lekcja31

Spis treści
VI. PLANIMETRIA............................................................................................2
5. Twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów.*.................................................2
Stosowanie twierdzenia cosinusów, twierdzenia sinusów, związków
miarowych w trójkącie oraz funkcji trygonometrycznych do
rozwiązywania zadań matematycznych.*...................................................2
Dział: VI. PLANIMETRIA
Poddział: 5. Twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów.*
Wymaganie: stosowanie twierdzenia cosinusów, twierdzenia
sinusów, związków miarowych w trójkącie oraz funkcji
trygonometrycznych do rozwiązywania zadań matematycznych. *
Twierdzenie sinusów:
! Twierdzenie !
W dowolnym trójkącie stosunek długości boku do sinusa
przeciwległego kąta jest równy średnicy okręgu opisanego
na tym trójkącie.
C
R
ł
a
a b c
= = =2R
b
sin śąąźą sin śą �źą sin śąłźą
O
�
B
ą
c
A
A
Twierdzenie cosinusów:
! Twierdzenie !
W dowolnym trójkącie kwadrat długości boku jest równy
różnicy sumy kwadratów dwóch pozostałych boków i
podwojonemu ich iloczynowi wymnożonemu przez cosinus
kąta między nimi.
a2=b2�ąc2-2bc�"cosśąąźą
b2=a2�ąc2-2ac�"cosśą �źą
c2=a2�ąb2-2ab�"cosśąłźą
Warto zauważyć, że twierdzenie cosinusów można traktować jako twierdzenia
Pitagorasa uogólnione do wszystkich trójkątów. Można też patrzeć na
twierdzenie Pitagorasa jako szczególny przypadek twierdzenia cosinusów. Dla
trójkąta prostokątnego bowiem otrzymujemy:
c2=a2�ąb2-2ab�"cosśąłźą , gdzie ł=90�, więc:
c2=a2�ąb2-2ab�"cosśą90 �źą
c2=a2�ąb2-2ab�"0
c2=a2�ąb2 - otrzymaliśmy twierdzenie Pitagorasa
Jeśli założymy, że mamy dane długości boków a oraz b, to długość trzeciego
zależy ściśle od kąta między nimi. Zależność ta będzie to przedmiotem
jednego z zadań.
PRZYKAAD
Przykład I
Zakładając, że mamy dane dwa boki w trójkącie (a oraz b), określ zależność
długości trzeciego od kąta ł między dwoma danymi. Dla jakich kątów ł
długość ta jest najmniejsza, a dla jakich największa?
Rozwiązanie.
Dany jest trójkąt jak poniżej.
C
ł
a
b
�
B
ą
c
A
A
Przy ustalonych długościach boków a oraz b w zależności od kąta ł różna jest
długość boku c.
Narysujmy trójkąty, dla których długości boków a oraz b są stałe, natomiast
zmienia się kąt ł.
C
C
a
B
ł
ł
�
a
b
b
c
ą
�
ą
B
A
A
c
A
A
Jak widać z rysunków, im większy kąt ł w trójkącie, tym dłuższy bok
przeciwległy. Nie możemy jednak w ten sposób tego dowodzić, ponieważ
pokazaliśmy, że zdanie to jest prawdziwe jedynie dla dwóch narysowanych
przypadków.
Aby udowodnić naszą tezę skorzystamy z twierdzenia cosinusów, które dla
naszego trójkąta i dla boku c ma postać:
c2=a2�ąb2-2ab�"cosśąłźą
2ab
Wartości: a2�ąb2 oraz są stałe. Oznaczmy je jako A, oraz B. Wtedy nasza
równość ma postać:
c2= A-B�"cosśąłźą
c= A-B�"cosśą łźą
ćą
Jedyną zmienną jest tutaj kąt ł. Wiemy, że
ł"śą0� ;180�źą cosśąłźą"śą-1 ;1źą
, więc
Przypomnijmy wykres funkcji cosinus.
Zauważamy, że w przedziale (0� , 180�), który jest równoznaczny przedziałowi
A- B�"cosśąłźą
(0 , ), funkcja cosinus jest malejąca. Wynika z tego, że wartość
jest rosnąca wraz ze wzrostem ł oraz malejąca wraz ze zmniejszaniem
wartości ł. Wartość wyrażenia pod pierwiastkiem nigdy nie jest dla trójkąta
ujemna, więc powyższa zależność obowiązuje również długość boku c.
Odpowiedz: Długość boku c jest rosnącą funkcją kąta ł. Bok ten przyjmuje
najmniejszą długość dla wartości kąta bliskich 0� oraz największą dla wartości
bliskich 180�. Pamiętamy jednak, że nigdy nie są osiągane te graniczne
wartości.
PRZYKAAD
Przykład II
Zakładając, że mamy dany okrąg, w który wpisany jest trójkąt, określ
zależność długości boku od kąta do niego przeciwległego. Dla jakich kątów
długość ta jest najmniejsza, a dla jakich największa?
Rozwiązanie.
Dany jest trójkąt jak poniżej.
C
R
ł
a
b
O
�
B
ą
c
A
A
W przeciwieństwie do poprzedniego zadania tutaj dany jest okrąg. Tym
samym określona jest długość promienia R.
Z własności trójkąta wpisanego w okrąg wyciągamy wniosek, że bok jest
najdłuższy, gdy przeciwległy kąt ma miarę 90�. W innych przypadkach zawsze
jest krótszy.
Przypadek gdy nasz kąt jest ostry został już narysowany. Pozostały nam
jeszcze dwie sytuacje kolejno: kąt prosty, kąt rozwarty.
C
a
C
ł
B
a
�
ł
b
B
�
c
ą
b
c
2R
A
O2R
O
ą
A
Widzimy, że zarówno dla kątów rozwartych, jak i dla ostrych, długość boku c
jest krótsza niż dla kąta prostego. Trudno jest wiec ustalić zależność z
rysunku.
Aby to zrobić korzystamy z twierdzenia sinusów. W naszym przypadku
bierzemy pod uwagę jedną równość:
c
=2R
sin śąłźą
Przekształcamy ją i otrzymujemy:
c=2R�"sin śąłźą
Ponownie jedyną zmienną jest kąt ł. Wiemy, że
ł"śą0� ;180�źą sin śąłźą"śą-1 ;1źą
, więc
Przypomnijmy wykres funkcji sinus.
Zauważamy, że funkcja sinus jest rosnąca w przedziale od 0� do 90� oraz
malejąca w przedziale od 90� do 180�. Ponadto, długość boku c jest
sin śąłźą
proporcjonalna do wartości funkcji , co wynika ze wzoru:
c=2R�"sin śąłźą
Odpowiedz: Długość boku c w warunkach z zadania jest rosnącą funkcją kąta
ł w przedziale od 0� do 180� oraz jego malejącą funkcją w przedziale od 90�
do 180�. Najmniejsze wartości przyjmuje dla kątów bliskich 0� oraz 180� (ale
granicznych nigdy nie osiąga), natomiast największą wartość przyjmuje dla
kąta 90� (i wynosi wtedy 2R).
PRZYKAAD
Przykład III
Sinus pewnego kąta ostrego w trójkącie jest równy �. Bok leżący naprzeciw
tego kąta ma długość 5. Drugi bok ma długość 4. Określ długość trzeciego
boku.
Rozwiązanie.
Narysujmy trójkąt, aby widzieć zapisane zależności.
C
ą
a
4
B
5
A
A
Skorzystamy z twierdzenia cosinusów, ponieważ właśnie w nim ukryta jest
zależność między wszystkimi bokami i jednocześnie zawierająca tylko jeden
kąt jako zmienną.
Skorzystamy z następującej postaci:
52=42�ąc2-2�"4�"c�"cosśąąźą
Przekształcamy i otrzymujemy:
52=42�ąc2-2�"4�"c�"cosśąąźą
25=16�ąc2-8�"c�"cosśąąźą
c2-8�"c�"cosśąąźą-9=0
Znamy wartość sinusa kąta ą oraz wiemy z treści, że jest to kąt ostry.
Korzystając z jedynki trygonometrycznej lub własności tych funkcji
znajdujemy wartość cosinusa.
sin2śąąźą�ącos2 śąąźą=1
cos2śąąźą=1-sin2śąąźą
cosśąąźą= 1-sin2śąąźą
ćą
2
1
cosśąąźą= 1-
śą źą
2
ćą
1
cosśąąźą= 1-
4
ćą
3 3
ćą
cosśąąźą= =
4 2
ćą
Podstawiamy do wcześniej uzyskanego wzoru i otrzymujemy:
c2-8�"c�"cosśąąźą-9=0
3-9=0
ćą
c2-8�"c�"
2
c2-4ćą3�"c�"-9=0
Rozwiązujemy równanie kwadratowe.
"=śą-4 3źą2-4�"1�"śą-9źą=48�ą36=84
ćą
"= 84=2 21
ćą ćą ćą
4 3-2 21
ćą ćą
c1= =2 3-ćą
21
ćą
2
4 3�ą2 21=2 3�ą 21
ćą ćą
c2=
ćą ćą
2
Bierzemy pod uwagę tylko drugie rozwiązanie, ponieważ długość boku nie
c1"ą0 c2ą0
może być ujemna, natomiast i .
Odpowiedz. Trzeci bok ma długość 2 3�ą 21 .
ćą ćą
PRZYKAAD
Przykład IV
Dany jest trójkąt taki, że:
bok a ma długość 5
bok b ma długość 4
kąt między nimi ma miarę 60�
Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
Rozwiązanie.
C
R
ł
a
b
O
�
B
ą
c
A
A
Aby otrzymać promień okręgu opisanego na tym trójkącie będziemy musieli
skorzystać z twierdzenia sinusów, a mianowicie ze wzoru:
c
=2R
sin śąłźą
Nie znamy jednak długości boku c, więc musimy ją obliczyć. W tym celu
skorzystamy z twierdzenia cosinusów. Istotny dla nas będzie wzór:
c2=a2�ąb2-2ab�"cosśąłźą
Podstawiamy wartości z treści zadania i otrzymujemy:
c2=a2�ąb2-2ab�"cosśąłźą
c2=52�ą42-2�"5�"4�"cosśą60�źą
c2=25�ą16-40�"1
2
c2=21
c= 21
ćą
Podstawiamy wartość długości do wzoru z twierdzenia sinusów.
c
=2R
sin śąłźą
21
ćą
=R
2sinśą60�źą
21
ćą
= R
2�" 3
ćą
2
21= 7
ćą
R=
ćą
3
ćą
Odpowiedz: Promień tego okręgu ma długość 7 .
ćą
Przykład V
PRZYKAAD
Dany jest trójkąt taki, że:
1
bok a ma długość
2
bok b ma długość
bok c ma długość 3
ćą
Podaj miary kątów miedzy nimi.
C
ł
a
b
�
B
ą
c
A
A
Rozwiązanie.
Kąty między bokami w trójkącie są jednoznacznie wyznaczone przez ich
długość. Aby je obliczyć skorzystamy z twierdzenia cosinusów, a mianowicie
ze wzorów:
a2=b2�ąc2-2bc�"cosśąąźą
b2=a2�ąc2-2ac�"cosśą �źą
c2=a2�ąb2-2ab�"cosśąłźą
Obliczamy kąt ą.
a2=b2�ąc2-2bc�"cosśąąźą
12=22�ąśą 3źą2-2�"2�" 3�"cosśąąźą
ćą ćą
1=4�ą3-4 3�"cosśąąźą
ćą
-6=-4 3�"cosśą ąźą
ćą
3 3
ćą
cosśąąźą= =
2
2 3
ćą
3
ćą
ą=arccosśą źą - może to być kąt 30� lub 150�
2
Obliczamy kąt �.
b2=a2�ąc2-2ac�"cosśą �źą
22=12�ąśą 3źą2-2�"1�" 3�"cosśą �źą
ćą ćą
4=1�ą3-2 3�"cosśą � źą
ćą
0= 3�"cosśą �źą
ćą
cosśą �źą=0
- cosinus z przedziału od 0� do 180� przyjmuje wartość 0 tylko dla
90�
Nie musimy obliczać trzeciego kąta, ponieważ wiemy, że �=90�. Z tego
wynika, że kąt ą<90�, więc ą=30�, natomiast ł=60�.
Odpowiedz: Kąty mają miarę kolejno: ą=30�, �=90� i ł=60�.
PRZYKAAD
Przykład VI
Dany jest trójkąt taki, że:
bok a ma długość 3
bok b ma długość 4
bok c ma długość 5
W okrąg o jakim promieniu można wpisać ten trójkąt?
Rozwiązanie.
Sprawdzamy kąty między bokami.
Najpierw zbadamy czy nie jest to trójkąt prostokątny. Zrobimy to korzystając
z twierdzenia Pitagorasa, które jest prawdziwe tylko dla trójkątów
prostokątnych:
c2=a2�ąb2
Sprawdzamy.
c2=a2�ąb2
52=32�ą42
25=25 - wniosek: jest to trójką prostokątny
Kąt prosty leży między parą krótszych boków, tzn. a oraz b.
W przypadku trójkąta prostokątnego promień jest równy połowie
przeciwprostokątnej, co widać na rysunku:
C
a
ł
B
�
b
c
O2R
ą
A
Odpowiedz: Promień ma długość równą 2,5.
PRZYKAAD
Przykład VII
Dany jest trójkąt równoboczny jak na rysunku.
Oblicz miarę kąta �.
C
D
R
ą
�
a
a
O
ą
B
ą
a
A
A
Rozwiązanie.
Miara kata � jest stała i niezależna od położenia między punktami C oraz B.
Zadanie możemy rozwiązać na kilka sposobów:
korzystając z własności czworokąta wpisanego w okrąg
korzystając z twierdzenia sinusów oraz tego, że obydwa trójkąty są
wpisane w ten trójkąt
Rozwiążemy zadanie korzystając z pierwszego sposobu.
Czworokąt wpisany w okrąg ma następującą własność: suma kątów leżących
naprzeciw siebie jest równa 180�.
Wniosek:
ą�ą �=180 �
Wiemy, że w trójkącie równobocznym kąt wewnętrzny ą=60 �
więc:
60 ��ą � =180�
�=120 �
PRZYKAAD
Przykład VIII
Wiedząc, że wysokości w trójkącie równobocznym przecinają się w punkcie,
który dzieli je na odcinki, których stosunek długości jest równy 2:1, oblicz
wysokość trójkąta jeśli jego bok ma długość 4.
Rozwiązanie.
Rysujemy trójkąt.
C
ą
a
R
a
2/3 h
O
1/3 h
ą
B
ą
a
A
A
Znając podaną własność oraz inne własności trójkąta wpisanego w okrąg
obliczamy długość promienia. Wiemy, że:
2
R= h
3
Dla trójkąta prostokątnego zachodzi własność:
a 3
ćą
h=
2
W naszym przypadku równość ta będzie następująca:
4 3=2 3
ćą
h=
ćą
2
Podstawiamy do równości na promień okręgu i dostajemy:
2
R= h
3
2�"2 4 3
ćą
R= 3=
ćą
3 3

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
www livemocha com angielski lekcja audio
jezyk ukrainski lekcja 03
Lekcja sortowanie
lekcja12
Kris Jamsa Wygraj Z C lekcja32
lekcja1 (2)
Lekcja7
ćw oswajające z piłką lekcja dla dzieci
Logo na lekcjach matematyki w szkole podstawowej
C LEKCJA18
lekcja
C LEKCJA23
Kris Jamsa Wygraj Z C lekcja 5
Lekcja algorytmy w geometrii
LEKCJA 1 Uwierz w siebie, możesz wszystko!
Lekcja 7 Trening pamieci to nie wszystko Zadbaj o swoja koncentracje
lekcja6

więcej podobnych podstron