t) =3 · 4 · 5 · (1 - t)-6,
zatem ogólnie
1
(n)
MX (t) = · n! · (1 - t)-(n+3),
2
a stÄ…d
1
EXn = · n!.
2
Wynik ten można bez wysiłku otrzymać z definicji funkcji gamma.
d) Á(-X, X+1) = Á(-X, X) =-Á(X, X) =-1. Wynik ten można otrzymać
na wiele sposobów, zauważając np. że cov(X, X) =D2X.
1 t
e) g-2X(t) = gX(- ). Jeśli nie znamy tego wzoru, możemy wyznaczyć
2 2
gęstość bezpośrednio. Wystarczy obliczyć dystrybuantę zm. los. -2X dla ujem-
nych wartości argumentu t:
F-2X(t) =P (-2X t) =P (X -t/2) = P (X>-t/2) = 1 - FX(-t/2).
Zwróćmy uwagę, że X ma rozkład ciągły, zatem nie ma znaczenia, czy operujemy
nierównościami ostrymi, czy nieostrymi. Różniczkując prawą stronę powyższej
równości otrzymujemy żądany wynik:
1 1 t2
g-2X(t) = · (-t/2)2et/21(-",0](t) = et/21(-",0](t).
2 2 16
2. Przyjmiemy, że płaca jest zmienną losową X o gęstości g.
a) Ponieważ g jest gęstością, musi być

" 1000
1 1
1 = g(x)dx = C(1000 - x)dx = · 1000C · 1000 = C · · 106,
2 2
-" 0
zatem C = 2 · 10-6. Nie musimy znać funkcji pierwotnej, wystarczy bowiem
zauważyć, że całka jest równa polu trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych
1000C i 1000.
2
b) Obliczamy EX:

" 1000
EX = xg(x)dx = C x(1000 - x)dx =
-" 0

1000 1000

1000 1000

1

= C 1000xdx - x2dx = C 500x2 - x3 =

3
0 0
0 0
10 1
= 2 · 10-6 · [5 · 108 - · 108] = 333 .
3 3
c) Po podwyżce płaca jest równa max(X, 100), a sama podwyżka Z =
max(X, 100) - X =max(0, 100 - X). Wzrost średniej płacy to
EZ = E max(X, 100) - EX = E max(0, 100 - X) =

1000
= C max(0, 100 - x)(1000 - x)dx =
0

100
= C (100 - x)(1000 - x)dx =
0


100
= 2 · 10-6 · (105 - 1100x = x2)dx =
0
1 2 2
= 2 · 10-6 · [107 - 550 · 104 + · 106] =20 - 11 + =9 .
3 3 3

1000
d) Prawdopodobieństwo nieotrzymania podwyżki jest równe g(x)dx.
100
Jest to pole trójkąta podobnego do rozpatrywanego w punkcie a), przy czym
skala podobieństwa jest równa 0,9. Dlatego szansa nieotrzymania podwyżki wy-
nosi 0,9 · 0,9 =0,81, a otrzymania 0,19.
Nawiasem mówiąc, można teraz skontrolować prawidłowość wyników: jeśli
ok. 20% poddanych dostanie średnio ok. 50 talarów podwyżki, to średnia płaca
wzrośnie o ok. 10 talarów, i tak właśnie jest.
e) Płaca po podwyżce nie ma rozkładu ciągłego, bo z dodatnim prawdopo-
dobieństwem (równym 0,19) przyjmuje wartość 100.
3*. Zadanie można rozwiązać, badając prawdopodobieństwa pochłonięcia w
łańcuchu Markowa o pięciu stanach: S, O, OO, R, RO (stany pochłaniające wy-
różniono tłustym drukiem). Można jednak zauważyć (rysując w razie potrzeby
odpowiedni diagram), że Ania wygra wtedy i tylko wtedy, gdy w pierwszych
dwóch rzutach pojawi się orzeł. Pojawienie się reszki w pierwszym lub drugim
rzucie prowadzi do wygranej Bartka. Dlatego Ania wygrywa z prawdopodobień-
stwem p2, gdzie p jest prawdopodobieństwem otrzymania orła.
3


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
03 (12)
TI 99 03 12 GT T pl(1)
Iracki sąd nakazał USA uwolnienia fotoreportera Reutersa (03 12 2008)
03 12 06 pra
Discoteka 2014 Dance Club Vol 132 (03 12 2014) Tracklista
03 12 Styczeń 1996 Nienawiść rozerwie wszystko

więcej podobnych podstron