Wprowadzenie do programu MATHCAD
Zaletami programu MathCad, w porównaniu do innych programów służących do
obliczeń matematycznych, takich jak Matlab, Mathematica, są proste i intuicyjne zasady
pracy z programem, umożliwiające opanowanie go w krótkim czasie. Obszar roboczy
głównego okna programu można traktować jak arkusz papieru, na którym w dowolnym
miejscu, wskazanym kursorem myszki, można wpisywać wyrażenia i równania
matematyczne. Graficzna postać wpisywanych wyrażeń zgodna jest z ich wyglądem na
tradycyjnej kartce papieru dla powszechnie stosowanej konwencji zapisu matematycznego.
MathCad oblicza wyrażenia i równania matematyczne w kolejności w jakiej występują
one na arkuszu obliczeniowym w kierunku na prawo i w dół arkusza.
Operatory matematyczne używane w wyrażeniach matematycznych można
wprowadzać z klawiatury, bądz z palet dostępnych na pasku narzędzi. Po otwarciu palety,
należy wybrać odpowiednią ikonkę, wprowadzającą operator matematyczny w miejscu
wskazanym kursorem myszki:
paleta operatorów paleta wektorów
paleta operatorów
paleta wykresów
relacji i logicznych i macierzy
arytmetycznych
1
paleta programowania
paleta operatorów analizy paleta liter greckich
W przykładach podanych w poniższej tabeli, w prawej kolumnie zamieszczono
komentarze i sposoby wykonywania obliczeń.
Wyrażenia arytmetyczne
35.2 40 = 110
Nacisnąć po kolei klawisze (przecinków nie wprowadzamy):
35,*,2,+40,=
3 + 5"2
Nacisnąć po kolei klawisze:
- 3 = -2.819
3,+,5,*,2,spacja,spacja,/,72,spacja,-3,=
72
3
2,*,\,15,spacja,+,3,/,4,spacja,spacja,spacja,/,2,*
2" 15 +
,10,^,2, spacja,-,1=
4
= 0.043
2"102 - 1
Definiowanie zmiennych
t := 10
Nacisnąć klawisze:
t,:,10
t jest nazwą zmiennej, 10 jest jej wartością.
Jest to definicja zmiennej lokalnej, która obowiązuje od miejsca, w
którym została zdefiniowana do końca dokumentu (na prawo i w dół).
Aby wyświetlić wartość zdefiniowanej zmiennej, piszemy jej nazwę i znak
=
:= 4 Litery greckie wprowadzamy z palety, albo pisząc odpowiednik polski
litery greckiej i naciskając CTRL+G.
y := 3" + 5
y=17
2
G a" 10
Definicja zmiennej globalnej.
Należy nacisnąć klawisze:
G,~(tylda),10
Zmienna globalna obowiązuje w całym dokumencie (również powyżej
miejsca jej zdefiniowania).
Definicja lokalna zawsze przysłania definicję globalną.
M1:=34
Nazwa zmiennej z dolnym indeksem.
Należy nacisnąć klawisze:
M,.(kropka),1,:,34
Definiowanie funkcji
Funkcja jednej zmiennej. x jest argumentem funkcji.
f(x) := 3"x2
Przy wywołaniu funkcji podajemy aktualny argument (nazwę, która może
być inna niż x, lub wartość) np.:
f(2.3)=15.87
g(x, y) := 3"x + 6"y
Funkcja dwóch zmiennych. Wywołanie np.:
a:=2.4
g(a,a)=21.6
g(1,2*a)=31.8
z(r, fi) a" r"cos(fi)
Definicja funkcji globalnej, obowiązującej w całym dokumencie. (Symbol
a" wstawiamy z palety, lub naciskając klawisz ~ (tylda)).
Zmienna iterowana
k := 10, 11.. 20
Zmienna iterowana k przyjmuje kolejne wartości 10, 11 itd. co 1 do 20.
Zmienną taką definiuje się podając: początkową wartość, następną wartość
i po symbolu złożonego z dwóch kropek, wartość końcową. Symbol
złożony z dwóch kropek wprowadza się z palety lub naciskając klawisz ;
(średnik). Jeśli nie podamy następnej wartości (w przykładzie: 11), to
domyślnie przyjmowany jest przyrost wartości równy 1.
Wszystkie wartości zmiennej k otrzymamy, pisząc k=.
Zmiennej iterowanej używa się w obliczeniach powtarzanych w pętli, lub
do kreślenia wykresów.
dt := 0, 0.01.. 1
Zakres zmienności zmiennej dt obejmuje liczby od 0 do 1 co 0.01.
Zastosowanie zmiennej iterowanej
t := 10, 11.. 20
a
Wyrażenie t2 zostanie obliczone dla każdej wartości zmiennej t
a := 9.8
2
a
z zakresu 10 .. 20 (co 1).
"t2
2
3
Definiowanie macierzy
2.3
Aby utworzyć macierz (wektor), należy wskazać kursorem
ł ł
ł
początkowy punkt i nacisnąć klawisze CTRL+M lub skorzystać z
2 + x
ł
palety.
24
ł łł
W okienku należy podać liczbę wierszy (rows=3) i kolumn
(columns=1), następnie wypełniać poszczególne komórki.
1 4 -2
Standardowo wiersze i kolumny są numerowane od zera (można to
ł ł
ł
zmienić). Aby odwołać się do elementu A[2,3] naciskamy
A := 3 0 9
ł
klawisze:
0.5 2 7
ł łł
A1, 2 = 9
A,[,1,przecinek,2,=
B0, 0 := 1 B0, 1 := 3
Macierz można również utworzyć przez nadanie wartości jej
poszczególnym elementom.
B1, 0 := 7 B1, 1 := 5
1 3
ł ł
B =
ł
7 5
ł łł
Macierz zerową najprościej utworzyć przez utworzenie jej
zero3, 3 := 0
ostatniego elementu. Pozostałe, niezdefiniowane elementy będą
0 0 0 0
ł ł
miały domyślną wartość zerową.
ł
0 0 0 0
ł ł
zero =
ł ł
0 0 0 0
ł
0 0 0 0
ł łł
M := identity(3)
Macierz jednostkową wprowadzamy wywołując wbudowaną
1 0 0
ł ł
funkcję identity(n), gdzie n oznacza wymiar macierzy.
ł
M = 0 1 0
ł
Zdefiniowane w MathCadzie funkcje wywołujemy wybierając
0 0 1
ł łł
myszką ikonkę f(x) , lub z menu: Math Choose Function .
Z wyświetlonej listy wybieramy odpowiednią funkcję.
1 3 11 22
Macierz można utworzyć z podmacierzy korzystając z
ł ł ł ł
A := B :=
ł ł
wbudowanych funkcji augment i stack.
5 6 44 33
ł łł ł łł
C := augment(A , B)
1 3 11 22
ł ł
C =
ł
5 6 44 33
ł łł
D := stack(A , B)
1 3
ł ł
ł
5 6
ł ł
D =
ł ł
11 22
ł
44 33
ł łł
4
Działania i operacje na macierzach
Dodawanie i mnożenie macierzy.
1 3 11 22
ł ł ł ł
12 25 143 121
A := B :=
ł ł
C = D =
5 6 44 33
ł łł ł łł
49 39 319 308
C := A + B
D := A"B
1 3
Macierz odwrotna.
ł ł
A :=
ł
Symbol -1 można wprowadzić korzystając z palety lub
5 6
ł łł
wpisując z klawiatury:
D := A- 1
A,^,-1
-0.667 0.333
ł ł
D =
ł
0.556 -0.111
ł łł
1 7
Transpozycja macierzy.
T ł ł
1 4 8
ł ł
ł
Symbol T można wprowadzić korzystając z palety lub
= 4 3
ł
ł
7 3 0
ł łł
wpisując z klawiatury
8 0
ł łł
CTRL+1
Odwoływanie się do kolumn i wierszy macierzy
2 1 33
A<0> kolumna 0
ł ł
ł
A := 10 27 4
(AT)<0> wiersz 0
ł
22.0 3.4 5
ł łł
2
ł ł Symbol <0> można wprowadzić korzystając z palety lub
ł
A)#0*# = 10 wpisując z klawiatury CTRL+6
ł
22
ł łł
2
ł ł
0
T
( ))# *# ł
A = 1
ł
33
ł łł
5
Wykresy x-y
k := 1.. 1000
xk := 0.01"(k - 1)
2"Ą"xk 2"Ą"xk
ł ł
yk := xk - 5 + 1 + 4"sin zk := xk - 5 + 1 + 4"sin
( )2 łł ł ł ( )2 łł ł ł - 5
ł ł
ł ł ł ł
1 1
ł łł ł łł
Zapis xk oznacza k-ty element wektora x . Wektor x zawiera 1000 elementów. MathCad nanosi
kolejne punkty wykresu o współrzędnych (xk, yk) i łączy je linią tworząc pierwszą krzywą wykresu.
Drugą krzywą tworzą punkty (xk, zk).
" wykres tworzymy korzystając z palety wykresów lub z menu
" w zaznaczonym polu na osi x wpisujemy xk
" w polu na osi y wpisujemy yk, wpisujemy przecinek (,) i w polu poniżej wpisujemy zk
" klikamy myszką poza obszar wykresu. Krzywe zostaną wykreślone. Jedną krzywą tworzą
punkty (xk,yk), drugą krzywą tworzą punkty (xk,zk).
" wykres można powiększyć. Kliknąć na wykresie, aby go zaznaczyć. Ustawić kursor np. w
prawym rogu ramki tak aby przybrał postać ukośnej dwustronnej strzałki, nacisnąć i przeciągnąć
myszkę do innego punktu.
30
30
20
yk
10
zk
0
- 7.938
10
02468 10
0 xk 9.99
" formatowanie wykresu jest dostępne w okienku wyświetlanym po dwukrotnym kliknięciu na
wykresie
" aby wykres przeskalować, najpierw trzeba go zaznaczyć (kliknąć na wykresie). Potem kliknąć
na jednej z czterech liczb wyświetlanych po lewej stronie osi y i u dołu osi x i zwyczajnie je
zmienić (edycja wartości liczby)
6
Wykresy w układzie współrzędnych biegunowych
A:=0.5
R:=2
Ą
fi := 0, 2 .. 2Ą
100
ł2"fi Ą ł
r(fi) := R + A"sin -
ł
2
ł łł
" wykres tworzymy korzystając z palety
wykresów lub z menu: Insert Graph
Polar Plot (lub Ctrl+7)
" w polu dolnym wpisujemy kąt fi
" w polu lewym wpisujemy promienie: R
(krzywa 1: okrąg), wpisujemy przecinek,
r(fi) (krzywa 2). Aby zakreskować obszar
pomiędzy obydwoma krzywymi, rysujemy
je jeszcze raz: przecinek, R (krzywa 3), przecinek, r(fi) (krzywa 4).
Klikając dwukrotnie w obszarze rysunku, otwieramy okno formatowania.
" Na zakładce Polar Axes wyłączamy wszystkie pola, zaznaczamy tylko Axis Style:
None
" Na zakładce Traces dla krzywej 3 i 4, w polu Type wybieramy error . Zaznaczamy
Hide Arguments i Hide Legend .
(Uwaga: aby wkleić rysunek z Mathcada do Worda bez żadnych opisów, umieszczono blisko
rysunku w polu tekstowym kropkę. Następnie skopiowano do schowka obydwa obiekty (rysunek i
kropkę)
i wklejono do Worda).
Wykres 3D
2 2
f(x, y) := x + y
1. Naciskamy Ctrl+2 (lub z menu: Insert Graph Surface Plot).
W polu pod wykresem wpisujemy nazwę funkcji f.
2. Dwukrotnie klikamy na wykresie i na zakładce Appearance zaznaczamy Fill Surface
i ColorMap
3. Po zamknięciu okna dialogowego, można obracać wykresem, przez przeciąganie myszki.
f
7
Edycja wyrażeń
Zmiana operatora:
Aby w wyrażeniu zmienić operator matematyczny np. znak na
x2 3"a x2 3.a znak + , należy zaznaczyć lewostronnie cyfrę 3 (tak aby pionowa
niebieska kreska znajdowała się z lewej strony cyfry 3), nacisnąć
klawisz Backspace i wpisać nowy operator.
Do zmiany zaznaczenia lewostronnego na prawostronne
i odwrotnie naciskamy klawisz INS.
3 2.x 3 ( 2.x)2
Aby wyrażenie 2x podnieść do kwadratu zamiast
pierwiastkowania, należy zaznaczyć lewostronnie wyrażenie
3 2.x
podpierwiastkowe i nacisnąć klawisz Backspace . Zostanie
3 + 2"x usunięty symbol pierwiastka. Następnie zaznaczyć prawostronnie
wyrażenie podnoszone do potęgi (2"x) i wprowadzić operator
podnoszenia do kwadratu.
x2 2 x2
Aby przed wyrażeniem x2 dopisać operator dodawania, należy
zaznaczyć lewostronnie to wyrażenie i wpisać nowy operator + .
Następnie wpisujemy lewy operand.
x y x y
Aby wstawić operator pierwiastkowania dla całego wyrażenia
x+y należy wyrażenie x+y zaznaczyć lewostronnie lub
prawostronnie i wprowadzić nowy operator pierwiastek.
Wprowadzanie tekstu
Wyrażenie algebraiczne
Aby rozpocząć pisanie tekstu, należy wskazać
kursorem
początkowy punkt i nacisnąć klawisz (cudzysłów)
Rozwiązywanie nieliniowych równań algebraicznych
Aby rozwiązać nieliniowe równanie algebraiczne f(x)=0, należy podać początkową wartość
zmiennej x=x0 (punkt startowy).
Funkcja root znajduje pierwiastek równania f(x)=0 najbliższy podanemu punktowi startowemu.
Wykorzystywana jest metoda siecznych. Funkcja ta nie znajduje wszystkich pierwiastków. O
obecności innych pierwiastków można się przekonać, wykreślając wykres funkcji:
Poniżej rozwiązano równanie x3-10x+2=0
8
x 10, 9.9.. 10
50
50
25
x 5 root x3 10.x 2, x = 3.258
3
0
x 0 root x3 10.x 2, x = 0.201
x 10.x 2
x 5 root x3 10.x 2, x = 3.057
25
50
50
10 5 0 5 10
10 x 10
Rozwiązywanie układu liniowych równań algebraicznych
Rozwiązać układ równań liniowych: 3x+6y=9
2x+0.54y=4
Tworzymy macierz współczynników i wektor danych, następnie wywołujemy funkcję lsolve
3 6 9
M V
2 0.54 4
1.844
lsolve( M, V) =
0.578
Rozwiązywanie nieliniowych równań algebraicznych metodą Levenberga-Marquardta
Rozwiązać układ równań nieliniowych:
(xr,yr)
ł
x2 + y2 = 6ł z ograniczeniami x d" 1, y > 2
żł
ł
x + y = 2
ł
x2+y2=6
x+y=2
x 1 y 1
1) szacujemy początkowe wartości zmiennych (punkt startowy)
2) Blok rozwiązujący, zaczynający się słowem kluczowym Given,
Given
a kończący się wywołaniem procedury rozwiązującej Find,
x2 y2 6
zawiera równania i ograniczenia w postaci nierówności
x y 2
3) W równaniach, symbol równości wprowadzamy z palety lub
x 1
przez naciśnięcie klawiszy Ctrl =
y> 2
4) Ograniczenia nie są konieczne. Ich zastosowanie spowodowało
xr
odrzucenie drugiego rozwiązania równań (prawego, dolnego
Find( x, y)
y
punktu przecięcia prostej z okręgiem).
r
xr = 0.414 y = 2.414
r
9
Rozwiązywanie układu równań różniczkowych
Rozwiązanie układu liniowych równań różniczkowych zwyczajnych I rzędu
d
[X ]= [A][X ]+[B] z warunkami początkowymi [X ]= [X ]
0
dt
D(t,X):=[A][X0]+[B]
Z:=rkfixed(X,tpocz,tkonc,liczbapunktow,D)
tpocz czas początkowy dla którego znany jest warunek początkowy [X0]
tkonc czas końcowy obliczeń
liczbapunktow liczba punktów dla których zostanie wyznaczone rozwiązanie. Liczba
ta określa krok całkowania.
Z<0> - w pierwszej kolumnie znajduje
t x1 x2 L xn
0 0 0 się czas t
ł
0 x1 x2 L xn łł
W następnych kolumnach znajdują się
ł śł
1
wartości poszczególnych elementów
2 n
ł0.001 x1 x1 L x1 śł
Z =
2 2 2
ł0.002 x1 x2 L xn śł wektora stanu X:
ł śł
Z<1>=x1, Z<2>=x2, itd.
M M M O M
ł śł
konc konc konc
ł
tkonc x1 x2 L xn śł
ł ł
Rozwiązać równanie różniczkowe
dy
+ 3y = 0 z warunkiem początkowym y(0)=4
dt
y 4
1) Najpierw wprowadzamy warunek
0
początkowy. Zmienna określająca ten
warunek ma być wektorem. W
Dt, y) 3.y
(
rozpatrywanym przykładzie jest to wektor
W rkfixed( y, 0, 4, 100, D)
jednoelementowy. Indeks 0 wprowadzamy
i 0.. rows( W ) 1
za pomocą klawisza [
4 2) Funkcja D określa pierwsza pochodną
4
równania. Wektor y zawiera tylko jeden
3
element y0
3) Rozwiązanie obliczone jest w przedziale
W<1> 2
i
czasu (0,...,4) sekundy, w 100 krokach i jest
1
zapisane w macierzy W
4) W<0> pierwsza kolumna macierzy W
.10 5
2.457741
0
0 1 2 3 4
zawierająca kolejne wartości czasu
0 4
W<0> 5) W<1> druga kolumna macierzy W
i
zawierająca kolejne wartości funkcji y
6) indeks i numeruje kolejne wiersze macierzy
W (numery kroków całkowania). Funkcja
rows oblicza liczbę wierszy macierzy W.
10
Rozwiązać układ równań różniczkowych
dx
+ x - y = et ł
ł
dt
żł z warunkami początkowymi x(0)=0, y(0)=1
dy
ł
- x + y = et
dt ł
0
1) Wektor zmiennych oznaczono literą z . Najpierw
z
wprowadzamy warunek początkowy (wektor)
1
2) Funkcja D określa pierwsze pochodne równania
3) Rozwiązanie obliczone jest w przedziale czasu
z0 z1 et
D( t, z)
(0,...,1.5) sekundy w 1000 krokach i jest zapisane w
z0 z1 et
macierzy W
W rkfixed( z, 0, 1.5, 1000, D)
i 0.. rows( W ) 1
ti W<0>
i
xi W<1>
i
yi W<2>
i
6
4.006583
4.5
xi
3
yi
1.5
0
0
0 0.38 0.75 1.13 1.5
0 ti 1.5
Obliczenia symboliczne
Rozwiązać symbolicznie równanie kwadratowe
ax2 + bx + c = 0
1) Wprowadzamy równanie (ze znakiem równości
2
a"x + b"x + c 0
Ctrl+=, lub bez) i zaznaczamy zmienną
2) Z menu Symbolics wybieramy:
Variable Solve
1
ł ł łłłł
ł ł śłśł
2
1
ł ł 2 śłśł
(b )
ł2"a "ł-b + - 4"a"c łśł
ł śł
1
ł łł
ł śł
ł śł
2
ł śł
1
ł 2 śł
(b )
ł-b ł
ł2"a " - - 4"a"c śł
ł ł
11
a b
ł łł
Odwrócić symbolicznie macierz
łc dśł
ł ł
- 1
1) Wpisujemy macierz z symbolem odwracania
a b
ł ł
ł i zaznaczamy ją
c d
ł łł
2) Z palety Symbolics wybieramy:
Evaluate Symbolically
d -b
Inny sposób:
ł ł
ł
a"d - b"c a"d - b"c 1) Wpisujemy macierz z symbolem odwracania
ł ł
i zaznaczamy ją
-c a
ł
2) Naciskamy klawisze Ctrl+. (kropka), naciskamy
a"d - b"c a"d - b"c
ł łł
ENTER
Różniczkowanie funkcji
d
(x3 sin(x))
dx
3 2 3 Ctrl + .
d
( )
x "sin(x) 3"x "sin(x) + x "cos (x)
dx
Całkowanie funkcji
Całka oznaczona: Ctrl + .(kropka)
#c 3 1 4 1
ł
x dx "c -
!#1
4 4
Całka nieoznaczona:
#
1
ł 2 3
b"x dx "b"x
ł
3
!#
Wzory trygonometryczne
1) Po napisaniu wzoru, wybieramy z
Rozwinąć wzór trygonometryczny
palety Symbolics expand ,
wpisujemy w wyświetlonym polu a i
sin(ą + )
:
naciskamy ENTER
sin(a + b) expand, a sin(a)"cos (b) + cos (a)"sin(b)
12
Przekształcenie Laplace a
Wyznaczyć transformatę Laplace a funkcji 1) Po wpisaniu funkcji, z palety Symbolic
wybieramy laplace i w wyświetlonej
1
- z"t
(1 )
komórce wpisujemy zmienną t.
" - e
z Naciskamy ENTER
2) Można teraz zaznaczyć wynikowe
1 - z"t
1 1 1
ł ł
(1 )
" - e laplace, t " -
ł
wyrażenie
z z s s + z
ł łł
i wybrać z palety simplify. Nacisnąć
1 - z"t
1 1 1 1
ł ł
ENTER.
()
" 1 - e laplace, t " - simplify
ł
z z s s + z s"(s + z)
ł łł
Wynik zostanie uproszczony.
Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace a 1) Po wpisaniu wyrażenia
wyrażenia operatorowego operatorowego, z palety Symbolic
wybieramy invlaplace i w
1
wyświetlonej komórce wpisujemy
zmienną s. Naciskamy ENTER
s(s + z)
1 1 1 - z"t
invlaplace, s - "e
s"(s + z) z z
Elementy programowania
Zdefiniowanie funkcji o przebiegu prostokątnym
fp(x) := 1 if mod(ceil(x), 2) 1
-1 otherwise
1) Wpisujemy fp(x):=
2
2) z palety Programming wybieramy
2
Add line
3) w pierwszej komórce wpisujemy 1
4) z palety Programming wybieramy
fp(x) if
0510
5) wpisujemy mod(ceil(x),2)=1
6) w drugiej komórce wpisujemy -1
7) z palety Programming wybieramy
- 2
otherwise
2
Funkcja ceil(x) zwraca najbliższą liczbę
0x 10
całkowitą e" x.
Funkcja mod(x,y) zwraca resztę z dzielenia
całkowitego x/y.
13
Pętla for
Zostaną powtórzone działania określone
wewnątrz pętli for dla kolejnych wartości i:
pfor := for i " 0.. 3
0, 1, 2, 3.
a ! a + i
a
Pętla while
Zastosowanie pętli while do zdefiniowania
funkcji do obliczania silni.
silnia(n) := f ! 1
while n ! n - 1
f ! f"(n + 1)
f
silnia(5) = 120
14
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
MATHCAD 2000 PL Przewodnik po programie
alergologia przewodnik
Mathcad Laborki K1 MG
przewody sprezonego powietrza
Czarnogóra Przewodnik
przewody ochronnecz1
Zeszyt 26 10 kroków do szkolenia Przewodnik
Wsparcie psychologiczne osób z trudnościami na rynku pracy przewodnik
Dz U 2002 199 1671 o przewozie drogowym towarów niebezpiecznych
więcej podobnych podstron