Wykład 8
Dynamika ciała sztywnego
Ciała sztywne i moment bezwładności
Większość ciał w przyrodzie to nie cząstki punktowe tylko rozciągłe ciała stałe, które
mogą wykonywać zarówno ruch postępowy jak i obrotowy. Przez ciała stałe, sztywne,
rozumiemy ciała, w których odległość między dwoma wybranymi elementami pozostaje stała.
r
Przeanalizujmy ruch takiej bryły obracającej się ze stałą prędkością kątowa wokół
stałej osi w układzie środka masy. Dla uproszczenia rozważmy bryłę w postaci ciała o symetrii
obrotowej. Mówimy, że ciało ma symetrię obrotową, jeżeli w ciele istnieje oś przy obrocie
dookoła której o dowolny kąt ciało przechodzi samo w siebie.
Zauważmy, że różne części ciała mają różną prędkość liniową , chociaż tą samą
r
Ri
prędkość kątową . Podzielmy to ciało na małe elementy o masie "m i zapiszmy wektor ,
i
i
określający położenie - tego elementu względem początku układu współrzędnych O , jako
r r r r
r r
Ri = Ri|| + RiĄ"
(rys.VIII.1). Prędkość liniowa takiego elementu wynosi = [ Ri]
i
r r r r
r r r
, skąd , ponieważ r Ą" RiĄ" .
= " RiĄ"
= [ Ri|| ] + [ RiĄ" ] = [ RiĄ" ]
i
i
Moment pędu - tego małego elementu
względem początku układu O wynosi
r r r r
r
Li = [Ri " mi ] = LiĄ" + Li||
,
i
gdzie
r r
r
Li|| = " mi([RiĄ" ])
,
i
oraz
r r
r
LiĄ" = " mi([Ri|| ])
.
i
Rys.VIII.1. Ruch obrotowy bryły
r
Dla ciała sztywnego o symetrii obrotowej, suma wszystkich składowych LiĄ" będzie równa
j
i
zeru. Istotnie dla dowolnego - tego elementu istnieje symetryczny -ty element, dla którego
r r r r
r r
Ri|| = Rj|| i -
LiĄ" + LjĄ" = 0
i = , a zatem .
j
Składowa momentu pędu
77
Li|| = " mi RiĄ" = " mi Ri2 "
(VIII.1)
i Ą"
v
jest równoległa do wektora prędkości kątowej (rys.VIII.1), a więc moment pędu
obracającego się ciała sztywnego możemy zapisać w postaci
ł ł
r r
r
ł
L = Li|| = Ri2 " mi ł "
. (VIII.2)
Ą"
" "
ł ł
i ł i łł
Wielkość w nawiasie nazywamy momentem bezwładności ( ) bryły względem osi obrotu:
I
I = Ri2 " mi . (VIII.3)
"i Ą"
Biorą pod uwagę (VIII.3), możemy teraz zapisać moment pędu obracającego się ciała
sztywnego w postaci
r
r
. (VIII.4)
L = I "
Warto podkreślić, że równanie wektorowe (VIII.4) jest słuszne tylko dla bryły o symetrii
r r
obrotowej. Dla bryły o dowolnym kształcie wektor nie jest równoległy do wektora .
L
Po podstawieniu wzoru (VIII.4) do równania, określającego zmiany momentu pędu (
r r
&
), otrzymujemy
L = M
r
r
r r
dL d
= I " = I " = M . (VIII.5)
dt dt
r
r
d r
=
Tu jest przyspieszeniem kątowym, a jest składową momentu siły wzdłuż osi
M
dt
r
obrotu bryły, czyli wzdłuż wektora .
Energia kinetyczna rotującej bryły sztywnej w układzie środka masy ma postać
ł ł
1 1 1
2
ł
Trot = " mi = " mi (RiĄ" )2 = " mi Ri2 ł 2
, (VIII.6)
i Ą"
" " "
ł ł
2 2 2
i i ł i łł
a zatem, uwzględniając wzór (VIII.3), znajdujemy
1 1
2 2
Trot = " mi = I "
i
, (VIII.7)
"
2 2
i
Jeżeli ciało toczy się, to występuje zarówno ruch postępowy, jak i obrotowy. Całkowitą
kinetyczną energię ciała sztywnego poruszającego się ruchem postępowo-obrotowym określa
wzór
78
1 1
2 2
T = M + Iśr,m "
, (VIII.8)
sr.m
2 2
M = mi - całkowita masa ciała, śr.m - prędkość środka masy, a Iśr.m - moment
gdzie
"
i
bezwładności ciała względem osi przechodzącej przez środek masy.
Zestawmy teraz obliczone wielkości ruchu obrotowego bryły z ich odpowiednikami dla
ruchu postępowego.
Ruch postępowy Ruch obrotowy
r r
r
r
p = m
L = I
r
r r
r
F = ma
M = I
1
2
1
2
T = m
T = I
2
2
Z tej tabelki widzimy, że moment bezwładności I w ruchu obrotowym bryły odgrywa rolę
analogiczną do masy m w ruchu postępowym. Istnieje jednak zasadnicza różnica: masa ciała
nie zależy od jego położenia w przestrzeni, natomiast moment bezwładności zależy od osi,
wokół której obraca się ciało. Momenty bezwładności niektórych ciał są podane w tabeli.
Ciało sztywne I
mR2
Obręcz, pierścień względem osi Ą" przez środek
mR2/2
Krążek, walec względem osi Ą" przez środek
ml2/12
Pręt wokół osi Ą" przez środek
ml2/3
Pręt wokół osi Ą" przez koniec
2mR2/5
Pełna kula wokół osi przez środek
2mR2/3
Czasza kulista wokół osi przez środek
Twierdzenie Steinera
Często do obliczania momentu bezwładności wygodnie jest posłużyć się twierdzeniem
Steinera. Podaje ono zależność pomiędzy momentem bezwładności I ciała względem danej osi,
IC
a momentem bezwładności tego ciała względem osi przechodzącej przez jego środek masy
i równoległej do danej osi:
2
I = IC + md
, (VIII.9)
79
gdzie m jest masą ciała, a d odległością pomiędzy osiami. Udowodnimy twierdzenie Steinera.
Rozważmy dwie równoległe do siebie osie i niech osie te będą prostopadłe do
płaszczyzny rysunku (rys.VIII.2) i przecinają tą płaszczyznę w punktach i . Zgodnie ze
A B
wzorem (VIII.2) momenty bezwładności ciała względem osi przechodzących przez punkty A i
B są równe:
I = ri2 " mi , (VIII.10)
A "i Ą"
IB = (ri/ )2 " mi . (VIII.11)
"i Ą"
riĄ" Ą" " mi
ri/
Tu i - odległości masy od osi
przechodzące odpowiednio przez punkty i
A
B .
Rys.VIII.2.
r
riĄ" r /
riĄ"
Z rys.VIII.2 wynika, że między wektorami i istnieje związek
r r/ r
riĄ" = riĄ" + d . (VIII.12)
Po uwzględnieniu (VIII.12) ze wzoru (VIII.10) otrzymujemy:
r/ r
I = ri2 " mi = (riĄ" + d )2 " " mi
A "i Ą" "
i
r
r/ . (VIII.13)
2
= (ri/ )2 " mi + d " mi + 2d " " miriĄ"
" Ą" " "
i i i
r
r
2
= IB + md + 2m(d " rC/Ą" )
r
m
rC/Ą"
Tu - masa ciała, a - wektor określający odległość środka masy ciała od osi
przechodzącej przez punkt . Jeżeli środek masy ciała znajduje się na osi przechodzącej przez
B
r
rC/Ą" = 0
punkt B , wtedy i ze wzoru (VIII.13) wynika wzór (VIII.9), który wyraża twierdzenie
Steinera.
Zadanie 1: Kula o masie m i promieniu R stacza się po równi pochyłej o wysokości h.
Obliczyć prędkość kuli u dołu równi.
Rozwiązanie: Zapiszmy zasadę zachowania energii dla krążka i kuli:
1 1
2 2
mgh = m + I
. (VIII.14)
2 2
Ponieważ = / R , a moment bezwładności dla kuli , ze wzoru (VIII.14)
I = 2mR2 / 5
otrzymujemy
80
10
= gh . (VIII.15)
7
Zauważmy, że gdyby kula zsuwała się (bez rotacji) to prędkość kuli u dołu równi wynosiłaby
= 2gh .
Drgania
Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy ruchem
okresowym (periodycznym). Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można wyrazić za
pomocą funkcji sinus albo cosinus. Ruch okresowy jest powszechną formą ruchu
obserwowaną w życiu codziennym i dlatego jest ważnym przedmiotem fizyki.
Siła harmoniczna
Działającą na ciało siłę, która jest proporcjonalna do przesunięcia ciała od początku
układu i która jest skierowana ku początkowi układu, nazywamy siłą harmoniczną lub siłą
sprężystości. Jeżeli obierzemy oś Ox wzdłuż przesunięcia, to siła harmoniczna jest wyrażona
równaniem
F = - kx , (VIII.16)
gdzie x jest przesunięciem od położenia równowagi. To równanie opisuje siłę wywieraną przez
rozciągniętą sprężynę o ile tylko sprężyna nie została rozciągnięta poza granicę sprężystości.
Poza granicą sprężystości sprężyna zmienia swoją długość nieodwracalnie. Wzór (VIII.16)
wyraża tak zwane prawo Hooke'a.
m
Jeżeli sprężyna zostanie rozciągnięta tak aby masa (zaczepiona do sprężyny)
znalazła się w położeniu x = A , a następnie w chwili t = 0 została zwolniona, to położenie
masy w funkcji czasu będzie dane równaniem:
x = A " cos t . (VIII.17)
Sprawdzmy czy jest to dobry opis ruchu. Dla t = 0 , x = A , tzn. opis zgadza się z
założeniami. Z drugiej zasady dynamiki Newtona wynika, że
ma = - kx ,
czyli
2
d x
ma a" m = - kx . (VIII.18)
2
dt
81
Równanie takie nazywa się równaniem
różniczkowym drugiego rzędu. Staramy
się "odgadnąć" rozwiązanie i następnie
sprawdzić nasze przypuszczenia.
Zwróćmy uwagę, że rozwiązaniem jest
x(t)
funkcja , która ma tę właściwość, że
jej druga pochodna jest równa funkcji ale
ze znakiem " ". Zgadujemy, że może to
być funkcja x = A " cos t i sprawdzamy
dx
= = - A " sin t
, (VIII.19)
dt
2
d x d
2
= = a = - A " cos t .
2
dt dt
(VIII.20)
Rys.VIII.3
Tu skorzystaliśmy ze wzorów
d
cos( t) = - " sin( t)
, (VIII.21)
dt
d
sin( t) = " cos( t)
. (VIII.22)
dt
Podstawiając (VIII.20) do równania (VIII.18), znajdujemy
2
m(- A " cos t) = - kA" cos t . (VIII.23)
Skąd mamy
k
= . (VIII.24)
m
Widzimy, że funkcja x = A " cos t jest rozwiązaniem równania (VIII.18) ale tylko gdy
= k / m .
Zwróćmy uwagę, że funkcja x = Asin t jest również rozwiązaniem równania
x(t = 0) = 0
(VIII.18) ale nie spełnia warunku początkowego bo gdy t = 0 to
(zamiast x = A
).
Najogólniejsze rozwiązanie równania (VIII.18) ma postać:
82
x = A" sin( t + ą )
, (VIII.25)
albo
x = A " cos( t + )
. (VIII.26)
Stałe ą i to są stałe fazowe. Stałe A oraz ą albo są określone przez warunki
początkowe: położenie i prędkość w chwili t = 0 .
Ze wzoru (VIII.25), na przykład, otrzymujemy
x0 a" x(t = 0) = A " sin(ą )
,
dx
a" (t = 0) = = A " cos(ą )
.
0
dt
t= 0
Skąd mamy
sin(ą ) x0 "
tg(ą ) = =
,
cos(ą )
0
2
+ (x0 " )2 .
0
A =
Ze wzorów (VIII.17), (VIII.19) i (VIII.20) wynika, że wartości maksymalne (amplitudy)
wychylenia, prędkości i przyspieszenia wynoszą:
" dla wychylenia A;
A
" dla prędkości
t = (2n + 1)Ą / 2
(występuje gdy , czyli x = 0 );
2
" dla przyspieszenia A
(występuje gdy x = A ).
Okres drgań
T = 2Ą /
Funkcja cost lub sint powtarza się po czasie . Tą szczególną wartość
czasu nazywamy okresem T . Liczba drgań w czasie t jest równa
t
n =
. (VIII.27)
T
Gdy podzielimy obie strony przez t, otrzymamy liczbę drgań w jednostce czasu
n 1
= = =
, (VIII.28)
t T 2Ą
83
która nazywa się częstotliwością drgań.
Dla ruchu harmonicznego otrzymujemy więc
= k / m
2Ą m
T = = 2Ą . (VIII.29)
k
Jest to okres drgań masy m przyczepionej do końca sprężyny o stałej sprężystości k.
Wahadło proste
m
Wahadło proste albo wahadło matematyczne jest to ciało o masie punktowej ,
zawieszone na cienkiej, nieważkiej, nierozciągliwej nici. Kiedy ciało wytrącimy z równowagi to
zaczyna się ono wahać w płaszczyznie poziomej pod wpływem siły ciężkości. Udowodnimy, że
m
przy małych odchyleniach masy od osi pionowej wahadło to wykonuje ruch periodyczny.
Rysunek przedstawia wahadło o długości l i
masie m, odchylone o kąt od stanu
równowagi wahadła ( = 0 ). Na masę m
mg
działa siła przyciągania grawitacyjnego .
mg " cos
Składową siły grawitacyjnej
l
równoważy siła naprężenia nici N. Natomiast
N
mg " sin
składowa nie jest zrównoważona i
m
x=l
jest siłą przywracającą równowagę układu,
mgsin
sprowadzając masę m do położenia
mgcos
równowagi. Siła ta wynosi
mg
F = - mg sin
. (VIII.30)
Rys. VIII.4. Wahadło proste
Znak minus tu oznacza, że siła ta jest skierowana w stronę przeciwną od kierunku odchylenia
wahadła. Ze wzoru (VIII.30) widać, że siła przywracająca równowagę układu jest
proporcjonalna do sin , a nie do , więc nie jest to ruch prosty harmoniczny. Jeżeli jednak
sin
kąt jest mały (mniejszy niż 10) to jest bardzo bliski (różnica mniejsza niż 0.5%).
Przemieszczenie wzdłuż łuku (z miary łukowej kąta) wynosi x = l " . Przyjmując zatem, że
sin E" wzór (VIII.30) możemy zapisać w postaci
x mg
F = - mg = - mg = - x
. (VIII.31)
l l
Siła (VIII.31) jest wprost proporcjonalna do przemieszczenia (ze znakiem " "), czyli jest siłą
harmoniczną. W tym przypadku w równaniu siły harmonicznej (VIII.16) stałą k określa stała
84
mg / l
. Korzystając ze wzoru (VIII.31) oraz wzoru (VIII.24) dla częstości drgań wahadła
matematycznego znajdujemy
k g
= = . (VIII.32)
m l
Po podstawieniu (VIII.32) do wzoru (VIII.29) mamy
m l
T = 2Ą = 2Ą
. (VIII.33)
k g
Zauważmy, że częstość i okres wahadła prostego zależy tylko od długości wahadła i nie zależy
od amplitudy (początkowego kąta ) i od masy wahadła.
Literatura do Wykładu 8
1. Robert Resnik, David Halliday: Fizyka 1, Wydawnictwo PWN, Warszawa, 1994,
str.266- 300; str.344-384.
2. Sz. Szczeniowski, Fizyka doświadczalna, t.1, PWN, Warszawa 1980, str. 220-227;
str.303-328.
Zadania do Wykładu VIII
1. Dwie kule o masach m = 10 kg każda są połączone ze sobą lekkim, sztywnym prętem
o długości 2 m. Pomijając masę pręta obliczyć moment bezwładności: a) względem osi
normalnej przechodzącej przez środek układu, b) względem osi normalnej do pręta i
przechodzącej przez jedną z kul. Odpowiedz: a) 20 kg " m2 ; b) 20 kg " m2 .
2. Udowodnić, że środek masy ciała o symetrii obrotowej znajduje się na osi symetrii
ciała.
3. Udowodnić wzór (VIII.8). Wskazówka: skorzystać z twierdzenia Steinera.
4. Krążek o masie m i promieniach R stacza się po równi pochyłej o wysokości h.
4
Obliczyć prędkość krążka u dołu równi. Odpowiedz: .
= gh H" 1.7 gh
3
5. Bardzo cienka powłoka sferyczna ma moment bezwładności względem dowolnej
średnicy równy . Powłoka stacza się po równi pochyłej o wysokości h.
I = 2MR2 / 3
6
Obliczyć prędkość powłoki u dołu równi. Odpowiedz: .
= gh
5
85
6. Udowodnić, że w ciągu wahań wahadła prostego energia mechaniczna wahadła nie
zmienia się.
7. Głośnik wytwarza dzwięki dzięki drganiom membrany. Jakie częstości mogą
powstawać dla drgań, w których przyspieszenia przekraczają 10 m/s2, jeżeli amplituda
drgań jest ograniczona do 1.0 mm. Odpowiedz: Większe niż 500 Hz.
" 10- 3
m
8. Dwie sprężyny przymocowane są do ciała o masie i do nieruchomych ścian.
k1 = k2 = k
Współczynniki sprężystości są równe . Znalezć częstość drgań ciała.
Odpowiedz: .
= 2k / m
9. Jaka jest długość wahadła prostego, którego okres wynosi 2,00 s w punkcie, gdzie
g = 986
przyspieszenie grawitacyjne cm/s2? Odpowiedz: 1 m.
10. W pewnej miejscowości wahadło proste o długości 1 m wykonuje 100 całkowitych
g
wahnięć w ciągu 200 s. Jakie jest przyspieszenie w tej miejscowości? Odpowiedz:
g = 9,86
m/s2.
86
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Kinematyka i dynamika punktu i ciała sztywnegoW Samodulski Kinematyka ciaŁa sztywnegoWyklad4(dynamika2014czesc3 )Wyklad 3 Dynamika punkty materialnegowyklad18 dynamika relatywistycznawykład 2 dynamikaWykład 6 Dynamika Mechanizmów Analiza kinetostatyczna B (1)Mechanika ciała sztywnegoDynamika bryla sztywnaWyklad4(dynamika2014czesc1)Wyklad Dynamiczne struktury?nychWyklad4(dynamika2014czesc2)wyklad17 dynamika relatywistycznawięcej podobnych podstron