��Z. Kkol-Notatki do WykBadu z Fizyki
WykBad 23
23. Indukcja elektromagnetyczna, energia pola magnetycznego
23.1 Indukcyjno[
23.1.1 Transformator
Gdy dwie cewki s nawinite na tym samym rdzeniu (czsto jedna na drugiej) to
prd zmienny w jednej wywoBuje SEM indukcji w drugiej.
N1 - liczba zwoj�w w cewce pierwotnej, N2 - liczba zwoj�w w cewce wt�rnej
d�B
U2 = -N2
d t
oraz
d�B
U1 = -N1
d t
Stosunek napi
U N2
2
= (23.1)
U1 N1
Wida, |e regulujc ilo[ zwoj�w w cewkach mo|emy zamienia maBe napicia na du|e
i odwrotnie.
PrzykBad 1
Obliczmy straty mocy w linii przesyBowej o oporze 10 &! przesyBanej z generatora
10 MW gdy napicie wynosi 1.5�104 oraz 105 V.
P = IU
Pstrat = I2 R = (P/U)2 R
Pstrat1 = 4.4 MW (44%)
Pstrat2 = 0.1 MW (1%)
23.1.2 Indukcyjno[ wBasna
Gdy nat|enie prdu przepBywajcego przez cewk zmienia si to zmienia si te|
strumieD przez ka|dy zw�j tej cewki wic zgodnie z prawem indukcji Faradaya induku-
je si SEM. T siB elektromotoryczn nazywamy siB elektromotoryczn samoindukcji.
d�
� = -N (23.2)
d t
Wielko[ N� jest caBkowitym strumieniem zawartym w obwodzie i nosi nazw strumie-
nia skojarzonego. StrumieD skojarzony jest proporcjonalny do prdu pByncego przez
cewk.
N� = LI (23.3)
23-1
Z. Kkol-Notatki do WykBadu z Fizyki
StaBa proporcjonalno[ci
L = N�/I (23.4)
nazywana jest indukcyjno[ci.
Zr�|niczkowanie(po czasie) r�wnania (23.3) daje
d� d I
N = L
d t d t
Std
d I
� = -L (23.5)
d t
Jednostk L jest henr. 1 H = 1 Vs/A
Jako przykBad obliczmy indukcyjno[ cewki o dBugo[ci l0 i N zwojach.
StrumieD przez ka|dy zw�j wynosi
� = BS
gdzie B dla cewki wynosi
B = �0nI = �0I(N/l0)
Zatem
NS
� = �0 I
l0
Indukcyjno[ L otrzymujemy mno|c strumieD przez N/I
2
N S
L = �0 (23.6)
l0
Zauwa|my, |e L zale|y tylko od geometrii.
23.1.3 Indukcja wzajemna
Omawiajc transformator pokazywali[my, |e dwie cewki mog oddziaBywa na sie-
bie. Prd zmienny w jednej wywoBywaB SEM w drugiej. Tym razem strumieD przecho-
dzcy przez cewk 2 jest proporcjonalny do prdu pByncego przez cewk 1.
N2�21 = M21I1
StaB proporcjonalno[ci M21 nazywamy indukcj wzajemn.
R�|niczkujc to r�wnanie otrzymujemy
d�21 d I1
N2 = M
21
d t d t
Std
23-2
Z. Kkol-Notatki do WykBadu z Fizyki
d I1
� = -M
2 21
d t
Je|eli zmieniamy prd I2 to analogicznie
d I2
�1 = -M12
d t
Mo|na pokaza (ale w skomplikowany spos�b), |e
M12 = M21 = M
Podobnie jak L tak samo M zale|y tylko od geometrii ukBadu.
23.2 Obwody RC i RL, staBe czasowe
Zaczniemy teraz zajmowa si prdami zmieniajcymi si w czasie.
23.2.1 Obw�d RC
Rozpatrzmy jaki prd popBynie w obwodzie po zamkniciu wyBcznika do pozy-
cji (a).
R
a
b
�
C
Korzystamy z prawa Kirchoffa.
q
� = IR + (23.7)
C
W r�wnaniu tym s dwie niewiadome I oraz q. Ale mo|emy skorzysta ze zwizku
I = dq/dt. Otrzymujemy r�wnanie r�|niczkowe
dq q
� = R +
dt C
Szukamy rozwizania q(t). Ma ono posta
q = C�(1- e-t / RC )
(23.8)
23-3
Z. Kkol-Notatki do WykBadu z Fizyki
Mo|emy sprawdzi czy funkcja ta jest rozwizaniem r�wnania r�|niczkowego poprzez
jej podstawienie do tego r�wnania.
Prd obliczamy r�|niczkujc dq/dt
dq �
I = = e-t / RC
dt R
Rysunki przedstawiaj zale|no[ q(t) oraz I(t).
C�
I
q
�/R
t
t
Je|eli teraz przeBczymy wyBcznik do pozycji (b) to bdziemy rozBadowywa konden-
sator. Teraz w obwodzie nie ma � i prawo Kirchoffa przyjmuje posta
q d q q
IR + = 0 czyli R + = 0
C d t C
Rozwizanie ma posta
q = q0e-t / RC (23.9)
gdzie q0 jest Badunkiem pocztkowym na kondensatorze.
Nat|enie prdu przy rozBadowaniu wynosi
d q q0
I = = - e-t / RC
d t RC
W r�wnaniach opisujcych Badowanie i rozBadowanie kondensatora wielko[ RC ma
wymiar czasu i jest nazywana staB czasow obwodu. Opisuje ona fakt, |e Badunek na
kondensatorze nie osiga od razu warto[ci koDcowej lecz zbli|a si do niej wykBadni-
czo. Podobnie przy rozBadowaniu.
23.2.2 Obw�d RL
Analogicznie op�znienie w narastaniu i zanikaniu prdu pojawia si w obwodzie RL
przy wBczaniu lub wyBczaniu zr�dBa SEM.
23-4
Z. Kkol-Notatki do WykBadu z Fizyki
R
a
b
�
L
Gdyby nie byBo cewki prd osignBby natychmiast warto[ �/R. Dziki cewce w obwo-
dzie pojawia si dodatkowo SEM samoindukcji �L, kt�ra zgodnie z reguB Lenza prze-
ciwdziaBa wzrostowi prdu (po wBczeniu) co oznacza, |e jej zwrot jest przeciwny do �.
Z prawa Kirchoffa otrzymujemy
d I
� - IR - L = 0 (23.10)
d t
Poszukujemy rozwizania tego r�wnania r�|niczkowego w postaci I(t).
Ma ono posta
�
I = (1- e-Rt / L ) (23.11)
R
Sprawdzamy poprzez podstawienie do r�wnania. Napicie na oporniku i cewce pokaza-
ne jest na rysunkach poni|ej.
�
V L
V R
�
t
t
Narastanie prdu w obwodzie jest opisane staB czasow �L = L/R.
Je|eli przeBcznik ustawimy w pozycji (b) to wyBczmy zr�dBo SEM i otrzymamy
d I
L + IR = 0 (23.12)
d t
z rozwizaniem
�
I = e-Rt / L (23.12)
R
23-5
Z. Kkol-Notatki do WykBadu z Fizyki
23.3 Energia, a pole magnetyczne
PozostaDmy przy obwodzie RL. Z prawa Kirchoffa otrzymali[my
d I
� = IR + L
d t
Mno|c to r�wnanie przez I dostajemy
d I
2
�I = I R + LI
d t
Interpretacja tego r�wnania z punktu widzenia pracy i energii jest nastpujca:
" lewa strona r�wnania przedstawia szybko[ (moc = �I tj �dq/dt) z jak zr�dBo prze-
kazuje do obwodu energi �q.
" pierwszy wyraz po prawej stronie to szybko[ (moc) wydzielania ciepBa na oporze
R.
" drugi wyraz po prawej stronie to szybko[ z jak energia gromadzi si w polu ma-
gnetycznym.
To ostatnie mo|emy zapisa jako
dWB dI
= LI
d t dt
czyli
dWB = LIdI
Po scaBkowaniu otrzymujemy
1
2
WB = LIdI = LI (23.13)
B
+"dW = +"
2
R�wnanie okre[la caBkowit energi magnetyczn zawart w cewce o indukcyjno[ci L
przez, kt�r pBynie prd I.
Por�wnajmy to z energi naBadowanego kondensatora
1 q2
WC = (23.14)
2 C
23.4 Gsto[ energii a pole magnetyczne
Rozpatrzmy solenoid o dBugo[ci l i powierzchni przekroju S czyli o objto[ci lS.
Tak wic gsto[ energii
23-6
Z. Kkol-Notatki do WykBadu z Fizyki
WB
wB =
lS
Poniewa|
1
2
WB = LI
2
wic
2
1 LI
wB =
2 lS
Przypomnijmy, |e
2
N S N
L = �0 oraz B = �0In = �0I
l l
co w poBczeniu daje wyra|enie
1 B2
wB = (23.15)
2 �0
opisujce gsto[ energii zawartej w ka|dym punkcie przestrzeni w kt�rej jest indukcja
magnetyczna B.
PrzykBad 2
DBugi koncentryczny kabel skBada si z cylindrycznych przewodnik�w o promieniach
a i b. Obliczmy energi zawart w polu magnetycznym kabla na odcinku o dBugo[ci l0
oraz jego indukcyjno[.
dr
b
r
+
a
-
Stosujc prawo Ampera dla przestrzeni pomidzy cylindrami otrzymamy
2�rB = �0I
czyli
�0I
B =
2�r
Gsto[ energii w punktach pomidzy przewodami
23-7
Z. Kkol-Notatki do WykBadu z Fizyki
2
2
�0I �0I
1 B2 1 �� ��
wB = = =
�� ��
2 2
2 �0 2�0 �� 2�r 8� r
��
Rozpatrzmy teraz cienk (dr) warstewk pomidzy cylindrami. Objto[ tej warstewki
wynosi:
dV = 2�rdrl0
dla odcinka kabla o dBugo[ci l0.
Energia w tej objto[ci wynosi wic
2 2
�0I �0I l0 d r
dW = wB dV = 2�r d rl0 =
2 2
8� r 4� r
Sumujc (caBkujc) po caBej objto[ci obliczamy caBkowit energi W
2 2
�0I l0 b �0I l0 b
d r
W = = = ln
+"dW 4� +"
r 4� a
a
Indukcyjno[ znajdziemy z zale|no[ci
1 2U
2
U = LI czyli L =
2
2 I
�0l0 b
L = ln
2� a
L zale|y tylko od czynnik�w geometrycznych.
23-8
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Sieci komputerowe wyklady dr FurtakWykład 05 Opadanie i fluidyzacjaWYKŁAD 1 Wprowadzenie do biotechnologii farmaceutycznejmo3 wykladyJJZARZĄDZANIE WARTOŚCIĄ PRZEDSIĘBIORSTWA Z DNIA 26 MARZEC 2011 WYKŁAD NR 3Wyklad 2 PNOP 08 9 zaoczneWyklad studport 8Kryptografia wykladBudownictwo Ogolne II zaoczne wyklad 13 ppozwyklad09Sporzadzanie rachunku przepływów pienieżnych wykład 1 i 2fcs wyklad 5Wyklad08 Zaopatrz wWodeWyklad3więcej podobnych podstron