Egzamin z Algebry, 30 I 2009 godz. 9.00
1. Zadanie wstępne
Nr Zadanie Odp.
1
1 Wyznaczyć część rzeczywistą liczby zespolonej
2
2 + i
z =
1 - i
RozwiÄ…zanie:
2 + i (2 + i)(1 + i) 2 + 2i + i - 1 1 3
z = = = = + i
1 - i (1 - i)(1 + i) 2 2 2
1
Re z =
2
2 Obliczyć wyznacznik macierzy C 1
îÅ‚ Å‚Å‚
0 0 1 0
ïÅ‚ śł
1 1 1 1
ïÅ‚ śł
C = ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
1 2 0 3
0 0 0 1
RozwiÄ…zanie:
0 0 1 0
1 1 1
1 1 1 1 1 1
|C| = = 1 · (-1)1+3 1 2 3 = 1 · 1 · (-1)1+3 = 1
1 2 0 3 1 2
0 0 1
0 0 0 1
Stosujemy rozwinięcia Laplace a najpierw względem pierwszego wiersza, po-
tem względem trzeciego wiersza.
3 Wyznaczyć macierz M = K · P jeżeli: 5 10
îÅ‚ Å‚Å‚
1 3
ïÅ‚ śł
K = 1 2 3 , P = 2 2
ðÅ‚ ûÅ‚
0 1
RozwiÄ…zanie:
M = 1 + 4 + 0; 3 + 4 + 3 = 5 10
4 Wyznaczyć wektor kierunkowy prostej l opisanej w postaci krawędziowej: [1, 1, -3]
2x + y + z - 1 = 0
l :
x - y = 0
RozwiÄ…zanie:
i j k
= [2, 1, 1] × [1, -1, 0] = 2 1 1 = j - 2k - k + i = [1, 1, -3]
v
1 -1 0
Uwaga: Dowolny wektor równoległy do ( czyli k ) też jest wektorem
v v
kierunkowym tej prostej.
"
5 Obliczyć odległość punktu P (1, 1, 1) od środka sfery S o równaniu: 2
S : x2 + y2 + z2 - 2x - 4 = 0
RozwiÄ…zanie:
x2 + y2 + z2 - 2x - 4 = 0 ; (x - 1)2 - 1 + y2 + z2 - 4 = 0
(x - 1)2 + y2 + z2 = 5
Åšrodek sfery jest w punkcie O(1, 0, 0)
" "
OP = 02 + 12 + 12 = 2
1
2. Obliczyć
1
3
(1 - i)2
Wynik podać w postaci kononicznej (algebraicznej)
RozwiÄ…zanie:
1 1 1 i
= = =
(1 - i)2 1 - 2i + i2 -2i 2
Przekształacamy do postaci trygonometrycznej
i 1 Ä„ Ä„
= (cos + i sin )
2 2 2 2
StÄ…d:
Ä„ Ä„
1 Ą Ą 1 + 2kĄ + 2kĄ
3
2 2
"
zk = (cos + i sin ) = cos + i sin =
3
2 2 2 3 3
2
1 (4k + 1)Ä„ (4k + 1)Ä„
"
cos + i sin , k = 0, 1, 2
3
6 6
2
Odpowiedż:
"
" " "
3 3
1 Ä„ Ä„ 1 3 1 4 3 4
" "
z0 = cos + i sin = + i = + i
3 3
6 6 2 2 4 4
2 2
" " " "
3 3
1 5Ä„ 5Ä„ 1 3 1 4 3 4
" "
z1 = cos + i sin = - + i = - + i
3 3
6 6 2 2 4 4
2 2
"
3
1 9Ä„ 9Ä„ 4
"
z2 = cos + i sin = -i
3
6 6 2
2
2
3. Wyznaczyć liczby zespolone z , dla których macierz
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 z
ïÅ‚ śł
A = 0 1 0 ûÅ‚
ðÅ‚
z2 1 1
jest odwracalna. Dla z = -1 wyznaczyć macierz A-1
RozwiÄ…zanie:
Macierz kwadratowa jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest różny
od zera.
|A| = 1 - z3
Rozwiązujemy równanie:
|A| = 0
1 - z3 = 0
z3 = 1
"
3
z = 1
1 = 1(cos 0 + i sin 0)
2kĄ 2kĄ
zk = cos + i sin , k = 0, 1, 2
3 3
z0 = cos 0 + i sin 0 = 1
"
2Ä„ 2Ä„ 1 3
z1 = cos + i sin = - + i
3 3 2 2
"
4Ä„ 4Ä„ 1 3
z2 = cos + i sin = - - i
3 3 2 2
Odpowiedż 1:
" "
3 3
Macierz jest odwracalna dla z = i '" z = -1 + i '" z = -1 - i
2 2 2 2
Dla z = -1 mamy:
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 -1
ïÅ‚ śł
A = 0 1 0 ûÅ‚
ðÅ‚
1 1 1
|A| = 2 = 0
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 1
ïÅ‚ śł
AT = 1 1 1 ûÅ‚
ðÅ‚
-1 0 1
îÅ‚ Å‚Å‚
1 -2 1
ïÅ‚ śł
AD = 0 2 0 ûÅ‚
ðÅ‚
-1 0 1
Odpowiedz 2:
îÅ‚ Å‚Å‚
1 -2 1
1 1
ïÅ‚ śł
A-1 = AD = 0 2 0 ûÅ‚
ðÅ‚
|A| 2
-1 0 1
3
4. Podać liczbę rozwiązań układu równań w zależności od parametru p " R
Å„Å‚
ôÅ‚ x + p2y + z = -p
òÅ‚
x + y - pz = p2
ôÅ‚
ół
y + z = 1
RozwiÄ…zanie:
Badamy rzÄ…d macierzy
îÅ‚ Å‚Å‚
1 p2 1
ïÅ‚ śł
A = 1 1 -p ûÅ‚
ðÅ‚
0 1 1
W tym celu rozwiązujemy równanie: |A| = 0
|A| = 1 + 1 + p - p2 = -p2 + p + 2
-p2 + p + 2 = 0
" = 9
p1 = 2 , p2 = -1
Odpowiedz 1:
Dla p = 2 '" p = -1 rząd A jest równy 3. Wtedy rząd macierzy AR też jest równy 3 i
układ ma jedno rozwiązanie.
Dla p = 2
îÅ‚ Å‚Å‚
1 4 1
ïÅ‚ śł
rzA = rz 1 1 -2 ûÅ‚
ðÅ‚
0 1 1
ponieważ |A| = 0 więc rzA 2
1 4
ponieważ = -3 = 0 więc rzA 2 (skreślamy 3 wiersz i 3 kolumnę)
1 1
stÄ…d rzA = 2
Badamy rzÄ…d:
îÅ‚ Å‚Å‚
1 4 1 -2
ïÅ‚ śł
rzAR = rz 1 1 -2 4 ûÅ‚
ðÅ‚
0 1 1 1
4 1 -2
ponieważ 1 -2 4 = -8+4-2-4-16-1 = -27 = 0 więc rzAR = 3 (skreślamy
1 1 1
pierwszÄ… kolumnÄ™)
Odpowiedz 2: Dla p = 2 układ jest sprzeczny
Dla p = -1
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1
ïÅ‚ śł
rzA = rz 1 1 1 ûÅ‚
ðÅ‚
0 1 1
ponieważ |A| = 0 więc rzA 2
1 1
ponieważ = -3 = 0 więc rzA 2 (skreślamy 1 wiersz i 3 kolumnę)
0 1
stÄ…d rzA = 2
4
Badamy rzÄ…d:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1 1 1 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
rzAR = rz 1 1 1 1 = rz 1 1 = 2 (skreślamy kolumny proporcjonalne)
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
0 1 1 1 0 1
1 1
ponieważ = -3 = 0 więc rzAR = 2 (skreślamy 1 wiersz)
0 1
Odpowiedz 3: Dla p = -1 układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od
jednego parametru.
5
5. Obliczyć objętość czworościanu ograniczonego płaszczyzną 2x + 3y + 6z - 12 = 0 i
płaszczyznami układu współrzędnych.
RozwiÄ…zanie:
Krawędzie czworościanu wychodzące z wierzchołka w początku układu współrzędnych
1
są do siebie prostopadłe, więc objętość czworościanu będzie równa V = abc iloczynu
6
długości tych krawędzi.
Szukamy punktów przecięcia płaszczyzny z osiami układu współrzędnych:
2x + 3y + 6z - 12 = 0
2x + 3y + 6z = 12
x y z
+ + = 1
6 4 2
stÄ…d: a = 6 , b = 4 , c = 2
Odpowiedz:
1
V = · 6 · 4 · 2 = 8
6
6
6. Dane są trzy punkty: A(4, 1, -2) , B(2, 0, 0) , C(-2, 3, 8) . Znalezć równanie prostej
przechodzÄ…cej przez punkt B i przecinajÄ…cej prostÄ… AC pod kÄ…tem prostym.
RozwiÄ…zanie:
Sposób 1:
Szukamy rzutu B punktu B na prostÄ… AC . Szukana prosta jest prostÄ… BB .
Sposób 2:
-
Wektor kierunkowy szukanej prostej jest prostopadły do wektora AC = [-6, 2, 10] .
v
Szukana prosta leży na płaszczyznie ABC , więc jest prostopadły do wektora
v n
normalnego tej płaszczyzny.
- -
Wektor jest prostopadły do wektorów AB = [-2, -1, 2] i AC.
n
Ponieważ interesują nas tylko kierunki, a długości wektorów i są nieistotne, więc
n v
możemy przyjąć:
i j k
- -
= AB × AC = -2 -1 2 = [-14, 8, -10]
n
-6 2 10
i j k
-
= × AC = -14 8 -10 = [100, 200, 20]
v n
-6 2 10
Zamiast obliczonego wektora bierzemy wektor równoległy do niego:
= [5, 10, 1]
v
Odpowiedz:
Równanie szukanej prostej: ( punkt B, wektor kierunkowy
v)
x - 2 y z
= =
5 10 1
7
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
SIMR ALG1 EGZ 2007 01 30a rozwSIMR ALG1 EGZ 2008 02 07a rozwSIMR ALG1 EGZ 2012 02 10b rozwSIMR ALG1 EGZ 2014 02 07a rozw 1SIMR ALG1 EGZ 2013 02 05b rozwSIMR ALG1 EGZ 2012 02 03b rozwSIMR ALG1 EGZ 2007 02 08b rozwSIMR ALG1 EGZ 2013 02 05a rozw 1SIMR ALG1 EGZ 2012 02 10a rozwSIMR ALG1 EGZ 2012 02 03a rozwSIMR ALG1 EGZ 2014 02 07b rozw 1SIMR ALG1 EGZ 2013 02 11b rozwSIMR ALG1 EGZ 2013 02 11b rozwSIMR ALG1 EGZ 2013 02 11a rozw 1SIMR MAT1 EGZ 2006 02 08a rozwSIMR MAT1 EGZ 2006 02 01b rozwSIMR AN1 EGZ 2013 02 04b rozwSIMR RR EGZ 2010 09 17 rozwSIMR AN1 EGZ 2013 02 12b rozwwięcej podobnych podstron