Błędy obliczeń numerycznych
1. Podstawowe definicje
2. Błędy wyników podstawowych operacji matematycznych
3. Propagacja błędów
4. yródła błędów
5. Uwarunkowanie numeryczne zagadnień
6. Obliczenia numeryczne w Maple u
7. Zalecenia
Podstawowe definicje
x - wartość dokładna
~
x - wartość przybliżona
1. Błąd przybliżenia "x
def
~
"x = x - x
"x
2. Błąd bezwzględny
def
~
"x = x - x
3. BÅ‚Ä…d wzglÄ™dny µx
def
"x
µx = , x `" 0
x
4. Liczba cyfr znaczących (d ) - największą dodatnia liczba całkowita,
spełniająca nierówność
1
µx < 10-d
2
Przykład ilustrujący
~
x = Ä„, x = 3.1415 (Ä„= 3.141592653589793238462643 ..)
1. Błąd przybliżenia
"x = Ä„ - 3.1415 H" 0.000092654
2. Błąd względny
"x
µx = H" 0.00002949268419
x
3. Liczba cyfr znaczÄ…cych
Ä„ - 3.1415 1
~
< 10-d d " (- ", 4.229257627) d = 4
x = 3.1415
Ä„ 2
Ä„ - 3.1416 1
~
x = 3.1416
< 10-d d "(- ", 5.330044700) d = 5
Ä„ 2
Błędy wyników operacji matematycznych (na podstawie definicji)
Dane: x1, x2
- wartości dokładne
~1, ~2 - wartości przybliżone
x x
Szukane: błędy przybliżenia i błędy względne sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu
~1
"x1 = x1 - x
~2
"x2 = x2 - x
BÅ‚Ä…d sumy
~ ~ ~ ~ ~ ~
s = x1 + x2 , s = x1 + x2 , "s = s - s = x1 + x2 - x1 - x2
"s = "x1 + "x2
"s "x1 + "x2
µs = =
s x1 + x2
Błąd różnicy
~ ~ ~ ~ ~ ~
r = x1 - x2 , r = x1 - x2 , "r = r - r = x1 - x2 - x1 + x2
"r = "x1 - "x2
"r "x1 - "x2
µr = =
r x1 - x2
Błędy operacji matematycznych c.d.
BÅ‚Ä…d iloczynu
~ ~ ~ ~
m = x1 x2 , m = x1~2 , "m =m - m = x1x2 - x1~2
x x
"m = x1x2 - (x1 - "x1)(x2 - "x2) = x1"x2 + x2"x1 - "x1"x2
"m x2"x1 + x1"x2 - "x1"x2
µm = = = µx1 + µx2 - µx1µx2 H" µx1 + µx2
m x1 x2
BÅ‚Ä…d ilorazu
x1 ~ ~1 x1 ~1
x x
~
q = , q = , "q =q - q = -
~2
x2 x x2 ~2
x
x2"x1 - x1"x2
"q =
x2(x2 - "x2)
"q x2"x1 - x1"x2 x2"x1 - x1"x2
µq = = H" = µx1 - µx2
q x1(x2 - "x2) x1x2
Błędy wyników operacji matematycznych
(na podstawie definicji)
rodzaj operacji Błąd przybliżenia błąd względny
"x1 + "x2
µs =
"s = "x1 + "x2
dodawanie
x1 + x2
"x1 - "x2
µr =
odejmowanie
"r = "x1 - "x2
x1 - x2
µm H" µx1 + µx2
mnożenie "m = x1"x2 + x2"x1 - "x1"x2
x2"x1 - x1"x2
µq H" µx1 - µx2
dzielenie
"q =
x2(x2 -"x2)
Propagacja błędów
Propagacji błędów ma miejsce przy wyznaczaniu wartości wielkości wyjściowej
zależnej w określony sposób pd wielkości wejściowych
Dane:
Szukane: "f , µ
f
f = f (x1 , x2 , ... xn)
x (x1 , x2, ..., xn)
"x = x - x
x(x1 , x2, ..., xn)
Rozwinięcie funkcji f w szereg Taylora wokół punktu x z przyrostem "x
n
" f
f (x) = f (x) +" xi +...
"" xi
x=x
i=1
n
Å„Å‚ üÅ‚
" f
"f = f (x) - f (x) H"
òÅ‚ żł"x
"ół" xi
x=x i
i=1
þÅ‚
"f "f
µ = H"
f
f (x) f (x)
Błędy wyników operacji matematycznych
(na podstawie szer. Taylora)
2
Å„Å‚ üÅ‚ "f
" f
f = f (x1, x2) µ H"
"f H"
f
òÅ‚ żł"x f (x)
"ół" xi
x=x i
i=1
þÅ‚
"x1 + "x2
µs =
s = x1 + x2
"s = "x1 + "x2
x1 + x2
"x1 - "x2
µr =
r = x1 - x2
"r = "x1 - "x2
x1 - x2
m = x1x2
"m = x1"x2 + x2"x1 - 2"x1"x2 µm H" µx1 + µx2
x2"x1 - x1"x2
x1
µq H" µx1 - µx2
"q =
q =
(x2 -"x2)2
x2
"m = x1"x2 + x2"x1 - "x1"x2
- na podstawie definicji
x2"x1 - x1"x2
"q =
x2(x2 -"x2)
Przykład ilustrujący
3
4 4
V = Ä„r3 f = f (x1, x2) = x1x2
3 3
2
Å„Å‚üÅ‚
" f 4
3 2
"f H"
òłżł"x = x2"x1 + 4x1x2"x2
"ół" xi
x=x i
3
i=1
þÅ‚
"f "x1 "x2
µ H" = + 3
f
f (x) x1 x2
x1 = 3.14, x2 = 5.00
f (x1, x2)= 523.3333333
"x1 = 0.0016, "x2 = 0.001
"f H" 0.5806666667
µ H" .001109554140
f
yródła błędów
1. Błędy modelu
2. Błędy metody
3. Błędy obcięcia
4. Błędy zaokrąglenia
5. Błędy wejściowe
6. Błędy działań arytmetycznych
7. Błędy programowania
yródła błędów
Ad.1 Błędy modelu
Ä„
Õ(0) =
Model uproszczony
20
Õ(t) + Õ(t) = 0
Model ścisły
Õ(t) + sin Õ(t) = 0
Ä„
Õ(0) =
3
yródła błędów
Ad.2 Błędy metody
1
2
F =
+"e-x dx
0
Wzór prostokątów Wzór Simpsona (parabol)
n = 20 n = 20
n-1 n-2
n-1
ëÅ‚ öÅ‚
h
ìÅ‚
FSi = y0 + 4 yi + 2 yi + yn ÷Å‚ = 0.7468241840
Fpr = h yi = 0.7624738510
" "
"
ìÅ‚ ÷Å‚
3
i=1,3,5 i=2,4,6
i=0 íÅ‚ Å‚Å‚
(jedna cyfra znacząca) (sześć cyfr znaczących
0.746824132812427025399467436132
(30 cyfr znaczÄ…cych)
yródła błędów
Ad.3 Błędy obcięcia
Błędy te występują gdy posługujemy się skończoną liczbą wyrazów szeregów
nieskończonych
Ad.4 Błędy zaokrąglenia
Błędy te pojawiają się podczas wykonywania obliczeń przy użyciu liczb
zmiennoprzecinkowych (zmiennopozycyjnych)
yródła błędów
Ad.5 Błędy wejściowe
Są to błędy stałych fizycznych bądz wielkości będących wynikiem pomiarów
Ad.6 Błędy działań arytmetycznych
Są to błędy związane z wykonywaniem operacji arytmetycznych na liczbach
przybliżonych (zmiennoprzecinkowych)
Ad.7 Błędy programowania
Są to błędy użytkownika (programisty)
Aby ich uniknąć należy dzielić duże programy na podprogramy, które należy oddzielnie
testować
Uwarunkowanie numeryczne zagadnień
Jeżeli niewielkie zmiany wartości danych powodują duże zmiany jego rozwiązania,
to zagadnienie takie nazywamy zle uwarunkowanym numerycznie
Przykłady zle uwarunkowanych zagadnień:
1. Wyznaczanie pirwiastków wielomianów wyższych stopni
2. Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych typu A x=a
dla których det (A) ~ 0
Obliczenia numeryczne w Maple u
Sytuacje w których należy prowadzić obliczenia numeryczne w Maple u
" Podczas rozwiązywania problemów, które nie posiadają rozwiązań
symbolicznych bÄ…dz analitycznych
" Jeżeli analityczne rozwiązania są zbyt obszerne, co utrudnia ich analizę
" Jeżeli analityczne rozwiązania są zbyt czasochłonne, a interesuje nas
graficzna strona rozwiÄ…zania
Software floating-point numbers vs. harware floating-point numbers
(evalf vs. evalhf)
Uwaga: Szybkość obliczeń numerycznych przy użyciu evalhf jest
większa niż przy użyciu evalf
Ogólne zalecenia
W praktyce obliczeniowej należy kierować się następującymi zaleceniami:
1. Aby uniknąć zbyt dużych błędów zaokrągleń należy zwiększyć precyzję
obliczeń (Digits) i obserwować jej wpływ na wynik końcowy,
2. W przypadku obliczania sumy wielu składników należy zacząć dodawanie
od liczb najmniejszych,
3. Obliczenia cykliczne (w pętli) powinno się wykonywać wyłącznie na
liczbach zmiennoprzecinkowych. Obliczenia cykliczne prowadzone na
symbolach bądz liczbach reprezentowanych w sposób ścisły mogą
spowodować nadmierne rozbudowanie wyników pośrednich i zawieszenie
systemu,
4. Rozwiązując nowy, nieznany problem, warto spróbować uzyskać
rozwiązanie ścisłe, które jest zwykle cenniejsze, bo pozbawione błędów.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2008 Metody obliczeniowe 09 D 2008 11 11 21 32 512008 Metody obliczeniowe 13 D 2008 11 28 20 56 532008 Metody obliczeniowe 11 D 2008 11 28 20 52 532008 Metody obliczeniowe 12 D 2008 11 28 20 53 302008 Metody obliczeniowe 10 D 2008 11 28 20 51 402008 Metody obliczeniowe 01 D 2008 10 1 21 19 292008 Metody obliczeniowe 02 D 2008 10 1 21 28 52008 11 Maximum Math Free Computer Algebra with Maxima2008 11 Tiny Shoes2008 Metody obliczeniowe 03 D 2008 10 1 22 5 47[2008 11 25] MIKROEKONOMIA Kolokwium 1(2008 11 27) Channel List2008 11 Gdy terminy gonią [Poczatkujacy]Dz U 2008 210 1321 zmiana z dnia 2008 11 072008 Metody obliczeniowe 06 D 2008 10 22 20 13 232008 11 Opensource owe platformy blogowe [Programowanie PHP]fluoromethcathinone a new substance of abuse forensic sci intl 185 10 20 2009 j forsciint 2008 11 01więcej podobnych podstron