Egzamin końcowy z przedmiotu  Analiza matematyczna i algebra liniowa
WETI, kierunek AiR gr. 1-4, 2 sem., r. ak. 2009/2010
1. [4p.] Zbadać zbieżność szeregów liczbowych i określić jej rodzaj
" "

(n!)2 n + 2
a) b) (-1)n
(2n)! n2 + 1
n=1 n=1
n

"
3
n + 1
[2p.] c) Sprawdzić, czy szereg spełnia warunek konieczny zbieżności.
2n
n=1
2. [4p.] a) Wyznaczyć przedział zbieżności i znalez
ć sumę szeregu potęgowego
"

xn
n5n
n=0
[2p.] b) Podać przykład szeregu potęgowego, którego promień zbieżności wynosi R = 0
i przykład szeregu potęgowego, którego promień zbieżności wynosi R = ". Odpowiedz

uzasadnić w oparciu o dowolnie wybrane kryterium.
3. [4p.] Rozwinąć funkcję f(x) = ln(x2 + 5x + 6) w szereg Maclaurina. Podać przedział
zbieżności otrzymanego szeregu.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. [4p.] Wyznaczyć całkę szczególną równania y +y tgx = sin 2x spełniającą warunek począt-
kowy y(0) = 1.

x
5. [4p.] Sprawdzić, czy równanie różniczkowe (ln y - 2x) dx + - 2y dy = 0 jest zupełne
y
i wyznaczyć jego całkę ogólną.
6. [4p.] a) Stosując transformatę Laplace a wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego
y + 4y = et
przy zadanych warunkach początkowych y(0) = 0, y (0) = 1.
[2p.] b) Wyprowadzić wzór na transformatę Laplace a funkcji jednostkowej f(t) = 1.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Funkcja f(x) = 3 - x dla x " [0, 3] posiada rozwinięcie w szereg
trygonometryczny Fouriera postaci

"

3 6(1 - (-1)n) nĄx
+ cos .
2 Ą2n2 3
n=1
"

1 - (-1)n
W oparciu o to rozwinięcie wyznaczyć sumę szeregu .
n2
n=1


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
kol pol sem2 AiR 10
kol kon sem2 AiR 11
kol kon sem2 AiR 09
kol kon sem2 IBM 09
kol pol sem2 AiR 09
kol pol sem2 AiR 11
kol pol sem2 EiT 10
kol kon sem2 ETI 08 K1
kol kon sem2 IBM 11
kol pol sem2 IBM 10
kol zal sem2 AiR IBM 12 2013
kol kon sem2 EiT 11
kol zal sem2 AiR IBM 13 2014
egz kon ETI AiR 09 10
kol zal algebra ETI AiR 10 11
Kol 1 popr1 z ETMiMD AiR wiecz inz sem5 10
kol zal pop sem2 AiR IBM 12 2013
kol zal sem2 ETI AiR 11 2012

więcej podobnych podstron