WYTRZYMAAOŚĆ MATERIAAÓW WYKAAD 23
23.1 Stateczność prętów prostych
Naprężenia w pręcie ściskanym przed wyboczeniem
P
Ã= (23.1)
A
Naprężenia w pręcie po wyboczeniu
P M
Ã= + (23.2)
A W
Zjawisko wyboczenia:
- w sensie matematycznym poszukiwanie wartości siły (zwanej
krytyczną), przy krórej może powstać wyboczenie ściskanego,
wyidealizowanego prostego, osiowo ściskanego pręta
- w sensie fizycznym określenie wygięcia i zwiazanych z nim
naprężeń niszczących w pręcie o pewnym małym wygięciu
początkowym i ściskanym siłami przyłożonymi z pewnym
mimośrodem .
Obciążeniem krytycznym nazywa się obciążenie, przy którym
równowaga przestaje być stateczna.
Rys.23.1 Wyboczenie pręta prostego
Metoda energetyczna określania siły krytycznej
Rys.23.2 Rodzaje równowagi: a) stateczna (stała) b) niestateczna (chwiejna) c) obojętna d) niestateczna w sensie
fizycznym, stateczna w nieskończenie bliskim położeniu punktu xo
Całkowita energia potencjalna ustroju
U = › + V (23.3)
gdzie ›- energia potencjalna siÅ‚ zewnÄ™trznych, V - energia potencjalna siÅ‚ wewnÄ™trznych
Dla ciała z rys.23.2 (kulka jako ciało sztywne tj. V=0, na torze o równaniu z=z(x) ) będzie zachodzić
U = › = Pz , ´U=P´z (wariacja)
dz
dU = Pdz = P dx (różniczki)
dx
W położeniu równowagi musi być (tor musi posiadać styczną poziomą)
dz
´U=0 czyli =0 (23.4)
dx
- dla równowagi statecznej energia potencjalna musi posiadać minimum (tor wklęsły)
2
d z
´2U>0 czyli >0 (23.5)
dx2
- dla równowagi niestatecznej energia potencjalna ma wartość maksymalną (tor wypukły)
2
d z
´2U<0 czyli <0 (23.6)
dx2
- dla równowagi obojętnej
2
d z
´2U=0 czyli =0 (23.7)
dx2
- dla przypadku szczególnego (rys.23.2d) zachodzi
2
d z dz
=0 oraz =0 (23.8)
dx
dx2
czyli stan równowagi stateczny w nieskończenie bliskich punktach sąsiadujących z punktem xo ale dla skończonych
przesunięć stan równowagi chwiejnej.
Stateczność ustroju z elementem sprężystym
Pionowe przemieszczenie punktu C
Õ
öÅ‚
´ = lëÅ‚1- cos
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
Energia potencjalna sił zewnętrznych
Õ
öÅ‚
› = -P´ = -PlëÅ‚1- cos
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
Energia gpotencjalna sił wewnętrznych
2
1 ÇÕ
V= M Õ czyli V=
B
2 2
Całkowita energia potencjalna
2
Õ ÇÕ
öÅ‚
U = › + V = -PlëÅ‚1- cos + (23.9)
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Jej zmiana
dU Pl Õ
= - sin + ÇÕ (23.10)
dÕ 2 2
Równowaga jest możliwa gdy
Pl Õ
- sin +ÇÕ=0 (23.11)
2 2
Rys.23.3 Pręt z elementem sprężystym (przegubem sprężytym)
2Ç Õ
Równanie (23.11) bÄ™dzie speÅ‚nione gdy Õ=0 lub P=
Õ
l
sin
2
Õ 2 f
Ponieważ sin = więc ostatecznie
2 l
2 f
arc sinëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
4Ç
l
íÅ‚ Å‚Å‚
P = (23.12)
2 f
l ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
l
íÅ‚ Å‚Å‚
Rys. 23.4 Wykres zależności (23.12)
Rodzaj równowagi zależy od wyrażenia
2
d U Pl Õ
= - cos + Ç (23.13)
2
4 2
dÕ
Równowaga będzie stateczna:
2
d U 4Ç
- dla prÄ™ta prostego tj. Õ=0 warunek >0 jest speÅ‚niony przy P<
l
dÕ2
2
d U 4Ç
- dla prÄ™ta Å‚amanego tj. Õ`"0 warunek >0 jest speÅ‚niony, gdy P<
Õ
dÕ2
l cos
2
2
d U 4Ç
Równowaga będzie niestateczna dla pręta prostego, gdy <0 czyli dla P> .
l
dÕ2
2
d U 4Ç
Równowaga będzie obojetna, gdy =0 czyli dla Pa"Pk=
l
dÕ2
Jest to krytyczna wartość obciążenia, którą można również otrzymać z wyrażenia (23.12) przy przejściu granicznym
wartości siły Pk=lim P tj.
f0
4Ç
lim Pa"Pk= (23.14)
f0
l
Rezultat powyższy można również otrzymać na drodze rozumowania statycznego (rys. 23.3)
Kąt wzajemnego obrotu prętów AB i BC jest proporcjonalny do momentu zginającego M
B
M
B
Õ=
Ç
Po wychyleniu z położenia równowagi moment ten wynosi
M =Pf
B
Z geometrii odkształconego układu wynika że
Õ 2 f
sin =
2 l
EliminujÄ…c z powyższych równaÅ„ Õ oraz M uzyskuje siÄ™
B
2 f
arc sinëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
4x
l
íÅ‚ Å‚Å‚
P =
2 f
l ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
l
íÅ‚ Å‚Å‚
Czyli wielkość identyczną jak poprzednio.
Należy zwrócić uwagę, że warunki równowagi były rozpatrzone w konfiguracji odkształconej układu.
Stateczność pręta swobodnie podpartego
Rys.23.5 Równowaga stateczna pręta prostego Rys.23.6 Równowaga niestateczna pręta prostego
Wyznaczenie siły krytycznej (metoda statyczna)
Krzywizna osi pręta (wzór ścisły)
1 w''
=
3 / 2
Á
(1+ w'2)
Równanie różniczkowe osi odkształconej
1
EJ =-M
Á
Po podstawieniu będzie
w''
EJ= =-Pw czyli ostatecznie
3 / 2
(1+w'2)
w''
P = -EJ (23.15)
3 / 2
w(1+ w'2)
RozwiÄ…zaniem jest krzywa na rys. 23.7b.
Jeśli interesuje nas wyłącznie wartość siły
krytycznej można skorzystać ze wzoru
1
przybliżonego na krzywiznę tj. =w'' wtedy
Á
w''
Rys.23.7 Wyboczenie sprężystego pręta prostego P=-EJ (23.16)
w
EJw''=-Pw (23.17)
P
Rozwiązanie równania (23.17) łatwiej uzyskać po podstawieniu =ą2 , wtedy
EJ
w''+Ä…2w=0 (23.18)
Całka ogólna tego równania ma postać
w = C1 sinÄ…x + C2 cosÄ…x (23.19)
Nieznane stałe należy wyznaczyć z warunków brzegowych
w(0)=0 , stÄ…d C2=0
w(l)=0, stąd C1 sinąl=0 czyli sinąl=0 tj. dla ąl=nĄ
P
Po podstawieniu ą= będzie
EJ
P
l =nĄ (23.20)
EJ
Poszukiwana siła wynosi wówczas
n2Ä„2EJ
P= (23.21)
l2
Z punktu widzenia praktyki najważniejsza jest najmniejsza wartość siły krytycznej tj.
Ä„2EJ
Pk= (23.22)
l2
Wzór powyższy nazywa się wzorem Eulera, a siła nim określona siłą Eulerowską.
n2Ä„2EJ
Kolejne wartości sił krytycznych Pkn= można przedstawić na wykresie
l2
Rys.23.8 Wartości sił krytycznych i odpowiadające im postacie wyboczenia
nĄ nĄx
Po podstawieniu do równania (23.19) obliczonych wartości ą= będzie w=C1 sin
l l
Rozpatrzony przypadek wyboczenia swobodnie podpartego pręta o stałym przekroju obciążonego na końcach siłą P
nosi nazwę przypadku podstawowego. W innych przypadkach podparcia i obciążenia prętów wzór na siłę krytyczną
można przedstawić w postaci
2 2
Ä„ EJ Ä„ EJ
Pk= = (23.23)
(µl)2 L2
gdzie: µ - współczynnik dÅ‚ugoÅ›ci, L=µÅ"l - dÅ‚ugość wyboczeniowa.
Wzór (23.23) nazywany jest uogólnionym wzorem Eulera.
Przypadki szczególne
- pręt w jednym końcu utwierdzony, w drugim swobodny
Warunki brzegowe i obciążenie tego pręta są identyczne jak dla połówki AB pręta
swobodnie podpartego BC o długości 2l.
Siła krytyczna wynosi
Ä„2EJ
Pk=
(2l)2
Współczynnik dÅ‚ugoÅ›ci w tym przypadku µ=2,0 a dÅ‚ugość wyboczeniowa L=2Å"l
Rys.23.9 Wyboczenie pręta wspornikowego
- pręt obustronnie utwierdzony
Z symetrii wynika, że odległość między punktami
l
przegięcia C i D musi wynosić
2
W punktach przegięcia moment zginający równa się
zeru, więc odcinek CD znajduje się w warunkach takich
l
jak pręt swobodnie podparty o długości dla którego
2
siła krytyczna wynosi
Ä„2EJ
Pk =
2
l
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
Natomiast odcinki AC i BD pręta znajdują się w
identycznych warunkach jak pręty jednostronnie
l
zamocowane o długości dla których będzie
4
Ä„2EJ Ä„2EJ
Pk = =
2 2
l l
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
2
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
4 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Rys. 23.10 Wyboczenie pręta obustronnie utwierdzonego
Współczynnik dÅ‚ugoÅ›ci w tym przypadku µ=0,5 a dÅ‚ugość wyboczeniowa L=0,5Å"l
- pręt w jednym końcu utwierdzony, w drugim podparty przegubowo
Nie można w tym przypadku zastosować żadnej analogii. Zadanie należy rozwiązać
ogólnie.
Równanie momentów zginających w przekroju x
M=Pw-RB x
Równanie osi odkształconej EJw''=-M będzie miało postać
EJw''= -PW + RB x
Po zróżniczkowaniu otrzymuje się
dM
EJw'''= - = -T = -Pw'+RB
dx
dT
EJwIV = - = -Pw''
dx
P
Podstawiając =ą2 uzyskuje się równanie różniczkowe wykorzystywane w przypadku
EJ
ustrojów statycznie niewyznaczalnych
wIV+Ä…2w''=0 (23.24)
Całką ogólną tego równania jest funkcja
w = D1 sinÄ…x + D2 cosÄ…x + D3x + D4 (23.25)
Rys.23.11 Wyboczenie pręta jednostronnie utwierdzonego i swobodnie podpartego
W rozpatrwywanym przypadku występują następujące warunki brzegowe
1) w(0)=0 ; 2) w''(0)=0 (gdyż M =0); 3) w(l)=0; 4) w'(l)=0
B
Kolejne pochodne całki (23.25)
w'= D1Ä…cosÄ…x - D2Ä…sinÄ…x + D3 (23.26)
w''=-D1Ä…2 sinÄ…x-D2Ä…2 cosÄ…x (23.27)
Po podstawieniu uzyskuje siÄ™
1) D2 + D4 = 0
2) D2 = 0
3) D1 sinÄ…l+D2 cosÄ…l+D3l+D4=0
4) D1Ä…cosÄ…l - D2Ä…sinÄ…l + D3 = 0
Po wykorzystaniu dwóch pierwszych warunków będzie
w = D1 sinÄ…x + D3x
Warunki 3 i 4 prowadzą do układu równań
D1 sinÄ…l+D3l=0
D1Ä…cosÄ…l + D3 = 0
który posiada niezerowe rozwiązanie tylko wówczas, gdy
sinÄ…l, l
"= =0 skÄ…d tgÄ…l=Ä…l (23.28)
Ä…cosÄ…l,1
Równanie (23.28) jest równaniem przestępnym, które można rozwiązać analitycznie drogą prób lub graficznie.
Najmniejszy pierwiastek wynosi
Ä…lH"4,49
P P
Ponieważ ą= więc l H"4,49
EJ EJ
Siła krytyczna wynosi więc
4,492 EJ
Pa"PkH"
l2
Lub zapisujÄ…c inaczej
Ä„2EJ Ä„2EJ
Pk H" H"
2
(0,7l)2
Ä„
ëÅ‚ öÅ‚
l
ìÅ‚ ÷Å‚
4,49
íÅ‚ Å‚Å‚
Współczynnik dÅ‚ugoÅ›ci w tym przypadku µH"0,7 a dÅ‚ugość
wyboczeniowa LH"0,7Å"l
Rys.23.12 Graficzne rozwiązanie równania (23.28)
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Wytrzymałość materiałów wykład 6wytrzymałość materiałów wykład 2Wytrzymalosc Materialow wyklad B Graficzne obliczanie?lek z iloczynu 2 funkcji 07 8Wytrzymalosc Materialow wyklad Laczniki 08 9Wytrzymalosc Materialow wyklad Zakrzywione prety silnie 08 9Wytrzymalosc Materialow wyklad?lki wielokrotne i zlozone 08 9Wytrzymalosc Materialow wyklad Ciegna 08 9Wytrzymało¶ć materiałów Wykład 21Wytrzymało¶ć materiałów Wykład 24Wytrzymało¶ć materiałów Wykład 26Wytrzymało¶ć materiałów Wykład 26Wytrzymało¶ć materiałów Wykład 19 aneksWytrzymalosc Materialow wyklad Prety zespolone 07 8Wytrzymałość materiałów wykład 2Wytrzymało¶ć materiałów Wykład 16Wytrzymalosc Materialow wyklad Skrecanie swobodne 08 9Wytrzymałość materiałów wykład 3 część2więcej podobnych podstron