Ćwiczenie 11
Przykłady analizy płyt pasmo płytowe, płyty prostokątne
PASMO PAYTOWE
Równanie różniczkowe ugięcia płyty w x1, x2 :
( )
q x1, x2
"4w"4w "4w ( )
+ 2 " + = ,
4 2 2 4
"x1 "x1 "x2 "x2 D
E " h3
gdzie: = ! sztywność płytowa
D
2
12 " 1-
( )
Przyjmujemy, że obciążenie jest funkcją jednej zmiennej q x1 ,
( )
a płyta jest nieograniczona w kierunku osi x2.
Jest to więc przypadek symetrii translacyjnej!
Zakładamy, że szerokość pasma a jest stała a = const !
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności Ćwicz. 11 " KMBiM WILiŚ PG 1
q x1
( )
E, ,h
z powyższych założeń wynika,
x1
że dla każdego x2
w
linie ugięcia są takie same,
"w
zatem: = 0
"x2
x2 ą "
( )
"4w
Wynika stąd równanie pasma płytowego: D " = q x1
( )
4
"x1
Można więc stosować symbol pochodnej zwyczajnej i całkować
d3w
bezpośrednio funkcje jednej zmiennej: D " =1
3 +"q(x )dx1 + C1 itd.
dx1
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności Ćwicz. 11 " KMBiM WILiŚ PG 2
Przypadek szczególny: Pasmo swobodnie podparte, obciążone
q = const
równomiernie
h = const
a
4
d w x1
( )
Równanie pasma płytowego: D "= q x1 = q
( )
4
dx1
d3w x1
( )
Dalej: D " =
1
3 +"qdx + C1 = qx1 + C1
dx1
2
2
d w x1
( ) x1
D " =1
2 +"(qx + C1)dx1 = q 2 + C1x1 + C2
dx1
2 3
dw x1
łł2
( ) x1 x1 x1
D " = q + C1x1 + C2 łdx1 = q + C1 + C2x1 + C3
ł
+"ł 2
dx1 6
łł2
32 43 2
łł
x1 x1 x1 x1 x1
D " w x1 =
( )
łłdx1
+"łq 6 + C1 2 + C2x1 + C3 łł = q 24 + C1 6 + C2 2 + C3x1 + C4
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności Ćwicz. 11 " KMBiM WILiŚ PG 3
Warunki brzegowe:
1 w = 0; 2 w = 0
x1=0 x1=a
"2w "2w
3 = 0; 4 = 0
2 2
"x1 x1=0 "x1 x1=a
Realizując warunki brzegowe dla:
43 2
q " x1 C1 " x1 C2 " x1
D " w x1 = + + + C3 " x1 + C4, mamy:
( )
24 6 2
q " 0 C1 "0 C2 "0
z 1 0 = + + + C3 "0 + C4 C4 = 0
24 6 2
q " 0
C2 = 0
z 3 0 = + C1 " 0 + C2
2
q " a
q " a2
C1 =
z 4 0 = + C1 " a + 0 -
2 2
q " a3
q " a4 q " a a3 0 " a2
łł
C3 =
z 2 0 = + - " + + C3 " a + 0
łł
24 2 6 2 24
łłł
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności Ćwicz. 11 " KMBiM WILiŚ PG 4
43 2
q " x1 C1 " x1 C2 " x1
Zatem: D " w x1 = + + + C3 " x1 + C4
( )
24 6 2
4 3
q " x1 qa " x1 qa3 " x1
więc: D " w x1 =- +
( )
24 12 24
43
qa4 łł x1 x1 x1
ł ł ł łłł
Lub, w innej postaci: w x1 = "
( )
łł ł - 2"ł ł + ł łśł
ł
24" D a a a
łśł
łł łł ł łł ł łłł
43
a qa4 łł a 1a 1 a 1
ł ł ł ł łłł
Zauważmy, że: wł x1 = = " " - 2"ł " + "
łł ł ł ł ł łśł
ł2 24" D 2 a
ł
ł łł
łśł
łł łł ł 2 a łł ł 2 a łłł
43
łł
a qa4 łł 1 1 1 qa4 1 1 1
ł ł łłł
wł ł = " = " - 2" +
łł ł - 2"ł ł + śł
ł ł ł
ł16 8 2śł
2 24" D 2
ł łł
łł
łł łł ł 2 łł 2śł 24" D łł
a 5 qa4
a 5 qa4
2
Tak więc: wł ł = " ; wł ł = " " 1-
( )
ł ł
ł ł
2 384 D 2 32 E " h3
ł łł ł łł
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności Ćwicz. 11 " KMBiM WILiŚ PG 5
Momenty w paśmie płytowym:
2 2
"2w qa2 ł x1 x1 łł qa2 łł x1 x1 łł
ł
M11 = -D " = - " "ł ł -12 " = - "
ł12 ł ł śł łł ł - śł
2
"x1 24 aa 2 a a
ł łł
łśł śł
ł
łł ł
łł łł
"2w
M22 = -D " " = " M11
2
a a
"x1
2 2
"2w
M12 = -D " 1- " = 0
( )
"x1"x2
Wykresy:
x1
w
qa2
"
qa2
8
8
a
M22 x1 =
( )
2
M11 x2 = const
x2 ą " ( )
( )
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności Ćwicz. 11 " KMBiM WILiŚ PG 6
Dyskusja!
1) Różnica sztywności między belką, a pasmem płytowym
Sztywność belki o szerokości b=1m, w stosunku do sztywności
pasma płytowego ( EJ / D / ):
2
1-
( )
EJ
2
= E " h3 " = 1-
D 12 " E " h3
2
więc: wpasma = 1- " wbelki (przy tej samej szerokości a i obciążeniu)
( )
Uzasadnienie fizyczne:
ściskanie (rozszerzenie przekroju)
h
x2
2
h
2
rozciąganie deformacja dla `" 0
(zwężenie przekroju) ! klinowanie się pasków
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności Ćwicz. 11 " KMBiM WILiŚ PG 7
2) Pasmo żelbetowe
1
Przyjmuje się, iż dla pasma żelbetowego H" .
5
a
M22
zbrojenie na moment
M11
zbrojenie na moment
1
20% odpowiada : =
( )
5
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności Ćwicz. 11 " KMBiM WILiŚ PG 8
PAYTA PROSTOKTNA
Płyta swobodnie podparta , obciążenie podwójnie sinusoidalne:
a
x1
q0
E, ,h
b
x2
E " h3
D = ! sztywność płytowa
2
12 " 1-
( )
Ą x1 Ą x2
q x1, x2 = q0 "sin " cos ! funkcja obciążenia
( )
ab
1 Ą x1 Ą x2
"4w = " q0 "sin " cos ! równanie płytowe
D ab
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności Ćwicz. 11 " KMBiM WILiŚ PG 9
Warunki brzegowe (pary warunków brzegowych):
1 w x1 = 0 ; x2 = 0 ; w x1 = a ; x2 = 0
( ) ( )
2 w x1 ; x2 = 0 = 0 ; w x1 ; x2 = b = 0
( ) ( )
3 w,11 x1 = 0 ; x2 = 0 ; w,11 x1 = a ; x2 = 0
( ) ( )
4 w,22 x1 ; x2 = 0 = 0 ; w,22 x1 ; x2 = b = 0
( ) ( )
Przyjmujemy rozwiązanie równania płyty w postaci:
Ą x1 Ą x2
w x1, x2 = C "sin " cos
( )
ab
Rozwiązanie to spełnia wszystkie warunki brzegowe!
Różniczkowanie funkcji w x1, x2 i porównanie wyrazów przy tych
( )
samych funkcjach trygonometrycznych:
2
4 4 4
łł q0
Ą 2Ą Ą 1 1 q0
ł
4
C "ł + + = CĄ "ł + = C =
ł 2
a4 a2b2 b4 ł łł
a2 b2 ł D
ł 1 1
ł
łłł
4
Ą D "ł +
ł
a2 b2 ł
łłł
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności Ćwicz. 11 " KMBiM WILiŚ PG 10
Momenty w paśmie płytowym:
M11 = -D " w,11 + " w,22
( )
q0 11Ą x1 Ą x2
ł
M11 = "ł + " "sin "sin
ł
2
a2 b2 ł b
a
1 1 łłł
ł
2
Ą "ł +
ł
a2 b2 ł
łłł
M22 = -D " w,22 + " w,11
( )
q0 1 1 Ą x1 Ą x2
łł
M22 = "ł " + "sin "sin
2
a2 b2 ł b
a
1 1 łłł
ł
2
Ą "ł +
ł
a2 b2 ł
łłł
M12 = -D " 1- " w12
( )
q0 " 1-
( ) Ą x1 Ą x2
M12 = " cos " cos
2
ab
1 1
ł
2
a "b "Ą "ł +
ł
a2 b2 ł
łłł
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności Ćwicz. 11 " KMBiM WILiŚ PG 11
Przypadek szczególny: płyta kwadratowa, a = b
a
x1
q0
E, ,h
b
x2
Maksymalne ugięcie płyty:
q0 " a4 q0 " a4
max w = H" 0,00257 "
2
4Ą " D D
a
dla: x1 =
2
Maksymalne momenty zginające w płycie:
q0 " a2
max M11 = max M22 = 1+ "
( )
2
4Ą
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności Ćwicz. 11 " KMBiM WILiŚ PG 12
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
31) TSiP 10 ćw1035 cwiczenia 1029) TSiP 10 ćw0824) TSiP 10 ćw0636) TSiP 10 ćw1237) TSiP 10 ćw1425) TSiP 10 ćw0730) TSiP 10 ćw0934) TSiP 10 ćw1310 3510 35 10010 (35)35 (10)więcej podobnych podstron