Wykład 9
Zadanie Zbadać, czy forma:
�ł łł �ł łł
1 2 3 x1
�ł śł �ł
g(x1, x2, x3) = [x1, x2, x3] 2 5 2 x2 śł
�ł �ł �ł �ł
3 2 0 x3
jest dodatnio określona.
Rozwiązanie Wystarczy zbadać, czy dodatnie są minory główne, a więc
wyznaczniki:
G1 = 1
1 2
G2 = = 1 > 0
2 5
1 2 3
G3 = 2 5 2 = -25 < 0
3 2 0
To oznacza, że ta forma nie jest dodatnio określona. Rzeczywiście g(1, 1, -2) =
-10 < 0.
Sprowadzanie formy kwadratowej do postaci kanonicznej
Niech g będzie formą kwadratową w przestrzeni Rn, wtedy g może być
zapisane w postaci:
n n
g(x1, x2, . . . , xn) = giix2 + 2 gijxixj
i
i=1 i=1,j=1,i
w przedstawieniu tym mogą występować elementy po xixj. Zadanie sprowa-
dzania do postaci kanonicznej polega więc na pozbywaniu się tych elemen-
tów. Dokładniej mówiąc zadanie to polega na szukaniu zmiennych y1, y2, . . . , yn
zależnych liniowo od x1, x2, . . . , xn, dla których forma kwadratowa g ma
przedstawienie:
2 2
g(y1, . . . , yn) = a1y1 + a2y2 + . . . + anyn
Istnieje kilka metod sprowadzania do postaci kanonicznej. Tutaj omówimy
dwie podstawowe: metodę Lagrange a i metodę Jacobiego.
1
Metoda Lagrange a
Metoda Lagrange a wykorzystuje uogólnienie wzoru skróconego mnożenia na
kwadrat sumy elementów, a mianowicie:
(b1 + b2 + . . . + bn)2 = b2 + b2 + . . . + b2 + 2 bibj
1 2 n
i=1,j=1,iMetodę tą omówimy na przykładzie. Niech
g(x1, x2, x3) = 2x2 - x2 + 3x2 + 2x1x2 - 4x1x3 - 3x2x3
1 2 3
wtedy możemy zebrać elementy, które zawierają x1 i otrzymujemy:
g(x1, x2, x3) = 2(x2 + x1x2 - 2x1x3) - x2 + 3x2 - 3x2x3
1 2 3
następnie wyciągamy kwadrat zgodnie z powyższym wzorem:
1 1
g(x1, x2, x3) = 2(x1 + x2 - x3)2 - x2 - 2x2 + 2x2x3 - x2 + 3x2 - 3x2x3
2 3 2 3
2 2
stąd
1 3
g(x1, x2, x3) = 2(x1 + x2 - x3)2 - x2 + x2 - x2x3
2 3
2 2
dalej postępujemy podobnie jak powyżej z kawałkiem zawierającym tylko
zmienne x2, x3, a więc:
1 3 2
g(x1, x2, x3) = 2(x1 + x2 - x3)2 - (x2 + x2x3) + x2 =
2 3
2 2 3
1 3 1 1
2(x1 + x2 - x3)2 - (x2 + x3)2 + x2 + x2 =
3 3
2 2 3 6
1 3 1 7
2(x1 + x2 - x3)2 - (x2 + x3)2 + x2
3
2 2 3 6
1 1
Jeśli przyjmiemy teraz y1 = x1 + x2 - x3, y2 = x2 + x3, y3 = x3 to
2 3
otrzymamy:
3 7
g(y1, y2, y3) = 2y1 - y2 + y3
2 6
otrzymane przedstawienie jest więc postacią kanoniczną naszej formy.
Metoda Jacobiego
Metoda Jacobiego polega na wykorzystaniu algorytmu podobnego do algoryt-
mu ortogonalizacji Grama - Schmidta. Omówimy tą metodę na tym samym
przykładzie co poprzednio:
g(x1, x2, x3) = 2x2 - x2 + 3x2 + 2x1x2 - 4x1x3 - 3x2x3
1 2 3
2
wtedy w bazie kanonicznej macierz tej formy jest następująca:
�ł łł
2 1 -2
�ł
G = 1 -1 -3 śł
�ł �ł
2
-2 -3 3
2
Szukamy bazy b1, b2, b3 takiej, że f(bi, bj) = 0 jeśli i = j. Bazę tą szukamy w
postaci:
b1 = e1
b2 = e2 + k12b1
b3 = e3 + k13b1 + k23b2
Podobnie jak w przypadku ortogonalizcji Grama - Schmidta otrzymujemy
i
kij = -f(b ,ej), a więc:
f(bi,bi)
f(b1, e2) 1
k12 = - = -
f(b1, b1) 2
i
1
b2 = [- , 1, 0]
2
dalej mamy:
f(b1, e3) f(b2, e3) 1
k13 = - = 1, k23 = - = -
f(b1, b1) f(b2, b2) 3
stąd:
7 1
b3 = [ , - , 1]
6 3
7
ponadto f(b3, b3) = . Wtedy postać kanoniczna naszej formy dwuliniowej
6
jest następująca:
3 7
2 2 2 2 2 2
f(y1, y2, y3) = f(b1, b1)y1 + f(b2, b2)y2 + f(b3, b3)y3 = 2y1 - y2 + y3
2 6
i jeśli przez A oznaczymy macierz przejścia od bazy kanonicznej do bazy
b1, b2, b3 to otrzymamy związek między zmiennymi x1, x2, x3, a zmiennymi
y1, y2, y3:
�ł łł �ł łł
x1 y1
�ł śł �ł śł
x2 = A y2
�ł �ł �ł �ł
x3 y3
W naszym przypadku:
�ł łł
1 -1 7
2 6
�ł
A = 0 1 -1 śł
�ł �ł
3
0 0 1
3
wtedy
�ł łł
1
1 -1
2
�ł śł
1
A-1 = 0 1 �ł
�ł
3
0 0 1
i mamy:
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
1
y1 x1 1 -1 x1
2
�ł śł �ł śł �ł śł
1
y2 = A-1 �ł x2 śł = 0 1 x2
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
3
y3 x3 0 0 1 x3
2
Można zauważyć, że współczynniki f(bi, bi) (występujące przy yi są równe
det Gi-1
, gdzie det G0 = 1, a det Gi, i = 1, 2, 3 są minorami głównymi macierzy
det Gi
G.
Metoda Jacobiego ma pewne ograniczenia, jeśli bowiem któryś ze współ-
czynników f(bi, bi) jest równy zero to nie można wyznaczyć odpowiednich
kij. Z tego co zostało powiedziane powyżej metoda Jacobiego działa wtedy
gdy każdy z minorów głównych macierzy G jest różny od 0.
Na zakończenie naszych rozważań dotyczących przestrzeni euklidesowych
i unitarnych zdefiniujemy pojęcie sprzężenia odwzorowania liniowego. Niech
V będzie przestrzenią euklidesową (unitarną) i niech � : V V będzie
homomorfizmem przestrzeni V , wtedy istnieje dokładnie jeden homomorfizm
�", taki że dla każdego u, v " V :
(�(u)|v) = (u|�"(v))
Operator �" nazywamy operatorem sprzężonym z operatorem �.
Jeśli V = Cn jest przestrzenią unitarną ze standardowym iloczynem skalar-
nym i A jest macierzą operatora � to A" jest macierzą operatora �".
4
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
sieci0405 w9
w9
MNwI w9
psb w9
W9 Bezpieczne nastawy dla typowych obiektów AiSD
w9 java
cgm w9
W9
nw asd w9
ib?zy?nych w9
io w9 analiza wymagań
R W9 przebieg
W9
w9 podstawienie elektrofilowe
w9 7
w9 (2)
W9 Mechanizmy i prawidłowości dot motywacji
więcej podobnych podstron