ÿþZ a d a n i a d o r o z d z i a Bu 5
Z a d . 5 . 1 .
U d o w o d n i j , |e s t o s u j c r ó w n i p o c h y B o d a j c y m s i z m i e n i a k c i e n a c h y l e n i a ±
m o |n a w y z n a c z y w s p ó Bc z y n n i k t a r c i a s t a t y c z n e g o µ o .
R o z w i z a n i e :
W c z a s i e z s u w a n i a s i p o r ó w n i c i a Bo o
c i |a r z e P = m g p o d l e g a d z i a Ba n i u
w y p a d k o w e j d w ó c h s i B:
s i By z s u w a j c e j
F t = P s i n ±
i h a m u j c e j s i By t a r c i a T = µ o F n ,
F n = P c o s ±
T = µ o P c o s ±
S i Ba w y p a d k o w a F w y w o Bu j c a r u c h r ó w n a s i
F = F t - T
F = P s i n ± - µ o P c o s ± ,
a l e P = m g
z a t e m F = m g ( s i n ± - µ o c o s ±)
J e |e l i p r z y d a n y m k c i e n a c h y l e n i a r ó w n i c i a Bo s a m o r z u t n i e n i e z a c z y n a s i z s u w a , t o
z n a c z y |e s i Ba t a r c i a T j e s t w i k s z a o d s i By z s u w a j c e j F t . S t o p n i o w o z w i k s z a j c n a c h y l e n i e
m o |n a o s i g n t a k i k t ±, p r z y k t ó r y m r u c h s i r o z p o c z n i e . T o [w i a d c z y o b a r d z o m a Be j
p r z e w a d z e s i By F t n a d s i B T . W p r z y b l i |e n i u m o |n a z a k Ba d a , |e p r z y k c i e g r a n i c z n y m ,
z w a n y m k t e m t a r c i a , z a c h o d z i r ó w n o [ w s p o m n i a n y c h s i B:
F t = T
O s t a t n i e r ó w n a n i e m o |n a t e | z a p i s a w p o s t a c i
P s i n ± = µ 0 P c o s ±t
t
g d z i e µ 0 o z n a c z a w s p ó Bc z y n n i k t a r c i a s t a t y c z n e g o . Z d a l s z e g o p r z e k s z t a Bc e n i a w y n i k a , |e
µ 0 = t g ±t
W s p ó Bc z y n n i k t a r c i a s t a t y c z n e g o r ó w n a s i z a t e m t a n g e s o w i n a j m n i e j s z e g o k t a ±, p r z y
k t ó r y m c i a Ba z a c z y n a z s u w a s i p o r ó w n i p o c h y Be j .
1 0 7
Z a d . 5 . 2 .
W y z n a c z y p i e r w s z p r d k o [ k o s m i c z n , c z y l i n a j m n i e j s z m o |l i w p r d k o [ ÅI , j a k m u s i
m i e p u n k t m a t e r i a l n y ( s a t e l i t a ) s w o b o d n i e k r |c y p o o r b i c i e w o k ó B Z i e m i . P r o m i e D Z i e m i
R = 6 4 0 0 k m .
R o z w i z a n i e :
W y o b r a zm y s o b i e p o c i s k w y s t r z e l o n y
p o z i o m o n a w y s . h n a d Z i e m i , k t ó r e m u
n a d a n o p e w n p r d k o [ p o c z t k o w Å. P o
p r z e b y c i u p e w n e j d r o g i p o c i s k s p a d n i e n a
Z i e m i . J e |e l i b d z i e m y z w i k s z a
p r d k o [ p o c z t k o w p o c i s k u , t o j e g o
d r o g a b d z i e c o r a z d Bu |s z a i p r z y p e w n e j
p r d k o [c i p o c z t k o w e j p o c i s k z a c z n i e
o b i e g a Z i e m i d o o k o Ba i n i e s p a d n i e n a
j e j p o w i e r z c h n i . N a s t p i t o w t e d y , g d y
p r d k o [ p o c z t k o w a p o c i s k u o s i g n i e
p i e r w s z p r d k o [ k o s m i c z n .
N a p o r u s z a j c y s i p o o r b i c i e p o c i s k o m a s i e m d z i a Ba j d w i e s i By F 1 i F 2 o p r z e c i w n y c h
z w r o t a c h :
m Å2
s i Ba o d [r o d k o w a F 2 = i
r
M m
s i Ba g r a w i t a c j i F 1 = k g 2
r
W a r u n k i e m , a b y o r b i t a , p o k t ó r e j p o r u s z a s i p o c i s k , b y Ba s t a b i l n a j e s t r ó w n o w a g a t y c h s i B
F 1 = F 2
M Å" m Å2
k g = m
r
r 2
i s t d
k g M
Å =
r
P r o m i e D r o r b i t y s a t e l i t y w y n o s i :
r = R + h
P o n i e w a | h < < R t o p i e r w s z a p r d k o [ k o s m i c z n a ÅI w y r a |a s i w z o r e m
1 0 8
k g M
ÅI =
R
A l e w i e m y , |e n a p o w i e r z c h n i Z i e m i s p e Bn i o n e j e s t r ó w n a n i e :
m Å" M
m g = k g 2
R
2
k g Å" M = g Å" R
O s t a t e c z n i e
k g M
ÅI = = g R
R
m
ÅI = 9 . 8 1 Å" 6 4 0 0 0 0 0 m
s 2
ÅI = 7 9 2 4 m / s E" 7 . 9 k m / s .
Z a d . 5 . 3 .
W y z n a c z y d r u g p r d k o [ k o s m i c z n t z w . p r d k o [ u c i e c z k i , c z y l i n a j m n i e j s z
m o |l i w p r d k o [ ÅI I j a k m u s i m i e p u n k t m a t e r i a l n y ( s a t e l i t a ) p r z y p o w i e r z c h n i Z i e m i , a b y
m ó g B s i o d d a l i o d Z i e m i w n i e s k o Dc z o n o [. P r o m i e D Z i e m i R = 6 4 0 0 k m .
R o z w i z a n i e :
O b l i c z m y n a j p i e r w , z j a k p r d k o [c i Å t r z e b a r z u c i c i a Bo p i o n o w o d o g ó r y , a b y w z n i o s Bo s i
o n o n a w y s o k o [ h . Z a s t o s u j e m y w t y m c e l u z a s a d z a c h o w a n i a e n e r g i i .
C a Bk o w i t a e n e r g i a m e c h a n i c z n a E 1 n a p o w i e r z c h n i Z i e m i w y n o s i :
E 1 = E k + E p ( R )
m Å2
g d z i e E k = t o e n e r g i a k i n e t y c z n a
2
M m
E p = - k g t o g r a w i t a c y j n a e n e r g i a p o t e n c j a l n a ( p a t r z 5 . 1 9 )
R
m Å2 M Å" m
E 1 = - k g
2 R
C a Bk o w i t a e n e r g i a m e c h a n i c z n a E 2 c i a Ba n a w y s o k o [c i h m a p o s t a :
M m
E 2 = - k g b o n a w y s o k o [c i h ; E k = 0
R + h
Z p r a w a z a c h o w a n i a e n e r g i i
E 1 = E 2
1 0 9
m Å2 M Å" m M m
- k g = - k g
2 R R + h
1 1
öø
Å = 2 k g M ëø +
ìø ÷ø
R R + h
íø øø
P o d s t a w i a j c h = " , o t r z y m u j e m y p r d k o [ u c i e c z k i
2 k g M
ÅI I =
R
A l e w i e d z c , |e n a p o w i e r z c h n i Z i e m i s p e Bn i o n a j e s t r ó w n o [
M Å" m
m g = k g 2
R
2
k g M = g Å" R
O s t a t e c z n i e
2 k g M
ÅI I = = 2 g R
R
m
ÅI I = 2 Å" 9 . 8 1 Å" 6 4 0 0 0 0 0 m
s 2
ÅI I = 1 1 2 0 6 m / s E" 1 1 . 2 k m / s
Z a d . 5 . 4 .
S a n k i z e [l i z g u j s i z o b l o d z o n e j g ó r y o w y s o k o [c i h i z a t r z y m u j s i p r z e b y w a j c
o d l e g Bo [ C B . O d l e g Bo [ A B = S . O k r e [l i w s p ó Bc z y n n i k a t a r c i a µ s a n e k o l o d o w
p o w i e r z c h n i . O b l i c z y p r z y s p i e s z e n i e a s a n e k n a o d c i s k u C B .
R o z w i z a n i e :
T 1 T 2
µ = ; µ = ; F n = P Å" c o s ±; P = m g
F n P
1 1 0
W p u n k c i e D s a n k i m a j e n e r g i p o t e n c j a l n
E p = m g h
W p u n k c i e C s a n k i m a j e n e r g i k i n e t y c z n
m Å2
E c = = E p - W D C
k
2
g d z i e W D C t o p r a c a w y k o n a n a p r z e c i w s i l e t a r c i a T 1 n a o d c i n k u D C .
W p u n k c i e B s a n k i m a j Å = 0 , E B = 0
k
E B = E p - W D C - W C B = 0
k
g d z i e W C B t o p r a c a w y k o n a n a p r z e c i w s i l e t a r c i a T 2 n a o d c i n k u C B .
Z p r a w a z a c h o w a n i a e n e r g i i
E p = W D C + W C B
W D C = T 1 Å" D C
W C B = T 2 Å" C B
m g h = T 1 Å" D C + T 2 Å" C B
T 1 = m g Å" c o s ± Å" µ
T 2 = m g Å" µ
C B = S - A C
m g h = m g Å" c o s ± Å" µ Å" D C + m g µ Å" ( S - A C ) a l e A C = D C Å" c o s ±
m g h = m g Å" µ Å" S
Z a t e m
h
µ =
S
O p ó zn i e n i e a n a o d c i n k u C B o b l i c z a m y z d r u g i e j z a s a d y d y n a m i k i N e w t o n a
m Å" a = T 2 T 2 = m g Å" µ
h
m Å" a = m Å" g Å" µ = m g
S
i s t d
g h
a =
S
1 1 1
Z a d . 5 . 5 .
W ó z e k o m a s i e m s t a c z a s i b e z t a r c i a p o s z y n a c h w y g i t y c h t a k j a k n a r y s u n k u . J a k a
j e s t n a j m n i e j s z a w y s o k o [ h , a b y w ó z e k n i e o d e r w a B s i o d s z y n w n a j w y |s z y m p u n k c i e p t l i
k o Bo w e j o p r o m i e n i u R .
R o z w i z a n i e :
W p u n k c i e A w ó z e k m a e n e r g i m e c h a n i c z n E A
E A = E A + E A
p
k
m Å2
A
g d z i e E A = = 0 b o w A Å = 0
k
2
E A = m g h
p
W p u n k c i e B w ó z e k m a e n e r g i m e c h a n i c z n E B
E B = E B + E B
p
k
m Å2
B
E B =
k
2
E B = m g Å" 2 R
p
Z p r a w a z a c h o w a n i a e n e r g i i
E A = E B
m Å2
B
m g h = m g 2 R + ( * )
2
m Å2
B
ÅB m u s i b y t a k d u |e a b y s i Ba o d [r o d k o w a z r ó w n o w a |y Ba c i |a r w ó z k a m g
R
1 1 2
m Å2
B
= m Å" g
R
Å2 = R Å" g
B
Z n a j c ÅB r ó w n a n i e ( * ) m o |e m y z a p i s a
m R g
m g h = m g 2 R +
2
R 5
h = 2 R + = R
2 2
5
h = R
2
Z a d . 5 . 6 .
C i a Bo o c i |a r z e G z e [l i z g u j e s i b e z t a r c i a z n a c h y l o n e j d e s k i n a n i e r u c h o m
p l a t f o r m . J a k p r d k o [ Å u z y s k a p l a t f o r m a , k i e d y c i |a r n a n i u p a d n i e . C i |a r p l a t f o r m y
w y n o s i G 1 , w y s o k o [ p o c z t k o w a p o Bo |e n i a c i a Ba n a d p o z i o m e m p l a t f o r m y w y n o s i h , a k t
n a c h y l e n i a d e s k i d o p o z i o m u ±. P l a t f o r m a p o r u s z a s i b e z t a r c i a .
R o z w i z a n i e :
G
C i a Bo o c i |a r z e G m a m a s m =
g
Z p r a w a z a c h o w a n i a e n e r g i i o b l i c z a m y p r d k o [ Å1 u p a d k u c i a Ba n a p l a t f o r m
2
m Å1
m g h =
2
Å1 = 2 g h
1 1 3
W c h w i l i u p a d k u c i a Bo m a p d p 1
p 1 = m Å1
W e k t o r p 1 m a s k Ba d o w e
p 1 x = m Å1 x = m Å1 Å" c o s ±
p 1 y = m Å1 y = m Å1 Å" s i n ±
C i a Bo o c i |a r z e G p o u p a d k u n a p l a t f o r m o c i |a r z e G 1 p o z o s t a j e n a t e j p l a t f o r m i e .
M a s a M p l a t f o r m y w r a z z c i a Be m w y n o s i z a t e m
G + G 1
M =
g
P o u p a d k u p l a t f o r m a u z y s k u j e p d p 2
p 2 = M Å
W e k t o r p 2 m a s k Ba d o w e
p 2 x = M Å
p 2 y = 0
Z p r a w a z a c h o w a n i a p d u w y n i k a , |e
p 1 = p 2
c o p o c i g a p 1 x = p 2 x
Z a t e m m o |e m y z a p i s a
G 1 + G G 1
Å" Å = Å" Å1 x
g g
Å1 x = Å1 Å" c o s ± = 2 g h Å" c o s ±
G 1 + G G 1
Å" Å = Å" 2 g h Å" c o s ±
g g
G 1
Å = Å" 2 g h Å" c o s ±
G 1 + G
Z a d . 5 . 7 .
T r z y j e d n a k o w e k u l k i w i s z s t y k a j c s i n a t r z e c h j e d n a k o w y c h n i c i a c h o
j e d n a k o w y c h d Bu g o [c i a c h . J e d n z k u l e k o d c h y l o n o w k i e r u n k u p r o s t o p a d By m d o p r o s t e j
Bc z c e j [r o d k i d w ó c h p o z o s t a By c h k u l e k i p u s z c z o n o s w o b o d n i e . D o c h w i l i z d e r z e n i a k u l k a
o s i g n Ba p r d k o [ Å. J a k i e p r d k o [c i b d p o s i a d a By k u l k i p o z d e r z e n i u ?
1 1 4
R o z w i z a n i e :
± = 3 0 o ;
3
c o s ± =
2
P o z d e r z e n i u p i e r w s z a k u l k a m i a Ba p d
m 1 Å2
I
p 1 = m 1 Å i e n e r g i k i n e t y c z n E I =
k 1
2
z a [ d w i e p o z o s t a Be k u l e s p o c z y w a By a w i c
I
p I = p 3 = 0 E I = E I = 0
2 k 1 k 2
P o z d e r z e n i u k u l e u z y s k a By o d p o w i e d n i o p r d k o [c i Å1 , Å2 i Å3 , k t ó r y m o d p o w i a d a j p d y
I I I I
p 1 = m 1 Å1 ; p I I = m 2 Å2 ; p 3 = m 3 Å3
2
o r a z e n e r g i e k i n e t y c z n e
m 1 Å1 2 m 2 Å2 2 I I m 3 Å3 2
I I
E 1 k = ; E I I k = ; E 3 k =
2
2 2 2
S t o s u j c p r a w o z a c h o w a n i a p d u m o |e m y z a p i s a
I I I I I
p 1 = p 1 + p I I + p 3
2
c o , g d y m 1 = m 2 = m 3 = m , j e s t r ó w n o w a |n e
( 1 ) m Å = - m Å1 + m Å2 Å" c o s ± + m Å3 Å" c o s ± - d l a o s i y
( 2 ) 0 = - m Å3 Å" s i n ± + m Å2 Å" s i n ± - d l a o s i y
Z ( 2 ) w y n i k a , |e Å2 = Å3 = Å2 / 3
Å + Å1
m Å = - m Å1 + 2 m Å2 / 3 Å" c o s ±; Å = - Å1 + 3 Å2 / 3 ; Å2 / 3 =
3
Z z a s a d y z a c h o w a n i a e n e r g i i
m Å2 m Å1 2 m Å2 / 3 2
= + 2
2 2 2
1 1 5
Å + Å1
P o p o d s t a w i e n i u Å2 / 3 = o t r z y m u j e m y
3
2
Å2 = Å1 2 + ( Å2 + 2 ÅÅ1 + Å1 2 )
3
3 Å2 = 3 Å1 2 + 2 Å2 + 4 ÅÅ1 + 2 ÅÅ1 2
5 Å1 2 + 4 ÅÅ1 + Å2 = 0
" = 1 6 Å2 + 2 0 Å2 = 3 6 Å2 " = ± 6 Å
- 4 Å + 6 Å 2 1
Å1 = = + Å = + Å
1 0 1 0 5
1
Å + Å
6 Å 2 3
5
Å2 / 3 = = = Å
5
3 5 3
1 1 6
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Analiza Matematyczna 2 ZadaniaZARZĄDZANIE FINANSAMI cwiczenia zadania rozwiazaneEZADANIE (11)zadanie domowe zestawZadania 1W 4 zadanie wartswa 2013Sprawdzian 5 kl 2 matematyka zadaniazadania1Zadania 2015 9Logika W8 zadaniaLogika troch teorii zadania06 Zadania z rozwiązaniamiidd47zadania4zadania 1 5 10więcej podobnych podstron