13. WSTP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI 1
13. Ł
13. WSTP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI
13.1. TEORIA PLASTYCZNOŚCI
Teoria plastyczności zajmuje się analizą stanów naprężeń ciał, w których w wyniku działania
obciążeń powstają trwałe odkształcenia - DEFORMACJE.
CECHA PLASTYCZNOŚCI trwałe deformacje po usunięciu przyczyn. Przykładem może być
rozciąganie próbki w jednoosiowym stanie naprężeń.
13.2. MODELE CIAAA SPRŻYSTO PLASTYCZNEGO
CIAAO SPRŻYSTO PLASTYCZNE to ciało, dla którego zależność odkształceń od naprężeń jest
zgodna z jednym z poniższych wykresów.
a) model ciała sprężysto - plastycznego ze wzmocnieniem liniowym (Rys. 13.1.)
i nieliniowym (Rys. 13.2.)
ą
E
Rys. 13.1. Model ciała sprężysto - plastycznego ze wzmocnieniem liniowym
ą
E
Rys. 13.2. Model ciała sprężysto - plastycznego ze wzmocnieniem liniowym
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
13. WSTP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI 2
b) model ciała sprężysto idealnie plastycznego (Rys. 13.3.)
ą
E
Rys. 13.3. Model ciała sprężysto idealnie plastycznego
c) model ciała sztywno - plastycznego ze wzmocnieniem (Rys. 13.4.)
ą
E
Rys. 13.4. Model ciała sztywno - plastycznego ze wzmocnieniem
d) model ciała sztywno idealnie plastycznego (Rys. 13.5.)
ą
E
Rys. 13.5. Model ciała sztywno idealnie plastycznego
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
13. WSTP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI 3
13.3. HIPOTEZY WYTRZYMAAOŚCIOWE
13.3.1. HIPOTEZA HMH (HUBERA MISESA HENCKY'EGO)
Huber
zaobserwował, że nie jest możliwe przejście w stan plastyczny ciał z odkształceniami
objętościowymi.
musi nastąpić zmiana postaciowa a nie objętościowa, co świadczy o tym, że decyduje
energia typu postaciowego
Materiał przechodzi w stan plastyczny wtedy gdy energia odkształcenia postaciowego osiąga
wartość krytyczną właściwą danemu materiałowi lecz niezależną od rodzaju stanu naprężeń
1
ą= "ą0 (13.1)
śą6 "Gźą
s intensywność dewiatora naprężeń
o -
G moduł Kirchoff'a
3 "
si= "s
ćąs
jk jk
2
ćą
(13.2)
si=ą0
s elementy dewiatora naprężeń
jk
Wzór na naprężenia zredukowane w punkcie:
1
2 2
ą0= " śąą11-ą22źą2ąśąą22-ą33źą2śąą33-ą11źą2ą6 śąą12ąą2 ąą31źą
(13.3)
ćą
23
2
ćą
Naprężenia w punkcie w głównym stanie naprężeń:
1
ą0= " śąąI-ąII źą2ąśąąII-ąIII źą2śąąIII-ąI źą2
(13.4)
ćą
2
ćą
Naprężenia w punkcie w jednoosiowym stanie naprężeń:
1
ą0= " 2ą2=ąI
(13.5)
ćą
I
2
ćą
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
13. WSTP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI 4
Wartość tensora, dla którego energia sprężysta osiągnie taką wartość, dla której ciało przejdzie w
stan plastyczny można przedstawić wykorzystując stan naprężenia.
ąIII
ą
ą
ąII
ą
ąI
Rys. 13.6. Walec
s1
s2
max
Rys. 13.7. Płaski stan naprężeń
Naprężenie w głównym stanie naprężeń, gdzie występują tylko trzy zmienne można przedstawić w
trójosiowej przestrzeni naprężeń głównych. Obrazem geometrycznym tego równania jest walec kołowy
2 "ą . Oś walca tworzy ten sam kąt z każdą osią układu współrzędnych
(Rys. 13.6.) o promieniu
r=
0
3
ćą
ąI ,ąII ,ąIII . Jest to tzw. oś aksjatorów.
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
13. WSTP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI 5
3 cos2ą=1
(13.6)
3
ćą
arccosśą źą=54,74A
3
Walec jest geometrycznym obrazem naprężeń:
współrzędne punktów wypełniających wnętrze walca odpowiadają sprężystym stanom
naprężenia.
Uplastycznienie zachodzi dla każdego stanu naprężenia odpowiadającego punktom
leżącym na pobocznice walca.
13.3.2. HIPOTEZA TRESKI
Podstawą do sformułowania tego warunku była obserwacja linii Ldersa, które powstają w
początkowej fazie uplastyczniania próbki rozciąganej. Ponieważ kąt nachylenia tych linii do osi próbki jest
bliski 45 i odpowiada płaszczyznom maksymalnych naprężeń stycznych co oznacza, że:
tam musi nastąpić zerwanie więzi w wyniku działania sił stycznych
tam będzie poślizg kryształów
Materiał przechodzi w danym punkcie w stan plastyczny wówczas, gdy maksymalne naprężenie
styczne osiągnie pewną graniczną wartość, charakterystyczną dla tego materiału
#"ą2-ą3#"
ą1=
2
#"ą1-ą3#"
ąekst=
ą2= (13.7)
2
#"ą1-ą2#"
{
ą3=
2
Podobnie jak w przypadku teorii HMH także i tutaj można skorzystać z jednoosiowego stanu
naprężenia:
ą2=ą3=0
ą1`"0
(13.8)
ą0
ąekst=
2
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
13. WSTP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI 6
W przypadku teorii Treski geometrycznym obrazem będzie graniastosłup foremny 0 podstawie
sześciokąta, który jest wpisany w walec Hubera. Opisują go zależności:
#"ą2-ą3#"'"ą0
#"ą1-ą3#"'"ą0
(13.9)
#"ą1-ą2#"'"ą0
Graniastosłup jest geometrycznym obrazem naprężeń:
współrzędne punktów wypełniających wnętrze graniastosłupa odpowiadają sprężystym
stanom naprężenia
uplastycznienie zachodzi dla każdego stanu naprężenia odpowiadającego punktom
leżącym na pobocznicy graniastosłupa
13.4. SPRŻYSTO PLASTYCZNE ZGINANIE BELKI
Założenia:
belka jest swobodnie podparta
rozpatrujemy przypadek czystego zginania
model ciała: sprężysto idealnie plastyczny (Rys. 13.8.)
Przekrój belki: dowolny przekrój pryzmatyczny (Rys. 13.9.)
ą
ą0
ą0 ą
Rys. 13.8. Model ciała sprężysto idealnie plastyczny
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
13. WSTP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI 7
x
z
y
Rys. 13.9. Przekrój pryzmatyczny
Warunki równowagi
1) Siła normalna
(13.10)
N = ąx dA=0
+"
A
2) Moment zginający
M =constans
(13.11)
M = ąx"y dA
+"
A
ą
ą ą ą ą
ą ą
ą0 ą0 ą0
ą0
ą0
hg
hg
Ag
hg
ą0
Ad
hd
ą0
ą0 ą0 ą0
ą0 ą0
Stan A StanC
Stan B Stan D
Rys. 13.10. Rozkład naprężeń i odkształceń
Stan A (patrz Rys. 13.10.)
Naprężenia w dowolnym punkcie:
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
13. WSTP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI 8
M
ąx= "y
(13.12)
I
x
Naprężenia w skrajnym włóknie dolnym:
M
ąo= "hd
(13.13)
I
x
Odkształcenia
ą0
ą=ą" (13.14)
E
Stan B (patrz Rys. 13.10.)
Naprężenia w strefie sprężystej:
ąx=E"ą=E"1 "y
(13.15)
ą
Z 1) warunku równowagi:
hg hd
ąx dAą ą0 dA=0 (13.16)
+" +"
-hg hg
Po podstawieniu s , dA i wyciągnięciu przed całkę wielkości stałych otrzymamy:
x
hg hd
E"1 y"bśą yźądyąą0" bśą yźądy=0 (13.17)
+" +"
ą
-hg hg
E
S ąą0"Ap=0
(13.18)
s
ą
Gdzie:
S moment statyczny części przekroju w zakresie naprężeń sprężystych
s
A pole części przekroju w zakresie naprężeń plastycznych
p
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
13. WSTP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI 9
Z 2) warunku równowagi:
hg hd
ąx"y dAą ą0"ydA=M (13.19)
+" +"
-hg hg
Po podstawieniu s , dA i wyciągnięciu przed całkę wielkości stałych otrzymamy:
x
hg hd
E"1 y2 "bśą yźądyąą0" y"bśą yźądy=M (13.20)
+" +"
ą
-hg hg
E
I ąą0"S =M
(13.21)
s p
ą
Gdzie:
I moment bezwładności części przekroju w zakresie naprężeń sprężystych
s
S moment statyczny części przekroju w zakresie naprężeń plastycznych
p
Stan C (patrz Rys. 13.10.)
Stan ten jest podobny do stanu B, zwiększa się tylko zakres strefy plastycznej.
Analizując warunki równowagi otrzymamy takie same zależności:
E
S ąą0"Ap=0
(13.22)
s
ą
E
I ąą0"S =M
(#.23)
s p
ą
Stan D (patrz Rys. 13.10.)
Z 1) warunku równowagi:
hd
ą0 dA=0 (13.24)
+"
hg
Po podstawieniu dA i wyciągnięciu przed całkę wielkości stałych otrzymamy:
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
13. WSTP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI 10
hd
ą0" bśą yźądy=0 (13.25)
+"
hg
ą0"Ap=0
(13.26)
Z 2) warunku równowagi:
hd
ą0"ydA=M (13.27)
+"
hg
Po podstawieniu dA i wyciągnięciu przed całkę wielkości stałych otrzymamy:
hd
ą0" y"bśą yźądy=M (13.28)
+"
hg
ą0"S =M
(13.29)
p
Środek ciężkości dzieli przekrój na dwie części o takiej samej wartości momentu statycznego. Pola
ą0"Ap=0
powierzchni tych dwóch części nie muszą być takie same (A `" A ) , zatem warunek 1) nie
g d
będzie spełniony.
Nastąpi przesunięcie osi ciężkości przekroju.
S z drugiego warunku musi być policzone względem nowego położenia osi.
p
Wiemy, że
M
ą0=
(13.30)
S
p
Oraz, że
M
ąmax= (13.31)
W
Dla przekroju idealnie plastycznego (Rys. 13.10. - stan D)
ą0=W
(13.32)
pl
Gdzie: W wskaznik oporu plastycznego
pl
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
13. WSTP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI 11
Dla przekroju prostokątnego:
b
h
2
Rys. 13.11. Przekrój prostokątny
b"h2
W =2 "[śąb"h"0,5źą"h ]=
pl
4 4
Dla prętów o innych przekrojach geometrycznych W wynosi:
pl
dla przekroju kołowego:
4 r3
W = (13.33)
pl
3
dla przekroju w kształcie rombu:
a
Rys. 13.12. Przekrój w kształcie rombu
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
13. WSTP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI 12
(13.34)
a3
W =
pl
3 2
ćą
dla przekroju teowego:
b
t
h
Rys. 13.13. Przekrój teowy
Pomijamy środnik, co daje nam w rezultacie
W =t"b"h
(13.35)
pl
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
UAS 13 zaoer4p2 5 13Budownictwo Ogolne II zaoczne wyklad 13 ppozch04 (13)model ekonometryczny zatrudnienie (13 stron)Logistyka (13 stron)Stereochemia 13kol zal sem2 EiT 13 2014EZNiOS Log 13 w7 zasobyPsychologia spoĹ‚eczna WYKĹAD 13więcej podobnych podstron