Zasada d'Alemberta
Twierdzenie. W czasie ruchu układu punktów materialnych tworzących
bryłę sztywna, siły rzeczywiste działające na punkty tego układu oraz
ich momenty równoważą się w każdej chwili czasu z odpowiednimi
siłami bezwładności oraz ich momentami.
n n
-
"m ai + "F = 0
i i
i=1 i=1
n n
-
"r × miai + "r × Fi = 0
i i
i=1 i=1
Rezultat. Sprowadzenia zagadnienia dynamiki do równoważnego
zagadnienia kinetostatyki poprzez uwzględnienie w układzie sił
rzeczywistych oraz sił bezwładności.
Równania wektorowe równowagi sił oraz momentów sił
n
(Fi + Ai)= 0
"
i=1
n
(Mi(Fi)+ Mi(Ai))= 0
"
i=1
Opis skalarny równań kinetostatyki, jako rezultat rzutowania
wektorowych równań równowagi na osie prostokątnego układu
współrzędnych.
n n n
( )
Fyi + Ayi = 0
"(F + Axi ) = 0 " "(F + Azi ) = 0
xi zi
i=1 i=1 i=1
n n n
(M (Fi)+ M (Ai))= 0 ( (Fi)+ M (Ai)) (M (Fi)+ M (Ai))= 0
M = 0
" xi xi " yi yi " zi zi
i=1 i=1 i=1
Zastosowanie do obliczania reakcji dynamicznych łożysk wirników
Pojęcie reakcji dynamicznej
W irnik bryła sztywna wykonująca ruch obrotowy wokół danej osi
Reakcja dynamiczna dodatkowa reakcja więzów wywołana ruchem
wirnika
Twierdzenie. Reakcje dynamiczne łożysk wirnika wirującego wokół osi
z wyznaczane są z następującego układu równań
É2rdm
É2xdm
x
RBx z
µydm
µrdm
µxdm
2
° É ydm
B RBy
r
x
l
É
y
RAx µ
z
y
A RAy
n
Å„Å‚
2
"F = 0 RAx + RBx + xÉ dm + yµdm = 0
xi
ôÅ‚ +" +"
i=1
(m) (m)
2
ôÅ‚
n
RAx + RBx + SyzÉ + Sxzµ = 0
2
ôÅ‚
+" +" 2
"F = 0 RAy + RBy + yÉ dm - xµdm = 0 RAy + RBy + SxzÉ - Syzµ = 0
yi
ôÅ‚
(m) (m)
i=1
Ô! Ô!
òÅ‚
n
2
2
RByl + DyzÉ - Dxzµ = 0
RByl + yzÉ dm - xzµdm = 0
ôÅ‚
+" +"
"M = 0
xi
2
(m) (m)
ôÅ‚
i=1 RBxl + DxzÉ + Dyzµ = 0
2
n
ôÅ‚
RBxl + xzÉ dm + yzµdm = 0
+" +"
ôÅ‚
"M = 0
yi
(m) (m)
ół i=1
Cztery równania dynamiczne wirnika umożliwiają wyznaczenie reakcji
dynamicznych jego łożysk
Przykład. Tarcza kołowa o masie m1
i promieniu r została zamocowana
na wale AB, zgodnie z rysunkiem.
Do tarczy przymocowano pręt DE =
l o masie m2 i na nieważkim pręcie
DF = r punkt materialny o masie
m3. W ał obraca się z prędkością
É
kÄ…towÄ… i przyspieszeniem
µ
kątowym . W yznaczyć reakcje
dynamiczne w łożyskach A i B.
Rozwiązanie. W spółrzędne środka
masy C w układzie Oxy:
- m1e sinÄ… + m2(r - e)sinÄ… + m3[(r - e)sinÄ… + r]
xc =
m1 + m2 + m3
1
m2l
2
yc =
m1 + m2 + m3
Momenty statyczne:
S = (m1 + m2 + m3)xc Sxz = (m1 + m2 + m3)yc
yz
Momenty dewiacji:
pręt prostopadły do xz
l
Dyz = m2 Å" (r - e)cosÄ…
2
pręt prostopadły do xz
moment dewiacji punktu
tarcza pochylona o kat Ä…
2
2
r m1e2 m2(r - e)
Dxz = m1 sin 2Ä… + sin 2Ä… + sin 2Ä… + m3(r - e)cosÄ… [(r - e)sinÄ… + r]
8 2 2
twierdzenie Steinera
Reakcje dynamiczne można wyznaczyć z układu czterech równań
2
RA + RB = (m1 + m2 + m3) (- É Å" xc - µ Å" yc)
X X
2
RA + RB = (m1 + m2 + m3) (- É Å" yc - µ Å" xc)
Y Y
2
RA Å" b - RB Å" c = Dyz Å"É - Dxz Å"µ
Y Y
2
RB Å" c - RA Å" b = -Dxz Å"É - Dyz Å"µ
X X
W yważanie wirników
W irnik jest wyważony, jeżeli reakcje dynamiczne są równe zero.
Wyważenie statyczne środek masy wirnika leży na osi obrotu.
W arunek konieczny i dostateczny wyważenia statycznego wirnika
zerowanie się momentów statycznych
Syz = Sxz = 0
Wyważenie dynamiczne oś obrotu wirnika jest jedną z jego głównych
osi bezwładności (niekoniecznie centralną)
W arunek konieczny i dostateczny wyważenia dynamicznego wirnika
zerowanie się momentów odśrodkowych
Dyz = Dxz = 0
W arunek konieczny i dostateczny wyważenia statycznego i
dynamicznego wirnika oś obrotu wirnika jest jedną z głównych
centralnych osi bezwładności.
Energia kinetyczna
Energia w przypadku ogólnym
Energię kinetyczną bryły w ruchu ogólnym określa wzór
1 1
2 2 2 2
T = mvC + (Ix Éx + I Éy + Iz Éz )- Dy z1ÉyÉz - Dx z1ÉxÉz - Dx y1ÉxÉy
y1
1 1 1 1 1
2 2
z1
z
É
y1
C
°
x1
vC
y
C środek masy bryły
x
Układy współrzędnych xyz i x1y1z1 o osiach odpowiednio równoległych
Energia kinetyczna w zapisie macierzowym
1
forma kwadratowa
T = vTMv
2
gdzie
(
v = col vCx,vCy ,vCz ,Éx,Éy ,Éz )
m 0 0 0 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
0 m 0 0 0 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 0 m 0 0 0
M =
ïÅ‚
0 0 0 Ix - Dx y1 - Dx z1 śł
ïÅ‚ śł
1 1 1
ïÅ‚
0 0 0 - Dx y1 I - Dy z1 śł
y1
1 1
ïÅ‚ śł
0 0 0 - Dx z1 - Dy z1 Iz śł
ïÅ‚
ðÅ‚ 1 1 1 ûÅ‚
Twierdzenie Koeniga o energii kinetycznej bryły
Energia kinetyczna bryły (układu brył) jest równa sumie energii
kinetycznej punktu materialnego o masie całego układu,
przemieszczającego się z prędkością środka masy układu, oraz energii
kinetycznej tego układu w ruchu względem środka masy
É = 0
Ruch postępowy bryły
Energia kinetyczna funkcja masy bryły oraz prędkości jej środka masy
1
2
T = mvC
2
É = Éz , Éx = Éy = 0, vC = 0, I = Iz
Ruch obrotowy bryły oś obrotu z: ,
Energia kinetyczna funkcja masowego momentu bezwładności bryły
względem osi obrotu oraz prędkości kątowej.
1
2
T = IÉ
2
Ruch płaski bryły
Energia kinetyczna suma energii ruchu postępowego środka masy oraz
chwilowego ruchu obrotowego wokół środka masy
1 1
2 2
T = mvC + IÉ
2 2
I masowy moment bezwładności względem osi przechodzącej przez
środek masy i prostopadłej do płaszczyzny ruchu
Uwaga: Nie może to być dowolny punkt bryły
Energia kinetyczna energia chwilowego ruchu obrotowego wokół
chwilowego środka prędkości
1
2
T = ISÉ
2
IS masowy moment bezwładności względem osi przechodzącej przez
chwilowy środek prędkości i prostopadłej do płaszczyzny ruchu
Praca sił przyłożonych do bryły
Fi
Praca elementarna przypadek ogólny
z
°
dL = F Å" drO + MO Å" dÕ
ri
° O
rO
n n
y
F =
"F MO = "r × Fi
i i
i=1 i=1
x
drO
elementarny przyrost promienia wodzÄ…cego punktu O
dÕ
elementarny obrót bryły wokół chwilowej osi obrotu,
przechodzÄ…cej przez punkt O
Ruch postępowy bryły
Opis wektorowy pracy elementarnej w prostokątnym układzie
współrzędnych
dL = F Å" drO
Ruch obrotowy bryły
Opis algebraiczny pracy elementarnej
dL = MOdÕ
MO suma momentów sił działających na bryłę względem osi obrotu
dÕ elementarny obrót bryÅ‚y.
Praca caÅ‚kowita na drodze kÄ…towej Õ1 Õ2. Praca siÅ‚ przyÅ‚ożonych do
bryły poruszającej się ruchem obrotowym jest równa
Õ2
L = MOdÕ
+"
Õ1
M
Praca pary sił. Praca elementarna pary sił, której moment wynosi ,
przyłożonej do bryły wykonującej ruch obrotowy, jest równa
dL = M Å" dÕ
zaÅ› praca caÅ‚kowita na drodze kÄ…towej Õ1 Õ2
Õ2
L = M Å" dÕ
É
+"
Õ1
dÕ
M
M = const.
Jeżeli , zaś para sił leży w płaszczyznie prostopadłej do osi
obrotu
L = M(Õ2 -Õ1)
Moc pary sił. Jeżeli do bryły wykonującej ruch obrotowy przyłożona
M
jest para sił, której moment wynosi , to moc tej pary sił jest równa
N = M Å"É
Ruch płaski bryły
Praca elementarna sił działających na bryłę w płaszczyznie ruchu
n n
ëÅ‚
dL = ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
"F cosÄ…i öÅ‚ ds + ëÅ‚"M öÅ‚ dÕ
i Oi
íÅ‚ i=1 Å‚Å‚ íÅ‚ i=1 Å‚Å‚
MOi moment siły Fi względem punktu redukcji O
ds elementarne przemieszczenie punktu redukcji O
dÕ elementarny kÄ…t obrotu bryÅ‚y
Fi
y
Ä…i
ds
dÕ
ds
°
O
x
Praca całkowita w przypadku stałych obciążeń zerowe warunki
poczÄ…tkowe
n n
ëÅ‚
L = ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
"F cosÄ…i öÅ‚ s + ëÅ‚"M öÅ‚ Õ
i Oi
íÅ‚ i=1 Å‚Å‚ íÅ‚ i=1 Å‚Å‚
s przemieszczenie punktu redukcji obciążeń O
Õ kÄ…t obrotu bryÅ‚y podczas wykonywania pracy
Zasada pracy i energii
Praca wszystkich sił zewnętrznych i wewnętrznych układu punktów
materialnych jest równa zmianie energii kinetycznej całego układu.
2
T2 - T1 = L + L
W przypadku brył idealnie sztywnych, zmiana całkowitej energii
kinetycznej jest równa sumie prac wszystkich sił zewnętrznych
T2 - T1 = L
Różniczkowa postać zasady energii
Moc wszystkich sił zewnętrznych i wewnętrznych układu punktów
materialnych jest równa pochodnej względem czasu energii kinetycznej
całego układu.
2
N + N = T
W przypadku brył idealnie sztywnych, pochodna względem czasu
całkowitej energii kinetycznej jest równa mocy wszystkich sił
zewnętrznych
N = T
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
wprowadz w11Metody numeryczne w11w11 uwaga swiadomosc?zw11 3PR ETI W 14 8 1ETI INFORMATOR?TSWNUM W11PR ETI W 22 1kol pol ETI 07 AMultimedia W11PR ETI W 1 1egz pop ETI IBM 08 9egz ME ETI EiT 12 13Program ETI 201113 W11 Stopy CuW11 dystrybucjawięcej podobnych podstron