Układy inercjalne.
Zasady mechaniki Newtona
Tadeusz Paszkiewicz
Katedra Fizyki
Wydział Matematyki i Fizyki Stosowanej
Politechniki Rzeszowskiej
MC Escher, Belvedre
1936
Paradoksalny sześcian
Punkt materialny
Punkt materialny (cząstka) jest ciałem
obdarzonym masą, któremu nie mo\na przypisać
rozmiaru.
Punkt materialny mo\e przemieszczać się
w przestrzeni, ale nie ma wewnętrznych stopni
swobody.
Punkt materialny mo\e mieć energię kinetyczną,
ale nie ma energii zwiÄ…zanej z obrotami,
wewnętrznymi drganiami czy deformacjami.
Ograniczenie
Prawa ruchu dla ciał punktowych są
prostsze ni\ prawa ruchu dla ciał
rozciągłych. Dlatego na początek zajmiemy
się dynamiką ciał punktowych i ich zbiorów.
Układ odniesienia
Określenie poło\enia punktu w przestrzeni wymaga
dokładnego ustalenia, względem czego poło\enie to jest
zdefiniowane. Poniewa\ \aden punkt przestrzeni nie jest
wyró\niony, nale\y określić poło\enie względem
wybranego zespołu ciał materialnych znajdujących się
w przestrzeni. Ka\dy taki zespół ciał nazywamy układem
odniesienia.
Przykłady układów odniesienia: laboratorium, układ
środka masy, układ związanym z powierzchnią Ziemi,
układ związany pojazdem kosmicznym, itd.
Wybór układu odniesienia
Mo\na prowadzić opis ruchu w dowolnym
układzie odniesienia. Wybór któregoś z nich jest
kwestiÄ… wygody.
Układy odosobnione i zamknięte
Układ odosobniony system
fizyczny doskonale odizolowany
od wpływów zewnętrznych.
Układ zamknięty nie wymienia materii
z otoczeniem.
Zasada bezwładności
(I zasada dynamiki)
Postulat:
Istnieje taki układ odniesienia, zwany
układem inercjalnym, w którym układ
odosobniony porusza siÄ™ ruchem
jednostajnym, prostoliniowym albo
spoczywa.
Układy inercjalne są wyró\nionymi układami
odniesienia.
Inercjalne i nieinercjalne
układy odniesienia
S inercjalny układ odniesienia, (np. torowisko pociągu)
S układ poruszający się względem S ruchem
postępowym jednostajnym i nie wykonujący ruchu
obrotowego.
S układ poruszający się względem S i S ruchem
postępowym przyśpieszonym nie wykonuje ruchu
obrotowego.
Układ S nie jest inercjalny
Kostka lodu obserwowana przez obserwatora znajdujÄ…cego siÄ™
w S spoczywa. Obserwowana przez obserwatora znajdujÄ…cego
się w S porusza się ruchem jednostajnym postępowym.
Kostka lodu obserwowana przez obserwatora znajdujÄ…cego siÄ™
w S porusza siÄ™ w kierunku przeciwnym do ruchu wagonu.
Poniewa\ wagon z kostką lodu jest układem odosobnionym
(na kostkę nie działają siły zewnętrzne), więc S nie mo\e być
inercjalny.
Konsekwencja istnienia układu inercjalnego
Je\eli istnieje układ inercjalny, to istnieje nieskończenie
wiele takich układów. Ka\dy układ, który względem
inercjalnego porusza się ruchem postępowym
i prostoliniowym ze stałą prędkością jest układem
inercjalnym.
Ściśle rzecz biorąc nie umiemy wskazać układu
inercjalnego. Mo\emy podać przykłady takich układów
w stosunku do określonych zjawisk. Na przykład
laboratorium na powierzchni Ziemi jest bardziej
inercjalne ni\ umieszczone na wirujÄ…cej karuzeli.
Konsekwencja istnienia
układów inercjalnych
Rozwa\ymy dwa układy inercjalne poruszające się względem
V v i v '
siebie z prędkością . Prędkości w obu tych układach
spełniają związek:
v = v '+ V Ò! r = r '+ V
( z z )
(jest to gallileuszowskie prawo dodawania prędkości)
r = r '+ Vt, t = t '
(transformacja Gallileusza)
Czas, przyśpieszenie i odległość pomiędzy dwoma punktami
nie zale\ą od wyboru kładu inercjalnego
Uniwersalny czas
W mechanice klasycznej przyjmuje siÄ™, \e czas jest
jednym, uniwersalnym parametrem t, który zmienia się
w taki sam sposób dla wszystkich obserwatorów.
Wszyscy obserwatorzy wyposa\eni w precyzyjne
chronometry przypisujÄ… ka\demu zdarzeniu ten sam
czas.
Poniewa\ nie ma sygnału, który mo\e być przesłany
z prędkością większą od prędkości światła to zało\enie
nie jest poprawne. Mechanika klasyczna ma do
czynienia z prędkościami znacznie mniejszymi od
prędkości światła, dlatego zało\enie o uniwersalności
czasu jest spełnione w dobrym przybli\eniu.
Pęd
p
Wektorem pędu ciała nazywamy iloczyn masy ciała m
v
i jego wektora prędkości
p = mv
Zasada zachowania pędu
Obserwacje wskazują na to, \e w przypadku układu
odosobnionego zło\onego z jednej lub wielu
cząstek suma wektorów pędu pozostaje stała.
n
( )
"p = P P jest stalym wektorem
i
i=1
n
d ëÅ‚
"p öÅ‚ = 0
i
ìÅ‚ ÷Å‚
dt
i=1
íÅ‚ Å‚Å‚
Energia zbioru układów odosobnionych
Je\eli układy są odosobnione, wektor prędkości ka\dego
z nich jest stały, stąd:
d mivi
( )
vi = 0
dt
2
d mivi
d mivi d vi Å" vi ( )
( ) ( )
1 1
vi Å" = mi = = 0.
dt 2 dt 2 dt
2
Oznaczenie : E(i) = mivi / 2
k
Dla ukladu odosobnionego : E(i) = const.
k
n
i
Dla zbioru układów odosobnionych:
"E( ) = const
k
i=1
Druga zasada dynamiki Newtona
Przyczynami zmiany pędu układu fizycznego są siły.
W układach inercjalnych:
dp
= F .
dt
Je\eli masa nie zmienia się z upływem czasu, to:
dv
m = F Ò! ma = F.
dt
Konsekwencje II zasady dynamiki
Je\eli na cząstkę działają dwie siły , to
F1 i F2
dp
= F1 + F2 .
dt
Siła mo\e zale\eć od poło\enia i prędkości. Nie mo\e zale\eć
od przyśpieszenia.
F = F r, t .
( )
Siły nie zale\ą od przyśpieszeń
Rozpatrzymy prostoliniowy ruch czÄ…stki o masie m. Ustalamy
poło\enie, moment czasu t i prędkość. Porównamy trzy ruchy
cząstki: pod działaniem siły F1, pod działaniem siły F2 i pod
działaniem siły F3=F1+F2. Wtedy
ma1 + ma2 = F1 a1 + F2 a2 ,
( ) ( )
m a1 + a2 = F1 a1 + a2 + F2 a1 + a2 .
( ) ( ) ( )
m a1 + a2 = F1 a1 + F2 a2 ,
( ) ( ) ( )
m a1 + a2 = F1 a1 + a2 + F2 a1 + a2
( ) ( ) ( )
F1 a1 + F2 a2 = F1 a1 + a2 + F2 a1 + a2
( ) ( ) ( ) ( )
Równania są niesprzeczne jedynie je\eli siły nie zale\ą od
przyśpieszeń.
II zasada dynamiki prowadzi do
równania ró\niczkowego
dv d dr d2r
ëÅ‚ öÅ‚
a = = =
ìÅ‚ ÷Å‚
dt dt dt dr2
íÅ‚ Å‚Å‚
ma = mzz
r
d2r dr
öÅ‚
m = FëÅ‚r, .
ìÅ‚ ÷Å‚
dt2 dt
íÅ‚ Å‚Å‚
Równanie ró\niczkowe drugiego rzędu.
Pełna znajomość przyczyny (siły) oraz stanu początkowego
pozwala znalezć stan układu w dowolnym momencie czasu.
II zasada dynamiki jest słuszna
w inercjalnych
układach odniesienia
Konsekwencje prawa
zachowania pędu
Niech układ składa się z wielu punktów materialnych.
Niech na ten układ działają siły zewnętrzne. Ponadto siły
wewnętrzne działają pomiędzy poszczególnymi
składnikami układu.
Oznaczenia:
Fi0
siła zewnętrzna działająca na i-ty punkt
siła z jaką j-ty punkt działa na punkt i-ty
Fij
Całkowita siła działająca na układ:
n n n
F =
"F +""F = F0 + Fw .
i0 ij
i=1 i=1 j=1
II zasada w przypadku układu
oddziałujących punktów materialnych
na który działają siły zewnętrzne
n
p =
Całkowity pęd spełnia równanie
"p
i
i=1
dp t
( )
= F .
dt
Gdy rozwa\any układ jest odosobniony, to:
Fi0 = 0 Ò! F0 = 0.
W układzie inercjalnym układ musi spoczywać albo poruszać się
postępowym ruchem jednostajnym.
Fw = 0 .
III zasada dynamiki
Suma sił wewnętrznych znika, co jest mo\liwe je\eli
Fij = -Fji .
Jest to prawo równej akcji i reakcji.
Zgodnie z III zasadÄ… dynamiki i-ty punkt materialny
działa na j-ty punkt materialny tą samą siłą, lecz
przeciwnie skierowaną, jaką j-ty punkt materialny działa
na i-ty punkt materialny.
2
F21 = -F12
F12
1
Na układ działają
siły wewnętrzne i zewnętrzne
F0
F20
F10
F01
F02
2
F12
1
F21
F12 i F21
Oprócz sił wewnętrznych na układ dwóch
cząstek działają nie kompensujące się siły zewnętrzne.
Układ pięciu cząstek, na które działają
siły wewnętrzne i zewnętrzne
Fi0
Całkowita siła działająca
Fji
na i-tÄ… czÄ…stkÄ™ ze strony
j
pozostałych cząstek i
Fij
otoczenia:
i
5
Fi =
( )
"F + Fi0 i = 1, 2,3, 4,5 .
ij
j=1
j`"i
5
z z
pi = Fi Ò! pi =
"F + Fi0 .
ij
j=1
j`"i
Całkowita siła działająca
na układ cząstek
Całkowity pęd układu N cząstek:
n
p =
"p
i
i=1
ëÅ‚ öÅ‚
n n n n n n
z z
p = pi =
" "ìÅ‚"F + Fi0 ÷Å‚ = ""F +"F =
ij ij i0
ìÅ‚ ÷Å‚
i=1 i=1 j=1 i=1 j=1 i=1
ìÅ‚ ÷Å‚
5
j`"i j`"i
íÅ‚ Å‚Å‚
ij 0
"F +Fi
j=1
0
j`"i
n
=
"F = F0.
i0
i=1
Zastosowanie zasady zachowania pędu:
zderzenie niesprÄ™\yste
v
Ciało o masie m1, poruszające się z prędkością
zderza się z nieruchomym ciałem o masie m2. W wyniku
zderzenia centralnego ciała skleiły się. Określ
v '
wektor prędkości ruchu ciała, które powstało.
Przyjmijmy, \e układ dwóch ciał jest odosobniony. Pęd
przed zderzeniem równy jest pędowi po zderzeniu
pęd przed zderzeniem : P = m1v + 0.
pęd po zderzeniu : P ' = m1 + m2 v '.
( )
m1v
P = P ' Ò! v ' = .
m1 + m2
( )
Wizyta w wesołym miasteczku
We wnętrzu cylindra o średnicy R
równej około 4 m plecami do jego
ściany stoją ludzie. Cylinder zaczyna
wirować z rosnąca prędkością kątową.
Gdy jest ona dostatecznie du\a
podłoga cylindra opada w dół. Nie
przeszkadza to opartym o ścianę
osobom w zachowaniu poczÄ…tkowo
przyjętych pozycjach. Próby
przesuwania się po ścianie tak\e nie
prowadzą do oderwania się od ściany.
Krzysztof Ernst, Einstein na huśtawce, czyli fizyka zabaw, gier i
zabawek,Prószyński s S ka, Warszawa 2003
-
Punkt widzenia osób wewnątrz
wirujÄ…cego cylindra
Obserwator w układzie nieinercjalnym odczuwa działanie siły
Istnieje siła odśrodkowa, która przyciska osoby znajdujące
wewnątrz cylindra do ściany. Siła tarcia utrzymuje je w
początkowym poło\eniu.
Nieruchomy obserwator
Osoby znajdujÄ…ce siÄ™ wewnÄ…trz cylindra zmuszane sÄ… do
poruszania się po okręgu na skutek siły jaką działa ona na nie. Ta
siła wytwarza siłę tarcia, która równowa\y siłę cię\kości.
Wartość minimalnej prędkości kątowej
pozwalająca zrównowa\yć siłę cię\kości
Niech M będzie masą osoby znajdującej się w wirującym
cylindrze. Siła cię\kości P=Mg.
Siła dośrodkowa: F0 =Mv2/R.
SiÅ‚a tarcia: K=µF0.
Dane: µ=0,25, R=2 m.
P = K Ò! Mg = µMv2 / R Ò! v = gR / µ.
Prędkość liniowa nie zale\y od masy M!
v=9m/s
É = 2Ä„R / v C" 0,7obrotu / s .
Liniowy oscylator harmoniczny
ma t = F x
( ) ( )
Wybierzemy tak układ współrzędnych, aby ruch dbywał
się wzdłu\ osi x.
Ć Ć Ć
a t = a t x = xd2x t / dt2; F = -xkx t .
( ) ( ) ( ) ( )
k
Oznaczenie : k / m = É2
zz
x t + x t = 0.
( ) ( )
m
zz
x t + É2x t = 0.
( ) ( )
Równanie ruchu liniowego
oscylatora harmonicznego
zz
x t + É2x t = 0.
( ) ( )
x t = 0 = x0; dx t / dt = v0 .
Warunki poczÄ…tkowe:
( ) ( )
t=0
Poniewa\ v0`"0, x0 nie jest maksymalnym wychyleniem,
ani nie znajduje siÄ™ w poczÄ…tku osi x.
Całkowita energia oscylatora:
2 2
= mv2 t / 2 + mÉ2x2 t / 2 .
E = mv0 / 2 + mÉ2x0 / 2
( ) ( )
Szukamy rozwiÄ…zania postaci:
x t = xm cos Ét + Ć .
( ) ( )
Liniowy oscylator harmoniczny 1
x t = 0 = xm cos Ć,
( )
dx t / dt = -xmÉsin Ét + Ć = -xmÉsin Ć .
( ) ( )
t=0 t=0
x0 = xm cos Ć, ×É,obydwa równania do kwadratu
i dodajemy stronami
v0 = -xmÉsin Ć.
Znajdziemy wychylenie maksymalne:
2
2
xm = x0 + v0 / É .
( )
Wyraziliśmy maksymalne wychylenie przez warunki początkowe!
Weryfikacja rozwiÄ…zania
x t = xm cos Ét + Ć ,
( ) ( )
z
x t = -xmÉsin Ét + Ć ,
( ) ( )
zz
x t = -É2 xm cos Ét + Ć = - É2 x t = F îÅ‚
( ) ( ) ( ) ( )ûÅ‚
ðÅ‚x t Å‚Å‚ / m =
k / m
x t
( )
k
= - x t .
( )
zz
mx t = -kx t .
( ) ( )
m
Liniowy oscylator harmoniczny.
Sens wielkości określających rozwiązanie
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
x t = xm cosìÅ‚ É t + Ć .
( )
÷Å‚
częstosć
faza
amplituda
ìÅ‚ ÷Å‚
wychylenie w
kolowa
drgań
íÅ‚ Å‚Å‚
momencie czasu t
Liniowy oscylator harmoniczny:
momenty czasu tąm , w których cząstka
osiÄ…ga maksymalne wychylenie
x t = xm cos Ét + Ć .
( ) ( )
x(tÄ…m)= Ä… xm je\eli cos(Ét +Ć)=Ä…1
Ä…m
Ét+m + Ć = 0 Ò! t+m = -Ć / É
x(t-m)=-xm je\eli cos(Ét-m+Ć)=-1
Ét-m + Ć = Ä„ Ò! t-m = Ä„ - Ć / É
( )
Liniowy oscylator harmoniczny:
prędkość odpowiadająca
maksymalnemu wychyleniu
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
v t+m = -xmÉsin Ét+m + Ć = sin 0 = 0 .
( )
ìÅ‚ ÷Å‚
-Ć
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚
v t-m = -xmÉsin Ét-m + Ć÷Å‚ = sin Ä„ = 0 .
( )
ìÅ‚ ÷Å‚
ÉÅ" Ä„-Ć / É
( )
íÅ‚ Å‚Å‚
W punktach zwrotnych prędkość cząstki jest równa zero.
Jej energia kinetyczna jest równa zero. Energia
potencjalna powinna być maksymalna.
Siła w punktach
maksymalnego wychylenia
F t = -kx t .
( ) ( )
F tÄ…x = -kx tÄ…x = -k Ä…xm = "kxm.
( )
( ) ( )
m m
Praca dW związana z przesunięciem o dx pod wpływem
siły sprę\ystej F(t):
2
Å‚Å‚
dW = dx F x = dx îÅ‚
( ) ( )ûÅ‚ ( )
ðÅ‚kx t Å‚Å‚ = d îÅ‚
ðÅ‚kx t / 2ûÅ‚ = dEp .
zmiana energii potencjalnej
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚
Ep ðÅ‚x t a" V
( )ûÅ‚ ( )ûÅ‚ ( )
ðÅ‚x t Å‚Å‚ = kx2 t / 2 .
Związek siły z energią potencjalną
F x = -kx.
V x = kx2 / 2,
( )
( )
F = -dV x / dx .
( )
Jest to przykład ogólnej relacji wią\ącej
potencjał z siłą:
"V r1, r2, r3
( )
FÄ… r = - a" -gradÄ…V r = -"Ä…V r .
( ) ( ) ( )
"rÄ…
r = r1, r2, r3 .
( )
Momenty czasu tąv, dla którego
energia kinetyczna jest maksymalna
v t = dx t / dt = xmÉ sin Ét + Ć ,
( ) ( ) ( )
sin ÉtÄ…v + Ć = Ä…1,
( )
Ét+v + Ć = Ä„ / 2 Ò! t+v = Ä„ / 2 - Ć / É,
( )
Ét-v + Ć = 3Ä„ / 2 Ò! t-v = 3Ä„ / 2 - Ć / É.
( )
Wychylenie odpowiadajÄ…ce tÄ…v
Ét+v + Ć = Ä„ / 2 Ò! t+v = Ä„ / 2 - Ć / É,
( )
Ét-v + Ć = 3Ä„ / 2 Ò! t-v = 3Ä„ / 2 - Ć / É.
( )
x t+v = xm cos îÅ‚ Å‚Å‚
( ) ( )
ðÅ‚É Ä„ / 2 - Ć / É + ĆûÅ‚ = xm cos Ä„ / 2 = 0,
x t-v = xm cos îÅ‚ Å‚Å‚
( ) ( )
ðÅ‚É 3Ä„ / 2 - Ć / É + ĆûÅ‚ = xm cos3Ä„ / 2 = 0 .
Maksymalnej prędkości odpowiada poło\enie cząstki
w poczÄ…tku osi x.
Energia potencjalna i kinetyczna
odpowiadajÄ…ce tÄ…m,tÄ…v
2
îÅ‚ Å‚Å‚
k
ïÅ‚
z
Ek tąm = mx2 tąm / 2 = 0, V xąm = m x tąm śł / 2 =
( ) ( ) ( ) ( )
ïÅ‚ śł
m
Ä…xm
ðÅ‚ ûÅ‚
É2
= mÉ2xm / 2.
z
Ek tÄ… v = mx2 tÄ… v / 2 = mÉ2x2 / 2, V xÄ…m = 0.
( ) ( ) ( )
m
Całkowita energia liniowego
oscylatora harmonicznego
z
îÅ‚ Å‚Å‚
Ek ðÅ‚x tÄ…m + V îÅ‚
( )ûÅ‚ ( )ûÅ‚
Sprawdziliśmy, \e:
m
ðÅ‚x tÄ…m Å‚Å‚ = mÉ2x2 / 2 = E,
z
îÅ‚ Å‚Å‚
Ek ðÅ‚x tÄ…v + V îÅ‚
( )ûÅ‚ ( )ûÅ‚
m
ðÅ‚x tÄ…v Å‚Å‚ = mÉ2x2 / 2 = E.
Poka\emy, \e:
z
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚
E = Ek ðÅ‚x t + V
( )ûÅ‚ ( )ûÅ‚
m
ðÅ‚x t Å‚Å‚ = mÉ2x2 / 2.
Liniowy oscylator harmoniczny:
prawo zachowania energii
z
x t = xm cos Ét + Ć , x t = -xmÉsin Ét + Ć ,
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
E = m îÅ‚-xmÉsin Ét + Ć Å‚Å‚ / 2 + k îÅ‚
( )ûÅ‚ ( )ûÅ‚
m
ðÅ‚ ðÅ‚x cos Ét + Ć Å‚Å‚ / 2 =
= mÉ2x2 sin2 Ét + Ć / 2 + k x2 cos2 Ét + Ć / 2 =
( ) ( )
m m
mÉ2
= mÉ2x2 / 2.
m
Przykład ruchu drgającego
ObciÄ…\ona butelka o masie mb i
powierzchni pola podstawy pływa
w du\ym zbiorniku z wodÄ…. W
poło\eniu równowagi butelka
zanurza się na głębokość d0.
Poka\, \e po wepchnięciu butelki z
na głębokość d>d0, butelka
y
będzie poruszać się ruchem
harmonicznym. Oblicz częstość x
drgań.
AÅ"d=Vd objÄ™tość części butelki
zanurzonej w wodzie. Je\eli Á jest
gÄ™stoÅ›ciÄ… masy wody, to md=VdÁ jest
masÄ… wody wypartej przez butelkÄ™.
Analiza
Siły działające na butelkę:
Siła cię\kości:Fc = -mbgę .
SiÅ‚a wyporu: Fw = ÁgAd Ä™ ,
( )
g jest przyśpieszeniem swobodnego spadku w polu
ciÄ™\koÅ›ci Ziemi, Á gÄ™stoÅ›ciÄ… wody.
W poło\eniu równowagi butelka jest zanurzona do
głębokości d0, a siły równowa\ą się:
mbg = ÁAd0 g.
( )
Oznaczenie: x jest wychyleniem z poło\enia równowagi:
d = d0 + x .
Zastosujemy II zasadÄ™ dynamiki
mg = ÁAd0 g.
zz
mx = mg - îÅ‚ ( )
( )ûÅ‚
ðÅ‚ÁA d0 + x Å‚Å‚ g
zz
mx t = - ÁAg x t
( ) ( ) ( )
k=mÉ2
mg
ÁAg Ád0Ag g
mÉ2 = ÁAg Ò! É2 = = = .
m md0 d0
g
É = g / d0
zz
x t = - x t .
( ) ( )
d0
Jak dobrać współczynnik K do
wysokości skoku i masy skoczka
Siła działająca na skoczka dla wydłu\enia x
îÅ‚
F x = K"x =
( ) ( )
m
ðÅ‚2mg xm + L / x2 Å‚Å‚ "x
ûÅ‚
Dla x=0 F(0)=Kxm
îÅ‚
F xm = Kxm =
( ) ( ) ( )
m
ðÅ‚2mg xm + L / x2 Å‚Å‚ xm = îÅ‚ ûÅ‚
ûÅ‚ ðÅ‚2mg xm + L / xm Å‚Å‚ =
= 2mg 1+ L / xm .
( )
Jak dobrać współczynnik K do
wysokości skoku i masy skoczka
Niech d=20 cm, okres drgań
T = 2Ä„ 0.2 m / 9.8m / s2 = 0.9s .
RozwiÄ…zanie nie zale\y od A i Á.
Zale\y ono jedynie od d0 i g.
Bungee, czyli skoki na linie
Krzysztof Ernst, Einstein na huśtawce, czyli fizyka
zabaw, gier i zabawek,Prószyński s S-ka, Warszawa
2003
Bungee
Długość liny: L,
współczynnik sprę\ystości liny: K,
Długość maksymalnie
rozciągniętej liny: (L+xm),
Masa skoczka: m,
Wysokość wzniesienia skoczka
nad powierzchniÄ™ ziemi albo wody
H.
m
L+x
Zastosowanie prawa
x
zachowania energii
energia poczÄ…tkowa
mg L + xm
( )
energia skoczka w polu sił cię\kości.
W poło\eniu x=0 energia sprę\ysta liny jest
maksymalna: Energia w polu
Kx2 / 2.
m
cię\kości Ziemi jest najmniejsza: mg0=0.
Z prawa zachowania energii
0
mg L + xm = Kx2 / 2.
( )
m
m
L+x
Jak wybrać parametry zadania, aby
skoczek nie uderzył głową w ziemię
x2 - 2mg / K xm - 2mgL / K = 0 .
( )
m
2
xm = mg / K + mg / K + 2mgL / K .
( )
H>L+xm.
Związek współczynnika
sprę\ystości liny z
charakterystykami zagadnienia
mg L + xm = Kx2 / 2.
( )
m
K = 2mg L + xm / x2
( )
m
L
2
îÅ‚
K =
( )
[ ]
m
ðÅ‚mg L + xm / x2 Å‚Å‚ = M T2L = MT-2 = îÅ‚ mûÅ‚
ûÅ‚ ðÅ‚É Å‚Å‚
1
2
îÅ‚ Å‚Å‚
K / M = = .
[ ]
ðÅ‚É ûÅ‚
T2
Jaka siła działa na skoczka
Lina o długości 10 m, rozciągająca się pod
obciÄ…\eniem skoczka o masie 70 kg o 20 m
powinna mieć współczynnik sprę\ystości 130
N/m,
siła jaka działa na skoczka w poło\eniu
najwiÄ™kszego wydÅ‚u\enia: 2600 N (H"3×70 kg × g).
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
wykład 09 11 10Analiza Wykład 10 (09 12 10) ogarnijtemat comAnaliza Wykład 8 (25 11 10)Wykłady materiały drogowe 09 11 2014Analiza Wykład 5 (04 11 10) ogarnijtemat comWyklad ZUN 11 10Analiza Wykład 6 (16 11 10) ogarnijtemat comwykład 11 10 01 2013Analiza Wykład 7 (18 11 10) ogarnijtemat com6 wyklad 3 Anna Brzezinska Periodyzacja biegu zycia 10 11Wykład 13 lęk i strach przed przestępczością [10 11]Religie świata wykład 11 10 201202 10 09 (11)więcej podobnych podstron